1、2019年安徽省淮北市、宿州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）设全集为实数集 R，集合 A x|x24，Bx|3 x1，则 A（ RB）（ ）A x| 2x0 Bx|2x0 C x|x1 D x|x03 （5 分）已知数列a n为等比数列，则“a 1a 2a 3”是 “数列a n单调递增”的（ ）A充分条件 B必要条件
2、C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标下图为国家统计局发布的 2018 年 2 月2019 年 2 月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比；环比表示连续 2 个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率（本期数上期数）/上期数100%） 下列说法错误的是（ ）A2019 年 2 月份居民消费价格同比上涨 1.5%B2019 年 2 月份居民消费价格环比上涨 1.0%C2018 年 6 月份居民消费价格
3、环比下降 0.1%第 2 页（共 26 页）D2018 年 11 月份居民消费价格同比下降 0.3%5 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为 ，且离心率为 3，则该双曲线实轴的长为（ ）A1 B C2 D6 （5 分）若实数 x，y 满足 x+2y3x，则 x+y 的最小值是（ ）A2 B3 C4 D57 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为（ ）A B C18 D368 （5 分）已知 f（x ）x2 |x|， ， ，cf（ln3） ，则a，b，c 的大小关系为（ &
4、nbsp; ）Acba Bbca Cabc Dc ab9 （5 分）函数 的图象向右平移 个单位，若所得图象对应的函数在 a，a 是递增的，则 a 的最大值是（ ）A B C D10 （5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段 AB2QUOTEAB2，过点 B作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 ，连接 AC；以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点，则点 E 即为线段AB 的黄金分割点如图所示，在 RtABC 中，扇形区域 记为，
5、扇形区域 记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记第 3 页（共 26 页）为 P1，P 2，P 3， （参考数据： ）则（ ）AP 1P 2 BP 1P 2 CP 1P 2+P3 DP 2P 1+P311 （5 分）设函数 （其中 e 为自然对数的底数） ，函数 g（x）f 2（x ）（ 2m1）f（x ）+2，若函数 g（x）恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）Am2 Bm2C D12 （5 分）已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为 ，球的半径为 ，则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A4 B C
6、 D12二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 ，则 14 （5 分）在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 x 项的系数等于 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 满足 ，则 cosA 的最小值为 16 （5 分）如图，抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，点 M 与 F 关于坐标原点 O 对称，过 F的直线与抛物线交于 A，B 两点，使得 ABBM ，又 A 点在 x 轴上的投影为 C，则|AF|+|AC|BF| |BC|
7、 第 4 页（共 26 页）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 22、23 题为选考题17 （12 分）已知数列a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，a 11，a nan+12S n+1（）求数列a n的项 a2n1 ；（）求数列a n的前 2n 项和 S2n18 （12 分）如图，边长为 2 的菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将DAE，DCF 分别沿 DE， DF 折起，使 A，C 重合于点 P（）已知 G 为线段 PD 上的一点，满足 ，求证： PB平面 EFG（）若平面 PEF平面 DEF，求直线 PD 与平面 P
8、BF 所成角的正弦值19 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所示：组别 30，40 ） 40，50 ） 50，60 ） 60，70 ） 70，80 ） 80，90 ） 90，100频数 4 13 21 25 24 11 4（）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 N（，198） ， 近似为这100 人得分的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 P（37.579.5） ；（）在（）
9、的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：第 5 页（共 26 页）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元） 20 50概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据：352+4513+5521+6525+7524+8511+9546550； ；若 XN（， 2） ，则 P（X +）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X +3）0.9974，20 （12 分）已知椭圆 ，右焦点 F 的坐标为（2，0）
10、 ，且点在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程及离心率；（）过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点（直线不与 x 轴垂直） ，已知点 A 与点 P 关于x 轴对称，证明：直线 PB 恒过定点，并求出此定点坐标21 （12 分）已知函数 f（x ）ln 2x+a（x 1） 2+b，其中 0a1，b R，函数，其中 e 为自然对数的底数（）判断函数 f（x ）的单调性；（）设 x1，x 2 是函数 f（x）的两个零点，求证：x 1+x22；（）当 ，b1 时，试比较 f（x ）与 g（x）的大小并证明你的结论选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分选
11、修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos +2sin，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 P，（）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；第 6 页（共 26 页）（）求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数（）若 f（3）10，求实数 a 的值；（）若函数 f（x ）在区间1，9上的最大值是 10，求实数 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2019 年安徽省淮北市、宿州市高考数学二模试
12、卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】求出复数 的代数形式，得到其共轭复数的代数形式，再根据其实部和虚部的情况作出判断【解答】解：设 z ，其共轭复数为 ，对应的点位于第四象限故选：D【点评】本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，看清题目是解对本题的关键不同属基础题2 （5 分）设全集为实数集 R，集合 A x|x24，Bx|3 x
13、1，则 A（ RB）（ ）A x| 2x0 Bx|2x0 C x|x1 D x|x0【分析】化简集合 A、B，根据补集与交集的定义计算即可【解答】解：Ax| x24x|2x2，Bx|3 x1x |x0 ，则 RBx| x0，则 A（ RB）x |2x 0，故选：B【点评】本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题3 （5 分）已知数列a n为等比数列，则“a 1a 2a 3”是 “数列a n单调递增”的（ ）A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由等比数列的单调性及充分必要条件得：当 a1a 2a 3 得：第 8 页（共 26 页），所以 或
14、 ，所以 an+1a na 1qn1 （q1）0，即数列a n单调递增，当数列a n单调递增时，易得 a1a 2a 3，即“a 1a 2 a3”是“数列a n单调递增”的充要条件，得解【解答】解：因为数列a n为等比数列，当 a1a 2a 3 得： ，所以 或 ，所以an+1a na 1qn1 （q1）0，即数列 an单调递增，当数列a n单调递增时，易得 a1a 2a 3，即“a 1a 2a 3”是“数列a n单调递增”的充要条件，故选：C【点评】本题考查了等比数列的单调性及充分必要条件，属中档题4 （5 分）CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目
15、价格水平变动情况的宏观经济指标下图为国家统计局发布的 2018 年 2 月2019 年 2 月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比；环比表示连续 2 个单位周期（比如连续两月）内的量的变化比，环比增长率（本期数上期数）/上期数100%） 下列说法错误的是（ ）A2019 年 2 月份居民消费价格同比上涨 1.5%第 9 页（共 26 页）B2019 年 2 月份居民消费价格环比上涨 1.0%C2018 年 6 月份居民消费价格环比下降 0.1%D2018 年 11 月份居民消费价格同比下降 0.3%【分析】根据题意并观察图象上的
16、数据即可判断出 A，B，C 都正确，只能选 D【解答】解：通过图象上的数据即可知，选项 A，B，C 的说法都正确；通过图象知，2018 年 11 月份居民消费价格同比上涨 2.2%；D 错误故选：D【点评】考查对同比增长率和环比增长率的概念的理解，以及读图的能力5 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）的焦点到其渐近线的距离为 ，且离心率为 3，则该双曲线实轴的长为（ ）A1 B C2 D【分析】根据题意，由双曲线的几何性质分析可得 b 的值，又由双曲线的离心率分析可得 c2a，联立两式分析可得 a 的值，由双曲线的长轴长 2a 计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 （a0，b0
17、）的焦点到渐近线的距离为，则 b ，又由双曲线的离心率 3，即 e 3，即 c3a，则有 b 2 a，解可得 a1，则双曲线的实轴 2a2；故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离就是 b 的值6 （5 分）若实数 x，y 满足 x+2y3x，则 x+y 的最小值是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+y 过点 A 时，z 取最小值即可第 10 页（共 26 页）【解答】解：实数 x，y 满足 x+2y3x 表示的平面区域如图所示，A（1，3） ，直线 zx+y 过可行域内 A（1，3）
18、的时候 z 最小，最小值为 4，故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为（ ）A B C18 D36【分析】直接利用三视图和几何体之间的转换求出外接球的半径，进一步利用球的体积公式的应用求出结果【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：第 11 页（共 26 页）根据几何体的特征，得到该几何体的外接球的球心为垂直于平面
19、 ACD 和垂直于平面ABC 的斜边 CD 和 AB 的交点 O，故：r ，所以：V 故选：A故选：A【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8 （5 分）已知 f（x ）x2 |x|， ， ，cf（ln3） ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Acba Bbca Cabc Dc ab【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得当 x0，f（x）x（ ） x0，据此可得 b0，当 x0 时，f（x）x2 x，求出其导数，分析可得 f（x）在0，+）上为增函数，由此分析可得 0ac，综合可得答案【解答】解
20、：根据题意，f（ x）x2 |x| ，当 x0 时，f（ x）x（ ） x0，又由 log3 log 320，则 b0，当 x0 时，f（ x）x2 x，其导数 f（x ）2 x+x2xln20，则 f（x）在0，+）上为增函数，其 f（0）0，则当 x0 时，f（x）0；又由 0log 3 1ln3，则 0ac，综合可得：cab；故选：D【点评】本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题9 （5 分）函数 的图象向右平移 个单位，若所得图象对应的函数在 a，a 是递增的，则 a 的最大值是（ ）第 12 页（共 26 页）A B C D【分析】首先把函数
21、的关系式便形成余弦形函数，进一步利用函数图象的平移变换和伸缩变换的应用再利用余弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解： ， ，把函数的图象向右平移 个单位，得到：g（x） ，令： （kZ） ，解得： （kZ） ，所得图象对应的函数在a， a是递增的，所以：a0，整理得： ，当 k0 时， 故选：A【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型10 （5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段 AB2QUOTEAB2，过点 B
22、作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 ，连接 AC；以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB 于点，则点 E 即为线段AB 的黄金分割点如图所示，在 RtABC 中，扇形区域 记为，扇形区域 记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 P1， P2，P 3， （参考数据： ）则（ ）第 13 页（共 26 页）AP 1P 2 BP 1P 2 CP 1P 2+P3 DP 2P 1+P3【分析】根据几何概型可知，P 1，P 2，P 3 的大小关系就是区域，的面积的大小关系【解答】解：根据几何概型可知，
23、P 1，P 2，P 3 的大小关系就是区域，的面积的大小关系，AB2，BC 1，AC ，CD1，AD 1，设A，则C ，tan ， S1 AD2 （ 1） 2，S 2 BC2（ ） （ ） ，S1S 2 1.2362 + 1.2362 + 0，S 1S 2，P 1P 2故选：B【点评】本题考查了几何概型，属中档题11 （5 分）设函数 （其中 e 为自然对数的底数） ，函数 g（x）f 2（x ）（ 2m1）f（x ）+2，若函数 g（x）恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）Am2 Bm2C D【分析】求函数 f（x ） ，研究函数的单调性和极值，作出函数 f（x）的图
24、象，设tf（x） ，若函数 g（x ）恰有 4 个零点，则等价为函数 h（t ）t 2（2m1）t+2 有两个零点，满足 t1 或 0t1，利用一元二次函数根的分布进行求解即可【解答】解：当 x0 时，f（x） ，由 f（x）0 得 1lnx 0 得 lnx1，得 0xe ，第 14 页（共 26 页）由 f（x） 0 得 1lnx 0 得 lnx1，得 xe ，即当 xe 时，函数 f（x）取得极大值，同时也是最大值，f（e）1，当 x+，f（x）0，当 x0，f（x），作出函数 f（x ）的图象如图，设 tf（x） ，由图象知当 t1 或 t0，方程 tf （x）有一个根，当 t0 或 t
25、1 时，方程 tf（x）有 2 个根，当 0t1 时，方程 tf（x ）有 3 个根，则 g（x）f 2（ x）（2m1）f （x）+2，等价为 h（t ）t 2（2m 1）t +2，当 t0 时，h（0）20，若函数 g（x）恰有 4 个零点，则等价为函数 h（t）t 2（2m 1）t +2 有两个零点，满足 t1 或 0t1，则 即 h（1）12m +1+242m0 得 m2，即实数 m 的取值范围是 m2，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求的导数，研究函数的 f（x ）的单调性和极值是解决本题的关键12 （5 分）已知正四面体的中心
26、与球心 O 重合，正四面体的棱长为 ，球的半径为 ，则正四面体表面与球面的交线的总长度为（ ）A4 B C D12【分析】求出正四面体内切球半径为 1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为 2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为 30，由此能求出正第 15 页（共 26 页）四面体表面与球面的交线的总长度【解答】解：正四面体 ABCD 的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为 ，取 CD 中点 E，连结 BE，AE，过 A 作 AF底面 BCD，交 BE 于 F，则 BEAE 3 ，BF 2 ，DF ，AF 4，设正四面体内切球半径为 r，则（4r） 2（2
27、 ） 2+r2，解得正四面体内切球半径为 r1，球的半径为 ，由球的半径知球被平面截得小圆半径为 r1 2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为 30，正四面体表面与球面的交线的总长度为：4（3 22）4 故选：A【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 ，则 【分析】根据条件即可求出 ，从而得出 ，进而可求出 ，从而得出 【解答】解： ； ；第 16 页
28、（共 26 页） ； ； 故答案为： 【点评】考查向量的数量积的运算，向量数量积的坐标运算，向量长度的求法14 （5 分）在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 x 项的系数等于 112 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得 n8，可得 的二项展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 1，求得 r 的值，可得含 x 项的系数【解答】解：由于所有项的二项式系数之和为 2n256，n8，故 的二项展开式的通项公式为 Tr+1 （2） r ，令 4 1，求得 r2，可得含 x 项的系数等于 4 112，故答案为：112【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项
29、式展开式的通项公式，属于基础题15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 满足 ，则 cosA 的最小值为 【分析】直接利用三角函数关系式的变换，进一步利用正弦定理和基本不等式的应用求出结果【解答】解：由于： ，整理得： ，即：2sinAcosBcos CsinBcosBcosC+sin CcosBcosC故：2sinAsinB+sinC，利用正弦定理得：2ab+c，第 17 页（共 26 页）所以：cosA ， ， ，故最小值为 故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运
30、算能力和转换能力，属于基础题型16 （5 分）如图，抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，点 M 与 F 关于坐标原点 O 对称，过 F的直线与抛物线交于 A，B 两点，使得 ABBM ，又 A 点在 x 轴上的投影为 C，则|AF|+|AC|BF| |BC| 4 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 过焦点得x1x21，结合 ABBM，转化求解|AF| |BF| ，通过四点共圆，转化求解即可【解答】解：抛物线 E：y 24x 的焦点为 F（1，0） ，点 M 与 F 关于坐标原点 O 对称，过 F 的直线 y k（x1）与抛物线交于
31、 A，B 两点，可得 k2x2（k 2+4）x+k 20，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 过焦点得 x1x21，又 ABBM得 B 在以 MF 为直径的圆上，故 ，而 ，得 ，又又ABM ACM，所以 AMBC 四点共圆，进而得 ACBC第 18 页（共 26 页）故|AF|+|AC| BF|BC|4故答案为：4【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，四点共圆等知识的应用，本题也可由 B 点垂直关系及 B 在抛物线上解得 ，并可计算求得结果为 4三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 22、23 题为选考题17 （12 分）已知数列
32、a n的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，a 11，a nan+12S n+1（）求数列a n的项 a2n1 ；（）求数列a n的前 2n 项和 S2n【分析】 （）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式（）利用（）的结论，进一步利用分组法的应用求出结果【解答】解：（1）由 anan+12S n+1 得，a n+1an+22S n+1+1，两式相减得 an+1（a n+2a n）2a n+1，因为数列a n为正项数列，所以 an+2a n2，又 a11，故数列a 2n1 是以 a11 为首项，公差为 2 的等差数列，所以 a2n1 1+（n1）22n1（2）由（1）知，a n+2a n2
33、，由 a11 及 anan+12S n+1 得 a23故数列a 2n是以 a23 为首项，公差为 2 的等差数列，所以 a2n3+（n1）22n+1所以 S2na 1+a2+a3+a2n1 +a2n 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18 （12 分）如图，边长为 2 的菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将第 19 页（共 26 页）DAE，DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 重合于点 P（）已知 G 为线段 PD 上的一点，满足 ，求证： PB平面 EFG（）若平面
34、PEF平面 DEF，求直线 PD 与平面 PBF 所成角的正弦值【分析】 （1）证明连接 AC， BD，EF，记 ACBD M，EF BDO，连接 OG，证明PBGO，然后证明 PB平面 EFG（2）连接 PO，说明 OF，OD，OP 两两垂直，以 OF，OD，OP 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 PBF 的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线 PD 与平面 PBF 所成的角的正弦函数值【解答】 （1）证明：在菱形 ABCD 中，连接 AC，BD ，EF，记ACBDM ， EFBDO，则 ，对折后，连接 OG，在PBD 中， ，2PBGO，3又 PB
35、平面 EFG，OG平面 EFG，4PB平面 EFG5（2）解：连接 PO，由 PEPF，得 POEF，PEF平面 DEF，平面 PEF平面DEFEF，PO平面 PEF，PO平面 DEF又 BDEF，OF，OD，OP 两两垂直，以 OF，OD，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系6则 PEEBBFPF 1，BEFPEF ，所以 BOPO，设 BOPOa，则在 RtPOD 中，由 PO2+OD2PD 2 得，第 20 页（共 26 页），8在 Rt BOF 中，由勾股定理得，9则 ， ， ， ， ，设平面 PBF 的一个法向量为 ，则 ， ，取 ，11记直线 PD 与平
36、面 PBF 所成的角为 则 12【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力19 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结果如表所示：组别 30，40 ） 40，50 ） 50，60 ） 60，70 ） 70，80 ） 80，90 ） 90，100频数 4 13 21 25 24 11 4（）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 N（，198） ， 近似为这100 人得分
37、的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 P（37.579.5） ；第 21 页（共 26 页）（）在（）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元） 20 50概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据：352+4513+5521+6525+7524+8511+9546550； ；若 XN（， 2） ，则 P（X +）0.6826，P（
38、2X+2）0.9544，P（3X +3）0.9974，【分析】 （）利用频率分布表求解平均数即可利用正态分布的性质通过P（37.579.5）P（ 2 +）求解即可（）由题意知， ，获赠话费 X 的可能取值为20，40，50，70，100，求出概率得到 X 的分布列，然后求解期望即可【解答】解：（）由题意得，2P（37.579.5）P（2 +） 5（）由题意知， ，获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100， ， ， ，则 X 的分布列为：第 22 页（共 26 页）X 20 40 50 70 100P1012【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，正态分布的性质的
39、应用，考查计算能力20 （12 分）已知椭圆 ，右焦点 F 的坐标为（2，0） ，且点在椭圆 C 上（）求椭圆 C 的方程及离心率；（）过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点（直线不与 x 轴垂直） ，已知点 A 与点 P 关于x 轴对称，证明：直线 PB 恒过定点，并求出此定点坐标【分析】 （）利用已知条件列出方程组求出 a，b 即可得到椭圆方程（）设 P（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 A（x 1，y 1） ，设 PB 的直线方程为 ykx +m，联立方程 ，整理得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m280，利用韦达定理通过kAF kFB 推出 m4k ，利用直线系求解直
40、线 PB 恒过定点（4，0） 【解答】解：（）由已知得 ，2解得 ，3椭圆 C 的标准方程 ，4椭圆 C 的离心率 5（）设 P（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 A（x 1，y 1） ，可设 PB 的直线方程为 ykx+m第 23 页（共 26 页）联立方程 ，整理得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m280， 7，k AFk FB， 8整理得，2kx 1x2+（mk ） （x 1+x2）4m 0，9 ，解得 m4k 11PB 的直线方程为：y kx 4kk（x4） ，直线 PB 恒过定点（4，0） 12【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆是简单性质的应用，考
41、查计算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）ln 2x+a（x 1） 2+b，其中 0a1，b R，函数，其中 e 为自然对数的底数（）判断函数 f（x ）的单调性；（）设 x1，x 2 是函数 f（x）的两个零点，求证：x 1+x22；（）当 ，b1 时，试比较 f（x ）与 g（x）的大小并证明你的结论【分析】 （ I）f'（x ） ，x 0，0a1利用导数研究其单调性即可得出（ II）不妨设 x1x 2，由题意及（ I）可知，x 1（0，1） ，x 2（1，+） f（x）minf（1）b0令 F（x）f（x ）f（2x） ，x （0，1） 利用导数研究其单调性即可得出（ II
42、I）当 ，b1 时， f（x）ln 2x+ （x1） 2+1，f（x）在（0，1）上递减，f（x）在（1， +）上递增根据单调性可得 f（x） minf （1）1函数 ，g（x） 利用导数研究其单调性可得 g（x） maxg（1）1即可得出结论第 24 页（共 26 页）【解答】解：（ I）f'（x） ，x0，0a1当 x（0，1）时，2a（x 1）x0，2lnx0，f '（x）0，f（x）在（0，1）上递减；当 x（1，+ ）时，2a（x1）x 0，2lnx0，f'（x）0，f （x ）在（1，+）上递增综上可知，函数 f（x ）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增
43、（ II）证明：不妨设 x1x 2，由题意及（ I）可知，x 1（0，1） ，x 2（1，+） 且 f（x） min f（1）b0令 F（x ）f（x）f（2x） ，x（0，1） 则 F（x ） ）f（x）f（2x）ln 2x+a（x 1） 2+bln 2（2x）+a（2x1） 2+bln 2xln 2（2x ） lnx+ln（2x ）lnx ln（2x）ln （x 2+2x）ln ln（x 1） 2+1ln 0即 f（x）f（2x ） ，x （0，1） f（x 2）f（x 1）f（2x 1） ，0x 11，2x 11，x 21由（ I）知 f（x ）在（1，+ ）上递增，x 22x 1，x
44、1+x22（ III）当 ，b1 时， f（x）ln 2x+ （x1） 2+1，f（x）在（0，1）上递减，f（x）在（1， +）上递增f（x） minf（1）1函数 ，g（x） 令 g（x）0，得 x1，函数 g（x）在区间（0，1）单调递增，在区间（1，+）单调递减g（x）maxg（1）1综上所述，f（x ）g（x） ，当且仅当 x1 时等号成立【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等第 25 页（共 26 页）价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分
45、选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos +2sin，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 P，（）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）求 的值【分析】 （）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换（）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，消去参数 t 后，直线 l 的普通方程为： xy+10曲线 C 的极坐标方程为 2cos+2sin ，转换为直角坐标方程为：x 2+y22x +2y整理得，曲线 C 的普通方程为（x 1） 2+（y 1） 22（）设 A，B 两点对应的参数分别为 t1 和 t2，将直线 l 方程 代入曲线 C 的（x1） 2+（y1） 22
