1、2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 A1，0， 1，2，3 ，Bx|x 1 ，则 AB 的元素个数为（ ）A0 B2 C3 D52 （5 分）复数 z （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A25 B C5 D3 （5 分）函数 f（x ）sin2x2cos 2x+1 的最小正周期为（ ）A B2 C3 D44 （5 分）已知向量 （1，2） ， （3，1） ， （k，4） ，且 ，则 k（ ）A
2、1 B2 C3 D45 （5 分）已知双曲线 C： 1 的一条渐近线方程为 y x，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C D6 （5 分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A3 B C2 D7 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z4x 3y 的最小值为（ ）第 2 页（共 24 页）A0 B1 C2 D38 （5 分）函数 f（x ）log 2（x 23x 4）的单调减区间为（ ）A （，1） B （， ） C （ ） D （4，+）9 （5 分）在数学解题中，常会碰到形如“ ”的结构，这时可类比正切的
3、和角公式如：设 a，b 是非零实数，且满足 tan ，则 （ ）A4 B C2 D10 （5 分）我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ）A BC D11 （5 分）从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）A B C D12 （5 分）已知点 A（0
4、，2） ，抛物线 C：y 2ax（a0）的焦点为 F，射线 FA 与抛物线C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若| FM|：| MN|1： ，则 a 的值等于（ ）第 3 页（共 24 页）A B C1 D4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知函数 f（x ）2xsinx ，当 x0，1时，函数 yf（x）的最大值为 14 （5 分）已知函数 yf（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）lgx，则 的值为 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若
5、AB ，AC ，AB AC ，AA 22 ，则球 O 的表面积为 16 （5 分）在ABC 中，已知（a+ b）：（c +a）：（b+ c）6：5：4，给出下列结论：由已知条件，这个三角形被唯一确定；ABC 一定是钝三角形；sinA： sinB：sinC7：5： 3；若 b+c8，则 ABC 的面积是 其中正确结论的序号是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（共 60 分）17 （12 分）已知等差数
6、列a n中，a 3a716，a 4+a60，求：（1）求a n的通项公式；（2）a n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA底面ABCD， ABCD ，AD ACAB3，SA CD 4，为线段 AB 上一点，AP 2PB，SQQC（1）证明：PQ平面 SAD；（2）求四面体 CDPQ 的体积第 4 页（共 24 页）19 （12 分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750名工人参加过长期培训（称为 B 类工人） ，从该工厂的工人
7、中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到 A 类工人生产能力的茎叶图（图 1） ，B 类工人生产能力的频率分布直方图（图 2） （）问 A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的 x；（）求 A 类工人生产能力的中位数，并估计 B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）若规定生产能力在130，150 内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的 22 列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关能力与培训时间列联表短期培训 长期培训 合计能力优秀
8、; 能力不优秀 合计 参考数据：第 5 页（共 24 页）P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公
9、式： ，其中 na+b+c+d20 （12 分）已知椭圆 的右焦点为 F，设直线 l：x5 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点（I）若直线 l1 的倾斜角为 ，|AB |的值；（）设直线 AM 交直线 l 于点 N，证明：直线 BNl21 （12 分）已知函数 f（x ）xaln （x +1） （1）当 a2 时，求 f（x ）的单调区间；（2）当 a1 时，关于 x 的不等式 kx2f （x）在0，+ ）上恒成立，求 k 的取值范围（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则
10、按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线 C1 的方程为（x1） 2+y21，C 2 的方程为 x+y3，C 3 是一条经过原点且斜率大于 0 的直线（1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；（2）若 C1 与 C3 的一个公共点为 A（异于点 O） ，C 2 与 C3 的一个公共点为 B，求|OA|的取值范围选修 4-5：不等式选讲23 （1）已知 a，b，c 均为正实数，且 a+b+c1，证明 ；（2）已知 a，b，c 均为正实数，且 abc1，证明 第 6 页（共 24 页）第 7 页（共 24 页）20
11、19 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 A1，0， 1，2，3 ，Bx|x 1 ，则 AB 的元素个数为（ ）A0 B2 C3 D5【分析】由集合的交集及其运算得：因为 A1，0，1 ，2，3 ，Bx|x1，所以AB ，即 AB 的元素个数为 2，得解【解答】解：因为 A1， 0，1，2，3 ，Bx|x 1，所以 AB ，即 AB 的元素个数为 2，故选：B【点评】本题考查了集合的交集及其运算，属简单题2 （5 分）复数
12、z （i 为虚数单位） ，则| z|（ ）A25 B C5 D【分析】化简复数 z，然后求出复数的模即可【解答】解：因为复数 z ，所以|z| 故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力3 （5 分）函数 f（x ）sin2x2cos 2x+1 的最小正周期为（ ）A B2 C3 D4【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数 f（x ）sin2x2cos 2x+1sin2x cos2x sin（2x ） 的最小正周期为 ，故选：A【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于
13、基础题第 8 页（共 24 页）4 （5 分）已知向量 （1，2） ， （3，1） ， （k，4） ，且 ，则 k（ ）A1 B2 C3 D4【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 k【解答】解： ； ； ；k1故选：A【点评】考查向量垂直的充要条件，向量的减法和数量积的坐标运算5 （5 分）已知双曲线 C： 1 的一条渐近线方程为 y x，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出 a，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由渐近线方程为 y x，得 b a，由此可得 e 故选：B【点评】本题考
14、查双曲线的离心率的求法，渐近线方程的应用，考查计算能力6 （5 分）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）第 9 页（共 24 页）A3 B C2 D【分析】根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于 1 和 的直角三角形，高为 ，代入棱柱体积公式即可得到答案【解答】解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别等于 1 和 ，棱柱高等于 ，故几何体的体积 V 1 故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关
15、键7 （5 分）若 x、y 满足约束条件 ，则 z4x 3y 的最小值为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数z4x 3y 对应的直线进行平移，可得当 x1，y2 时，z 取得最小值【解答】解：作出 x、y 满足约束条件 ，表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中 A（1，2） ，B（3，1） ，C（1，0）第 10 页（共 24 页）设 zF（x，y）4x 3y，将直线 l：z4x 3y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值z 最大值 F（1，2）2故选：C【点评】本题给出二元一次不
16、等式组，求目标函数 z4x3y 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题8 （5 分）函数 f（x ）log 2（x 23x 4）的单调减区间为（ ）A （，1） B （， ） C （ ） D （4，+）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可【解答】解：由 x23x 40 得（x +1） （x4）0，得 x4 或 x1，设 tx 23x4，要求 f（x）的单调递减区间，等价为求 tx 23x 4 的递减区间，tx 23x4 的单调递减区间为（，1） ，函数 f（x）的单调递减区间为（，1） ，故选：A【点评】
17、本题主要考查复合函数单调区间的求解，先求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键9 （5 分）在数学解题中，常会碰到形如“ ”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设 a，b 是非零实数，且满足 tan ，则 （ ）A4 B C2 D第 11 页（共 24 页）【分析】先把已知条件转化为 tan tan（ +） ，利用正切函数的周期性求出 ，即可求得结论【解答】解：因为 tan tan（ +） ，且 tan +k+ ，k+ ，tantan（k+ ） 故选：D【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查10 （5 分）我国古代名著庄子天下篇中有一
18、句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ）A BC D第 12 页（共 24 页）【分析】由图可知第一次剩下 ，第二次剩下 ，由此得出第 7 次剩下 ，结合程序框图即可得出答案【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下 ，第二次剩下 ，由此得出第 7次剩下 ，可得 为 i7？sii+1故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题11 （5 分
19、）从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n5525，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有 15 个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率【解答】解：从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，基本事件总数 n5525，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有 15 个，分别为：（1，1） ， （2，2） ， （2，1） ， （3
20、，3） ， （3，2） ， （3，1） ， （4，4） ， （4，3） ，（4，2） ， （4，1） ， （5，5） ， （5，4） ， （5，3） ， （5，2） ， （5，1） ，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 p 故选：C【点评】本题概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12 （5 分）已知点 A（0，2） ，抛物线 C：y 2ax（a0）的焦点为 F，射线 FA 与抛物线C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若| FM|：| MN|1： ，则 a 的值等于（ ）第 13 页（共 24 页）A B C1 D4【分析】作出 M
21、 在准线上的射影，根据 |KM|：| MN|确定|KN|：|KM| 的值，进而列方程求得 a【解答】解：依题意 F 点的坐标为（ ，0） ，设 M 在准线上的射影为 K，由抛物线的定义知|MF | MK|，|KM |： |MN| 1： ，则|KN |：|KM|2：1，kFN ，kFN 2 2，求得 a4，故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知函数 f（x ）2xsinx ，当 x0，1时，函数 yf（x）的最大值为 2sin1 【分析】求出导函数，判断函
22、数的单调性，然后求解函数的最大值【解答】解：函数 f（x ）2xsinx ，可得 f（x） 2cos x0 恒成立，所以函数 f（x） 2xsinx ，当 x0，1时，函数是增函数，函数的最大值为：第 14 页（共 24 页）2sin1故答案为：2sin1【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力14 （5 分）已知函数 yf（x）是奇函数，当 x0 时，f（x）lgx，则 的值为 lg2 【分析】根据题意先求出 f（ ）2，再根据奇函数的性质知f（2） ，代入解析式进行求解【解答】解：当 x0 时，f （x）lgx，f（ ）lg 2，则 f（2） ，函数 y
23、f（x）是奇函数， f（2） lg 2，故答案为lg2；【点评】本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，对于多层函数值问题，需要从内到外的顺序进行逐层求解，结合奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB ，AC ，AB AC ，AA 22 ，则球 O 的表面积为 36 【分析】底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱 ABCA 1B1C1 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球球 O 的直径，由此能求出球 O 的表面积【解答】解：直三棱柱 ABCA 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，AB
24、 ，AC ，AB AC ，AA 12 ，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱 ABCA 1B1C1 补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球球 O 的直径，所以外接球球 O 半径为 R 6，球 O 的表面积 S4R 236故答案为：36第 15 页（共 24 页）【点评】本题考查直三棱柱的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题16 （5 分）在ABC 中，已知（a+ b）：（c +a）：（b+ c）6：5：4，给出下列结论：由已知条件，这个三角形被唯一确定；ABC 一定是钝三角形；sinA： sinB：sinC7：5
25、： 3；若 b+c8，则 ABC 的面积是 其中正确结论的序号是 【分析】根据边长比例关系，求出 a，b，c 的关系，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式分别进行计算，判断即可【解答】解：（a+b）：（c+a）：（b+c）6：5：4，设 a+b6k，c +a5k ，b+c4k ， （k0） ，得 a k，b k，c k，则 a：b：c7：5：3，则 sinA：sinB：sinC7：5：3，故 正确，由于三角形 ABC 的边长不确定，则三角形不确定，故错误，cosA 0，则 A 是钝角，即ABC 是钝角三角形，故正确，若 b+c8，则 k+ k4k 8，则 k2，即 b5，c 3，由知 A
26、120 ，第 16 页（共 24 页）ABC 的面积 S bcsinA 故 错误，故正确的是 ，故答案为： 【点评】本题主要考查命题的真假判断，结合三角形的边长关系，求出 a，b，c 的比例关系是解决本题的关键三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（共 60 分）17 （12 分）已知等差数列a n中，a 3a716，a 4+a60，求：（1）求a n的通项公式；（2）a n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）利用等差数列的通项公式即可得出（2）利用等差数列的
27、求和公式即可得出【解答】解 （1）设a n的公差为 d，a 3a716，a 4+a60a 3+a7，解得 a34，a 74 或 a34，a 74a 1+2d4，a 1+6d4，或 a1+2d4，a 1+6d4解得 或 a n82（n1）102n，或 an8+2（n1）2n10（2）由（1）可得： 或 因此 Sn8n+ 2n（n9） ，或 Sn8n+ （2）n（n9） 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA底面ABCD， ABCD ，AD ACAB3，SA CD 4，为线段 AB 上一点，AP
28、2PB，SQQC（1）证明：PQ平面 SAD；（2）求四面体 CDPQ 的体积第 17 页（共 24 页）【分析】 （1）由已知得， ，取 DS 中点 T，连接 AT，TQ，可证四边形 APQT为平行四边形，得 PQAT，再由线面平行的判定可得 PQ平面 SAD；（2）SA平面 ABCD，Q 为 SC 的中点，则 Q 到平面 ABCD 的距离为 ，取 DC 中点 E，连接 AE，可得 AEDC，且 AE 由此可得三角形 DCP 的面积，再由VCDPQ V QDCP 求解【解答】 （1）证明：由已知得， ，如图，取 DS 中点 T，连接 AT，TQ ，由 N 为 PC 的中点，知 TQ DC，T
29、Q 又 ABDC，TQAP，TQAP，四边形 APQT 为平行四边形，则 PQAT，PQ平面 SAD，AT 平面 SAD，PQ平面 SAD；（2）解：SA平面 ABCD，Q 为 SC 的中点，Q 到平面 ABCD 的距离为 ，如图，取 DC 中点 E，连接 AE，由 ADAC3，得 AEDC，则 AE 故 四面体 CDPQ 的体积 VCDPQ V QDCP 第 18 页（共 24 页）【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19 （12 分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人 10
30、00 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750名工人参加过长期培训（称为 B 类工人） ，从该工厂的工人中共抽查了 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到 A 类工人生产能力的茎叶图（图 1） ，B 类工人生产能力的频率分布直方图（图 2） （）问 A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的 x；（）求 A 类工人生产能力的中位数，并估计 B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）若规定生产能力在130，150 内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的 22 列联表，并判断是
31、否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关能力与培训时间列联表短期培训 长期培训 合计能力优秀 8 54 62 能力不优秀 17 21 38 第 19 页（共 24 页）合计 25 75 100 参考数据：P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： ，其中 na+b+c+d【分析】 （）由茎叶图知 A
32、 类工人中抽查人数为 25 名，B 类工人中应抽查1002575，由频率分布直方图求出 x；（）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122，由（）及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数；（）求出 K2，与临界值比较，即可得出结论【解答】解：（）由茎叶图知 A 类工人中抽查人数为 25 名，（1 分）B 类工人中应抽查 1002575（名） （2 分）由频率分布直方图得 （0.008+0.02+0.048+x）101，得 x0.024（3 分）（）由茎叶图知 A 类工人生产能力的中位数为 122 （4 分）由（）及频率分布直方图，估计 B 类工人生产能力的平均数为
33、1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410133.8 （6 分）（）由（）及所给数据得能力与培训的 22 列联表，短期培训 长期培训 合计能力优秀 8 54 62能力不优秀 17 21 38合计 25 75 100（9 分）由上表得 10.828 （11 分）因此，可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关（12 分）第 20 页（共 24 页）【点评】本题考查频率分布直方图及独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 的右焦点为 F，设直线 l：x5
34、 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点（I）若直线 l1 的倾斜角为 ，|AB |的值；（）设直线 AM 交直线 l 于点 N，证明：直线 BNl【分析】 （I）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB| 的值；（）设直线 l1 的方程为 yk（x1） ，代入椭圆方程，由 A，M，N 三点共线，求得N 点坐标，y 0 y2 y 2 k（x 21） ，代入，利用韦达定理即可求得 y0y 2，则直线 BNl【解答】解：（I）由题意可知：椭圆 ，a ，b2，c1，则F（1，0） ，E （5，0）
35、 ，M （3，0） ，由直线 l1 的倾斜角为 ，则 k1，直线 l 的方程 yx 1，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，整理得：9x 210x150，则 x1+x2 ， x1x2 ，则丨 AB 丨 ，第 21 页（共 24 页）|AB|的值 ；（）设直线 l1 的方程为 yk（x1） ，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，则 ，整理得：（4+5k 2）x 210k 2x+5k220 0，则 x1+x2 ，x 1x2 ，设 N（5，y 0） ，由 A，M ，N 三点共线，有 ，则 y0 ，由 y0y 2 y 2 k（x 21） ， 0，直线 BNx 轴
36、，BNl【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）xaln （x +1） （1）当 a2 时，求 f（x ）的单调区间；（2）当 a1 时，关于 x 的不等式 kx2f （x）在0，+ ）上恒成立，求 k 的取值范围【分析】 （1）求出当 a2 时函数的导数，令 f'（x ）0，由 f'（x ）0 得到增区间，由f'（x）0 得到减区间；（2）求出函数的导数，构造函数 g（x）kx 2f （x） ，通过讨论 k 的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的 k 的具体范围即可【解答】解：（
37、1）当 a2 时，f（x ）x2ln （x +1） （x1） ，第 22 页（共 24 页）f'（x）1 ，令 f'（x）0，则 x1，当 x1 时，f' （x）0；当1x1 时，f'（x）0，f（x）的单调递增区间为 1，+） ，单调递减区间为（1，1） （2）当 a1 时，f（x ）xln （x +1） ，kx2f （x）在0，+ ）上恒成立，即 kx2x+ln（x+1）0 在0，+）上恒成立，令 g（x）kx 2x +ln（x+1） ，x0，只需 g（x）0，在 0，+）上恒成立即可，g（0）0，g'（x） ，当 k0 时，g'（x）0，g
38、（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）0，与题设矛盾；当 0 k 时，令 g'（x）0，则 x0 或 x ，当 x（0， ）时，g' （x）0；当 x（ ，+）时，g'（x）0，g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，又 g（0）0，在 x（0， ）上 g（x）0，与题设矛盾；当 k 时，g'（x）0，此时 g（x）在0，+）单调递增，g（x）g（0）0 在0 ，+）上恒成立，k ；综上，k 的取值范围为 ，+） 【点评】本题考查了求函数的单调区间和最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属中档题（二）选考题：共 10 分.请考生在第
39、 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线 C1 的方程为（x1） 2+y21，C 2 的方程为 x+y3，C 3 是一条经过原点且斜率大于 0 的直线（1）求 C1 与 C2 的极坐标方程；（2）若 C1 与 C3 的一个公共点为 A（异于点 O） ，C 2 与 C3 的一个公共点为 B，求|OA|的取值范围第 23 页（共 24 页）【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出
40、结果【解答】解：（1）曲线曲线 C1 的方程为（x 1） 2+y21，转换为极坐标方程为：2cos C2 的方程为 x+y3，转换为极坐标方程为：（2）C 3 是一条过原点且斜率为正值的直线，C3 的极坐标方程为 ，联立 C1 与 C3 的极坐标方程 ，得 2cos，即|OA |2cos 联立 C1 与 C2 的极坐标方程 ，得 ，即所以： 又 ，所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲23 （1）已知 a，b，c 均为正实数，且 a+b+c1，证明 ；（2）已知 a，b，c 均为正实数，且 abc1，证明 第 24 页（共 24 页）【分析】 （1）根据 a+b+c1，利用基本不等式的即可证明，（2）根据 + + （ + + + + + ） ，利用基本不等式即可证明【解答】证明：（1）因为 + + + + + +1+ + +1+ +1 + + + + + +39，当 abc 时等号成立，（2）因为为 + + （ + + + + + ） （2 +2 +2 ） ，又因为 abc1，所以 c ， b， a， 当 abc 时等号成立，即原不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题
