1、2017 年湖北省荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等八校联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6，则A（ UB）（ ）A1 ，2 B2 C2 ，5 D5 ，72 （5 分）复数 z 与复数 i（2 i ）互为共轭复数（其中 i 为虚数单位） ，则 z（ ）A12i B1+2i C1+2i D12i3 （5 分）已知直线 x+y50 与两坐标轴围成的区域为 M，不等式组 所形成的区域为 N，现在区域 M 中随
2、机放置一点，则该点落在区域 N 的概率是（ ）A B C D4 （5 分）如图所示的程序框图中，输出的 S 的值是（ ）A80 B100 C120 D1405 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）与抛物线 y22px（p0）有相同的焦点 F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 M（3，t） ，|MF| ，则双曲线的离心率为（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D6 （5 分）已知ABC 的面积为 ， ，AB5，则 BC（ ）A B C D7 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6012 B
3、606 C7212 D7268 （5 分）要得到函数 ysin2 x 的图象，只要将函数 ysin（2x ）的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位9 （5 分）函数 f（x ） 的图象可能是（ ）A BC D10 （5 分）已知函数 f（x ）2 x+x+1，g（x）log 2x+x+1，h（x）log 2x1 的零点依次为 a，b，c ，则（ ）第 3 页（共 25 页）Aabc Bacb Cbca Dbac11 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 16，AB3，AD 8，点
4、M 是棱AD 的中点，点 N 在棱 AA1 上，且满足 AN2NA 1，P 是侧面四边形 ADD1A1 内一动点（含边界） ，若 C1P平面 CMN，则线段 C1P 长度的取值范围是（ ）A B4，5 C3 ，5 D12 （5 分）已知函数 f（x ）在定义域 R 上的导函数为 f（x） ，若方程 f'（x）0 无解，且 ff（ x）2017 x2017，当 g（x）sin xcosxkx 在 ， 上与 f（x）在 R上的单调性相同时，则实数 k 的取值范围是（ ）A （，1 B （， C 1， D ，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （
5、5 分）已知 （cos ，sin ） ， （ ，1） ，xR，则| |的最大值是 14 （5 分）已知圆的方程（x2） 2+y21，过圆外一点 P（3，4）作一条直线与圆交于A，B 两点，那么 15 （5 分）已知函数 f（x ）x（m+e x ） （其中 e 为自然对数的底数） ，曲线 yf（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 m 的取值范围是 16 （5 分）祖暅（公元前 56 世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异 ”这里的
6、“幂”指水平截面的面积， “势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆 1（ab0）所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图） （称为椭球体） ，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于 第 4 页（共 25 页）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在等差数列a n中，a 36，a 826，S n 为等比数列 bn的前 n 项和，且b11，4S 1，3S 2，2S 3 成等差数列（）求数列a n，b n的
7、通项公式；（）设 cn|a n|bn，求数列c n的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ADDC2，AD DC，AC CB，AB4，平面 ADC平面 ABC，M 为 AB 的中点（）求证：BC平面 ADC；（）求直线 AD 与平面 DMC 所成角的正弦值19 （12 分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了 100 名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图（）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的 22 列联表
8、，并据此资料你是否有 95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？优秀 合格 合计大学组中学组第 5 页（共 25 页）合计注： ，其中 na+b+c+dP（k 2k 0） 0.10 0.05 0.005k0 2.706 3.841 7.879（）若参赛选手共 6 万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（）在优秀等级的选手中取 6 名，依次编号为 1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取 6 名，依次编号为 1，2，3，4，5，6，在选出的 6 名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为 a，在选出的 6 名良好等级的选手中任取一名，记其编号为 b，求使得方程组 有唯一一组实
9、数解（x，y）的概率20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 与椭圆 ： 1 的一个焦点重合，点 M（x 0，2）在抛物线上，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（）求抛物线 C 的方程以及 |MF|的值；（）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在常数 R，使得 且|HA|2+|HB|2 都成立？若存在，求出实数 的值； 若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ） ax2（a 2+b）x+alnx（a，bR） （）当 b1 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）当 a1，b0 时，证明：f（x ）+e x x+1（其中 e 为
10、自然对数的底数） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程第 6 页（共 25 页）为 4cos（）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得 且？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ） ，g（x）af （x ）|x1| （）当 a0 时，若 g（x）| x2|+b 对任意 x（0，+）恒成立，
11、求实数 b 的取值范围；（）当 a1 时，求 g（x）的最大值第 7 页（共 25 页）2017 年湖北省荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等八校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6，则A（ UB）（ ）A1 ，2 B2 C2 ，5 D5 ，7【分析】先由补集定义求出 UB，再由交集定义能求出 A（ UB） 【解答】解：全集 U2，3，4，5，6，7，集合 A4，5，7，B4 ，6， UB2，3 ，
12、5，7，A（ UB）5，7 故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题2 （5 分）复数 z 与复数 i（2 i ）互为共轭复数（其中 i 为虚数单位） ，则 z（ ）A12i B1+2i C1+2i D12i【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简 i（2i ） ，再由共轭复数的概念得答案【解答】解：i（2i）1+2i，又复数 z 与复数 i（2i）互为共轭复数，z12i故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知直线 x+y50 与两坐标轴围成的区域为 M，不等式组 所
13、形成的区域为 N，现在区域 M 中随机放置一点，则该点落在区域 N 的概率是（ ）A B C D【分析】由题意画出图形，求出 M、N 的面积，结合几何概型求得答案【解答】解：由题意画出图形如图，第 8 页（共 25 页）直线 x+y5 0 与两坐标轴围成的区域为 M 为三角形 AOB 及其内部区域，其面积为；不等式组 所形成的区域为 N 为图中阴影部分，联立 ，解得 C（ ，） ，其面积为 由几何概型可得：点落在区域 N 的概率是 故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查几何概型的应用，是中档题4 （5 分）如图所示的程序框图中，输
14、出的 S 的值是（ ）A80 B100 C120 D140第 9 页（共 25 页）【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序【解答】解：第一次循环，s1100，s2，a3，s2100，第二次循环，s2100，s6，a4，第三次循环，s6100，s24，a5，第四次循环，s24100，s120，a6，第五次循环，s120100，输出 s120，故选：C【点评】本题考查了应用程序框图进行简单的计算问题，是基础题5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）与抛物线 y22px（p0）有相同的焦点 F，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点 M（3，t） ，|MF|
15、 ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】利用抛物线的焦点坐标，准线方程及 M 点坐标，即可求得 p 的值，根据勾股定理即可求得 t 的值，代入渐近线方程，求得 a 与 b 的关系，求得双曲线的离心率公式【解答】解：由题意可知：抛物线 y22px（p0）焦点坐标 F（ ，0） ，准线方程x ，由 M 在抛物线的准线上，则 3，则 p6，则焦点坐标为 F（3，0） ，|MF | ，则 t2 ，解得：t ，双曲线的渐近线方程 y x，将 M 代入渐近线方程， 3 ，即 ，则双曲线的离心率 e ，故选：C第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查双曲线及抛物线的简单几何性质，考
16、查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题6 （5 分）已知ABC 的面积为 ， ，AB5，则 BC（ ）A B C D【分析】由已知利用三角形面积公式可求 AC 的值，进而利用余弦定理即可计算得解BC 的值【解答】解： ，AB5，ABC 的面积为 ABACsinA，解得：AC4 ，BC 故选：D【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题7 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 11 页（共 25 页）A6012 B606 C7212 D726【分析】根据三视图知该几何体是直四棱
17、柱，挖去一个半圆柱体，结合图中数据求出组合体的体积【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为 3；所以该组合体的体积为：V （4+8）43 223726 故选：D【点评】本题考查了利用几何体三视图求体积的应用问题，是基础题8 （5 分）要得到函数 ysin2 x 的图象，只要将函数 ysin（2x ）的图象（ ）A向左平移 个单位 B向右平移 个单位C向左平移 个单位 D向右平移 个单位【分析】根据函数 yA sin（ x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：将函数 ysin（2x ）的图象向左平移 个单位，可得函数ysin2（x
18、+ ） sin2x 的图象，故选：C【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，属于中档题9 （5 分）函数 f（x ） 的图象可能是（ ）第 12 页（共 25 页）A BC D【分析】化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可【解答】解：函数 f（x ） ，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除 A，B当 x0 时，ln （x2） 20， （x2） 30，函数的图象在 x 轴下方，排除 D，故选：C【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用10 （5 分）已知函数 f（x ）2 x+x+1，g（x）log 2x+
19、x+1，h（x）log 2x1 的零点依次为 a，b，c ，则（ ）Aabc Bacb Cbca Dbac【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果【解答】A 解：令函数 f（x）2 x+x+10，可知 x0，即 a0；令 g（x）log 2x+x+10，则 0x1，即 0b1；令 h（x）log 2x10，可知 x2，即 c2显然 abc故选：A【点评】函数的零点问题，关键是能够确定零点或判断零点的范围本题是基础题目，难度不大11 （5 分）如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 16，AB3，AD 8，点 M 是棱AD 的中点，点 N 在棱 AA
20、1 上，且满足 AN2NA 1，P 是侧面四边形 ADD1A1 内一动点（含边界） ，若 C1P平面 CMN，则线段 C1P 长度的取值范围是（ ）第 13 页（共 25 页）A B4，5 C3 ，5 D【分析】取 A1D1 中点 E，在 DD1 上取点 F，使 D1F2DF ，连结 EF、C 1E、C 1F，则平面 CMN平面 C1EF，由此推导出 P线段 EF，当 P 与 EF 的中点 O 重合时，线段 C1P长度取最小值 PO，当 P 与点 E 或点 F 重合时，线段 C1P 长度取最大值 PE 或 PF，由此能求出线段 C1P 长度的取值范围【解答】解：取 A1D1 中点
21、E，在 DD1 上取点 F，使 D1F2DF ，连结 EF、C 1E、C 1F，则平面 CMN平面 C1EF，是侧面四边形 ADD1A1 内一动点（含边界） ，C 1P平面 CMN，P线段 EF，当 P 与 EF 的中点 O 重合时，线段 C1P 长度取最小值 PO，当 P 与点 E 或点 F 重合时，线段 C1P 长度取最大值 PE 或 PF，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 16，AB 3，AD 8，点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 AA1 上，且满足 AN2NA 1，C 1PmaxC 1EC 1F 5，EF4 ，C1PminPO 线段 C1P 长度的取值范围是 ，5
22、故选：A【点评】本题考查线段长取值范围的求法，突出对运算能力、化归转化能力、空间想象的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养12 （5 分）已知函数 f（x ）在定义域 R 上的导函数为 f（x） ，若方程 f'（x）0 无解，第 14 页（共 25 页）且 ff（x）2017 x2017，当 g（x）sin xcosxkx 在 ， 上与 f（x）在 R上的单调性相同时，则实数 k 的取值范围是（ ）A （，1 B （， C 1， D ，+）【分析】由题意可知：f（x ）为 R 上的单调函数，则 f（x）2017 x 为定值，由指数函数的性质可知 f（x
23、）为 R 上的增函数，则 g（x）在 ， 单调递增，求导，则g'（x） 0 恒成立，则 k sin（x+ ） min，根据函数的正弦函数的性质即可求得 k的取值范围【解答】解：若方程 f'（x ）0 无解，则 f（x） 0 或 f（x ） 0 恒成立，所以 f（x）为 R 上的单调函数，xR 都有 ff（ x）2017 x2017，则 f（x）2017 x 为定值，设 tf（x）2017 x，则 f（x）t+2017 x，易知 f（x）为 R 上的增函数，g（x）sinxcosx kx， ，又 g（x）与 f（ x）的单调性相同，g（x）在 R 上单调递增，则当 x ， ，g&
24、#39;（x）0 恒成立，当 时， ， ，此时 k1，故选：A【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）已知 （cos ，sin ） ， （ ，1） ，xR，则| |的最大值是 3 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出第 15 页（共 25 页）【解答】解： （cos ， sin ） ， （ ，1） ， （cos + ，sin 1） ，| |2（ cos + ） 2+（sin 1） 25+2（ cos sin ）5+
25、4sin（ ）5+49，| |的最大值是 3，故答案为：3【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质，属于基础题14 （5 分）已知圆的方程（x2） 2+y21，过圆外一点 P（3，4）作一条直线与圆交于A，B 两点，那么 16 【分析】求出圆心为（2，0） ，半径 r1，圆与 x 轴交于（1，0） ，C（3，0） ，从而 PC与圆相切，且| |4，由此利用切割线定理能求出 的值【解答】解：圆的方程（x2） 2+y21，圆心为（2，0） ，半径 r1，圆与 x 轴交于（1，0） ，C（3，0） ，过圆外一点 P（3，4）作一条直线与圆交于 A，B 两点，则
26、 PC 与圆相切，且| |4，由切割线定理得： 4 216，故答案为：16【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定第 16 页（共 25 页）理的合理运用15 （5 分）已知函数 f（x ）x（m+e x ） （其中 e 为自然对数的底数） ，曲线 yf（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 m 的取值范围是 （0，e 2 ） 【分析】由曲线 yf（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，等价于函数 f（x ）有两个不同的极值点，等价于方程 f'（x）0 有两个不同的实根，等价于直线 ym 与
27、曲线 yg（x）有两个不同的交点，即可解出 a 的取值范围【解答】解：曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，等价于函数 f（x）有两个不同的极值点，等价于方程 f'（x）0 有两个不同的实根令 f'（x）m +ex xe x 0，得：令 ，则条件等价于直线 ym 与曲线 yg（x）有两个不同的交点.当 x2 时，g'（x ）0；当 x2 时，g' （x ）0；当 x 2 时，g'（x ）0；从而当 x2 时有最大值 g（2）e 2 ，g（x ）在（， 2）上递增，在（2，+）上递减当 x时，g（x ）；当 x+时，g（x）0；如右
28、图所示，从而m（0，e 2 ）【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想16 （5 分）祖暅（公元前 56 世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异 ”这里的“幂”指水平截面的面积， “势”指第 17 页（共 25 页）高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等设由椭圆 1（ab0）所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图） （称为椭球体） ，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比
29、此法，求出椭球体体积，其体积等于 【分析】椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，现构造两个底面半径为 b，高为 a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积【解答】解：椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，现构造两个底面半径为 b，高为 a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V2（V 圆柱 V 圆锥 ） 故答案为： 【点评】本题考查祖暅原理、几何体的体积，考查转化思想，是基础题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）在
30、等差数列a n中，a 36，a 826，S n 为等比数列 bn的前 n 项和，且b11，4S 1，3S 2，2S 3 成等差数列（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn|a n|bn，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）a 8a 35d26620，公差 d4，a na 3+（n3）第 18 页（共 25 页）d4n6（2 分）又 6S24S 1+2S3即 3（b 1+b2）2b 1+b1+b2+b3，b 32b 2，公比 q2，b n2 n1 （4 分）（2）c
31、n|4n6|2 n1 |2 n3| 2n（5 分）1当 n1 时，2n30，T 12（6 分）2当 n2 时，2n30，c n（2n3）2 n，Tn2+12 2+323+524+（2n3）2 n，2T n4+12 3+324+（2n3）2 n+1，T n2+2（2 3+24+2n）（2n3）2n+12+2 14+（5 2n）2 n+1，T n（2n5）2 n+1+14（10 分）当 n1 时，满足上式，T n（2n5）2 n+1+14（12 分）【点评】本题考查了“错位相减法” 、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在三棱锥 AB
32、CD 中，ADDC2，AD DC，AC CB，AB4，平面 ADC平面 ABC，M 为 AB 的中点（）求证：BC平面 ADC；（）求直线 AD 与平面 DMC 所成角的正弦值【分析】 （）证明 BCAC，利用平面 ABC平面 ADC，即可证明：BC平面 ADC；（）取 AC 中点 N，连 MN，DN由 VADMC V DAMC 得点 A 到平面 DMC 的距离，即可求直线 AD 与平面 DMC 所成角的正弦值【解答】 （）证明：AD DC2 且 ADDC， ，又 AB4，满足 AC2+BC2AB 2，BC AC（4 分）平面 ABC平面 ADC，BC平面 ABC，平面 ABC平面 ADCAC
33、，第 19 页（共 25 页）BC平面 ADC（6 分）（）解：取 AC 中点 N，连 MN，DN在 Rt ADC 中， DNAC 且 ，又平面 ABC平面 ADC，DN平面 ABC，在ABC 中，MNBC 且 由（）知 BC平面 ADC，则 MN平面 ADC，又DN平面 ADC，MNDN ，即 ，（8 分）在ABC 中， ， （10 分）设点 A 到平面 DMC 的距离为 h，则由 VADMC V DAMC 得解得 ，设 AD 与平面 DMC 所成角为 ，则 ，直线 AD 与平面 DMC 所成角正弦值为 （12 分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查面面垂直的性质，考查线面角，考查体积的计
34、算，属于中档题19 （12 分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了 100 名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图（）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的 22 列联表，并据此资料你是否有 95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？优秀 合格 合计大学组第 20 页（共 25 页）中学组合计注： ，其中 na+b+c+dP（k 2k 0） 0.10 0.05 0.005k0 2.706 3.841 7.879（）若参赛选手共 6
35、 万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；（）在优秀等级的选手中取 6 名，依次编号为 1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取 6 名，依次编号为 1，2，3，4，5，6，在选出的 6 名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为 a，在选出的 6 名良好等级的选手中任取一名，记其编号为 b，求使得方程组 有唯一一组实数解（x，y）的概率【分析】 （）由条形图可知 22 列联表，计算 k2，与临界值比较，即可得出结论；（）由条形图知，所抽取的 100 人中，优秀等级有 75 人，故优秀率为 可得其中优秀等级的选手人数；（）确定基本事件的个数，即可求出使得方程组 有唯一一组实数解（x
36、，y）的概率【解答】解：（）由条形图可知 22 列联表如下优秀 合格 合计大学组 45 10 55中学组 30 15 45合计 75 25 100（4 分）没有 95%的把握认为优秀与文化程度有关 （5 分）第 21 页（共 25 页）（）由条形图知，所抽取的 100 人中，优秀等级有 75 人，故优秀率为 所有参赛选手中优秀等级人数约为 万人（8 分）（）a 从 1，2，3，4，5，6 中取，b 从 1，2，3，4，5，6 中取，故共有 36 种，要使方程组 有唯一组实数解，则 ，共 33 种情形故概率 （12 分）【点评】本题考查独立性检验的运用，考查概率的求解，考查学生的读图能力，属于中
37、档题20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点 F 与椭圆 ： 1 的一个焦点重合，点 M（x 0，2）在抛物线上，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（）求抛物线 C 的方程以及 |MF|的值；（）记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H，试问是否存在常数 R，使得 且|HA|2+|HB|2 都成立？若存在，求出实数 的值； 若不存在，请说明理由【分析】 （1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则 ，即可求得 p 的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得|MF |的值；（2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得 ，利用两点之间的距离公
38、式，列方程，即可求得实数 的值【解答】解：（1）依题意，椭圆 中，a 22，b 21，故 c2a 2b 21，F （1，0） ，故 ，则 2p4，故抛物线 C 的方程为 y24x，将 M（x 0，2）代入 y24x ，解得 x01，故 （4 分）（2）依题意，F（1，0） ，设 l：xty+1，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立方程 ，消去 x，得 y24ty 40第 22 页（共 25 页） 且 ，又 则（1x 1，y 1）（x 21，y 2） ，即 y1y 2，代入 得 ，（6 分）消去 y2 得 ，且 H（1，0） ，（8 分）|HA|2+|HB|2（ x1+1）
39、2+y12+（x 2+1） 2+y22x 12+x22+2（x 1+x2）+2+y 12+y22， ， ，（t 2+1） （16 t2+8）+4t4t+816t 4+40t2+16由 ，（10 分）解得 或 （舍） ，故 2 或 （12 分）【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） ax2（a 2+b）x+alnx（a，bR） （）当 b1 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）当 a1，b0 时，证明：f（x ）+e x x+1（其中 e 为自然对数的底数）
40、 【分析】 （）求出函数 f（x）的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可；（）法一：问题转化为证明 exlnx10，设 g（x）e xlnx1（x0） ，问题转化为证明x0 ，g（x）0，根据函数的单调性证明即可；法二：问题转化为证明 x1lnx（x 0） ，令 h（x）x1lnx（x0） ，根据函数的单调性证明即可第 23 页（共 25 页）【解答】解：（）当 b1 时，f（x ） f'（x）ax（1+a 2）+ （1 分）讨论：1当 a0 时，xa0， 0，ax10f '（x）0此时函数 f（x）的单调递减区间为（0，+） ，无单调递增区间（2 分）2当 a0
41、时，令 f'（x ）0 x 或 a当 a（a 0） ，a1，此时 f'（x） 0（x0）此时函数 f（x）单调递增区间为（0，+） ，无单调递减区间（3 分）当 0 a ，即 a1 时，此时在 和（a，+ ）上函数 f'（x ）0，在 上函数 f'（x ）0，此时函数 f（x）单调递增区间为 和（a，+） ；单调递减区间为 （4 分）当 0 a ，即 0a1 时，此时函数 f（x）单调递增区间为（ 0，a）和；单调递减区间为 （6 分）（）证明：（法一）当 a1 时 f（x ）+e xx 2+x+1只需证明：e xlnx10 设 g（x）e xlnx1（x 0）
42、问题转化为证明x 0，g（x）0令 g'（x ）e x ，g''（x）e x+ 0，g'（x ）e x 为（0，+）上的增函数，且 20，g'（1）e10（8 分）存在惟一的 ，使得 g'（x o）0，e x0 ，g（x）在（0，x 0）上递减，在（x 0，+）上递增（ 10 分）g（x） ming（x 0）e xolnx 01 1211，g（x） min0不等式得证（12 分）（法二）先证：x1lnx （x0）第 24 页（共 25 页）令 h（x）x1lnx（x0）h'（x）1 0 x1，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上
43、单调递增，h（x） minh（1）0，h（x）h（1）x1lnx（8 分）1+lnx1+x1x ln（1+x ）x，e ln（1+x） e x（10 分） ，e xx +1x1+lnx，e x1+lnx故 exlnx10，证毕（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）已知过点 P（a，0）的直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4cos（）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的
44、直角坐标方程；（）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试问是否存在实数 a，使得 且？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由【分析】 （）利用三种方程的转化方法，求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（）利用参数的几何意义，建立方程，即可求出实数 a 的值【解答】解：（）消 t 得 ，直线 l 的普通方程为 （2分）由 4cos， 24cos，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x0（4 分）（）| | 4，而圆的直径为 4，故直线 l 必经过圆心（2，0） ，此时 a2 与| |6 矛盾，故实数 a 不存在（10 分）【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程、
45、参数方程与普通方程的互化，同时考查第 25 页（共 25 页）直线参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ） ，g（x）af （x ）|x1| （）当 a0 时，若 g（x）| x2|+b 对任意 x（0，+）恒成立，求实数 b 的取值范围；（）当 a1 时，求 g（x）的最大值【分析】 （）当 a0 时，若 g（x）| x2|+b 对任意 x（0，+）恒成立，b|x1|+|x 2|，求出右边的最小值，即可求实数 b 的取值范围；（）当 a1 时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减，即可求g（x）的最大值【解答】解：（）当 a0 时，g（x）| x1|，| x1|x2|+ b，b|x1|+|x 2| ，|x 1|+|x2|x1+2x| 1，b1，b1（5 分）（）当 a1 时， （6 分）可知 g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减 （8 分）g（x） maxg（1）1（10 分）【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
