1、2.4 圆锥曲线的应用椭圆、双曲线的应用我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心(简称“地心”) F2 为一个焦点的椭圆已知它的近地点 A(离地面最近的点) 距地面 439 km，远地点 B(离地面最远的点 )距地面 2 384 km，AB 是椭圆的长轴，地球半径约为 6 371 km 如图所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系 xOy， AB 与地球交于 C，D 两点求卫星运行的轨道方程(结果精确到 1 km)自主解答 设椭圆方程为 1(ab0) x2a2 y2b2由题意知|AC|439 ，|BD|2 384，| F2C|F 2D|6 371.a
2、c|OA |OF 2| F2A|4396 3716 810，ac|OB |OF 2| F2B|2 3846 3718 755，解得 a7 782.5，c972.5，所以 b 7 722.a2 c2 a ca c因此，卫星运行的轨道方程是 1.x27 7832 y27 7222(1)有关椭圆的轨迹问题，应注意如下结论的直接应用：“ 椭圆上到一焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点” (2)解决实际应用题的一般思路是：首先根据题意画出几何图形，并建立合适的平面直角坐标系；然后设出待求椭圆、双曲线的标准方程，找出题中已知的量和隐含的关系式，求解方程1.某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，
3、挖出的土只能沿道路 AP，BP 运到 P 处，如图所示，PA 100 m，PB 150 m ，APB60 ，试说明怎样运土才能最省工解：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系设M 是分界线上的点，则有|MA| | PA| MB|PB| ，于是有|MA| MB|PB |PA|150 10050.这说明这条分界线是以 A，B 为焦点的双曲线的右支，在APB 中，由余弦定理得：|AB|2| AP|2|PB |22|AP| PB|cos 6017 500，从而 a25，c 2 4 |AB|24375，b 2c 2 a23 750，所以所求分界线方程为： 1(
4、x25) ，于是运土时，x2625 y23 750将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 点，右侧的土沿 BP 运到 P 点最省工抛物线的应用一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽 AB恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整数值自主解答 以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为 x22py(p0)，则点 B 的坐标为 ，(a2， a4)由点 B 在抛物线上，得 22p ，所以 p ，(a2) ( a4) a2所以抛物线方程为 x2ay .将点(0.8，y 0)代入抛物线方程，得 y0 .0
5、.64a欲使卡车通过隧道，应有 |y 0| 3.a4 a4 0.64a解得 a12.21，或 a0.21(舍去) a 取整数， a 的最小值为 13.在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用2.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一木船宽 4 m，高 2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，则水面上34涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为 x2
6、2py(p0)由题意知，点 A(4，5) 在抛物线 x22py (p0)上，162p(5)，2p .165抛物线方程为 x2 y( 4x4) 165设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B，B时，船开始不能通航，设B(2， y) ，由 22 y，得 y ，165 54水面与抛物线拱顶相距|y | 2(m)故水面上涨到与抛物线拱顶相距 2 m 时，船开始不能通航34解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆 1(ab0)与 x 轴的交点为 A1，A 2，P 是椭圆上任一点，F 是它的一x2a2 y2b2个焦点，证明：以线段 PF 为直径的圆与以线段 A1A2 为直径的圆
7、相切巧思 判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系若 M为 PF 的中点，则圆心距为|OM|.妙解 由椭圆方程 1(ab0)知，x2a2 y2b2以线段 A1A2 为直径的圆为 x2y 2a 2.设 F1 是椭圆的另外一个焦点，点 M 是线段 PF 的中点，则|MO| |PF1| (2a| PF|)a |PF|.12 12 12即以线段 A1A2 为直径的圆( 圆心为 O)与以线段 PF 为直径的圆(圆心为 M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切1若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是( )x2a2 y2a 6A(3，)B(，2)C(，2)(
8、3，)D(3，) (6，2)解析：要满足方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆需有Error!解得63.答案：D2已知双曲线 1(a 0，b0) 的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分x2a2 y2b2别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 ，则 p( )3A1 B.32C2 D3解析：因为双曲线的离心率 e 2，所以 b a，所以双曲线的渐近线方程为 yca 3x x，与抛物线的准线 x 相交于 A ，B ，所以AOB 的面积ba 3 p2 ( p2，32p) ( p2， 32p)为 p ，又 p0，所以 p2.12 p2 3 3答案：C3过双曲
9、线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，F 1 是另一焦点，若PF 1Q ，则2双曲线的离心率 e 等于( )A. 1 B.2 2C. 1 D. 22 2解析：PF 1F2 是等腰直角三角形，|PF 2|F 1F2|2c，|PF 1|2 c，| PF1|PF 2|2a,22c 2c2a，e 1.2ca 12 1 2答案：C4焦点在 x 轴上的椭圆，焦距| F1F2|8，离心率为 ，椭圆上的点 M 到焦点 F1 的距离45为 2，N 为 MF1 的中点，则|ON|(O 为坐标原点)的值为_解析：|F 1F2| 2c8，e ，a5，ca 45|MF1| |MF2|2a10，|MF 1|2， |
10、MF2|8.又 O，N 分别为 F1F2，MF 1 的中点，ON 是 F1F2M 的中位线，| ON| |MF2|4.12答案：45设 F1，F 2 是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点 A，使x2a2 y2b2F 1AF290，且 AF13AF 2，则该双曲线的离心率为_解析：由 AF13AF 2，设 AF2m ，AF 13m( m0)，则 2aAF 1AF 22m,2c m，AF21 AF2 10离心率 e .2c2a 102答案：1026某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：建立如图所示的直角坐
11、标系，设抛物线方程为 x22py( p0)，由题意知，点 P(10，4) 在抛物线上，1002p(4)，2p25 ，即抛物线方程为 x225y .每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2，y B)，代入 x225y，得 yB ，425AB4 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米425一、选择题1若直线 kxy10( kR)与椭圆 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是( )x25 y2mA(0,1) B(0,5)C1,5) (5 ，) D1 ，)解析：直线 kxy10 恒过点(0,1)，由题意知，该点在椭圆内或椭圆上，故
12、有Error!解得 m1 且 m5，故选 C.答案：C2若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF| MA|取得最小值的 M 的坐标为( )A(0,0) B.(12，1)C(1， ) D(2,2)2解析：设 M(x0，y 0)，则| MF|可以看作是点 M 到准线的距离，当点 M 移动到和点 A 的纵坐标相等时，| MF| MA|取得最小值，即 y02，代入 y22x，得 x02，即 M(2,2)答案：D3椭圆 1 的焦点为 F1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知 0，则x225 y29 PF1 PF2 F1PF2 的面积为 ( )A9 B
13、12C10 D8解析： 0，PF 1PF2.PF1 PF2 |PF1|2|PF 2|2|F 1F2|2 且|PF 1|PF 2|2a.又 a5，b3，c 4.Error! 2，得 2|PF1|PF2|10 264，|PF1|PF2|18.F1PF2 的面积为S |PF1|PF2|9.12答案：A4已知双曲线的两个焦点 F1( ，0)，F 2( ，0) ，M 是此双曲线的一点，且 10 10 MF1 0，| | |2，则该双曲线的方程是( )MF2 MF1 MF2 A. y 21 Bx 2 1x29 y29C. 1 D. 1x23 y27 x27 y23解析：由已知 MF1MF2，|MF1|2|
14、 MF2|2|F 1F2|2，(|MF1|MF 2|)22|MF 1|MF2| F1F2|2，即(| MF1|MF 2|)2(2 )2 436.10|MF1| |MF2|6，a 3，c ，b1，10双曲线方程是 y 21.x29答案：A二、填空题5若曲线 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 _x24 k y21 k解析：由题意知(4k)(1 k)0，k1 或 k0 时， 1， 25，20；x2 y24 4当 0)上的一点 M(1，m )(m0)到其焦点的距离为 5，双曲线y 21 的左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 a 的值为x2a_解析：由题意，得 1 5，p8
15、， m4， M(1,4)，又 A( ，0)，直线 AM 的p2 a斜率为 kAM ， ，a .4 01 a 1a a 13 19答案：19三、解答题9.连霍高速公路的某隧道，其横断面由抛物线的一段与矩形三边组成，尺寸如图所示一辆卡车在空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽 3 米，卡车与箱共高 4.5 米，此时，卡车能否通过此隧道，请说明理由解：以此隧道的横断面的抛物线拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，依题意知点 A(3，3)在抛物线上，322p(3)，解得 p ，32抛物线的标准方程为 x23y.又集装箱宽 3 米，当
16、x1.5 时，y0.75，即离隧道中心线 1.5 米处，隧道面离地面的距离为 50.754.25 米，而箱顶离地面的高度为 4.5 米，故此时卡车不能通过此隧道10.一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上，片门位于另一个焦点 F2 上由椭圆一个焦点 F1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2.已知 BCF 1F2， F1B2.8 cm， F1F24.5 cm.试建立适当的坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程( 精确到 0.1 cm)解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为 1(a b0)x2a2 y2b2在 RtBF1F2 中， F2B .F1B2 F1F2 2.82 4.52由椭圆的定义，知 F1BF 2B2a，所以 a (F1BF 2B) (2.8 )12 12 2.82 4.524.1，b 3.4，a2 c2 4.12 2.252所以，所求的椭圆方程为 1.x24.12 y23.42
