1、23.2 抛物线的简单几何性质第一课时 抛物线的简单几何性质读教材填要点抛物线的几何性质类型 y22px( p0) y22px( p0) x22py( p0) x22py (p0)图象焦点F(p2，0)F( p2，0)F(0，p2)F(0， p2)准线xp2xp2yp2yp2范围 x0， yR x0 ，yR xR，y0 xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向 向右 向左 向上 向下小问题大思维1抛物线 y22px (p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即 x 轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫作焦半径，过焦点
2、的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若 P(x0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程 y2 2px(p0) y2 2px(p0)x2 2py(p0) x2 2py(p0)焦半径|PF|PF|_ |PF|_ |PF|_ |PF|_焦点弦 |AB|_ |AB|_ |AB|_ |AB|_|AB|提示：标准方程 y2 2px(p0) y22px(p0)x2 2py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|x 0p2 |PF| p2x 0|PF|y 0p2 |PF| y0p2焦点弦|AB|AB|x 1x 2
3、p|AB| p x1x 2|AB|y 1y 2p|AB|py 1y 2抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且过焦点垂直于 x 轴的弦 AB 的长为 8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程自主解答 当焦点在 x 轴的正半轴上时，设方程为 y22px (p0)当 x 时，yp，p2由|AB| 2p8，得 p4.故抛物线方程为 y28x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.当焦点在 x 轴的负半轴上时，设方程 y22px (p0)由对称性知抛物线方程为 y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1已知抛物线
4、的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为 y22px(p0)，焦点 F ，直线 l：x ，(p2，0) p2A，B 两点坐标为 ， .(p2，p) (p2， p)|AB|2|p|.OAB 的面积为 4， 2|p|4.12|p2|p 2 .2抛物线方程为 y24 x.2抛物线几何性质的应用已知 A，B 是抛物线 y22px(p0) 上两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线 AB 的方程自主解答 |OA| OB|，设
5、A，B 坐标分别为 A(x0， y0)，B (x0，y 0)AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，kFAkOB1，即 1，y0x0 p2( y0x0)y x0 2px 0(x00，p0)20 (x0 p2)x0 p.直线 AB 的方程为 x p.52 52若将“AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA OB”，求| AB|的值解：由题意知，AOB 为等腰直角三角形，且 A，B 两点关于 x 轴对称如图，设 A(x0，y 0)，则 kOA 1 且 y 2px 0，y0x0 20x0 y02p，|AB|2y 04p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容
6、易忽视这些隐含条件本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段 AB 垂直于 x轴故求直线 AB 的方程时求出 A 的横坐标即可2已知 A，B 是抛物线 y22px (p0)上两点，O 为坐标原点，若 OAOB，且 OA 的方程为 y2x，| AB|5 ，求抛物线的方程3解： OAOB， AOB 为直角三角形OA 所在直线为 y2x ，OB 所在直线方程为 y x.12由Error!得 A 点坐标 .(p2，p)由Error!得 B 点坐标为(8p， 4p)|AB|5 ，3 5 .p 4p2 (p2 8p)2 3p0，解得 p ，23913所求抛物线方程为 y2 x.43913抛物线中过焦点的弦长问
7、题过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，若|AB|7 ，求 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离自主解答 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知|AB| AF|BF|x 1 x 2 x 1x 2p，p2 p2即 x1x 227，得 x1x 25，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，52因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .52 72抛物线 y22px(p0)的过焦点的弦长|AB |x 1x 2p，其中 x1，x 2 分别是点 A，B 横坐标的绝对值；抛物线 x22py (p0)的过焦点的弦长|AB| y 1y 2p
8、，其中 y1，y 2 分别是点 A，B 纵坐标的绝对值3已知直线 l：y 4x6 与抛物线 y26x 交于 A，B 两点，求|AB|.解：设点 A，B 的坐标分别是(x 1，y 1)，( x2，y 2)联立Error!消去 y 得8x227x180，则 x1，x 2 是方程的两根，x1 x2 .278y 4x64 过抛物线的焦点 ，(x 32) (32，0)|AB|x 1x 23 3 .278 518解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y 24 相交于 A，B 两点，|AB|2 ，求抛物线方程3巧思 抛物线与圆相交
9、，根据已知可设抛物线方程为 y2ax(a0)，由圆和抛物线的对称性，可判断 A 与 B 关于 x 轴对称，结合| AB|2 可得 A，B 坐标，从而求出方程3妙解 由已知抛物线的焦点可能在 x 轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为 y2ax (a0)设抛物线与圆 x2y 24 的交点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)抛物线 y2ax(a0)与圆 x2y 24 都关于 x 轴对称，点 A 与 B 关于 x 轴对称|y1| y2|且|y 1|y 2|2 .3|y1| y2| .3代入圆 x2y 24 得 x234 ，解得 x1，A(1， )或 A(1， )3 3代入抛物线方程，得
10、( )2a， a3.3所求抛物线方程是 y23x 或 y23x.1顶点在原点，焦点为 F 的抛物线的标准方程是( )(32，0)Ay 2 x By 23x32Cy 2 6x Dy 26x解析：抛物线的焦点为 ，(32，0)p 3，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为 y26x.答案：C2抛物线 y28x 上的点 P 到焦点的距离的最小值是( )A2 B4C6 D8解析：设抛物线上的点 P 的坐标为(x 0，y 0)，则 P 点到焦点的距离 d|x 0| ，故p2dmin 2.p2答案：A3边长为 1 的等边三角形 OAB，O 为原点，ABx 轴，以 O 为顶点且过 A，B 的抛物线方程为( )
11、Ay 2 x By 2 x36 36Cy 2 x Dy 2 x36 33解析：由题意可知，抛物线的对称轴为 x 轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px( p0)，且 A 为 x 轴上方的点，则易求 A ，(32，12) p.p .14 3 312抛物线方程为 y2 x.36同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为 y2 x.36答案：C4已知 AB 是抛物线 2x2y 的焦点弦，若|AB| 4，则 AB 的中点的纵坐标为_解析：设 AB 的中点为 P(x0，y 0)，分别过 A，P，B 三点作准线的垂线，垂足分别为A，Q ，B .由题意得|AA | BB|AB| 4，|PQ| 2.又|
12、PQ|y 0 ，|AA | |BB |2 18所以 y0 2，解得 y0 .18 158答案：1585抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设所求点(x 0，y 0)，则 x y 2，20 20 (x0 14)又 y x 0，20x0 .y0 .18 24答案： (18， 24)6已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的弦长为 36，求弦所在的直线的方程解： 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，过焦点 F，垂直于 x 轴的弦长为 436.弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为 k，且与抛物线交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点设直线方程为 y
13、k(x1)由Error!消去 y，整理得 k2x2(2k 24)xk 20，x1 x2 .2k2 4k2|AB|AF| BF|x 1x 22 2.2k2 4k2又|AB| 36， 236.2k2 4k2k .24故所求直线的方程为 y x1 或 y x1.24 24一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A(6，) B6，)C(3，) D3 ，)解析：抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即 p6.p2又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)答案：D2过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是 AB，抛物
14、线的准线交 x 轴于点 M，则AMB 是( )A锐角 B直角C钝角 D锐角或钝角解析：由题意可得|AB|2p.又焦点到准线距离|FM |p，F 为 AB 中点，|FM| |AB|.12AMB 为直角三角形且 AMB90.答案：B3已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 交 x 轴于 R，过抛物线上点 P(4，4)作PQl 于 Q，则梯形 PQRF 的面积是( )A18 B16C14 D12解析：由题意知 PQRF 为一直角梯形，其中 PQRF，且| PQ|415，|RF|2，SPQRF 414.5 22答案：C4设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的
15、焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是 ( )A(0,2) B0,2C(2，) D2 ，)解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 4，根据已知只要|FM |4 即可根据抛物线定义，|FM |y 02，由 y024，解得 y02，故 y0 的取值范围是(2，)答案：C二、填空题5以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在 2x4y 30 上的抛物线方程是_解析：由题意知，抛物线的焦点为 F ，( 32，0)抛物线方程是 y26x.答案：y 26x6若抛物线 y2mx 与椭圆 1 有一个共同的焦点，则 m_.x29 y25解析：椭圆的焦点为(2,0)当抛
16、物线焦点为(2,0)时，m8，当抛物线焦点为(2,0) 时，m8.答案：87对于抛物线 y24x 上任意一点 Q，点 P(a,0)都满足|PQ |a|，则 a 的取值范围是_解析：设点 Q 的坐标为 .(y204，y0)由|PQ|a| ，得| PQ|2a 2，即 y 2a 2，20 (y204 a)整理，得 y (y 168a)0.20 20y 0， y 168a0.即 a2 恒成立20 20y208而 2 的最小值为 2，a2.y208答案：(，28已知顶点与原点 O 重合，准线为直线 x 的抛物线上有两点 A(x1，y 1)和14B(x2，y 2)，若 y1y21，则AOB 的大小是_解析
17、：由已知得抛物线方程为 y2x，因此 x 1x2y 1y2y y y 1y2OA OB 212(1) 2(1)0. .OA OB AOB90.答案：90三、解答题9若抛物线的顶点是双曲线 16x29y 2144 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程解：双曲线方程 16x29y 2144，化为标准形式为 1，中心为原点，左顶点为x29 y216(3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为 x3.由题意可设抛物线的标准方程为y22px( p0)，可得 3，故 p6.因此，所求抛物线的标准方程为 y212x.p210证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明：如图，
18、设抛物线方程 y22px(p0)，准线为 l，AB 为抛物线的焦点弦，点 P 为 AB 的中点，P 为以 AB 为直径的圆的圆心，AMl，BNl，PQl，垂足分别为 M，N，Q.则|AB| |AF| |BF|AM|BN| 2|PQ|，即|PQ| |AB|，12所以以 AB 为直径的圆必与准线相切即得证第二课时 直线与抛物线的位置关系读教材填要点直线与抛物线的位置关系设直线 l：ykxm，抛物线：y 22px (p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x 的方程：ax 2bx c0，(1)若 a0，当 0 时，直线与抛物线 相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线 相切，有一个交点；当
19、0 时，直线与抛物线 相离，无公共点(2)若 a0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合小问题大思维若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合直线与抛物线的位置关系若直线 l：y(a1)x1 与曲线 C：y 2ax 恰好有一个公共点，试求实数 a的取值集合自主解答 因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组Error!有唯一一组实数解消去 y，得(a1)x1 2ax，整理得(a1) 2x2(3a2)x1
20、0.(1)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元一次方程，解得 x1，这时，原方程组有唯一解Error!(2)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元二次方程令 (3a2) 24(a1) 2a(5a4) 0，解得 a0 或 a .45当 a0 时，原方程组有唯一解Error!当 a 时，原方程组有唯一解Error!45综上，实数 a 的取值集合是 . 1， 45，0若将“曲线 C：y 2ax 恰有一个公共点”改为“抛物线 C：y 2ax(a0)相交” ，如何求解？解：列方程组Error!消去 x 并化简，得(a1)y 2ay a0.(*)当 a10 即 a1 时：方程(*)化
21、为 y10，y 1.方程组的解为Error!故直线与抛物线相交当 a10 即 a1 时，由 (a) 24a(a1)0，得5a24a0，结合 a0，解得 a 或 a0.45综上所述，实数 a 的取值范围是 (0，) ( ， 45直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点1.如图，直线 l：y xb 与抛物线 C：x 24y 相切于点 A.(1)求实数 b 的值；(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由Error!得 x24x4b0，(*)因为直
22、线 l 与抛物线 C 相切，所以 (4) 24(4b)0.解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*) 为 x24x 40.解得 x2，代入 x24y ，得 y1，故点 A(2,1)因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y1 的距离即 r|1(1)| 2.所以圆 A 的方程为(x2) 2(y1) 24.弦长、中点弦问题已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2y 10 截得的弦长为，求此抛物线方程15自主解答 设抛物线方程为：x 2ay (a0)，由方程组Error!消去 y 得：2x 2ax a0，直线与抛物线有两个交点
23、，( a)24 2a0，即 a0 或 a8.设两交点坐标为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则x1x 2 ，x 1x2 ，y 1y 2 (x1x 2)，a2 a2 12弦长为|AB| x1 x22 y1 y22 54x1 x22 54x1 x22 4x1x2 .14 5a2 8a|AB| ， ，1514 5a2 8a 15即 a28a480，解得 a4 或 a12，所求抛物线方程为：x 24y 或 x212y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB| |x1x 2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式求1 k2解(2)
24、在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率2过点 Q(4,1)作抛物线 y28x 的弦 AB，若弦恰被 Q 平分，求 AB 所在直线方程解：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Error!k ，y1 y2x1 x2得(y 1y 2)(y1y 2)8(x 1x 2)将代入，得 y1y 24(x 1 x2)，4 .y1 y2x1 x2k 4.经验证，此时直线与抛物线相交所求弦 AB 所在直线方程为 y14( x4) ，即 4xy150.抛物线中的定点、定值问题A，B 是抛物线 y2
25、2px (p0)上的两点，并满足 OAOB，求证：(1)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线 AB 经过一个定点自主解答 (1)因为 AB 斜率不为 0，设直线 AB 方程为 myxb，由Error!消去 x，得 y22pmy2pb0.由 (2pm) 28pb0 ，又 y1 y22pm，y 1y22pb，OAOB ，x1x2y 1y20. y 1y20.y21y24p2b2 2pb0.b2p0.b2p.y1y24p 2，x 1x2b 24p 2.所以 A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和4p 2；(2)直线 AB 的方程为 myx2p，所以 A
26、B 过定点(2 p,0)直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于 0 等) 找出该定值，然后证明该定值即为所求3过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B，求证：y AyBp 2.证明：斜率不存在时 y1p，y 2p，y1y2p 2.斜率存在时，Error!消去 x 得，yk ，y22p kp2y1y2 p 2. kp2k2p解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线 y2x 上，存在 P，Q 两点，并且 P，Q 关于直线 y1k (x1)对称，求 k 的取值范围解 法一：设 P(
27、x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，Error!(y1y 2)(y1y 2)x 1x 2.又 Error!y1 y2k. 1 k (y1y 2)22y 1y22 k2 (y21 y22 1) k2 k2 kk 22y 1(ky 1)2 2ky 2k2y1k 3k 20.214k 48k( k3k 2)0.k(k 32k4)0.k(k32k4)0)相交于 A，B 两点，则|AB| 等于( )p2A5p B10pC11p D12p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得 x24pxp 20.设 A(x1， y1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 24p，y 1y 29p.直线过抛物线的焦点，|AB
28、|y 1y 2p10p.答案：B2过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析：不妨设 A，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，由直线 AB 斜率为2，且过点(1,0)得直线 AB 方程为 y2(x1)，代入抛物线方程 y28x 得 4(x1) 28x，整理得 x24x10，x1 x24，x 1x21，|AB| 1 k2|x1 x2|2 .5x1 x22 4x1x2 15答案：B3过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y22x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条 B2
29、条C3 条 D4 条解析：斜率不存在时，直线 x0 符合题意，斜率存在时，由Error!得 k2x2(2k2)x10，k0 时，符合题意，k0 时，由 0 得 k .12答案：C4已知OAB 为等腰直角三角形，其中| OA|OB |，若 A，B 两点在抛物线 y x2 上，14则OAB 的周长是_解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 21 且 k0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意得：x1x 2 4k2k2k 2k20.4k 8k2解得 k2 或 k1(舍去)由弦长公式得：|AB| 1 k264k 64k2 2 .51924 15一、选择题1过抛物线 y2
30、2px (p0)的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则的值为( )y1y2x1x2A4 B4Cp 2 Dp 2解析：取特殊位置，当 ABx 轴时，A ，B .(p2，p) (p2， p) 4.y1y2x1x2答案：B2设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,2 12，12C1,1 D 4,4解析：准线 x2，Q( 2,0) ，设 l：yk(x2)，由Error!得 k2x24(k 22)x4k 20.当 k0 时，x0，即交点为(0,0)，当 k0 时， 0，
31、1k0 或 0k1.综上，k 的取值范围是 1,1 答案：C3已知双曲线 1(a 0，b0) 的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离x2a2 y2b2为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为( 2，1) ，则双曲线的焦距为( )A2 B23 5C4 D43 5解析：由Error!解得Error!由题得知Error!解得Error!又知 a4，故 a2，b1，c ，p2 a2 b2 5焦距 2c2 .5答案：B4设定点 M 与抛物线 y22x 上的点 P 的距离为 d1，P 到抛物线准线 l 的距离(3，103)为 d2，则 d1d 2 取最小值时，P 点的坐标为( )A
32、(0,0) B(1， )2C(2,2) D.(18， 12)解析：连接 PF，则 d1d 2| PM|PF |MF |，知 d1d 2 的最小值为|MF|，当且仅当M，P ，F 三点共线时，等号成立，而直线 MF 的方程为 y ，与 y22x 联立可得43(x 12)x2，y2.答案：C二、填空题5已知抛物线 y24x ，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则 y y 的最小值是_ 21 2解析：显然 x10，x 20.又 y 4x 1，y 4x 2，所以 y y 4(x 1x 2)8 ，当且21 2 21 2 x1x2仅当 x1x 24 时取
33、等号，所以 y y 的最小值为 32.21 21答案：326过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 作斜率为 45的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由条件可知直线 AB 的方程为 yx ，p2由Error!得 x2px 2px .p24即 x23px 0，p24又|AB| 8，即 8.(x1 p2) (x2 p2)x1 x28p.即 3p8p，p2.答案：27直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，过 A， B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB 的面积为_解析：由
34、Error!消去 y 得 x210x 90，得 x1 或 9，即Error!或Error!所以|AP|10 ，| BQ|2 或|BQ|10 ，| AP|2，所以| PQ|8，所以梯形 APQB 的面积S 848.10 22答案：488已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A，B 满足 3 ，则弦 AB 的中AF FB 点到准线的距离为_解析：依题意，设直线 AB 的方程是 xmy1，A(x 1，y 1)，B (x2，y 2)，则由Error!消去 x 得 y24(my1) ，即 y24my40，所以 y1y 24m，y 1y24.又 3 ，AF FB (1x 1，y 1)， ( x2
35、1，y 2)，AF FB 于是有y 13y 2，y ，243(y1y 2)24y ，2163弦 AB 的中点到准线的距离为 1 1x1 x22 y21 y28 1 1 .y1 y22 2y1y28 163 88 83答案：83三、解答题9已知抛物线 y2x 与直线 l：yk(x1)相交于 A，B 两点(1)求证：OA OB；(2)当OAB 的面积等于 时，求 k 的值10解：(1)证明：易知 k0，联立Error!消去 x，得 ky2y k0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 2 ，y 1y21.1k因为 y x 1，y x 2，21 2所以(y 1y2)2x 1x2，
36、所以 x1x21，所以 x1x2y 1y20，即 0，所以 OAOB.OA OB (2)设直线 l 与 x 轴的交点为 N，则 N 的坐标为(1,0)，所以 SAOB |ON|y1y 2|12 |ON|12 y1 y22 4y1y2 1 ，12 1k2 4 10解得 k2 ，所以 k .136 1610.如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB， AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值证明：设 AB 的斜率为 k，则 AC 的斜率为k.故直线 AB 的方程是 y2k( x4) ，与 y2x 联立得，y2k(y 24)，即 ky2y4k20.y 2 是此方程的一解，2yB ，y B ， 4k 2k 1 2kkxBy .2B1 4k 4k2k2B .(1 4k 4k2k2 ，1 2kk )kAC k，以k 代替 k 代入 B 点坐标得点 C 的坐标为 ，(1 4k 4k2k2 ，1 2k k)kBC 为定值 1 2kk 1 2kk1 4k 4k2k2 1 4k 4k2k2 14
