1、 正、余弦定理及解三角形高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率利用正、余弦定理解三角形2018 课标全国172018 课标全国62018 课标全国92017 课标全国172016 课标全国8解三角形的实际应用2015 湖北 13 解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点2017 课标全国172016 课标全国17考点 1 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研 1 在 中， , , 分别是角 ， ， 的对
2、边，且 ，ABC abcABC2sincosCBabA则 = A B6 4C D3 23【答案】C【解析】 ，由正弦定理可得 ，即2sincosBabAcosbaBA.coabB由余弦定理可得 ，整理可得2222acbca.22bc ， ， .1oscaAb0,A3故选 C.【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得 ，结合余弦定理可得 ，cos2cosabBbA22bca由余弦定理解得 ，结合 的范围，即可求得 的值. A对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2 ）22osaA.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住
3、 ，22cosbca 30， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.4560调研 2 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC , ,abc3sincosAaB（1 ）求角 ； （2 ）若 ， ，求 ， 3bsinic【答案】 （1） ；（2） .6B3,a【解析】 （1）在 中，由正弦定理 ，得 AC sinbAB3sinsicoAB又因为在 中 sin0所以 3sicoB法一：因为 ，0所以 ，因而 sin0Bcos0所以 ，i3ta所以 6法二： 即 ， 3sinco0B2sin06B所以 ，6kZ因为 ，0所以 B（2 ）由正弦定理 ，及 ，sinacACsin3iA所以 ，3c
4、由余弦定理 ，得 ，即 ，22cosbaB29cos6a239ac 把代入得 .3,【名师点睛】 （1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解 B 的大小；（2 ）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.技巧点拨利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边” 往“ 角 ”化，还是“角”往“ 边”化若想“边”往“
5、角 ”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C”；若想“角”往“边 ”化，常利用 sin A ，sin B ，sin C ，cos C 等a2R b2R c2R a2 b2 c22ab题组二 与三角形面积有关的问题调研 3 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 的外接圆半径为ABC , ,abcABC1，若 ，则 的面积为 _6abc【答案】 2【解析】由题意得 ，即 ，2sinRCsin2cC1sin2ABCSab，11364cab故答案为 .32【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由 及由公式 求6abc1sin2SabC得面积.正弦定理： ，利用它把三角
6、形的边角与外接圆半径建立联系，2sinsinabcRABC这样可得三角形面积为 .4aSsiniABC调研 4 如图，在 中，点 D 在边 AB 上，ABCDBC，AC5 ，CD 5，BD2AD 3(1)求 AD 的长；(2)求 的面积ABC【答案】(1)5；(2) .7534(2)由(1)求得 AB3x15，BC 5 .4x2 25 3所以 cosCBD ，BCBD 32从而 sinCBD .12所以 SABC ABBCsinCBA 155 .12 12 312 7534题组三 三角形形状的判断调研 5 在 中，三边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，若ABC abcABC则 的形状为2ta
7、n:,ABbA等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D不能确定【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有： ，即： ，2sincosinABcosinBA据此可得： ，则 ，sincosiABii故 或 ，即 或 ，2B22据此可得： 的形状为等腰三角形或直角三角形.C本题选择 C 选项.【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意 A，B，C
8、的范围对三角函数值的影响调研 6 中,角 的对边分别是 ，且 .ABC , ,abcos3inabc(1)求 ;(2)若 的面积为 ,试判断此三角形的形状.2,a 3【答案】(1)60；(2) 等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及 得,cosinaCbc，sinco3siniACB即 ,ssiA3sincosinACC ,si0 ,13sinco1sin302AA , ,085 .360(2) ,1sin342SbcAbc由余弦定理得: =22osaA23bc,414bcbc , ,60A60BC故 是等边三角形.技巧点拨判断三角形的形状有以下几种思路：（1 ）转化为三角形的边来判断，可简记
9、为“化角为边” ；（2 ）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角 ”提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点 2 解三角形的实际应用题组 解三角形的实际应用调研 1 如图，要测量底部不能到达的某铁塔 的高度，在塔的同一侧选择 两观ABCD、测点，且在 两点测得塔顶的仰角分别为 在水平面上测得 ，CD、 4530、 120B两地相距 600m，则铁塔 的高度是、A B120m480mC D4 6【答案】D【解析】设铁塔 的高度是 h,AB因为 两点测得塔顶的仰角分别为 ，所以 ,、 4530、 ,3BCh因为 两地相距 600m，所以
10、 ,解得C、 222660cos（舍负）,60h故选 D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示 BC,BD,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.技巧点拨高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度调研 2 如图，
11、 三个警亭有直道相通，已知 在 的正北方向 6 千米处， 在,ABCABC的正东方向 千米处.B63（1 ）警员甲从 出发，沿 行至点 处，此时 ，求 的距离；P45CP（2 ）警员甲从 出发沿 前往 ，警员乙从 出发沿 前往 ，两人同时出发，甲CAAB的速度为 3 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达 时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过 9 千米，试问两B人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】 （1） ；（2） .9615207【解析】 （1）在 中， ， ， ，ABC 6A75PB由正弦定理， ，即sinsiP，36123
12、62=36244BP（ ）故 的距离是 千米 936（2 ）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时设甲、乙之间的距离为 ，ft要保持通话则需要 ft当 时，10t22613613cos60tttt， 237619即 ，解得 ，20t858577t又 ，,1t所以 ，时长为 小时 857t157当 时， ， 214t2361613cos60fttt219t即 ，解得 ，630又 ，所以 ，时长为 3 小时,tt综上，3 （小时） 15720答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是 小时15207【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，
13、属于中档题.（1 ）在 中， ， ， ，然后由正弦定理可得 BP；ABC 60A75PB（2 ）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时设甲、乙之间的距离为 ，ft要保持通话则需要 ， 当 时， 当 时，分别求得对应9ft然 后 分 t24t的时长再求和即得到结论.技巧点拨解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步考点 3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研 1 在 中，角 A,B,C 所对的边分别为 21,
14、sinsin,4BCabc， 且，则实数 a 的取值范围是 _.2bc【答案】 .3,【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边” 寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研 2 在 中 分别为角 的对边,已知 的面积为ABC ,abcABC7,2cABC又3,tan3tn1.(1)求角 的大小;(2)求 的值 .b【答案】(1) ；
15、(2)31.2【解析】(1)因为 tan3tan1,ABA所以 =tt,1又因为 为 的内角,BCA所以2,3所以.C(2)由 及 得13sin,2ABCSab ,C6,ab又 ,21cos 2cc7c所以1.2ab题组二 解三角形与平面向量相结合调研 3 在 中， ， 若 ，则ABC 902CMB1sin5AM_tanBAC【答案】 62【解析】根据题意，设 ，则 ，,3ACmBn2,CMnB根据 ，得 ，由勾股定理可得1sin5BAM26cos5BA，224,9mn根据余弦定理可得 ，化简整理得2265m，即 ，解得 ，4241360n2260nmn所以 ，故答案是 .taBACm【名师点
16、睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研 4 如图,在 中,已知点 在边 上,且 , ,ABC DBC0A2sin3BAC, 32ABD(1)求 的长;AD(2)求 cosC【答案】(1)3；(2) .63【解析】(1)因为 所以0,AD,AC所以 即 sinsicos,2BCBD2cos3BA在 中,由余弦定理,可知 ，A 22sD即 解得 或 28150,D5,A3因为 所以 ,B3(2)在 中 ,由正弦定
17、理,可知A,sinsiBDAB又由 可知2cos,3BD1i,3所以 sin6inAA因为,2BC所以 .6cos31 （安徽省合肥市 2018 届高三调研性检测数学试题） 在 中，角 对应的边ABC ,分别为 ， ，则,abc60,4,13CabcbA1 B2 C 3 D 132 （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为 a、 b、c,若 b=1，c = ，且 ，31sincosic2aBCA则 a=A1 或 B1 或2C 1 或 2 D 或233 （贵州省黔东南州 2018 届高三下学期第二次模拟考试数学试题）在 中，内
18、角ABC所对的边分别为 ,已知 ，且 ，则,ABabcbcab4c面积的最大值为A B83 43C D24 （ 【衡水金卷】2018 年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四数学试题）在中，角 的对边分别为 ， ， ，且AB ,C,abcosc2osBbAC7c的面积为 ，则 的周长为 32ABA B1727C D4 55 （黑龙江省鹤岗市第一中学 2019 届高三上学期第三次月考数学试题） 中，角 、ABC、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 ， ，则 面Babc4asin3cosBb积的最大值是A B43 2C D8 46 （湖南省湘潭市 2018 届高三下学期第四次模拟考试数学试题
19、）在 中，ABC， ，点 ， 分别是边 ， 上的点，且 ，36ABtan3AE3DE记 ，四边形 的面积分别为 ， ，则 的最大值为DE BC1S21A B14 38C D3 5127 （河南省 2018 届高三最后一次模拟考试数学试题） 已知 的内角 的对边AC ,B分别为 ,且 ，则abcsiniAbBsini,Aca2b_sinB8 （福建省龙岩市 2018 届高三下学期教学质量检查(4 月) 数学试题）在锐角三角形中， ， 的对边长分别是 ，则 的取值范围为_.AC2,C,ac9 （安徽省合肥市 2018 届高三三模数学试题） 在 中，内角 所对的边分ABC BC， ，别为 .若 ，
20、，且 的面积等于 ，则abc， ， 45sini2sinbBc 3=_.10 （2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）五）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 里， 里， 里，假设 里按13415米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为_米.5011 （四川省棠湖中学 2019 届高三上学期开学考试数学试题）如图， 是等边三角ABC形， 是 边上的动点（含端点） ，记 .DBC,BAD（1 ）求 的最大
21、值；2cos（2 ）若 ，求 的面积.1,712 （山东省实验中学（中心校区）2019 届高三 11 月模拟考试数学试题）ABC 的内角A，B ，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 2sin3siaCcB（1 ）若 b ，C120，求 ABC 的面积 S；43（2 ）若 b：c 2：3，求 .siniAB13 （青海省西宁四中 2018-2019 学年高三（上）第二次模拟数学试题） 在 中，角ABCA，B，C 的对边分别是 a，b，c ，其面积为 S，且 2243.bcaS（1 ）求 A；（2 ）若 ， ，求 c53a4cos5B14 （山西省吕梁市 2019 届高三上学期第一次阶段性测试
22、数学试题）已知四边形 OACB 中，a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 所对的边长，且满足os2csoAa（1 ）证明： ；2bca（2 ）若 ，设 ， ，求四边形 OACB 面积的0AOB24OAB最大值15 （湖南省五市十校教研教改共同体 2019 届高三 12 月联考数学）已知向量， ， ，设函数 .cos,inxmcos,3xxR12fxmn（1 ）求函数 的解析式及单调递增区间；f（2 ）设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，若 ，abcABC fA， 的面积为 ，求 的值.c 12a1 （ 2018 新课标全国理科） 在 中， ， ， ，则ABC5cos21BC5ABA B
23、42 30C D9 52 （ 2018 新课标全国理科） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若ABC C， ， abc的面积为 ，则AB224abcA B2 3C D4 63 （ 2016 新课标全国理科） 在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 ABC 4=13BCcosA=A B10 0C D- 1-4 （2017 新课标全国理科） 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b ，c ，已知的面积为 . AB23sinaA（1 ）求 sin Bsin C;（2 ）若 6cos Bcos C=1，a=3，求 的周长.B5 （ 2017 新课标全国理科） 的内角 的对边分别为 ，已知ABC , ,a
24、bc2sin8sinAC（1 ）求 ；coB（2 ）若 ， 的面积为 ，求 6a 2b6 （ 2018 新课标全国理科） 在平面四边形 中， ， ，ABCD9045A， .2AB5D（1）求 ；cosB（ 2） 若 ， 求 .2C正、余弦定理及解三角形高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率利用正、余弦定理解三角形2018 课标全国172018 课标全国62018 课标全国92017 课标全国172016 课标全国8解三角形的实际应用解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇
25、命题成为高考的热点2015 湖北 13 解三角形与其他知识的交汇问题2017 课标全国172016 课标全国17考点 1 利用正、余弦定理解三角形题组一 利用正、余弦定理解三角形调研 1 在 中， , , 分别是角 ， ， 的对边，且 ，ABC abcABC2sincosCBabA则 = A B6 4C D3 23【答案】C【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.由已知及正弦定理可得 ，结合余弦定理可得 ，cos2cosabBbA22bca由余弦定理解得 ，结合 的范围，即可求得 的值.A对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2 ）22osaA.另
26、外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住 ，22cosbca 30， 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.4560调研 2 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ABC , ,abc3sincosAaB（1 ）求角 ； （2 ）若 ， ，求 ， 3bsinic【答案】 （1） ；（2） .6B3,a【解析】 （1）在 中，由正弦定理 ，得 AC sinbAB3sinsicoAB又因为在 中 ABC sin0所以 3sico法一：因为 ，0所以 ，因而 sins0所以 ，i3tacoB所以 6法二： 即 ， 3sinco0B2sin06B所以 ，6kZ因为 ，0所以 B（2 ）由正弦
27、定理 ，及 ，sinacACsin3iA所以 ，3c由余弦定理 ，得 ，即 ，22cosbaB29cos6a239ac 把代入得 .3,【名师点睛】 （1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解 B 的大小；（2 ）利用正弦定理、余弦定理，转化求解即可 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值；二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.技巧点拨利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”
28、 往“ 角 ”化，还是“角”往“ 边”化若想“边”往“角 ”化，常利用“a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C”；若想“角”往“边 ”化，常利用 sin A ，sin B ，sin C ，cos C 等a2R b2R c2R a2 b2 c22ab题组二 与三角形面积有关的问题调研 3 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 的外接圆半径为BC , ,abcAB1，若 ，则 的面积为 _6abcA【答案】 2【解析】由题意得 ，即 ，2sinRCsin2cC1sin2ABCSab，11364cab故答案为 .32【名师点睛】由正弦定理可把其中一边化为角，从而由 及由公式 求6abc
29、1sin2SabC得面积.正弦定理： ，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，2sinsinabcRABC这样可得三角形面积为 .4aSsiniABC调研 4 如图，在 中，点 D 在边 AB 上，ABCDBC，AC5 ，CD 5，BD2AD 3(1)求 AD 的长；(2)求 的面积ABC【答案】(1)5；(2) .7534【解析】(1)在 中，因为 BD2AD，设 ADx(x0)，所以 BD2x.在 中，因为 CDBC，CD5，BD2x，所以 cosCDB .BCDCDBD 52x在 中，因为 ADx ，CD5，AC5 ，所以 cosADC A 3AD2 CD2 AC22ADCD.225
30、(3)x因为CDBADC，所以 cosADCcosCDB，即 ，解得 x5.225(3)x52x所以 AD 的长为 5.(2)由(1)求得 AB3x15，BC 5 .4x2 25 3所以 cosCBD ，BCBD 32从而 sinCBD .12所以 SABC ABBCsinCBA 155 .12 12 312 7534题组三 三角形形状的判断调研 5 在 中，三边 、 、 所对的角分别为 、 、 ，若ABC abcABC则 的形状为2tan:,ABbA等腰三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D不能确定【答案】C【名师点睛】由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质整理计算即可确
31、定三角形的形状.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范围对三角函数值的影响调研 6 中,角 的对边分别是 ，且 .ABC , ,abcos3inabc(1)求 ;(2)若 的面积为 ,试判断此三角形的形状.2,aABC 3【答案】(1)60；(2) 等边三角形.【解析】(1)由正弦定理及 得,cosinaCbc，sinco3siniACB即 ,ssiA3sincosinACC ,si0 ,13incos1in302 ,
32、 ,08A5A .360(2) ,1sin342Sbcbc由余弦定理得: =22osaA23bc,414bcbc , ,60A60BC故 是等边三角形.技巧点拨判断三角形的形状有以下几种思路：（1 ）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边” ；（2 ）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角 ”提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点 2 解三角形的实际应用题组 解三角形的实际应用调研 1 如图，要测量底部不能到达的某铁塔 的高度，在塔的同一侧选择 两观ABCD、测点，且在 两点测得塔顶的仰角分别为 在水平面上测得 ，CD、 45
33、30、 120B两地相距 600m，则铁塔 的高度是、A B120m480mC D4 6【答案】D【解析】设铁塔 的高度是 h,AB因为 两点测得塔顶的仰角分别为 ，所以 ,、 4530、 ,3BCh因为 两地相距 600m，所以 ,解得C、 222660cos（舍负）,60h故选 D.【名师点睛】先根据直角三角形用高表示 BC,BD,再根据余弦定理解方程得高.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.技巧点拨高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底
34、部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度调研 2 如图， 三个警亭有直道相通，已知 在 的正北方向 6 千米处， 在,ABCABC的正东方向 千米处.B63（1 ）警员甲从 出发，沿 行至点 处，此时 ，求 的距离；P45CP（2 ）警员甲从 出发沿 前往 ，警员乙从 出发沿 前往 ，两人同时出发，甲AAB的速度为 3 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达 时任务
35、结束.若对讲机的有效通话距离不超过 9 千米，试问两B人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】 （1） ；（2） .9615207【解析】 （1）在 中， ， ， ，ABC 6A75PB由正弦定理， ，即sinsiP，3612362=36244BP（ ）故 的距离是 千米 936（2 ）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时设甲、乙之间的距离为 ，ft要保持通话则需要 ft当 时，10t22613613cos60tttt， 237619即 ，解得 ，20t858577t又 ，0,1t所以 ，时长为 小时 857t157当 时， ， 214t236613cos60ft
36、tt219t即 ，解得 ，630又 ，所以 ，时长为 3 小时,tt综上，3 （小时） 15720答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是 小时15207【名师点睛】本题考查解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决问题的能力，属于中档题.（1 ）在 中， ， ， ，然后由正弦定理可得 BP；ABC 60A75PB（2 ）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时设甲、乙之间的距离为 ，ft要保持通话则需要 ， 当 时， 当 时，分别求得对应9ft然 后 分 t24t的时长再求和即得到结论.技巧点拨解决此类问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中
37、，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量解题时应认真审题，结合图形去选择正、余弦定理，这是最重要的一步考点 3 解三角形与其他知识的交汇问题题组一 解三角形与三角恒等变换相结合调研 1 在 中，角 A,B,C 所对的边分别为 21,sinsin,4BCabc， 且，则实数 a 的取值范围是 _.2bc【答案】 .3,2【解析】由 ，得1cos1sinsinsin24BCBC，所以 ，2co4i ,cos2ABC则由余弦定理 ，得2222 1csbcabcaA，解得 ，2241bca3又 ， 所以 的范围是 .a,2【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角
38、形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边” 寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.调研 2 在 中 分别为角 的对边,已知 的面积为ABC ,abcABC7,2cABC又3,tan3tn1.(1)求角 的大小;(2)求 的值 .b【答案】(1) ；(2)31.2【解析】(1)因为 tan3tan1,ABA所以 =tt,1又因为 为 的内角,BCA所以2,3AB所以.C(2)由 及 得13sin,2ABCSab ,C
39、6,ab又 ,21cos 2cc7c所以1.2ab题组二 解三角形与平面向量相结合调研 3 在 中， ， 若 ，则ABC 902CMB1sin5AM_tanBAC【答案】 62【解析】根据题意，设 ，则 ，,3mBCn2,nB根据 ，得 ，由勾股定理可得1sin5BAM26cos5BA，224,9mn根据余弦定理可得 ，化简整理得2265m，即 ，解得 ，4241360mn2260mn6mn所以 ，故答案是 .taBAC【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余
40、弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.调研 4 如图,在 中,已知点 在边 上,且 , ,ABC DBC0A2sin3BAC, 32AB3D(1)求 的长;AD(2)求 cosC【答案】(1)3；(2) .63【解析】(1)因为 所以0,AD,AC所以 即 sinsicos,2BCBD2cos3BA在 中,由余弦定理,可知 ，A 22sD即 解得 或 28150,D5,A3因为 所以 ,B3(2)在 中 ,由正弦定理,可知A,sinsiBDAB又由 可知2cos,3BD1i,3所以 sin6sin3ABD因为,2DC所以 .6cos31 （安徽省合肥市 2018 届高三调研性检
41、测数学试题） 在 中，角 对应的边ABC ,分别为 ， ，则,abc60,4,13CabcbA1 B2 C 3 D 13【答案】A【解析】由余弦定理有 ，代入已知值有22coscabC解得 .故选 A.21364s60,b12 （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学试题）已知ABC 的三个内角A、B、C 所对的边分别为 a、 b、c,若 b=1，c = ，且 ，则31sincosic2aBAa=A1 或 B1 或2C 1 或 2 D 或23【答案】C【解析】由 ，1sincosincoaBCA，又 b=1，所以 ，又 cb，所以 B 角一si 2b1sin2B定是锐角，所以 .再由 或 ，当 ，613,si,n3siCC3
