2024年高考数学真题分类汇编04:数列(含答案)
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1、数列一、单选题1(2024全国)等差数列的前项和为,若,()ABC1D2(2024全国)等差数列的前项和为,若,则()ABC1D2二、填空题3(2024全国)记为等差数列的前n项和,若,则 .4(2024北京)已知,不为常数列且各项均不相同,下列正确的是 .,均为等差数列,则M中最多一个元素;,均为等比数列,则M中最多三个元素;为等差数列,为等比数列,则M中最多三个元素;单调递增,单调递减,则M中最多一个元素.5(2024上海)无穷等比数列满足首项,记,若对任意正整数集合是闭区间,则的取值范围是 三、解答题6(2024全国)设m为正整数,数列是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和后剩余的项可
2、被平均分为组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列是可分数列(1)写出所有的,使数列是可分数列;(2)当时,证明:数列是可分数列;(3)从中一次任取两个数和,记数列是可分数列的概率为,证明:7(2024全国)已知双曲线,点在上,为常数,按照如下方式依次构造点,过作斜率为的直线与的左支交于点,令为关于轴的对称点,记的坐标为.(1)若,求;(2)证明:数列是公比为的等比数列;(3)设为的面积,证明:对任意的正整数,.8(2024全国)已知等比数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)求数列的通项公式.9(2024全国)记为数列的前项和,且(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和为10(
3、2024北京)设集合对于给定有穷数列,及序列,定义变换:将数列的第项加1,得到数列;将数列的第列加,得到数列;重复上述操作,得到数列,记为(1)给定数列和序列,写出;(2)是否存在序列,使得为,若存在,写出一个符合条件的;若不存在,请说明理由;(3)若数列的各项均为正整数,且为偶数,证明:“存在序列,使得为常数列”的充要条件为“”11(2024天津)已知数列是公比大于0的等比数列其前项和为若(1)求数列前项和;(2)设,其中是大于1的正整数()当时,求证:;()求参考答案1D【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成和来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.【解析】
4、方法一:利用等差数列的基本量由,根据等差数列的求和公式,又.故选:D方法二:利用等差数列的性质根据等差数列的性质,由,根据等差数列的求和公式,故.故选:D方法三:特殊值法不妨取等差数列公差,则,则.故选:D2B【分析】由结合等差中项的性质可得,即可计算出公差,即可得的值.【解析】由,则,则等差数列的公差,故.故选:B.395【分析】利用等差数列通项公式得到方程组,解出,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【解析】因为数列为等差数列,则由题意得,解得,则.故答案为:.4【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断的正误,利用反例可判断的正误,结合通项公式的特征及反证法可判断的正误.【解析】对于,
5、因为均为等差数列,故它们的散点图分布在直线上,而两条直线至多有一个公共点,故中至多一个元素,故正确.对于,取则均为等比数列,但当为偶数时,有,此时中有无穷多个元素,故错误.对于,设,若中至少四个元素,则关于的方程至少有4个不同的正数解,若,则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解,矛盾;若,考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数,当有偶数解,此方程即为,方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时,否则,因单调性相反,方程至多一个偶数解,当有奇数解,此方程即为,方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时即否则,因单调性相反,方程至多一个奇数解,因为,不可能同时成立,故不可能有4个不同的正数解,故
6、正确.对于,因为为单调递增,为递减数列,前者散点图呈上升趋势,后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故正确.故答案为:【点睛】思路点睛:对于等差数列和等比数列的性质的讨论,可以利用两者散点图的特征来分析,注意讨论两者性质关系时,等比数列的公比可能为负,此时要注意合理转化.5【分析】当时,不妨设,则,结合为闭区间可得对任意的恒成立,故可求的取值范围.【解析】由题设有,因为,故,故,当时,故,此时为闭区间,当时,不妨设,若,则,若,则,若,则,综上,又为闭区间等价于为闭区间,而,故对任意恒成立,故即,故,故对任意的恒成立,因,故当时,故即.故答案为:.【点睛】思路点睛:与等比数列性质有关的不等
7、式恒成立,可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立,必要时可利用参变分离来处理.6(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据可分数列的定义即可;(2)根据可分数列的定义即可验证结论;(3)证明使得原数列是可分数列的至少有个,再使用概率的定义.【解析】(1)首先,我们设数列的公差为,则.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,故我们可以对该数列进行适当的变形,得到新数列,然后对进行相应的讨论即可.换言之,我们可以不妨设,此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从中取出两个数和,使得剩下四个数是等差数列.
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