1、2019 年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）集合 ，则 AB（ ）A0，2 B0，1 C （0，2 D 1，02 （5 分）设 i 是虚数单位，复数 的实部与虚部的和等于（ ）A1 B0 C1 D23 （5 分）已知向量 、 的夹角为 60， （0，1） ， ，且 t + 的模为 ，则实数 t 的值为（ ）A1 B2 C1 或 2 D1 或24 （5 分）在如图所示的算法框图中，若输入的 ，则输出结果为（ ）A
2、B C D5 （5 分）圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A B C D6 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若a5， ，sinAtanC cosA1，则ABC 的 AC 边上的高为（ ）A3 B C4 D67 （5 分）双曲线 的离心率为 ，则两条渐近线所成的锐角的第 2 页（共 24 页）余弦值为（ ）A B C D8 （5 分）设 ，则（ ）Aabc Bcba Cbac Dc ab9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，目标函数 zx+y 取得的最大值为 9，则实数
3、 a 的值为（ ）A1 B1 C9 D910 （5 分）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形） 在如图第 5 个大正三角形中随机取点，则落在白色区域的概率为（ ）A B C D11 （5 分）将函数 的图象上的点的横坐标缩短为原来的 倍，再向右平移 个单位得到函数 g（x）2cos（2x +）的图象，则下列说法正确的是
4、（ ）A函数 f（x）的周期为 B函数 f（x ）的单调速增区间为C函数 g（x）的图象有一条对称轴为D函数 g（x）在区间0， 的值域为 ，212 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称当 x1 时，f（x）x2 x2，则满足 f（x）6 x6 的 x 的取值范围是（ ）A （2，+） B （，0）第 3 页（共 24 页）C （0，1）（2，+ ） D （， 0）（2，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）13 （5 分）学校现有高一学生 1500 名，在一年时间里，学生利用课余时间
5、参加各种社会公益活动，据统计，他们的累计时长 X（小时）近似服从正态分布 N（50， 2） ，且P（70 X30 ）0.7，则累计时长超过 30 小时的人数大约有 14 （5 分）已知顶点为 O，圆心角为 ，半径为 2 的扇形 AOB，P 为圆弧 AB 上任意一点，PQOB 于 Q 点，则四边形 OAPQ 的面积的最大值为 15 （5 分）抛物线 y22px 的焦点为 F，点 A（1，4）及点 B，C 在抛物线上，满足，则过点 B，C 的直线方程为 16 （5 分） 九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底
6、面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有阳马 SABCD，SA平面ABCD， AB1，AD3， SA ，BC 上有一点 E，使截面 SDE 的周长最短，则 SE与 CD 所成角的余弦值等于 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17 （12 分）已知等比数列a n，公比 q0，a n+2a n+1+2an，5 为 a1，a 3 的等差中项（1）求数列a n的通项；（2）若 ，且 a1bm+a2bm1 +a3bm2 +amb1 122m，求 m 的值18 （12 分）已知多面体 ABCDEF，
7、四边形 BCDE 为矩形，ADE 与BCF 为边长为的等边三角形，ABACCDDF EF2（1）证明：平面 ADE平面 BCF（2）求 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值第 4 页（共 24 页）19 （12 分）某工厂生产加工某种产品，年初招收了工人 100 名，每个工人的工资由一个单位工作时间内的基本工资和计件工资组成，其中基本工资为 80 元招收的工人试用期为一个月，试用期单位工作时间内加工产品平均件数不少于 3 件的工人转正留用，其他工人解除聘用（1）根据试用期统计，单位工作时间内工人加工产品平均件数与相应人数可得到如图柱状图：求从试用期工人中随机选取 2 名工人，则 2 人在一个单
8、位工作时间内加工产品平均件数均少于 3 件的概率；若在试用期内，计件工资为 20 元/件，求试用期工人在一个单位工作时间的平均工资；（2）若工厂将转正留用工人进行技术培训，使转正留用工人每人在一个单位时间内比试用期平均多生产一件产品，由于节约了其他成本，工厂决定将留用工人的一个单位工作时间内的工资总额在试用期的工人工资总额的基础上提高 20%、求转正留用工人的计件工资为每件多少元？（保留小数点后一位）20 （12 分）已知椭圆 的左焦点为 F，左、右顶点分别为 A、B椭圆上任一点到直线 l：x m 的距离与点 F 的距离之比为 2（1）求 m（2）若斜率不为 0 且过 F 的直线与椭圆交于 C
9、，D 两点，过 B，C 的直线与 l 交于点第 5 页（共 24 页）M，证明：M ，A ，D 三点共线21 （12 分）已知函数（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点，求 a 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修 4 一 4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数） ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 2cos （1）写出直线的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；（2）若点 A 的直角坐标为（0，2
10、） ，P 为圆 C 上动点，求 PA 在直线 l 上的投影长的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|x+a|（a N*） ，f （x）2 恒成立（1）求 a 的值；（2）若正数 x，y 满足 证明：第 6 页（共 24 页）2019 年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）集合 ，则 AB（ ）A0，2 B0，1 C （0，2 D 1，0【分析】求解不等式化简集合 A、B，然后直接利用交集运算得答案【解答】解：
11、（x+1） （x 2）0，1x 2，A1，2， 2，0x4，B0，4） ，AB0 ，2故选：A【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题2 （5 分）设 i 是虚数单位，复数 的实部与虚部的和等于（ ）A1 B0 C1 D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得 z 的实部与虚部，作和得答案【解答】解： ， 的实部与虚部分别为 与 ，和为 0故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知向量 、 的夹角为 60， （0，1） ， ，且 t + 的模为 ，则实数 t 的值为（ ）A1 B2 C1 或
12、2 D1 或2【分析】首先由已知求出| |、 | |，再由数量积的性质得关于 t 的一元二次方程，求解即可【解答】解： （0，1） ，| |1，第 7 页（共 24 页）又向量 、 的夹角为 60， ，| | 1，|t + | ，（t + ） 23，t 2+t20，t1 或 t2故选：D【点评】本题考查了数量积的定义和性质，考查了一元二次方程的解法，属基础题4 （5 分）在如图所示的算法框图中，若输入的 ，则输出结果为（ ）A B C D【分析】根据程序框图功能，先进行模拟计算，得到 x 的值具备周期性，利用周期性进行计算即可【解答】解：x ，n1，x ，n2，x ，n3， x ，
13、n4，x ，n5，故呈现出周期为 4 的特点，当 n2019 时，输出结果与 n3 相同，为 x ，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法，结合周期性的性质进行求解是解决本题的关键5 （5 分）圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A B C D【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用公式求出结果第 8 页（共 24 页）【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体可视作底面半径为 1，母线长为 4.5 的圆柱的一半因此，该几何体的侧面积也为底面半径为 1，母线长也为 4.5 的圆柱的侧面积的一半，即：
14、故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6 （5 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若a5， ，sinAtanC cosA1，则ABC 的 AC 边上的高为（ ）A3 B C4 D6【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由已知等式可求 tanC，可得sinC 的值，利用三角函数的定义可求 AC 边上的高【解答】解：由于 0，可得：sinA ，即： tanC 1，可得 tanC 0，可得：sinC ，可得：hasin C 5 4故选：C【点评】
15、本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题7 （5 分）双曲线 的离心率为 ，则两条渐近线所成的锐角的余弦值为（ ）A B C D【分析】根据题意，由双曲线的方程分析其渐近线方程为 y x，设 y x 的倾斜角为 ，由离心率公式可得 c a，进而求出 tan ，由三角函数恒等变形公式可得 cos2的值，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 的焦点在 x 轴上，其渐近线第 9 页（共 24 页）方程为 y x，设 y x 的倾斜角为 ，若双曲线的离心率 e ，则 e ，即 c a，则 b a，则有 tan ，则 cos2cos 2sin
16、2 ，故两条渐近线所成的锐角的余弦值为 ；故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意有离心率分析 a、b 的关系，属于基础题8 （5 分）设 ，则（ ）Aabc Bcba Cbac Dc ab【分析】利用换底公式可得出 ， ，容易得出0log 32log 34log 35，从而可得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ， ， ；0log 32log 34log 35； ；abc故选：A【点评】考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性9 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，目标函数 zx+y 取得的最大值为 9，则第 10 页（共 24 页）实数 a 的值为
17、（ ）A1 B1 C9 D9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，则直线 yx+z 过点 A（a，62a）时，z 取得最大值为 9，此时a+62a9，解得a1故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题10 （5 分）谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形” （即以原三角形各边的中点为顶点的三角形） ，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形” ，我们用白色代表挖
18、去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形） 在如图第 5 个大正三角形中随机取点，则落在白色区域的概率为（ ）A B C D【分析】根据几何概型的概率公式，用面积比可得【解答】解：不妨设第一个三角形的面积为 1，则第二个图中黑色部分面积为 ，第 11 页（共 24 页）第 3 个图中黑色部分面积为（ ） 2，第 4 个图中黑色部分面积为（ ） 3，第 5 个图中黑色部分面积为（ ） 4，则在第 5 个大正三角形中随机取点，落在白色区域的概率为 P1（ ） 4 故选：B【点评】本题考查了几何概型，属基础题11 （5 分）将函数 的图象上的点的横坐标缩短为原
19、来的 倍，再向右平移 个单位得到函数 g（x）2cos（2x +）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 f（x）的周期为 B函数 f（x ）的单调速增区间为C函数 g（x）的图象有一条对称轴为D函数 g（x）在区间0， 的值域为 ，2【分析】首先根据函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数 的图象上的点的横坐标缩短为原来的 倍，再向右平移 个单位得到：ysin（ 2x+ ）的图象由于 A0，0，所以：A2，1故 sin（2x ）cos（2x +） ，得到：2k ，所以：f（x） 2sin（x + ） ，第 12 页（
20、共 24 页）g（x） 故函数 f（x）的周期为 2，单调递增区间为 （k Z）且 x 不是函数 g（x ）的对称轴函数 g（x）在0 ， 的值域为 ，2故选：D【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称当 x1 时，f（x）x2 x2，则满足 f（x）6 x6 的 x 的取值范围是（ ）A （2，+） B （，0）C （0，1）（2，+ ） D （， 0）（2，+）【分析】由条件构造函数 g（x）x2 x6x+4，然后判断函数
21、 g（x）的单调性，在结合f（x）图象关于（ 1，0）对称即可得到 x 的范围【解答】解：当 x1 时，由 f（x）6x6，有 x2x6x+40，令 g（x）x2 x6x +4，则 g'（x）2 x（1+xln2）6，g''（x）（2+xln2）2 xln20，g'（x ）在1 ， + ）上单调递增，又 g'（1）2（1+ ln2）60，g'（2）4（1+2ln2）60，存在 1x 02，使得 x（1，x 0）时，g'（x）0；x （ ）时，g'（x）0，g（x）在（1，x 0）上单调递减，在（ ）上单调递增，又 g（1）g（2）
22、0，x1 ，2时，g（x）0；x （ 2，+ ）时，g（x）0，由于函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，故当 x1 时，由 f（x）6x6，可得 x（0，1） ，综上，x 的取值范围为（0，1）（2，+） 故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了数形结合思想第 13 页（共 24 页）和构造法，属中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置）13 （5 分）学校现有高一学生 1500 名，在一年时间里，学生利用课余时间参加各种社会公益活动，据统计，他们的累计时长 X（小时）近似服从正态分布 N（50， 2）
23、 ，且P（70 X30 ）0.7，则累计时长超过 30 小时的人数大约有 1275 【分析】由题意利用对称性求得 P（X30）0.85，乘以总人数得答案【解答】解：由 P（70X30）0.7，得 P（X30） （10.7）0.15，P（X30）0.85，则累计时长超过 30 小时的人数大约有 15000.851275故答案为：1275【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题14 （5 分）已知顶点为 O，圆心角为 ，半径为 2 的扇形 AOB，P 为圆弧 AB 上任意一点，PQOB 于 Q 点，则四边形 OAPQ 的面
24、积的最大值为 【分析】由题意画出图形，设POB ，0 ， ，把四边形 OAPQ 的面积用含有的三角函数表示，换元后利用二次函数求最值【解答】解：如图，设POB， 0， ，则 PQ2sin ，OQ2cos， ，故 令 tcossin，0， ，第 14 页（共 24 页）则 t0，1 ，且 ，当 t ，即 时，四边形 OAPQ 的面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查扇形内四边形面积最值的求法，考查利用换元法求三角函数的最值，是中档题15 （5 分）抛物线 y22px 的焦点为 F，点 A（1，4）及点 B，C 在抛物线上，满足，则过点 B，C 的直线方程为 4x
25、+y200 【分析】由题意求得抛物线方程，利用点差法及向量等式求得 B，C 的中点坐标及所在直线斜率，则直线方程可求【解答】解：由点 A（1，4）在抛物线上，有 p8，则抛物线方程为 y216x，设点 B，C 坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则过点 B，C 的直线的斜率为 k ，由于 ，则 ，故 BC 的中点坐标为（ ） 则 y1+y24， k 4则过点 B，C 的直线方程为 4x+y200故答案为：4x+y 200【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，是中档题16 （5 分） 九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱
26、锥”现有阳马 SABCD，SA平面ABCD， AB1，AD3， SA ，BC 上有一点 E，使截面 SDE 的周长最短，则 SE与 CD 所成角的余弦值等于 【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点 E，然后利用平移法作出异第 15 页（共 24 页）面直线所成的角，不难求解【解答】解：将平面 ABCD 沿 BC 折至 ABCD，使 SBC 与 ABCD共面，连接 SD交 BC 于 E，连接 ED，此时SDE 周长最短，作 EFCD 交 AD 于 F，则SEF（或其补角）即为所求角，在 Rt SAB 中，求得 SB2，由 得 BE2，在 RtSBE 中，求
27、得 SE ，在 RtSFE 中，cosSEF ，故 SE 与 CD 所成角的余弦值等于 故答案为： 【点评】此题考查了侧面展开找最值，异面直线所成角，线面垂直等，难度适中三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17 （12 分）已知等比数列a n，公比 q0，a n+2a n+1+2an，5 为 a1，a 3 的等差中项（1）求数列a n的通项；（2）若 ，且 a1bm+a2bm1 +a3bm2 +amb1 122m，求 m 的值【分析】 （1）利用等比数列通项公式、等差中项列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列a
28、 n的通项（2）由 n，得到第 16 页（共 24 页）Ta 1bm+a2bm1 +a3bm2 +amb12m+2 2（m1）+2 k（mk+1）+2m+11，由此利用错位相减法能求出 m 的值【解答】解：（1）等比数列a n，公比 q0，a n+2a n+1+2an，5 为 a1，a 3 的等差中项， ，解得 a12，q2， （2） n，令 Ta 1bm+a2bm1 +a3bm2 +amb1122m，则 T2m+2 2（m1）+2 k（mk +1）+2 m+11，2T2 2m+23（m1）+2 k+1（mk+1）+2 m+11，相减，得：T2m+2 2+2k+2m+2m+12 m+22m41
29、22m，解得 m2【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数值的求法，考查等比数列的性质、错位相减求和法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18 （12 分）已知多面体 ABCDEF，四边形 BCDE 为矩形，ADE 与BCF 为边长为的等边三角形，ABACCDDF EF2（1）证明：平面 ADE平面 BCF（2）求 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值【分析】 （1）取 BC，DE 的中点 O，O 1，通过证 AO，FO 1 都垂直平面 BCDE 得到AOFO 1，得到平行四边形 AOFO1，进而 AO1FO ，然后利用 DE，AO 1 都平行于平面BCF 即可得证；第 17 页（共
30、24 页）（2）以 O 为原点，以平行 AC 的直线为 x 轴建立空间坐标系，找出各点坐标，相关向量，代入公式即可得解【解答】解：（1）证明：取 BC，DE 的中点 O，O 1，连接 AO1，O 1F，FO ，OA，DEEF2，DE2 ，DFEF，FO 1DE，CDDF2，CF2 ，CDDF，又矩形 BCDE 中，CDDE，CD平面 EDF，平面 BCDE平面 EDF，FO 1平面 BCDE，同理 AO平面 BCDE，AOFO 1，又 AOFO 1 ，四边形 AOFO1 为平行四边形，AO 1FO ，又 AO1平面 BCF，FO平面 BCF，AO 1平面 BCF，DEBC，DE 平面 BCF，
31、BC 平面 BCF，DE平面 BCF，又 AO1平面 ADE，DE平面 ADE，AO 1DE O 1，平面 ADE平面 BCF；（2）以 O 为原点，以过 O 平行 AC 的直线为 x 轴，建立空间坐标系如图，则有 B（1，1，0） ，C（1， 1，0） ，D（1，1，2） ，F（1，1，2） ， ， ， ，设 为平面 BCF 的法向量，则 ，第 18 页（共 24 页），取 x1，得 ，设 BD 与平面 BCF 所成角为 ，则 sin |cos | ，故 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值为 【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面平行，面面平行，线面所成角，空间向量等，综合性强，难度适
32、中19 （12 分）某工厂生产加工某种产品，年初招收了工人 100 名，每个工人的工资由一个单位工作时间内的基本工资和计件工资组成，其中基本工资为 80 元招收的工人试用期为一个月，试用期单位工作时间内加工产品平均件数不少于 3 件的工人转正留用，其他工人解除聘用（1）根据试用期统计，单位工作时间内工人加工产品平均件数与相应人数可得到如图柱状图：求从试用期工人中随机选取 2 名工人，则 2 人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于 3 件的概率；若在试用期内，计件工资为 20 元/件，求试用期工人在一个单位工作时间的平均工资；（2）若工厂将转正留用工人进行技术培训，使转正留用工人每人在一个
33、单位时间内比试用期平均多生产一件产品，由于节约了其他成本，工厂决定将留用工人的一个单位工第 19 页（共 24 页）作时间内的工资总额在试用期的工人工资总额的基础上提高 20%、求转正留用工人的计件工资为每件多少元？（保留小数点后一位）【分析】 （1）试用期 100 名工人中，在一个单位工作时间内加工产品平均件数少于 3 件的工作共有 20 名，设“ 从试用期工人中随机选取 2 名工人，则 2 人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于 3 件”为事件 A，利用古典概型、排列组合能求出结果设一名工人单位时间的工资为 X 元，求出 X 的分布列，由此能求出试用期工人在一个单位工作时间的平均工资
34、（2）在试用期一个单位工作时间内，100 名工人的工资总额为 10015015000 元，转正留用工人为 80 名，设转正后计件工资为 x 元/ 件，总支出为 S 元，由此能求出转正留用工人的计件工资【解答】解：（1）根据条形图得：试用期 100 名工人中，在一个单位工作时间内加工产品平均件数少于 3 件的工作共有 20名，设“ 从试用期工人中随机选取 2 名工人，则 2 人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于 3 件”为事件 A，则 P（A） 设一名工人单位时间的工资为 X 元，则 X 的分布列为：X 100 120 140 160 &n
35、bsp;180P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20则试用期工人在一个单位工作时间的平均工资为：E（X）1000.05+1200.15+1400.25+1600.35+1800.20150（元） 第 20 页（共 24 页）（2）由（1）得在试用期一个单位工作时间内，100 名工人的工资总额为10015015000 元，转正留用工人为 80 名，设转正后计件工资为 x 元/件，总支出为 S 元，则 S25（80+4x）+35（80+5x）+20（80+6x）6400+395x，由 S15000（1+20%） ，解得 x2
36、9.4 元转正留用工人的计件工资为 29.4 元【点评】本题考查统计与概率的综合问题，读懂频率分布直方图是正确解题的基础，考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）已知椭圆 的左焦点为 F，左、右顶点分别为 A、B椭圆上任一点到直线 l：x m 的距离与点 F 的距离之比为 2（1）求 m（2）若斜率不为 0 且过 F 的直线与椭圆交于 C，D 两点，过 B，C 的直线与 l 交于点M，证明：M ，A ，D 三点共线【分析】 （1）设椭圆上任意一点为 P（x 0，y 0） ，则 2，而 +1，整理得|x 0m| x0+4|对任意2x 02
37、 恒成立，可得 m4；（2）联立直线 CD 与椭圆，根据韦达定理以及向量平行的条件可得两个向量平行，从而可得【解答】解（1）椭圆左焦点 F 的坐标为（1，0） ，A，B 坐标分别为（2，0） ，（2，0） ，设椭圆上任意一点为 P（x 0，y 0） ，则 2，而 + 1，整理得|x0 m|x 0+4|对任意2x 02 恒成立，m4（2）设 C，D 两点的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，过 F 的直线为 xny1，由第 21 页（共 24 页）消去 x 得：（3n 2+4）y 26ny 90，则 y1+y2 ，y 1y2 ，直线 BC 的方程为 y （x2） ，其与 l
38、的交点 M 的坐标为（4， ） ，故 （2， ， （x 2+2，y 2） ，由于 x1ny 11，x 2ny 21，则 （2， ） ， （ny 2+1，y 2） ，由于2y 2+ （ny 2+1） 0，故 ，即得 M，A，D 三点共线【点评】本题考查了椭圆的性质，属中档题21 （12 分）已知函数（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点，求 a 的取值范围【分析】 （1）对 f（x ）求导，然后对 a 分类讨论即可求出 f（x）的单调区间；（2）根据 f（x ）的单调性，由 a 的不同取值范围，分别考虑 f（x）的零点存在情况即可【解答】解：（1）f'（x
39、 ）（2ax+1）lnx+ax+ （2ax+1） （lnx+ ） ，当 a 0 时， 2ax+10，则当 x（0， ）时，f '（x）0；当 x（ ）时，f'（x）0，f（x）在（0 ， ）上单调递减，在（ ，+ ）上单调递增；当 a ，则当 x（0 ， ）（ ，+ ）时， f'（x）0当 x（ ）时，f'（x）0，f（x）在（ ）上单调递增，在（0， ）（ ，+ ）上单调递减；第 22 页（共 24 页）当 a ，则当 x（0， + ）时，f '（x） 0，故 f（x）在（0，+ ）上单调递减；当 ，则当 x（0， ）（ ，+ ）时，f'（x）
40、0，当 x（ ， ）时，f '（x）0，f（x）在（ ， ）上单调递增，在（0， ）和（ ，+ ）上单调递减；（2）当 a0 时，f（x ） ，对 x（0，1） ， f（x ）0，对 x1，+ ） ，f（x）单调递增，且 f（1） 0，f（e） ，f（x）有且只有一个零点，若 a ，由（1） ，要 f（ x）有两个零点，必须 ，解得 a ，而 f（1） ，由 0x 时， ，故 f（x）0， a ，若 a ，f（x ）在（0，+ ）上单调递减，不可能有零点，若 ，由（1） ，对 x（0，1） ，f（x）0，f （ ） 0，只需 f（ ）0，即 ，解得 ，综上，a 的取值范围为（ ）（ ，
41、0） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点存在定理，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修 4 一 4：坐标系与参数方程 第 23 页（共 24 页）22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数） ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 2cos （1）写出直线的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；（2）若点 A 的直角坐标为（0，2） ，P 为圆 C 上动点，求 PA 在直线 l 上的投影长的最小值【分析】 （1）消去
42、参数 t 得直线 l 的普通方程；根据互化公式可得圆 C 的直角坐标方程；（2）转化为向量在向量上的投影的绝对值【解答】解：（1）消去参数 t 得直线 l 的普通方程为：x+y10；由 2 cos得圆 C 的直角坐标方程为（x+1） 2+y21；（2）设 P（点的坐标为（1+cos，sin ） ，则 （1cos，2sin） ，取直线 l 的一个方向向量 （ 1，1） ，设 在直线 l 上的投影长为 L，则 L | （3+ sin（ ） 1，当 2k ，kZ 时取等号故 PA 在直线 l 上的投影长的最小值为 1【点评】本题考查了参数方程化普通方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|x+a|（a N*） ，f （x）2 恒成立（1）求 a 的值；（2）若正数 x，y 满足 证明：【分析】 （1）由 f（x ）|x 1|x+a| x1xa| a+1|，结合已知可求 a，（2）由（1）知 1，从而有 2x+yxy，然后利用基本不等式可证【解答】解：（1）由 f（x ）|x1| |x+a| x1xa| |a+1| ，又 f（x）2 恒成立，|a +1|2，3a1，第 24 页（共 24 页）aN *，a1；（2）由（1）知 1，2x+yxy， 【点评】本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础
