2019年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)含答案解析

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资源描述

1、2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知复数 z 满足 zii +m(m R) ,若 z 的虚部为 1,则复数 z 在复平面内对应的点在(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 (5 分)已知全集 UR,集合 A x|x(x+2)0,Bx| x|1 ,则如图阴影部分表示的集合是(  )A (2,1) B 1,0 1,2)C (2,1)0,1 D0,13 (5 分)已知命题 ;命题 q:若 ab,则 ,则下列为真

2、命题的是(  )Apq Bpq Cpq Dpq4 (5 分)已知向量 , ,若 ,则实数 m(  )A2 B2 C D5 (5 分)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a111 ,a 4+a66,则当 Sn 取最小值时,n 等于(  )A9 B8 C7 D66 (5 分)函数 yx sinx+ 的部分图象大致为(  )A B第 2 页(共 31 页)C D7 (5 分)2020 年东京夏季奥运会将设置 4100 米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序

3、,每种泳姿 100 米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场现在中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有(  )种布阵的方式A6 B12 C24 D1448 (5 分)20 世纪 70 年代,流行一种游戏角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数 n,按照以下的规律进行变换:如果 n 是个奇数,则下一步变成 3n+1;如果 n 是个偶数,则下一步变成 ,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确的说是落入底部的 421 循环,而

4、永远也跳不出这个圈子,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的 i 值为 6,则输入的 n 值为(  )A5 B16 C5 或 32 D4 或 5 或 32第 3 页(共 31 页)9如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P,用 A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形内” ,B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内” ,则 P(B|A)等于(   )A B C D10 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+) ,其中 0, ,f'(x 1)f'(x 2)0(x 1x 2) , , ,将函数

5、f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递减区间是(  )A BC D11 (5 分)已知双曲线 C1: 1(a0,b0)与双曲线 C2: 1,若以 C1,C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S1,以 C1,C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为 S2,则 取到最大值时,双曲线 C1 的一条渐近线方程为(   )Ay x By x Cy x Dy 2x12 (5 分)设函数 f(x )x 2xlnx+2,若存在区间 ,使 f(x)在a,b 上的值域为 k(a+2 ) ,k(b+2),则 k 的取值范围是(   )A B

6、C D第 4 页(共 31 页)二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知(1+x) (1ax) 2018 的展开式中含 x 项的系数为 2019,则实数 a     14 (5 分)若实数 x,y 满足不等式组 ,则 的取值范围为     15 (5 分)如图,把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD平面 CBD,形成的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为      16 (5 分)如图平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于

7、四边形的内部,AB 1, ,ACCD, ACCD,当ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为     三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17已知数列a n与b n满足: ,且a n为正项等比数列,a 12,b 3b 2+4(1)求数列a n与b n的通项公式;(2)若数列c n满足 ,T n 为数列c n的前 n 项和,证明:T n1第 5 页(共 31 页)18如图,四棱锥 PABCD 中,PA菱形 ABCD 所在的平面,ABC60,E 是 BC中点,F 是 PC 上的点(1)求证:平面 AEF平面 PAD;(2)若

8、M 是 PD 的中点,当 ABAP 时,是否存在点 F,使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ?若存在,请求出 的值,若不存在,请说明理由19某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元) ,如图所示:(1)现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,其去年的消费者金额在(3200,4000的范围内的概率;(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如表:会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡会员 3200预计去年消费金额在(0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在(1600,

9、3200内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在(3200,4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员,消费者在申请办理会员时,需一次性缴清相应等级的消第 6 页(共 31 页)费金额,该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:方案 1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600元;金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案二:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从一个装有 3 个白球、2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中,

10、有放回地摸三次球,每次只能摸一个球,若摸到红球的总数为 2,则可获得 200 元奖励金;若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少?并说明理由20已知椭圆 C: 的左右焦点分别为 F1,F 2,左顶点为 A,离心率为 ,点 B 是椭圆上的动点,ABF 1 的面积的最大值为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N ,线段 MN

11、 的中垂线为l'若直线 l'与直线 l 相交于点 P,与直线 x2 相交于点 Q,求 的最小值21已知 f(x) exalnxa,其中常数 a0(1)当 ae 时,求函数 f(x)的极值;(2)若函数 yf(x)有两个零点 x1,x 2(0x 1x 2) ,求证: 1x 2a;(3)求证:e 2x2 e x1 lnxx0请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22已知曲线 C1:x + y 和 C2: ( 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线

12、 C1、C 2 的方程化为极坐标方程第 7 页(共 31 页)(2)设 C1 与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P若射线 OP 与C1、C 2 交于 P、Q 两点,求 P,Q 两点间的距离选修 4-5:不等式选讲23设函数 f(x )|2x 1|+2|x+1|a(1)当 a4 时,求不等式 f(x )0 的定义域;(2)若函数 f(x )0 无解,求 a 的取值范围第 8 页(共 31 页)2019 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

13、题目要求的.1 (5 分)已知复数 z 满足 zii +m(m R) ,若 z 的虚部为 1,则复数 z 在复平面内对应的点在(  )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z 在复平面内对应点的坐标得答案【解答】解:由 zii+ m,得 z ,z 的虚部为 1,m1,则 z1+i,复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1) ,在第一象限故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题2 (5 分)已知全集 UR,集合 A x|x(x+2)0,Bx| x|1 ,则如图阴影

14、部分表示的集合是(  )A (2,1) B 1,0 1,2)C (2,1)0,1 D0,1【分析】根据阴影部分对应的集合为 U(AB)(AB) ,然后根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解:Ax|2x0 ,Bx| 1x1 ,由题意可知阴影部分对应的集合为 U(AB)(AB) ,ABx| 1x 0,ABx|2x 1 ,第 9 页(共 31 页)即 U(AB )x |x1 或 x0 , U(AB )(AB)x|0x1 或2x 1 ,故选:C【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键3 (5 分)已知命题 ;命题 q:若 ab,则 ,则下列为真命题的是

15、(  )Apq Bpq Cpq Dpq【分析】根据题意,分析可得 p 为真命题,而 q 为假命题,结合复合命题的真假关系分析选项,综合即可得答案【解答】解:根据题意,对于 P,x 2x +1(x ) 2+ 0 恒成立,则x 0R,则x02x 0+10 为真命题;对于 q,当 a0 而 b0 时, ,则 不成立,则 q 为假命题;分析选项可得:pq、pq、pq 都是假命题;pq 为真命题;故选:B【点评】本题考查复合命题的真假的判定,关键是掌握复合命题真假的判定方法4 (5 分)已知向量 , ,若 ,则实数 m(  )A2 B2 C D【分析】推导出 (m+1,3) ,由 ,

16、得 ,由此能求出 m 的值【解答】解:向量 , , (m+1,3) , , ,解得 m2故选:A第 10 页(共 31 页)【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式的应用问题,是基础题5 (5 分)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a111 ,a 4+a66,则当 Sn 取最小值时,n 等于(  )A9 B8 C7 D6【分析】设等差数列a n的公差为 d,由等差数列的通项公式解方程可得 d,再由等差数列的求和公式,结合二次函数的最值求法,即可得到所求最小值及相应的 n 的值【解答】解:设等差数列a n的公差为 d,a111,a 4+a66,可得11+3d11+5 d

17、6,解得 d2,则 Snna 1+ n(n1)dn 212n(n6) 236,当 n6 时,S n 取最小值36故选:D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查二次函数的最值求法,注意运用配方法,考查运算能力,属于中档题6 (5 分)函数 yx sinx+ 的部分图象大致为(  )A BC D【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性,利用 f(1)的值进行排除即可【解答】解:函数的定义域为x|x0,f(x)xsin(x )+ x sinx+ f (x) ,则函数 f(x)是偶函数,图象关于 y轴对称,排除 C,Df(1)sin1+1 0,排除 B,第 11 页(共 31

18、 页)故选:A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性和特殊值的对应性,利用排除法是解决本题的关键7 (5 分)2020 年东京夏季奥运会将设置 4100 米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出 2 男 2 女共计 4 名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿 100 米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场现在中国队确定了备战该项目的 4 名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有(  )种布阵的方式A6 B12 C24 D1

19、44【分析】分两类,若甲承担仰泳,若甲运动承担自由泳,根据分类计数原理可得【解答】解:由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有 A222 种安排方法,其他两名运动员有 A222 种安排方法,共计 224 种方法,若甲运动承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有 A222 种安排方法,共计 2 种方法,所以中国队共有 4+26 种不同的安排方法,故选:A【点评】本题考查了排列组合的问题,考查了分类计数原理,考查了运算和推理能力,属于中档题8 (5 分)20 世纪 70 年代,流行一种游戏角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数 n,按照以下的规律进行变换:如果 n 是个奇数,则下一步变成 3

20、n+1;如果 n 是个偶数,则下一步变成 ,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确的说是落入底部的 421 循环,而永远也跳不出这个圈子,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的 i 值为 6,则输入的 n 值为(  )第 12 页(共 31 页)A5 B16 C5 或 32 D4 或 5 或 32【分析】根据各个选项 n 的值,模拟程序的运行,依次验证程序的输出的 i 的值是否为6 即可得解【解答】解:模拟程序的运行,由题意可得当输入的 n 的值为 5 时,i1,第 1 次循环,n5,n 为奇数,n16i2,第 2 次循环,n 为偶数,

21、n8i3,第 3 次循环,n 为偶数, n4i4,第 4 次循环,n 为偶数, n2i5,第 5 次循环,n 为偶数, n1i6,满足条件 n1,退出循环,输出 i 的值为 6符合题意当输入的 n 的值为 16 时,i1,第 1 次循环,n16, n 为偶数,n8i2,第 2 次循环,n 为偶数, n4i3,第 3 次循环,n 为偶数, n2i4,第 4 次循环,n 为偶数, n1i5,满足条件 n1,退出循环,输出 i 的值为 5不符合题意当输入的 n 的值为 32 时,第 13 页(共 31 页)i1,第 1 次循环,n32, n 为偶数,n16i2,第 2 次循环,n 为偶数, n8i3

22、,第 3 次循环,n 为偶数, n4i4,第 4 次循环,n 为偶数, n2i5,第 5 次循环,n 为偶数, n1i6,满足条件 n1,退出循环,输出 i 的值为 6符合题意当输入的 n 的值为 4 时,i1,第 1 次循环,n4,n 为偶数,n2i2,第 2 次循环,n 为偶数, n1i3,满足条件 n1,退出循环,输出 i 的值为 3不符合题意故选:C【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题9如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P,用 A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形

23、内” ,B 表示事件“点 P 恰好取自阴影部分内” ,则 P(B|A)等于(   )第 14 页(共 31 页)A B C D【分析】阴影部分由函数 yx 与 y 围成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案【解答】解:根据题意,阴影部分由函数 yx 与 y 围成,其面积为( x)dx ( ) ,A 表示事件“点 P 恰好自由曲线 与直线 x1 及 x 轴所围成的曲边梯形内” ,面积为 ,则 P(B|A)等于 故选:A【点评】本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部分的面积10 (5 分)已知函数 f(x )sin(x+

24、) ,其中 0, ,f'(x 1)f'(x 2)0(x 1x 2) , , ,将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递减区间是(  )A BC D【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得 f(x)的解析式,利用函数yAsin( x+)的图象变换规律求得 G(x )的解析式,利用余弦函数的单调性求得则第 15 页(共 31 页)G(x) 的单调递减区间【解答】解:f(x )sin(x+) ,其中 0,(0, ) ,f'(x 1)f'(x 2)0,|x 2x 1|min , T ,2 ,f(x)s

25、in(2x +) 又 f(x)f( x ) ,f(x)的图象的对称轴为 x ,2 +k+ ,kZ ,又 , ,f(x)sin(2x + ) 将 f(x)的图象向左平移  个单位得 G(x)sin (2x+ + )cos2x 的图象,令 2k 2x2k+,求得 kx k+ ,则 G(x) cos2x 的单调递减区间是k,k+ ,故选:B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,余弦函数的单调性,属于中档题11 (5 分)已知双曲线 C1: 1(a0,b0)与双曲线 C2: 1,若以 C1,C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S1,

26、以 C1,C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为 S2,则 取到最大值时,双曲线 C1 的一条渐近线方程为(   )Ay x By x Cy x Dy 2x【分析】根据双曲线的性质分别求出对应的顶点坐标和焦点坐标,结合四边形的面积公式求出对应的面积,利用换元法结合基本不等式的应用进行求解即可【解答】解:双曲线 C1: 1(a0,b0)的两个顶点为 A1(a,0) ,第 16 页(共 31 页)A2(a,0) ,焦点坐标为 F1(c ,0) ,F 2(c ,0) ,双曲线 C2: 1 的两个顶点为 B1(0,2b) ,B 2(0,2b) ,焦点坐标为 F3( ,0) ,F 4( ,0)

27、 ,则以 C1,C 2 四个顶点为顶点的四边形的面积为 S12 4ab,以 C1,C 2 四个焦点为顶点的四边形的面积为S22 2c 2c ,则 ,平方得( ) 2( ) 2 ,令 t ,则( )2 ,当且仅当 t2 ,即 t22,t 即 时,取等号,此时 ,a ,则双曲线 C1 的渐近线方程为 y x,故双曲线 C1 的一条渐近线方程为 y x,故选:B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,结合双曲线的性质求出相应的顶点和焦点坐标,结合四边形的面积公式进行转化求解是解决本题的关键第 17 页(共 31 页)12 (5 分)设函数 f(x )x 2xlnx+2,若存在区间 ,使 f(x)在a

28、,b 上的值域为 k(a+2 ) ,k(b+2),则 k 的取值范围是(   )A BC D【分析】判断 f(x )的单调性得出 f(x)k (x+2)在 ,+)上有两解,作出函数图象,利用导数的意义求出 k 的范围【解答】解:f(x )2xlnx+1,f(x )2 ,当 x 时,f(x)0,f(x)在 ,+ )上单调递增,f(x)f( )2ln 0,f(x)在 , +)上单调递增,a,b ,+ ) ,f(x)在a, b上单调递增,f(x)在a, b上的值域为k(a+2) ,k(b+2) , ,方程 f(x) k(x+2)在 ,+ )上有两解 a,b作出 yf(x)与直线 yk (x

29、 +2)的函数图象,则两图象有两交点第 18 页(共 31 页)若直线 yk(x +2)过点( , + ln2) ,则 k ,若直线 yk(x +2)与 yf(x)的图象相切,设切点为(x 0,y 0) ,则 ,解得 k11k ,故选:C【点评】本题考查了函数的单调性,导数的几何意义,零点个数与函数图象的关系,属于中档题二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知(1+x) (1ax) 2018 的展开式中含 x 项的系数为 2019,则实数 a 1 【分析】利用二项式定理求得含 x 项的系数,再根据含 x 项的系数为 2019,求得 a 的值【解答】解:

30、已知(1+x) (1ax) 2018 的展开式中含 x 项的系数为  (a)+2019,则实数 a1,故答案为:1【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础题14 (5 分)若实数 x,y 满足不等式组 ,则 的取值范围为 ,2  【分析】约束条件表示的可行域,求出 3 个交点的坐标,求出斜率的范围,然后求解目标函数的范围即可【解答】解:作出实数 x,y 满足不等式组 的可行域如图中的阴影部分,四个顶点的坐标分别为 A(1,1) 、B(3,0) 、C (2,2) ,第 19 页(共 31 页)而 z 表示可行域中的点(x,y)与

31、点 D 连线的斜率,目标函数则 的最小值为: ,最大值为: 2,z ,2故答案为: ,2【点评】在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法” ,其步骤为:由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证,求出最优解注意转化思想的应用15 (5 分)如图,把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD平面 CBD,形成的三棱锥 CABD 的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 1 【分析】由题意可知,侧视图是直角边长为 的等腰直角三角形,则其面积可求【解答】解:如图,第 20 页(共 31 页)原正方形的边长为 2,对角线长为 ,则侧视图是

32、直角边长为 的等腰直角三角形,其面积为 S 故答案为:1【点评】本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力与思维能力,是中档题16 (5 分)如图平面四边形 ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部,AB 1, ,ACCD, ACCD,当ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为 +1 【分析】设ABC,ACB ,由余弦定理求得 AC2,由正弦定理求得 sin,再利用余弦定理求得 BD,利用三角函数的性质求出 BD 的最大值【解答】解:设ABC,ACB ,由余弦定理可得 AC21 2+( ) 22 cos42 cos,AC CD;由正弦定理可得:sin ,BD 23+ (42 cos)2 co

33、s(90+ )72 cos+2 sin72 cos+2 72 cos+2 sin7+2 sin( ) ,第 21 页(共 31 页) 时,BD 取得最大值为 +1故答案为: +1【点评】本题考查了正弦余弦定理、和差公式、三角函数的单调性,也考查了推理能力与计算能力,是中档题三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17已知数列a n与b n满足: ,且a n为正项等比数列,a 12,b 3b 2+4(1)求数列a n与b n的通项公式;(2)若数列c n满足 ,T n 为数列c n的前 n 项和,证明:T n1【分析】 (1)由等比数列的通项公式和

34、求和公式,解方程可得公比,即可得到所求;(2)求得 cn ,由数列的裂项相消求和,化简可得所求和【解答】解:(1)数列a n与b n满足: ,且a n为正项等比数列,a 12,b 3b 2+4,可得 a12b 12,即 b11,b 3b 2 a34,即 a38,可得公比 q2,即 an2 n;则 2bn ,即 bn2 n1;(2)证明:c n ,即有 Tn1 + + 1 ,由 0,可得 Tn1【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的裂项相消求和,以及不等式的性质,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题18如图,四棱锥 PABCD 中,PA菱形 ABCD 所在的平面,ABC

35、60,E 是 BC第 22 页(共 31 页)中点,F 是 PC 上的点(1)求证:平面 AEF平面 PAD;(2)若 M 是 PD 的中点,当 ABAP 时,是否存在点 F,使直线 EM 与平面 AEF 的所成角的正弦值为 ?若存在,请求出 的值,若不存在,请说明理由【分析】 (1)连接 AC,证明 AEBC ,AEAD,推出 PAAE,即可证明 AE平面PAD,然后说明平面 AEF平面 PAD(2)以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,不妨设 ABAP2,则 ,求出相关点的坐标,求出平面 AEF 的一个法向量,设直线 EM 与平面 AEF 所成角为,由 ,利用空间向量的数量积求解

36、,然后推出结果【解答】 (1)证明:连接 AC,因为底面 ABCD 为菱形,ABC60,所以ABC 是正三角形,E 是 BC 的中点,AE BC ,(1 分)又 ADBC,AE AD,(2 分)PA平面 ABCD,AE平面 ABCD,PAAE ,(3 分)又 PAAD A,AE平面 PAD,(4 分)又 AE平面 AEF,所以平面 AEF平面 PAD(5 分)(2)解:以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,不妨设 ABAP2,则,则,(6 分)设 ,则第 23 页(共 31 页),(7 分)又 ,设 是平面 AEF 的一个法向量,则 ,取 z,得 ,(9 分)设直线 EM 与平面 AE

37、F 所成角为 ,由 ,得:(10 分)化简得:10 213+40,解得 或 ,故存在点 F 满足题意,此时 为 或 (12 分)【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力19某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元) ,如图所示:第 24 页(共 31 页)(1)现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,其去年的消费者金额在(3200,4000的范围内的概率;(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如表:会员等级 消费金额普通会员 2000银卡会员 2700金卡

38、会员 3200预计去年消费金额在(0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在(1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在(3200,4800 内的消费者都将会申请办理金卡会员,消费者在申请办理会员时,需一次性缴清相应等级的消费金额,该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:方案 1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600元;金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案二:每位会员均可参加摸奖游

39、戏,游戏规则如下:从一个装有 3 个白球、2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸一个球,若摸到红球的总数为 2,则可获得 200 元奖励金;若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立)请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少?并说明理由第 25 页(共 31 页)【分析】 (1)去年的消费金额超过 3200 元的消费者共有 12 人,其中有 8 人消费在(3200,4000的范围内,由此能求出随

40、机抽取 2 人,至少有 1 位消费者,其去年的消费者金额在(3200,4000的范围内的概率(2)按分层抽样求出“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为7,15,3,从而求出根据方案一的奖励的金额为 14900 元,方案二:设 表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金,则 的可能取值分别为 0,200,300,分别求出相应的概率,从而求出数学期望,进而求出按照方案二奖励金的金额,从而预计方案二的投资较小【解答】解:(1)去年的消费金额超过 3200 元的消费者有 12 人,其中去年的消费金额在(3200,4000的消费者有 8 人,去年的消费金额在(4000,4800的消费者有 4 人

41、,现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人,基本事件总数 n 66,至少有 1 位消费者,其去年的消费者金额在(3200,4000的范围内包含的基本事件个数:m 38,至少有 1 位消费者,其去年的消费者金额在(3200,4000的范围内的概率为:p (2)方案一:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励,则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为:, , ,根据方案一的奖励的金额为:17500+15600+3 80014900 元,方案二:设 表示参加一次摸奖游戏所获的奖励金,则 的可能取值分别为 0,200 ,3

42、00,摸到红球的概率为 P ,P( 0) + ,第 26 页(共 31 页)P( 200) ,P( 300) , 的分布列为:  0  200  300P    E 76.8 元,按照方案二奖励金的金额为:2(28+260+312)76.814131.2 元,方案一奖励的总金额 1方案二的奖励金额 2,预计方案二的投资较小【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用,考查古典概率、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题20已知椭圆 C: 的左右焦点分别为 F1,F 2,左顶点为 A,离心

43、率为 ,点 B 是椭圆上的动点,ABF 1 的面积的最大值为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N ,线段 MN 的中垂线为l'若直线 l'与直线 l 相交于点 P,与直线 x2 相交于点 Q,求 的最小值【分析】 (1) ,根据题意,由椭圆的离心率公式可得 e ,即 a22c 2,设 B 点的纵坐标为 y0(y 00) ,分析ABF 1 的面积可得 ,解可得 a、b 的值,将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案;(2) ,根据题意,设直线的方程为 xmy1,联立直线与椭圆的方程,结合根与系数的关系以及弦长公式分析可

44、得|MN| 的值,同理可得|PQ|的值,进而可得 的表达式,由基本不等式的性质分析可得答案【解答】解:(1)由已知,椭圆 C: 的离心率为 ,则 e第 27 页(共 31 页),即 a22c 2a 2b 2+c2,bc 设 B 点的纵坐标为 y0(y 00 ) 则 ,即 b1, 椭圆 C 的方程为 (2)由题意知直线 l 的斜率不为 0,故设直线的方程为 xmy1,设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ,P(x P,y P) ,Q (2,y Q) 联立 ,消去 x,得(m 2+2)y 22my10此时8(m 2+1)0 , 由弦长公式,得 整理,得 又 ,x Pmy P1 ,当且仅

45、当 ,即 m1 时等号成立当 m1,即直线 l 的斜率为1 时, 取得最小值 2【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,注意由椭圆的几何性质求出椭圆的方程第 28 页(共 31 页)21已知 f(x) exalnxa,其中常数 a0(1)当 ae 时,求函数 f(x)的极值;(2)若函数 yf(x)有两个零点 x1,x 2(0x 1x 2) ,求证: 1x 2a;(3)求证:e 2x2 e x1 lnxx0【分析】 (1)求出 ae 的函数的导数,求出单调区间,即可求得极值;(2)先证明:当 f(x )0 恒成立时,有 0ae 成立若 ,则 f(x)e xa(lnx +1)0

46、显然成立;若 ,运用参数分离,构造函数通过求导数,运用单调性,结合函数零点存在定理,即可得证;(3)讨论当 ae 时,显然成立,设 ,求出导数,求出单调区间可得最大值,运用不等式的性质,即可得证【解答】解:函数 f(x )的定义域为(0,+) ,(1)当 ae 时,f(x)e xelnxe , ,而 在(0,+)上单调递增,又 f(1)0,当 0x1 时,f(x)f'( 1)0,则 f(x)在(0,1)上单调递减;当 x1 时,f (x)f'(1) 0,则 f(x)在(1,+ )上单调递增,则 f(x)有极小值 f(1)0,没有极大值;                                            (2)先证明:当 f(x )0 恒成立时,有 0ae 成立若 ,则 f(x )e xa(lnx+1)0 显然成立;若 ,由 f(x )0 得 ,令 ,则 ,令 ,由 得 g

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