1、2017 年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知复数 z ，则 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 A2，4，5，B1 ，3，5，7，则（ UA）B（ ）A7 B3 ，5 C1 ，3，6，7 D1 ，3，73 （5 分）下列选项中说法正确的是（ ）A命题“pq 为真”是命题 “pq 为真”的必要条件B向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为锐角C若 am
2、2bm 2，则 abD “x0R，x 02x 00”的否定是“x R，x 2x0”4 （5 分）若等差数列a n的公差为 2，且 a5 是 a2 与 a6 的等比中项，则该数列的前 n 项和Sn 取最小值时，n 的值等于（ ）A4 B5 C6 D75 （5 分）过双曲线 1（b0）的左焦点的直线交双曲线的左支于 A、B 两点，且|AB |6，这样的直线可以作 2 条，则 b 的取值范围是（ ）A （0，2 B （0，2） C （0， D （0， ）6 （5 分）已知若 ， 是夹角为 90的两个单位向量，则 3 ， 2 +的夹角为（ ）A120 B60 C45
3、 D307 （5 分）a （cosx）dx，则（ax+ ） 9 展开式中，x 3 项的系数为（ ）A B C D8 （5 分）如图是求样本 x1、x 2、x 10 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容第 2 页（共 25 页）为（ ）ASS+x n BSS+ CSS+n DSS+9 （5 分）设 F 为抛物线 x24y 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若+ + ，则|FA|+|FB |+|FC|的值为（ ）A3 B6 C9 D1210 （5 分）函数 yf（x）的定义域是 R，若对于任意的正数 a，函数 g（x）f（x+a）f（x ）都是其定义
4、域上的减函数，则函数 yf（x ）的图象可能是（ ）A BC D11 （5 分）公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与第 3 页（共 25 页）它的直径（d）的立方成正比” ，此即 Vkd 3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vma 3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vna 3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vta 3；那么 m：n：t（ ）A1：6 ：4 B ：12：16 C ：
5、1： D ：6：412 （5 分）设 f（x ）为最接近 （n N*）的整数，如 f（1）1，f （2）1，f（3）2，f（4）2，f（5） 2，若正整数 m 满足+ 4034，则 m（ ）A20162017 B2017 2 C20172018 D20182019二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知函数 y3cos（2x+）的图象关于点 中心对称，则| |的最小值为 14 （5 分）袋中有大小质地完全相同的 2 个红球和 3 个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件 A， “摸得的两球同色”为事件 B
6、，则概率 P（B|A）为 15 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 16 （5 分）已知动点 P（x ，y ）满足： ，则 x2+y26x 的最小值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2asinB b（1）求角 A 的大小；第 4 页（共 25 页）（2）若 0A ，a6，且ABC 的面积 S ，求ABC 的周长18 （12 分）某手机卖场对市民进行国产
7、手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁） 频数25，30） x30，35） y35，40） 3540，45） 3045，50 10合计 100（）求频率分布表中 x、y 的值，并补全频率分布直方图；（）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人重随机抽取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年龄在35，40）内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，ADC45，ADA
8、C 1，O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO 1，M 为 PD 的中点（）证明：PB平面 ACM；（）设直线 AM 与平面 ABCD 所成的角为 ，二面角 MACB 的大小为 ，求sincos 的值第 5 页（共 25 页）20 （12 分）设椭圆 E： + 1（a0）的焦点在 x 轴上（）若椭圆 E 的离心率 e a，求椭圆 E 的方程；（）设 F1、F 2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为直线 x+y2 与椭圆 E 的一个公共点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，连结 F1P，问当 a 变化时， 与 的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由21 （12 分
9、）设函数 f（x ）x 2a x（a0，且 a1） ，g（x）f（x） （其中 f（x）为f（x）的导函数） （1）当 ae 时，求 g（x ）的极大值点；（2）讨论 f（x ）的零点个数请考生在第 22、23 题中任选一题作答【选修 4-4：坐标系与参数方程】22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得曲线 C（）写出 C 的参数方程；（）设直线 l：3x +y+10 与 C 的交点为 P1、P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程【选修 4-5：不等式选讲】23已知 a0，b0
10、，c0，函数 f（x）|x +a|xb|+c 的最大值为 10（1）求 a+b+c 的值；（2）求 （a1） 2+（b2） 2+（c3） 2 的最小值，并求出此时 a、b、c 的值第 6 页（共 25 页）2017 年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）已知复数 z ，则 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z 的坐标得答案【解答】解：z ，z 在复平面内对应的点的坐标
11、为（1，3） ，在第三象限故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分）已知全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 A2，4，5，B1 ，3，5，7，则（ UA）B（ ）A7 B3 ，5 C1 ，3，6，7 D1 ，3，7【分析】由补集定义先求出 UA，再由交集定义能求出（ UA）B【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，6，7，集合 A2 ，4 ，5，B 1，3，5，7 ， UA1，3 ，6，7，（ UA）B 1，3，7故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题
12、3 （5 分）下列选项中说法正确的是（ ）A命题“pq 为真”是命题 “pq 为真”的必要条件B向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为锐角C若 am2bm 2，则 abD “x0R，x 02x 00”的否定是“x R，x 2x0”第 7 页（共 25 页）【分析】A，根据 pq、pq 的真值表判定；B，根据向量数量积的定义，向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为锐角或同向；C，如果 m20 时，am 2bm 2 成立，ab 不一定成立；D， “x0R，x 02x 00”的否定是“x R，x 2x0” 【解答】解：对于 A，若 pq 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题，若 pq 为真命
13、题，则 p，q 都为真命题，则“pq 为真命题”是“pq 为真命题”的必要不充分条件，正确；对于 B，根据向量数量积的定义，向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为锐角或同向，故错；对于 C，如果 m20 时，am 2bm 2 成立，ab 不一定成立，故错；对于 D， “x0R，x 02x 00”的否定是“x R，x 2x0” ，故错故选：A【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复合命题的真假判断、充分必要条件的概念及应用、四种命题及全称命题与特称命题之间的关系，属于中档题4 （5 分）若等差数列a n的公差为 2，且 a5 是 a2 与 a6 的等比中项，则该数列的前 n 项和Sn 取最小
14、值时，n 的值等于（ ）A4 B5 C6 D7【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时 n 的值【解答】解：由 a5 是 a2 与 a6 的等比中项，可得 a52a 2a6，由等差数列a n的公差 d 为 2，即（a 1+8） 2（a 1+2） （a 1+10） ，解得 a111，ana 1+（n1）d11+2 （n1）2n13，由 a10，a 20，a 60，a 70，可得该数列的前 n 项和 Sn 取最小值时，n6故选：C第 8 页（共 25 页）【点
15、评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前 n 项和的最小值，属于中档题5 （5 分）过双曲线 1（b0）的左焦点的直线交双曲线的左支于 A、B 两点，且|AB |6，这样的直线可以作 2 条，则 b 的取值范围是（ ）A （0，2 B （0，2） C （0， D （0， ）【分析】由双曲线的通径与弦长丨 AB 丨的关系，即可求得 b 的取值范围【解答】解：由题意过双曲线 1（b0）的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于A，B 两点，使得|AB|6，A，B 位于双曲线的左支，即当直线的斜率不存
16、在时，丨 AB 丨最短，这样的直线有且仅有两条，则 b 2|AB |6，解得 0b ，故选：D【点评】本题考查双曲线的弦长与通径的关系，通径公式，属于基础题，6 （5 分）已知若 ， 是夹角为 90的两个单位向量，则 3 ， 2 +的夹角为（ ）A120 B60 C45 D30【分析】由已知可得 ， ，进一步求得 ，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解： ， 是夹角为 90的两个单位向量， ， ， ； ；（3 ）（2 + ） 第 9 页（共 25 页）设 与 的夹角为 ，cos ，0，180，45 故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求向量的夹角，是中档题
17、7 （5 分）a （cosx）dx，则（ax+ ） 9 展开式中，x 3 项的系数为（ ）A B C D【分析】a （cosx）dx 1，则（ ax+ ） 9 即 ，通过 的通项公式即可得出【解答】解：a （cosx）dx 1，则（ ax+ ） 9 即 ，的通项公式 Tr+1 x92r 令 92r3，交点 r3x 3 项的系数 故选：A【点评】本题考查了二项式定理的应用、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8 （5 分）如图是求样本 x1、x 2、x 10 平均数 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）第 10 页（共 25 页）ASS+x n B
18、SS+ CSS+n DSS+【分析】由题目要求可知：该程序的作用是求样本 x1，x 2，x 10 平均数 ，循环体的功能是累加各样本的值，故应为：SS+x n【解答】解：由题目要求可知：该程序的作用是求样本 x1，x 2，x 10 平均数 ，由于“输出 ”的前一步是“ ”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为：SS+x n故选：A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9 （5 分）设 F
19、 为抛物线 x24y 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若+ + ，则|FA|+|FB |+|FC|的值为（ ）A3 B6 C9 D12第 11 页（共 25 页）【分析】由题意可得 F（0，1）是三角形 ABC 的重心，故 1，再由抛物线的定义可得|FA|+|FB|+|FC|（ y1+1）+ （y 2+1）+（y 3+1）6【解答】解：抛物线 x24y 焦点坐标 F（0，1） ，准线方程：y1，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C （x 3，y 3） + + ，点 F 是ABC 重心，则 1，y 1+y2+y33 由抛物线的定义可知：|FA|+|FB|+|
20、FC|（y 1+1）+ （y 2+1）+（y 3+1）6，|FA|+|FB|+|FC|6，故选：B【点评】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题10 （5 分）函数 yf（x）的定义域是 R，若对于任意的正数 a，函数 g（x）f（x+a）f（x ）都是其定义域上的减函数，则函数 yf（x ）的图象可能是（ ）A BC D【分析】根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值的量要越来越小，分析选项可得答案【解答】解：根据减函数定义，设 x1x 2g（x 1）g（x 2）0f（x 1+a）f（x 1）f（x 2+a）f（x
21、2）第 12 页（共 25 页）f（x 1+a）f（x 2+a）f（x 1）f（x 2）由此我们可知在自变量增大的过程中函数值的量要越来越小，故有 f（x 1） f（x 2）只有 B 图象符合故选：B【点评】本题考查函数的单调性以及不等式的知识，注意巧妙利用函数的单调性11 （5 分）公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比” ，此即 Vkd 3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vma 3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vna 3；（3
22、）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即 Vta 3；那么 m：n：t（ ）A1：6 ：4 B ：12：16 C ：1： D ：6：4【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出【解答】解：由题意，正四面体的体积 V a3；正方体的体积 Va 3；正八面体的体积 V2 a3，m：n：t1：6 ：4，故选：A【点评】本题考查了正四面体、正方体、正八面体的体积计算公式、类比推力，属于中档题12 （5 分）设 f（x ）为最接近 （n N*）的整数，如 f（1）1，f （2）1，f（3）2，f（4）2，f（5） 2，若正整数 m
23、满足+ 4034，则 m（ ）A20162017 B2017 2 C20172018 D20182019【分析】写出前几项，找出规律，即可求得 m 的值第 13 页（共 25 页）【解答】解：由 1， 1，2 个 ， ， ， ，4 个 ， ， ， ， ， ，6 个 ， ， ，8 个 ， + + + 12+ 4+ 6+ 2n4034，则 4034，则 2n4034，则 n2017，总共有 2017 个 ，则 f（ ） ，故 m 的值为 20172018；故选：C【点评】本题考查函数值的求法，要求学生通过观察，分析归纳发现规律的能力，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题二、填空
24、题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）已知函数 y3cos（2x+）的图象关于点 中心对称，则| |的最小值为 【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得| |的最小值【解答】解：函数 y3cos（2x+）的图象关于点 中心对称，2 +k + ，kZ，k ，k Z，则| 的最小值为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题14 （5 分）袋中有大小质地完全相同的 2 个红球和 3 个黑球，不放回地摸出两球，设“第第 14 页（共 25 页）一次摸得红球”为事件 A， “摸得的两球同色”为事件 B，则概率 P（
25、B|A）为 【分析】求出事件 A 发生的概率，事件 AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得P（B| A） 【解答】解：由 P（A） ，P（AB） ，由条件概率 P（B|A） ，故答案为： 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题15 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 41 【分析】由三视图知该几何体是的三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，把三棱锥ABCD 的外接球转化为对应三棱柱的外接球，结合图象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半径，代入球的表面积公
26、式求解即可【解答】解：由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥 ABCD将该三棱锥是放在棱长为 4 的正方体中，E 是棱的中点，所以三棱锥 ABCD 和三棱柱 DEFABC 的外接球相同，设外接球的球心为 O、半径是 R，ABC 外接圆的圆心是 M，则 OM2，在ABC 中，AB AC2 ，由余弦定理得，cosCAB ，所以 sinCAB ，由正弦定理得，2CM 5，则 CM ，所以 ROC 则外接球的表面积 S4R 241，第 15 页（共 25 页）故答案为：41【点评】本题考查了空间几何体三视图，正弦定理和余弦定理的综合应用，解题关键是由三视图还原为几何体、确定外接圆的圆心位置，是中档题16
27、 （5 分）已知动点 P（x ，y ）满足： ，则 x2+y26x 的最小值为 【分析】不等式组中的第三个不等式可化为 xy，作出该不等式组表示的平面区域，x2+y26x 的几何意义求最小值【解答】解：由 ，y+ y +|y|0， ，函数 f（x） 是减函数，xy，原不等式组化为 该不等式组表示的平面区域如下图：x 2+y26x（x3） 2+y29由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中 A（ ）的距离最小，所以x2+y26x 的最小值为 第 16 页（共 25 页）故答案为： 【点评】考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数
28、的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 2asinB b（1）求角 A 的大小；（2）若 0A ，a6，且ABC 的面积 S ，求ABC 的周长【分析】 （1）由 2asinB b，根据正弦定理化简即可求角 A 的大小（2）利用“整体”思想，利用余弦定理求解 b+c 的值，即可得ABC 的周长【解答】解：（1）由题意 2asinB b由正弦定理得：2sinAsinB sinB0B，sinB0sinA 0AA 或 第 17 页（共 25 页）
29、（2）ABC 的面积 S ，即 bcsinA ，可得：bc 由余弦定理得，a 2b 2+c22bccosA（b+c） 23bc，即 36（b+c） 228，从而 b+c8故ABC 的周长 la+b+ c14【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用能力属于基础题18 （12 分）某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取 100 名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组（岁） 频数25，30） x30，35） y35，40） 3540，45） 3045，50 10合计 100（）求频率分布表中 x、y 的值，并补全频率分布直方图；（）在抽取的这
30、100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这 20 人重随机抽取 2 人各赠送精美礼品一份，设这 2 名市民中年龄在35，40）内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望【分析】 （I）利用频率分布直方图的性质即可得出（II）各层之间的比为 5：20：35：30：101：4：7：6 ：2，且共抽取 20 人，可得年第 18 页（共 25 页）龄在35，40）内层抽取的人数为 7 人X 可取 0，1，2，P（Xk ） ，即可得出【解答】解：（I）由图知， P（25x30）0.015 0.05，故x1000.055；（2 分）P（30x35） 1（0.0
31、5+0.35+0.3+0.1 ）10.80.2故 y1000.220， （4 分）其 0.04（6 分）（II）各层之间的比为 5：20：35：30：101：4：7： 6：2，且共抽取 20 人，年龄在35，40）内层抽取的人数为 7 人 （8 分）X 可取 0，1，2，P（X k ） ，可得 P（X0） ，P（X1） ，P（X2） 故 X 的分布列为：（10 分）X 0 1 2P故 E（X）0 +1 +2 （12 分）【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为
32、平行四边形，ADC45，ADAC 1，O 为 AC 的中点，PO平面 ABCD，PO 1，M 为 PD 的中点（）证明：PB平面 ACM；（）设直线 AM 与平面 ABCD 所成的角为 ，二面角 MACB 的大小为 ，求sincos 的值第 19 页（共 25 页）【分析】 （）连结 OM，推导出 OMPB ，由此能证明 PB平面 ACM（2）取 DO 的中点 N，连结 MN，AN，则 MNPO，推导出MAN 为所求的直线AM 与平面 ABCD 所成的角，从而求出 sin ，取 AO 的中点 R，连结NR，MR，则 MRN 为二面角 MACB 的补角，即为 从而得到 cos（）cos ，由此能
33、求出 sincos【解答】证明：（）连结 OM，在PBD 中，O 为 AC 的中点，M 为 PD 的中点OMPB，OM平面 ACM，PB平面 ACM，PB平面 ACM；（4 分）解：（2）取 DO 的中点 N，连结 MN，AN，则 MNPO，PO平面 ABCD，MN 平面 ABCD，MAN 为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角MN PO ，在 Rt ADO 中，DO ，AN DO ，在 Rt AMN 中，AM ，sin ， （8 分）取 AO 的中点 R，连结 NR，MR，NRAD，NROA，MN平面 ABCD，由三垂线定理知 MRAO ，故MRN 为二面角 MAC B 的补角，即为
34、 NR ，MN ，cos（ ）cos ， （11 分）第 20 页（共 25 页）sincos （12 分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20 （12 分）设椭圆 E： + 1（a0）的焦点在 x 轴上（）若椭圆 E 的离心率 e a，求椭圆 E 的方程；（）设 F1、F 2 分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为直线 x+y2 与椭圆 E 的一个公共点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，连结 F1P，问当 a 变化时， 与 的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由【分析】 （1）由
35、题知 c2a 2（8a 2）2a 28，由 得a425a 2+1000，可得 a2（2）设 P（x 0，y 0） ，F 1（ c，0） ，F 2（c，0） ，则 c22a 28，联立 得点 P 坐标，写出直线 PF2 的方程求出点 Q 的坐标由 ，可得 与 的夹角【解答】解：（1）由题知 c2a 2（8a 2）2a 28，由 得a425a 2+1000，故 a25 或 20（舍） ，故椭圆 E 的方程为 ；（4 分）第 21 页（共 25 页）（2）设 P（x 0，y 0） ，F 1（ c，0） ，F 2（c，0） ，则 c22a 28，联立 得 8x24 x+a40，即（2 a 2） 20，
36、故 ， ， （7 分）直线 PF2 的方程为 ，令 x0，则 ，即点 Q 的坐标为（0，） ，故 ， （9 分）故 （11 分）故 与 的夹角为定值 （12 分）【点评】本题考查了椭圆的方程，圆锥曲线与向量，及运算能力的考查，属于中档题21 （12 分）设函数 f（x ）x 2a x（a0，且 a1） ，g（x）f（x） （其中 f（x）为f（x）的导函数） （1）当 ae 时，求 g（x ）的极大值点；（2）讨论 f（x ）的零点个数【分析】 （1）令 g（x）0 求出 g（x）的极值点，判断 g（x）的符号变化即可得出答案；（2）f（x） 2xlnaa x，对 a 和 x 进行讨论，利用零
37、点的存在性定理，结合函数的图象判断零点的个数【解答】解：（1）ae 时，g（x）2x e x，g（x）2e x，令 g（x）0 得：2e x0，解得 xln2，当 xln2 时， g（x）0；当 xln2 时，g（x）0，g（x）的极大值点为 ln2（2） （）当 a1 时，f（ x）2xlna ax，当 x0 时，f（x）0，f（x ）在（，0）上为减函数，第 22 页（共 25 页）f（1）1 0，f（0）10，f（x）在（ ，0）有一个零点；当 x0 时，令 f（x）0 得 x2a x，即 lna ，令 h（x） ，则 h（x） 当 0xe 时，h（x ） 0；当 xe 时，h（x） 0
38、，h（x）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+）上单调递减，做出 yh（x）的图象如下图，由图象可知：当 lna 即 a 时，f （x）在（0，+）上无零点；当 lna 即 a 时，f （x）在（0，+）上有 1 个零点；当 0 lna 即 1a 时，f （x）在（0，+）上有 2 个零点；（）当 0a1 时，f（ x）2xlna ax，当 x0 时，f（x）0，f（x ）在（0，+）上是增函数，f（0）l0，f（1）1a0，f（x）在（0 ，+）上有 1 个零点；当 x0 时，令 f（x）0 得 lna ，第 23 页（共 25 页）令 H（x） ，则 H（x ） ，当ex0 时，H（x）
39、0，当 xe 时，H（x）0，H（x）在（，e）上单调递减，在（e，0）上单调递增，作出 yH（x）的函数图象如图：由图象可知：当 lna 即 0 时，f （x）在（，0）上无零点；当 lna 即 a 时， f（x）在（，0）上有 1 个零点；当 lna0 即 a 1 时，f （x）在（，0）上有 2 个零点；综上：当 0 a 或 a 时，f（x）有 1 个零点；当 a 或 a 时，f（x）有 2 个零点；当 a 1 或 1a 时，f（x）有 3 个零点【点评】本题考查了导数与函数单调性，极值的关系，函数零点的个数与函数图象的关系，分类讨论思想，属于难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答
40、【选修 4-4：坐标系与参数方程】22 （10 分）将圆 x2+y21 上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得曲线 C第 24 页（共 25 页）（）写出 C 的参数方程；（）设直线 l：3x +y+10 与 C 的交点为 P1、P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程【分析】 （）由坐标变换公式得 x3x，y y，代入 x2+y21 中，得 9x'2+y'21，由此能求出曲线 C 的参数方程（）联立 ，得 P1（ ，0） ，P 2（0，1） ，由此能求出过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直
41、线的极坐标方程【解答】解：（）将圆 x2+y21 上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得曲线 C由坐标变换公式 ，得 x3x，y y，代入 x2+y21 中，得 9x'2+y'21，故曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （5 分）（）联立 ，得 或 ，由题知，P 1（ ，0） ，P 2（0，1） ，P 1 P2 线段中点 M（ ， ） ， 3，故 P1 P2 线段中垂线的方程为 y+ （x+ ） ， （8 分）即 3x9y40，即极坐标方程为 3cos9sin 4 0 （10 分）【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查过线段的中点且与直线垂直的直线的极坐标方程的求法
42、，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用【选修 4-5：不等式选讲】23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|x +a|xb|+c 的最大值为 10（1）求 a+b+c 的值；（2）求 （a1） 2+（b2） 2+（c3） 2 的最小值，并求出此时 a、b、c 的值【分析】 （1）利用绝对值不等式，求出 f（x ）的最大值为 a+b+c，即可求 a+b+c 的值；第 25 页（共 25 页）（2）利用柯西不等式，即可得出结论【解答】解：（1）f（x ）|x+a| xb|+c| b+a|+c，当且仅当 xb 时等号成立，a0，b0，f（x ）的最大值为 a+b+c又已知 f（x）的最大值为 10，所以 a+b+c10 （4 分）（2）由（1）知 a+b+c10，由柯西不等式得 （a1） 2+（b2） 2+（c3） 2（2 2+12+12）（a+b+ c6） 216，即 （a1） 2+（b2） 2+（c3） 2 （7 分）当且仅当 （a1）b2c3，即 a ，b ，c 时等号成立 （10 分）【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
