1、33 直线的方向向量读教材填要点1直线的方向向量一般地，如果向量 v0 与直线 l 平行，就称 v 为 l 的方向向量2直线的方向向量的应用(1)两条直线垂直它们的方向向量垂直(2)要证明两条直线平行，只要证明这两条直线不重合，并且它们的方向向量 与AB 平行 ，也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍： k (k 是CD CD AB 某个实数) (3)求两条异面直线 AB，CD 所成的角若两条异面直线 AB，CD 所成的角为 ， ， 所成的角为 1，则 cos AB CD |cos_ 1| .小问题大思维1直线的方向向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？提示：
2、直线的方向向量不是唯一的，直线的不同的方向向量是共线向量2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系？提示：相等或互补求异面直线所成的角(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 120 ，AB 2，BCCC 11，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )A. B.32 155C. D.105 33自主解答 以 B1 为坐标原点， B1C1 所在的直线为 x 轴，垂直于B1C1 的直线为 y 轴，BB 1 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知条件知 B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C 1(1,0,0)，A( 1， ，1)
3、 ，3则 (1,0，1)， (1， ，1)BC1 AB1 3所以 cos ， .AB1 BC1 252 105所以异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值为 .105答案 C利用向量求异面直线所成角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；(3)比较余弦值与 0 的大小，确定向量夹角的范围；(4)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角1.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC .OA 底面 ABCD，OA 2，M 为 OA 的中点求异面直线 A
4、B 与 MD 所成角的大4小解：作 APCD 于点 P.如图，分别以 AB，AP ，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，D ，M(0,0,1)( 22，22，0)设 AB 和 MD 所成角为 ， (1,0,0)，AB ，MD ( 22，22， 1)cos .12 .3异面直线 AB 与 MD 所成角的大小为 .3证明线线垂直已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.求证： AB1MN.14自主解答 法一：( 基向量法)设 a， b， c，则由已知条件和正三
5、棱柱的性质，AB AC AA1 得|a | b| c| 1，a cbc0，ac， (ab)， b c，AB1 AM 12 AN 14 a b c，MN AN AM 12 12 14 (ac)AB1 MN ( 12a 12b 14c) cos 60 0.12 12 14 .AB1MN.AB1 MN 法二：(坐标法)设 AB 中点为 O，作 OO1AA1.以 O 为坐标原点，以 OB，OC，OO 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A ，B ，C ，( 12，0，0) (12，0，0) (0，32，0)N ，B 1 ，(0，32，14) (12，0，1)M
6、 为 BC 中点，M .(14，34，0) ， (1,0,1)，MN ( 14，34，14) AB1 0 0.MN AB1 14 14 .AB1MN.MN AB1 利用向量法证明空间两条直线互相垂直，其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直(1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系，并能准确地写出相关点的坐标(2)利用基向量法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量2直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB2，AD1，AA 13，M是 BC 的中点在 DD1 上是否存在一点 N，使 MNDC 1？并说明理由解：如图所示，建立以 D 为坐标原点， DA，DC，DD
7、 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴的空间直角坐标系，则 C1(0,2,3)，M ，D(0,0,0) ，设存在(12，2，0)N(0,0，h) ，则 ， (0,2,3) ，MN ( 12， 2，h) DC1 (0,2,3)43h，MN DC1 ( 12， 2，h)当 h 时， 0，43 MN DC1 此时 ，存在 NDD1，使 MNDC1.MN DC1 解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路如图，已知空间四边形 OABC 各边都相等，E，F 分别为 AB，OC 的中点，求 OE 与 BF 所成的角的余弦值巧思 求异面直线 OE 与 BF 所成的角，由于已知 OA， O
8、B，OC 的长度及夹角，因此，可以用 ， ， 表示 与 ，然后利用向OA OB OC OE BF 量的夹角公式计算即可妙解 设 a， b， c，OA OB OC 且|a| |b|c| 1，则 abbc ca .12又 (ab)， c b，| | | .OE 12 BF 12 OE BF 32所以 (ab) OE BF 12 (12c b) ac ab bc |b|2 .14 12 14 12 12所以 cos ， .OE BF 23所以直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 .231若 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A(1,2,3) B(1
9、,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)解析： (2,4,6)，且(2,4,6)2(1,2,3) ， 直线 l 的一个方向向量是(1,2,3)AB 答案：A2设 l1 的方向向量为 a(1,2，2)，l 2 的方向向量为 b(2,3，m )，若 l1l 2，则m( )A1 B2C. D312解析：l 1l2ab262 m0m2.答案：B3在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于( )AAC BBDCA 1D DA 1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 1.则 A(1,0,0)，B(1,1,0) ，C(0,1,0)，D(0,
10、0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ，(12，12，1) ，CE (12， 12，1)(1,1,0)，AC (1，1,0)，BD (1,0，1)，A1D (0,0，1)A1A (1) (1) 010，CE BD (12) ( 12)CEBD.答案：B4直线 l1 的方向向量 v1(1,0，1)，直线 l2 的方向向量为 v2(2,0,2) ，则直线 l1与 l2 的位置关系是_解析：v 1(1,0，1)，v 2 (2,0,2)，v22v 1，v1v2，l1 与 l2 平行或重合答案：平行或重合5已知在棱长为 a 的正方体 ABCDABCD 中，E 是 BC 的中点则直线A
11、C 与 DE 所成角的余弦值为_解析：如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0,0，a) ，C( a，a,0)，D(0，a, 0)，E ，(a，a2，0)则 (a，a，a)，A C ，DE (a， a2，0)cos ， .A C DE 1515答案：15156.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是DD1，BD 的中点，如图所示求证：EFCF .证明：建立如图所示的空间直角坐标系则 D(0,0,0)，E ，(0，0，12)C(0,1,0)，F .(12，12，0) ，EF (12，12， 12) .CF (12， 12，0) 00.EF CF 12 12 12 12
12、 ( 12) ，即 EFCF.EF CF 一、选择题1已知三条直线 l1，l 2，l 3 的一个方向向量分别为 a(4，1，0)，b(1,4,5)，c(3,12，9) ，则( )Al 1l 2，但 l1 与 l3 不垂直Bl 1l 3，但 l1 与 l2 不垂直Cl 2l 3，但 l2 与 l1 不垂直Dl 1，l 2，l 3 两两互相垂直解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9) 1212240.bc(1,4,5)( 3,12，9)348450，ab，a 与 c 不垂直， bc.l1l2，l 2l3，但 l1 不垂直于 l3.答案：A2已知直线 l1
13、的一个方向向量为 a(1，2,1)，直线 l2 的一个方向向量为b(2， 2,0)，则两直线所成角的余弦值为( )A1 B.63C. D.33 32解析：cosa，b|ab|a|b| .|1， 2，12， 2，0|12 22 12 22 22 |2 4|6 8 32答案：D3在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，BC2，DD 13，则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( )A0 B.37070C D.37070 7070解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C (0,2,0)所以 ( 2，2,3) ， BD1 AC (2,2
14、,0)所以 cos ， 0.BD1 AC 答案：A4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1， CACC 12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )A. B.55 53C. D.255 35解析：设 CA2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0) ，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)，可得向量( 2,2,1)，AB1 (0,2，1)，由向量的夹角公式得 cos ， BC1 AB1 BC1 . 20 22 1 10 4 1 4 4 1 15 55答案：A二、填空题5已知 a(2,4,5)，b(3， x，y) 分别是直线 l1，l 2
15、的方向向量，若 l1l 2，则x_， y_.解析：l 1l2，ab， ， x6，y .32 x4 y5 152答案：6 1526已知直线 l1 的方向向量为 a(1，2,2)，l 2 的方向向量为 b(x, 3，x)，且 l1l 2，则 x_.解析：l 1l2，ab，即 ab0，x 6 2x3x60，x2.答案：27若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于_解析：根据异面直线所成的角与方向向量的夹角之间的关系知，这两条异面直线所成的角等于 30.答案：308在直角坐标系 Oxyz 中，已知点 P(2cos x1,2cos 2x
16、2,0)和点 Q(cos x，1,3) ，其中 x0 ，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_解析：由 OPOQ，得 0.OP OQ 即(2cos x1)cos x (2cos 2x2)(1)0.cos x0 或 cos x .12x0，x 或 x .2 3答案： 或2 3三、解答题9.如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A，B，V 分别在 x， y，z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且ACBC2，VDC ，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值3解：因为 ACBC2，D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,
17、2,0)，D(1,1,0)在 RtVCD 中，CD ， VDC ，故 V(0,0， )23 6所以 (2,0,0)， (1,1， )AC VD 6所以 cos ， .AC VD 2222 24所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .2410.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG CD.应用空间向量方14法解决下列问题(1)求证：EFB 1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系由已知有 E ，F ，C(0,1,0)，(0，0，12) (12，12，0)B1
18、(1,1,1)，C 1(0，1,1)，G .(0，34，0)(1)证明： ，EF (12，12，0) (0，0，12) (12，12， 12)(0,1,0)(1,1,1) (1,0，1)，B1C (1) 0 (1) 0，EF B1C 12 12 ( 12)得 ，EFB 1C.EF B1C (2) (0,1,1) ，C1G (0，34，0) (0， 14， 1)| | ，C1G 02 ( 14)2 12 174由(1)得| | ，EF (12)2 (12)2 ( 12)2 32且 0 (1) ，EF C1G 12 12 ( 14) ( 12) 38cos ， ，EF C1G 5117异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 .5117
