1、2019 年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知集合 Ax| x2x 20 ，Bx|0x 3，则 AB 等于（ ）A （1，3） B （0，3） C （1，3） D （2，3）2 （3 分）已知 a，bR，复数 zabi ，则| z|2（ ）Aa 2+b22abi Ba 2b 22abi Ca 2b 2 Da 2+b23 （3 分）已知函数 f（x ）ax 2+x+a，命题 p： x0R，f（x 0）0，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （ ）C （ ）
2、，+ ） D （ ）4 （3 分）已知抛物线 y28x 的焦点为 F，点 P 在该抛物线上，且 P 在 y 轴上的投影为点E，则|PF |PE|的值为（ ）A1 B2 C3 D45 （3 分）一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积是（ ）A2 B21 C22 D246 （3 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| | ）的部分图象如图所示，若将 f（x ）图象上的所有点向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递增区间是（ ）第 2 页（共 24 页）Ak ，k （k Z） B
3、k ，k （kZ）Ck ，k （kZ） Dk ，k （kZ ）7 （3 分）已知 logx33，log y76，z7 ，则实数 x，y，z 的大小关系是（ ）Axzy Bz xy Cxyz Dzy x8 （3 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮
4、马”的最短总路程为（ ）A 1 B2 C2 D9 （3 分）已知ABC 中，AB2，B ，C ，点 P 是边 BC 的中点，则 等于（ ）A1 B2 C3 D410 （3 分）已知双曲线 E： 1（a0，b0）的焦距为 2c，圆 C1：（xc）2+y2r 2（r0）与圆 C2： x2+（y m） 24r 2（mR）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（ ）A B C D11 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR 都有 f（x）+f（x）2cosx，f'（x）+sinx 0，若角 满足不等式 f（
5、+）+f （）0，则 的取值范围是（ ）第 3 页（共 24 页）A （， B （， C ， D0 ， 12 （3 分）平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 的底面是边长为 4 的菱形，且BAD60，点A1 在底面的投影 O 是 AC 的中点，且 A1O4，点 C 关于平面 C1BD 的对称点为 P，则三棱锥 PABD 的体积是（ ）A4 B3 C4 D8二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）已知（x 22） 6a 0+a1x+a2x2+a12x12，则 a3+a4 等于 14 （3 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y
6、的最小值是 15 （3 分）已知 sin（ ）cos（ + ） ，则 sin 16 （3 分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行江先生从家到公交站或地铁站都要步行 5 分钟公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（33，4 2） ，下车后从公交站步行到单位要 12 分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（44，2 2） ，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟下列说法： 若 8：00 出门，则乘坐公交不会迟到；若 8：02 出门，则乘
7、坐地铁上班不迟到的可能性更大；若8：06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是 参考数据：若 ZN （ ， 2） ，则 P（Z +）0.6826，P（2Z +2）0.9544，P（3Z+3）0.9974三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列a n是公差不为零的等差数列，a 11，且存在实数 满足2an+1 an+4，nN +（1）求 的值及通项 an；第 4 页（共 24 页）（2）求数列a 的前 n 项和 Sn18如图，矩形 ABCD 中，AB
8、3，BC1，E、F 是边 DC 的三等分点现将DAE、CBF 分别沿 AE、BF 折起，使得平面 DAE、平面 CBF 均与平面 ABFE 垂直（1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG1，求证：DG平面 CBF；（2）求二面角 ACFB 的正弦值19已知椭圆 C： + 1（ab0） ，点 M 在 C 的长轴上运动，过点 M 且斜率大于0 的直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，与 y 轴交于 N 点当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为时，N，P 重合，|PM |2（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 N，P，Q，M 均不重合时，记 ， ，若 1，求证：直线 l的斜率为定值20某品牌餐饮
9、公司准备在 10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为 1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额 y（万元）的数据如下：加盟店个数 x（个） 1 2 3 4 5单店日平均营业额 y（万元） 10.9 10.2 9 7.8 7.1（1）求单店日平均营业额 y（万元）与所在地区加盟店个数 x（个）的线性回归方程；（2）该公司根据回归方程，决定在其他 5 个地区中，开设加盟店个数为 5，6，7 的地区数分别是 2，1，2小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能分别从这 5 个地区的 30 个加盟店中随机抽
10、取一个加入记事件 A：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事件 B：小赵与小王抽取到的加盟店预计日平均营业额之和不低于 12 万元，求在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率第 5 页（共 24 页）（参考数据及公式： ， ，线性回归方程 bx+a，其中 ， ）21已知函数 f（x ）xe xa（lnx+x） ，g（x）（m +1）x （a，m R 且为常数，e 为自然对数的底）（1）讨论函数 f（x ）的极值点个数；（2）当 a1 时，f（x ）g（x）对任意的 x（0，+）恒成立，求实数 m 的取值范围22已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以
11、坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为22cos 20，点 P 的极坐标是（ ， ） （1）求直线 l 的极坐标方程及点 P 到直线 l 的距离；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求PMN 的面积23已知 a，b 为正实数，函数 f（x ）|xa| |x+2b|（1）求函数 f（x ）的最大值；（2）若函数 f（x ）的最大值为 1，求 a2+4b2 的最小值第 6 页（共 24 页）2019 年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知集合 Ax|
12、 x2x 20 ，Bx|0x 3，则 AB 等于（ ）A （1，3） B （0，3） C （1，3） D （2，3）【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，或 x2 ；AB（2，3） 故选：D【点评】考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2 （3 分）已知 a，bR，复数 zabi ，则| z|2（ ）Aa 2+b22abi Ba 2b 22abi Ca 2b 2 Da 2+b2【分析】根据复数 zabi，先求出 |z|，然后再求出|z| 2【解答】解：因为复数 zabi ，所以|z| ，故|z| 2a 2+b2，故
13、选：D【点评】本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对|z |2 的正确理解本题属于基础题3 （3 分）已知函数 f（x ）ax 2+x+a，命题 p： x0R，f（x 0）0，若 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）A B （ ）C （ ） ，+ ） D （ ）【分析】直接利用命题 p 为假命题，即不存在 x0R，使 f（x 0）0，根据这个条件得出实数 a 的取值范围【解答】解：因为 p 为假命题，所以p 为真命题，即不存在 x0R，使 f（x 0）0，第 7 页（共 24 页）故14a 20，解得： ，故选：C【点评】本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假
14、命题转化为真命题，从而来解决问题4 （3 分）已知抛物线 y28x 的焦点为 F，点 P 在该抛物线上，且 P 在 y 轴上的投影为点E，则|PF |PE|的值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】P 在 y 轴上的投影为点 E，由抛物线的定义可得，|PE| PF|2，故可得结果【解答】解：因为抛物线 y28x，所以抛物线的准线方程为 x2，因为 P 在 y 轴上的投影为点 E，所以|PE|即为点 P 到 x2 的距离减去 2，因为点 P 在该抛物线上，故点 P 到 x 2 的距离等于| PF|，所以，|PE| PF|2，故|PF| |PE| 2，故选：B【点评】本题考查了抛物线的
15、定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE| 进行转化5 （3 分）一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积是（ ）第 8 页（共 24 页）A2 B21 C22 D24【分析】几何体为圆柱挖去一个三棱柱，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱中去掉一个三棱柱，圆柱的底面半径为 1，高为 2，三棱柱的底面为等腰直角三角形，斜边长为 2，三棱柱的高为 2，故几何体的体积为 122 2 2故选：C【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算，属于中档题6 （3 分）已知函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0，| | ）的
16、部分图象如图所示，若将 f（x ）图象上的所有点向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调递增区间是（ ）Ak ，k （k Z） B k ，k （kZ）Ck ，k （kZ） Dk ，k （kZ ）【分析】根据三角函数的图象得出函数 f（x ）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数 g（x）的单调区间【解答】解：由图可得故 ，解得 2，将点 代入函数 f（x）Asin（2x+ ） ，即 ，第 9 页（共 24 页）因为| ，所以 ，故函数 f（x）Asin （2x+ ） ，因为将 f（x）图象上的所有点向左平移 个单位得到函数 g（x）的图
17、象所以 ，当 （kZ）时解得： （kZ） ，故当 x （k Z）时，g（x）单调递增，故选：A【点评】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，熟练运用图象平移的规则等7 （3 分）已知 logx33，log y76，z7 ，则实数 x，y，z 的大小关系是（ ）Axzy Bz xy Cxyz Dzy x【分析】根据条件可得出 x33，y 67，从而得出 ，这样即可得出 z6y 6x 6，且 x，y，z 都是正数，这样便可得出 x，y，z 的大小关系【解答】解：log x33，log y76；x 33，y
18、 67；x 69，且 ；z 6y 6x 6；zy x故选：D【点评】考查对数的定义，对数式和指数式的互化，指数幂的运算，指数函数的单调性，幂函数的单调性8 （3 分）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面第 10 页（共 24 页）直角坐标系中，设军营所在区域为 x2+y21，若将军从点 A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为 x+y3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（
19、;）A 1 B2 C2 D【分析】先求出点 A 关于直线 x+y3 的对称点 A'，点 A'到圆心的距离减去半径即为最短【解答】解：设点 A 关于直线 x+y3 的对称点 A'（a，b） ，AA'的中点为（ ， ） ，故 解得 ，要使从点 A 到军营总路程最短，即为点 A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为 ，故选：A【点评】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题9 （3 分）已知ABC 中，AB2，B ，C ，点 P 是边 BC 的中点，则 等
20、于（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用三角形的边表示向量 ，然后利用向量的数量积求解即可【解答】解：ABC 中，AB2，B ，C ，点 P 是边 BC 的中点，可得 AC2 ，则 （ ） 2故选：B【点评】本题考查三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力第 11 页（共 24 页）10 （3 分）已知双曲线 E： 1（a0，b0）的焦距为 2c，圆 C1：（xc）2+y2r 2（r0）与圆 C2： x2+（y m） 24r 2（mR）外切，且 E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则 E 的离心率为（ ）A B C D【分析】根据三角形相似和距离公式得出 a，b，
21、c 与 r 的关系即可得出离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，故 C1（c，0）到渐近线的距离为r，即 br，设圆 C1 与圆 C2 的切点为 M，则 OMC 1C2，故 RtOMC 1RtC 2OC1，于是 ，即 ，故 c r，a r，双曲线的离心率 e 故选：C【点评】本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题11 （3 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR 都有 f（x）+f（x）2cosx，f'（x）+sinx 0，若角 满足不等式 f（+）+f （）0，则 的取值范围是（ ）A （， B （， C ， D
22、0 ， 【分析】构造函数 g（x）f （x）cosx，x R角 满足不等式 f（+ ）+f（）第 12 页（共 24 页）0，即 f（+ ）cos （ +）f （）cos，即 g（+ ）g（）g（） ，利用已知可得其奇偶性与单调性，即可得出【解答】解：构造函数 g（x）f （x）cosx，x R由 f（x）+f（x ）2cosx，化为：f （x）cos x f（ x ）cos（x），g（x）g（x ） ，函数 g（x）为 R 上的奇函数则 g（x）f'（x）+sinx 0，g（x）在 R 上单调递减若角 满足不等式 f（+ ）+ f（）0，即 f（+ ） cos（ +）f（）cos，即
23、 g（+） g（）g（ ） ，+ ，解得 故选：A【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题12 （3 分）平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 的底面是边长为 4 的菱形，且BAD60，点A1 在底面的投影 O 是 AC 的中点，且 A1O4，点 C 关于平面 C1BD 的对称点为 P，则三棱锥 PABD 的体积是（ ）A4 B3 C4 D8【分析】作平面 BDC1 的垂线 CM，计算 CM 即可得出 M 到平面 ABCD 的距离，从而可得 P 到平面 ABCD 的距离，再代入棱锥的体积公式计算
24、【解答】解：连接 OC1，过 C 作 CMOC 1，垂足为 M，OA 1平面 ABCD，OA 1BD，ABAD ，OABD，第 13 页（共 24 页）BD平面 ACC1A1，BDCM，又 CMOC 1，CM平面 BDC1，由ABD 是边长为 4 的等边三角形可得 OCOA2 ，故 CC1AA 12 ，cosACC 1cosA 1AO ，OC 1 8，cosCOM ，即COM ，OCM ，CM CO ，故 M 到平面 ABCD 的距离为 dCMsinOCM ，P 到平面 ABCD 的距离为 2d3，V PABD SABD 2d 4 故选：C【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于
25、中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）已知（x 22） 6a 0+a1x+a2x2+a12x12，则 a3+a4 等于 240 【分析】即求 x3 和 x4 的系数， ；利用通项公式可得【解答】解：a 3 和 a4 就是展开式中 x3 和 x4 的系数，T r+1C （x 2） 6r （2） r（2） rC x122r ，令 122r3，解得 r （舍去） ，a 30，令 122r4，解得 r4，a 4（2） 4C 240，故答案为：240【点评】本题考查了二项式定理，属中档题14 （3 分）已知实数 x，y 满足 ，则 z2x+y 的最小值是 2 第 14 页（共 24 页）
26、【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：2x+y，得 y2x+ z，由 ，解得 B（2，2） ，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 B（2，2）时，直线 y2x+z 的截距最小，此时 z 最小，此时 zmin22+2 2，即 z 的最小值是2故答案为：2【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域以及判断最优解是解题的关键15 （3 分）已知 sin（ ）cos（ + ） ，则 sin 【分析】直接利用三角函数关系式的诱导公式的应用和倍角公式的应用求出结果【解答】解：已
27、知 sin（ ）cos（ + ） ，故： ，整理得： ，所以：sin cos（ ） 1 12 ，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16 （3 分）江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行江先生从家到公交站或地铁站都要步行 5 分钟公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥第 15 页（共 24 页）堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（33，4 2） ，下车后从公交站步行到单位要 12 分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N（44，2 2）
28、，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟下列说法：若 8：00 出门，则乘坐公交不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；若8：06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是 参考数据：若 ZN （ ， 2） ，则 P（Z +）0.6826，P（2Z +2）0.9544，P（3Z+3）0.9974【分析】8：出门乘坐公交还是有可能会迟到错；根据 P（2Z +2）0.9544，计算可得乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故错；若 8：06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能
29、性为 0.8413，而乘坐地铁不迟到的概率为 P（Y44）0.5故对；若 8： 12 出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为 P（Y38）0.0013，故正确【解答】解：设乘公交车所需时间为 X，乘地铁所需实际为 Y对于 ，8：00 出门还是有可能会迟到，只是概率较小，故错；对于 ，P（X41） 0.9772P（Y48）10.9772乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故错；对于 ，若 8： 06 出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为 P（X37）10.8413，乘坐地铁不迟到的概率为 P（Y44）0.50.8413故对；对于 ，若 8： 12 出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为 P（Y38）0.001
30、3，故正确故填：【点评】本题考查了正态分布，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 16 页（共 24 页）17已知数列a n是公差不为零的等差数列，a 11，且存在实数 满足2an+1 an+4，nN +（1）求 的值及通项 an；（2）求数列a 的前 n 项和 Sn【分析】 （1）设出等差数列的公差 d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列a 的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，由存在实数 满足 2an+1 an+4，得 2ana n1 +4
31、，得，2dd，又因为 d0，解得 2；将 2 代入可得：a n+1a n2，即 d2，又因为 a11，所以 an2n1（2）由（1）可得： 2 n+1（2n+1） ，所以： ， ，2 n+2n 22n4【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC1，E、F 是边 DC 的三等分点现将DAE、CBF 分别沿 AE、BF 折起，使得平面 DAE、平面 CBF 均与平面 ABFE 垂直第 17 页（共 24 页）（1）若 G 为线段 AB 上一点，且 AG1，求证：DG平面 CBF
32、；（2）求二面角 ACFB 的正弦值【分析】 （1）构造经过直线 DG 的平面，然后证明该平面与已知的平面 CBF 平行，再由面面平行得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，借助空间向量知识解决二面角的大小【解答】证明：（1）如图，分别取 AE，BF 的中点 M，N，连接 DM，CN，MG，MN，因为 ADDE 1，ADE 90，所以 DMAE，且 DM 因为 BCCF1，BCF 90，所以 CNBF，且 CN 因为面 DAE 与面 ABFE 垂直，面 DAE面 ABFE，DM AE，所以 DM面 ABFE，同理 CN面 ABFE，所以 DMCN，且 DMCN，DM平面 CBF，CN平面 CB
33、F，故 DM 平面 CBF，在平面矩形 ABCD 中，DAE45，故EAB45，同理FBA 45，在几何体 DCEFBA 中，因为 AMAGcos45 ，所以AMG90，所以AMG 是以 AG 为斜边的等腰直角三角形，故 MGA45，而FBA 45，因为 MG 与 FB 共面于平面 EFAB，故 MG FB，MG平面 CBF，FB平面 CBF，故 MG 平面 CBF，MG DMM ，故面 DMG面 CBF，第 18 页（共 24 页）因为 DG平面 DMG，则 DG面 CBF解：（2）如图，以 G 为原点，分别以 AB，GE 所在直线为 x，y 轴，以过 G 点并垂直于面 ABFE 的直线为
34、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（1，0，0） ，B（2，0，0） ，E（0，1，0） ，F（1，1，0） ，C（ ） ，则 （2，1，0） ， （ ） ， （1，1，0） ，因为 0，所以 GF BF，由（1）得 CN面 ABFE，GFCN，而 BF，CN平面 CBF，BF CNN，故 AE平面 CBF，从而 （1，1，0）是平面 CBF 的一个法向量，设 （x，y，z）为平面 AFC 的一个法向量，则 ， ，取 x2，得 （2，4，3 ） ，所以 cos 故所求二面角的正弦值为 【点评】本题考查了线面平行的证明以及二面角的求解问题，线面平行常见的证法是借助线线平行或面面平行证得，求解二面角
35、大小时往往借助法向量的夹角来进行求解19已知椭圆 C： + 1（ab0） ，点 M 在 C 的长轴上运动，过点 M 且斜率大于0 的直线 l 与 C 交于 P，Q 两点，与 y 轴交于 N 点当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为第 19 页（共 24 页）时，N，P 重合，|PM|2（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 N，P，Q，M 均不重合时，记 ， ，若 1，求证：直线 l的斜率为定值【分析】 （1）根据特殊情况，即当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时，N ，P 重合，|PM|2，可得到 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（2）设出直线 l，求出点 M、N，设出点 P、Q，
36、利用条件 ， 得出 x1与 x2 的关系、y 1 与 y2 的关系，根据条件 1，得出 m+t（y 1+y2）0再借助韦达定理求解出 t 的值，进而得到斜率【解答】解：（1）当 M 为 C 的右焦点且 l 的倾斜角为 时，N ，P 重合，|PM|2，a|PM| 2，故 ，a 2b 2+c2，因此 c ，b1，椭圆 C 的方程为 ；（2）设 l：x ty+m（m 0） ，M（m，0） ，N（0， ） ， 斜率大于 0，t0，设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 ， ，由 ，得 x1x 2，同理可得 y1y 2，两式相乘得， x1y1x 2y2，又 1，x 1y1x 2y2，（t
37、y 1+m）y 1（ty 2+m）y 2，即 ，即（y 2y 1）m+t（y 1+y2） 0由题意 kl0，知 y1y 20，第 20 页（共 24 页）m+ t（y 1+y2）0联立方程组 ，得（t 2+4）y 2+2tmy+m240，依题意， ，m ，又 m0，t 24，t0，故得 t2， ，即直线 l 的斜率为 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的问题，求解本题时应大胆多设变量，小心化简，通过一定的手段（设而不求、韦达定理等）进行减元，将多变量问题转化为少变量（单变量）问题，属难题20某品牌餐饮公司准备在 10 个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5
38、个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为 1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额 y（万元）的数据如下：加盟店个数 x（个） 1 2 3 4 5单店日平均营业额 y（万元） 10.9 10.2 9 7.8 7.1（1）求单店日平均营业额 y（万元）与所在地区加盟店个数 x（个）的线性回归方程；（2）该公司根据回归方程，决定在其他 5 个地区中，开设加盟店个数为 5，6，7 的地区数分别是 2，1，2小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能分别从这 5 个地区的 30 个加盟店中随机抽取一个加入记事件 A：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事件 B：小赵与小王抽取到的加
39、盟店预计日平均营业额之和不低于 12 万元，求在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率（参考数据及公式： ， ，线性回归方程 bx+a，其中 第 21 页（共 24 页）， ）【分析】 （1）求出 ，根据公式求得 的值，进而得出回归方程；（2）先求出 P（A） ，然后求解 P（AB） ，根据条件概率公式得出，P（B|A） 【解答】解：（1）由题可得， ， ，设所求线性回归方程为 ，则 ，得 ，故所求线性回归方程为 （2）根据回归方程，加盟店个数为 5 的地区单店预计日平均营业额为 7 万元，加盟店个数为 6 的地区单店预计日平均营业额为 6 万元，加盟店个数为 7 的地区单店预计日平均营业
40、额为 5 万元；p（A） ，P（AB） ，P（B|A） 【点评】本题考查了线性回归方程和实际问题处理的能力以及条件概率等知识，着重考查了学生数据分析的核心素养，属于中档题21已知函数 f（x ）xe xa（lnx+x） ，g（x）（m +1）x （a，m R 且为常数，e 为自然对数的底）（1）讨论函数 f（x ）的极值点个数；（2）当 a1 时，f（x ）g（x）对任意的 x（0，+）恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）根据讨论函数 f（x ）单调性，根据单调性的情况分析极值点的情况；（2）不等式 f（x ）g（x）对任意的 x（0，+）恒成立，利用分离变量得出第 22 页（共 2
41、4 页）对任意的 x（0，+）恒成立，即求 的最小值，利用导数求解函数 F（x ）的最小值【解答】解：（1）f（x ）的定义域为（0，+） ，函数 y（xe x）' e x+xex0 在（0，+）上恒成立，函数 yxe x 在区间（0，+ ）上单调递增，且值域为（ 0，+） ，当 a 0 时， xexa0 在区间（0，+）上恒成立，即 f'（x）0，故 f（x）在（0 ，+）上单调递增，无极值点；当 a 0 时，方程 xexa0 有唯一解，设为 x0（x 00） ，当 0xx 0 时，f'（x）0，函数 f（x）单调递减，当 xx 0 时，f'（x）0，函数 f
42、（x）单调递增，x 0 是函数 f（ x）的极小值点，即函数 f（x ）只有 1 个极值点（2）当 a1 时，不等式 f（ x）g（x）对任意的 x（0，+）恒成立，即 xexlnx1（m+1 ）x 对任意的 x（0，+）恒成立，即 对任意的 x（0，+）恒成立，记 ，则 ，记 h（x）x 2ex+lnx， 在 x（0，+）恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，且 ，h（1）e0，存在 使得 h（x 0）0，且 x（0，x 0）时，h（x）0，F'（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（x 0，+ ）时，h（x）0，F'（x）0，函数 f（x）单调递增，F（x ） min
43、F（x 0） ，即 ，第 23 页（共 24 页）又h（x 0）0， ， ， ， ，因此 ，1m+1，解得 m0综上，实数 m 的取值范围是（ ，0 【点评】本题考查了极值点的存在问题和不等式恒成立的问题，分类讨论的思想方法是解题的关键，属难题22已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为22cos 20，点 P 的极坐标是（ ， ） （1）求直线 l 的极坐标方程及点 P 到直线 l 的距离；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求PMN 的面积【分析】 （1）现将直线方
44、程转化为普通方程，再利用公式 求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出 MN 的长度，从而得出面积【解答】解（1）由 消去 t，得到 y ，则 sin cos， ，所以直线 l 的极坐标方程为 （R ） 第 24 页（共 24 页）点 P（ ， ）到直线 l 的距离为 d sin（ ） （2）由，得， 2 2 0所以 1+21， 122所以，|MN| | 1 2| 3则PMN 的面积为S PMN |MN|d 【点评】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键属中档题23已知 a，b 为正实数
45、，函数 f（x ）|xa| |x+2b|（1）求函数 f（x ）的最大值；（2）若函数 f（x ）的最大值为 1，求 a2+4b2 的最小值【分析】 （1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得 a+2b1，再根据基本不等式可得 a2+4b2 的最小值【解答】解：（1）因为 f（x）|xa| |x+2b| （xa）（x +2b）|a+2b ，所以函数 f（x）的最大值为 a+2b（2）由（1）可知，a+2b1，因为 a2+4b24ab，所以 2（a 2+4b2）a 2+4b2+4ab（a+2b） 21，即 a2+4b2 ，且当 a2b 时取“” ，所以 a2+4b2 的最小值为 【点评】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键
