1、2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科） （内考）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A2，3， 4，Bx|1+x3，则 AB（ ）A4 B2 C3 ，4 D2 ，32 （5 分） （ ）A B C D3 （5 分）若函数 f（x ） 是奇函数，则 f（a 1）（ ）A1 B C D14 （5 分）若 x，y 满足不等式组 ，则 z2x3y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D55 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e
2、，若 e ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A2x3y0 B3x2y0 C4x3y0 D3x 4y06 （5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）第 2 页（共 22 页）A B C D7 （5 分）在公比为整数的
3、等比数列a n中，a 2a 32 ，a 1+a3 ，则 an的前 4 项和为（ ）A B C D8 （5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）A0 B1 C2018 D20179 （5 分）若函数 f（x ）e x（x 33axa）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ） C （0， ） D （ ）10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BCCC 11，AB 1D ，则直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D11 （5 分）已知函数 f（x ） cosxsinx 在（0
4、， ）上是单调函数，且 f（ ）1，则 的取值范围为（ ）A （0， B （0， C （0， D （0， 12 （5 分）已知半圆 C：x 2+y21（y0） ，A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使第 3 页（共 22 页）BPQ ，则 t 的取值范围是（ ）A ，0） B ，0）（0， C ，0）（0， D ，0）（0， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos ，则 cos2
5、 14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S43S 2，a 715，则a n的公差为 15 （5 分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为 A、B、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对16 （5 分）已知三棱锥 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，且AC ，BD2，AB BCCDAD ，则球 O 的表面积为三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生
6、都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 Sbc cosA，C （）求 cosB 的值；（）若 c ，求 S 的值18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AB CD，BCD ，PABD，AB2，PAPDCDBC1（）求证：平面 PAD平面 ABCD；（）求点 C 到平面 PBD 的距离第 4 页（共 22 页）19 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每
7、天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计男女 20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取 5 人，进行体育锻炼体会交流，再从这 5 人中选出 2 人作重点发言，求作重点发言的 2 人中，至少有 1 人是女生的概率参
8、考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d临界值表P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63520 （12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0） ，F 2（c，0） ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，第 5 页（共 22 页）直线 y 与椭圆 C 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在直线 l：y k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（ ）1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21 （12 分）已知函数 f（x ）
9、alnx2x+x 2（aR） （1）若 a1，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（2）设 f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，且不等式 f（x 1）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，P 是曲线 C1 上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹为 C2（）求曲线 C2 的直角坐标方程；（）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
10、若直线 l：sincos 交曲线 C2 于 M，N 两点，求| MN|选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x 2|（）解不等式 f（x ）+f（2x+1）6；（）对 a+b1（a，b0）及x R，不等式 f（xm）（x） 恒成立，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 22 页）2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）（内考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若集合 A2，3， 4，Bx|1+x3，则 AB（ ）A4 B2 C3 ，
11、4 D2 ，3【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| x2；AB3，4故选：C【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算2 （5 分） （ ）A B C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3 （5 分）若函数 f（x ） 是奇函数，则 f（a 1）（ ）A1 B C D1【分析】根据奇函数的定义，构造关于 a 的方程组，容易求出 a 的值，从而求出 f（x） ，可求结果【解答】解：f（x ）是奇函数，f（x）f （x） ，2 x 2a+x2 ax
12、2 x，2 a（2 x+2x ）2 x+2x ，2 a1，a0，f（a1 ）f （1） 故选：B第 7 页（共 22 页）【点评】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出 a 值，是解决该类问题的关键4 （5 分）若 x，y 满足不等式组 ，则 z2x3y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出 z 的最小值【解答】解：画出 x，y 满足不等式组 表示的平面区域，如图所示；平移目标函数 z2x3y 知，A（2，3） ，B （1，0） ，C（0，1）当目标函数过点 A 时，z 取得最小值，z 的最小值为 22335故
13、选：D【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e，若 e ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A2x3y0 B3x2y0 C4x3y0 D3x 4y0【分析】求出双曲线的离心率，利用已知条件列出方程求解 a，b 比值美如画求解渐近第 8 页（共 22 页）线方程【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e，可得 e ，可得：a 2+b29a 26ab+ b2，化简可得 ，则该双曲线的渐近线方程为：4x3y0故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查6 （5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了
14、新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）A B C D【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：图标第一部分的面积为 83124，图标第二部分的面积和第三部分的面积为 329，图标第三部分的面积为 224 ，故此点取自图标第三部分的概率
15、为 ，故选：B【点评】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题7 （5 分）在公比为整数的等比数列a n中，a 2a 32 ，a 1+a3 ，则 an的前 4 项和为（ ）A B C D第 9 页（共 22 页）【分析】由 a2a 32，a 1+a3 ，联立方程可求 a1、q，然后代入等比数列的前 n和公式可求答案【解答】解：设等比数列的首项为 a1，公比为 qa 2a 32，a 1+a3 ，两式相除可整理可得，2q 25q30由公比 q 为整数可得，q3，a 1代入等比数列的和公式可得 S4 ，故选：A【点评】本题主要考查了利用基本量 q，a 1 表示数
16、列中的项，而在建立关于 q，a 1 的方程时，常利用两式相除解方程，等比数列的前 n 项和公式8 （5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）A0 B1 C2018 D2017【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案第 10 页（共 22 页）【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S2017+（sin +sin ）+（sin +sin ）+ （sin +sin ）的值，可得：S2017+（sin +sin ）+（sin +sin ）+（sin
17、+sin ）2017故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9 （5 分）若函数 f（x ）e x（x 33axa）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0， ） B （ ） C （0， ） D （ ）【分析】令 g（x）x 33axa，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，得到关于 a 的不等式，求出 a 的范围即可【解答】解：令 g（x）x 33ax a，若 f（x）e xg（x）有 3 个零点，即 g（x）有 3 个零点，g（x）3x 23a，当 a0 时，g（x）0，g（x）递增，至多 1 个零
18、点，当 a0 时，g（x）0，x ，由题意知 g（ ）0，g（ ）0，故 a ，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性，落在问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题10 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BCCC 11，AB 1D ，则直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值第 11 页（共 22 页）【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为
19、 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ABa，则 A（1，0，0） ，D （0，0，0） ，B 1（1，a，1） ，（1，a，1） ， （0，a，1） ，AB 1D ，cos ，解得 a ，B 1（1， ，1） ，B（1， 0） ，C 1（0， ，1） ，（0， ） ， （1，0，1） ，设直线 AB1 与 BC1 所成角为 ，则 cos 直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11 （5 分）已知函数 f（x ） cosxsinx 在（0， ）上是单调函数，且 f
20、（ ）1，则 的取值范围为（ ）A （0， B （0， C （0， D （0， 【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（+ ） ，则 + （ ， ，由此可得 的取值范围第 12 页（共 22 页）【解答】解：函数 f（x ） cosxsinx2cos（x+ ） 在（0，）上是单调函数， +， 0 又 f（）1，即 cos（+ ） ，则 + （ ， ， （0， ，故选：C【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题12 （5 分）已知半圆 C：x 2+y21（y0） ，A、B 分别为半
21、圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使BPQ ，则 t 的取值范围是（ ）A ，0） B ，0）（0， C ，0）（0， D ，0）（0， 【分析】根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，分析可得在 RtPBT 中，| BT| |PB|t|，分 p 在 x 轴上方、下方和 x 轴上三种情况讨论，分析 |BT|的最值，即可得 t 的范围，综合可得答案【解答】解：根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，则|PB| t|，由于 BP 与 x 轴垂直，且BPQ ，则在 RtPBT 中，
22、|BT| |PB| |t|，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q，PT 与半圆相切时，| BT|有最大值 3，此时 t有最大值 ，当 P 在 x 轴下方时，当 Q 与 A 重合时，|BT |有最大值 2，|t|有最大值 ，则 t 取得最小值 ，t0 时，P 与 B 重合，不符合题意，则 t 的取值范围为 ，0） ；故选：A第 13 页（共 22 页）【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos ，则 cos2 【分析】由已知利用二倍角的余弦
23、函数公式即可计算得解【解答】解：cos ，cos22cos 212（ ） 21 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S43S 2，a 715，则a n的公差为 2 【分析】利用等差数列前 n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出等差数列的公差【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S43 S2，a 715， ，解得 a13，d2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15 （5 分）甲、乙、丙三个同学同时做标号
24、为 A、B、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 第 14 页（共 22 页）三个题都有人做对；至少有一个题三个人都做对；至少有两个题有两个人都做对【分析】运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论【解答】解：若甲做对 A，B，乙做对 A，B，丙做对 A，B，则 C 无人做对，所以错误；若甲做对 A，B，乙做对 A，C ，丙做对 B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足的说法故答案为：【点评】本题考查学生合情推理的能
25、力，属于中档题16 （5 分）已知三棱锥 ABCD 的四个顶点都在球 O 的球面上，且AC ，BD2，AB BCCDAD ，则球 O 的表面积为4 【分析】由题意画出图形，结合已知可得 BD 中点 O 为外接球的球心，求出半径，则答案可求【解答】解：如图，取 BD 中点 O，连接 OA，OC ，由 BD2，ABBCCDAD ，得 OAOB OCOD1，则球的半径为 1球 O 的表面积为 4124故答案为：4第 15 页（共 22 页）【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考
26、题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 Sbc cosA，C （）求 cosB 的值；（）若 c ，求 S 的值【分析】 （）由已知利用三角形面积公式可得 tanA2，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求 cosB 的值（）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用正弦定理可得 b 的值，即可得解 S的值【解答】解：（）S bcsinAbccosA，sinA2cosA，可
27、得：tan A2，ABC 中，A 为锐角，又sin 2A+cos2A1，可得：sinA ，cosA ，又C ，cosBcos（A+ C）cosAcosC+sin AsinC （）在ABC 中，sinB ，由正弦定理，可得：b 3，Sbccos A3【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，第 16 页（共 22 页）ABCD，BCD ，PABD，AB2，PAPDCDBC1（）求证：平面 PAD平面 ABCD；（）求点 C
28、 到平面 PBD 的距离【分析】 （）推导出 ADBD，PABD，从而 BD平面 PAD，由此能证明平面PAD平面 ABCD（）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，且 PO ，由 VPBCD V CPBD ，能求出点 C 到平面 PBD 的距离【解答】证明：（）ABCD，BCD ，PAPDCDBC1，BD ， ， ， ，AB2，AD ，AB 2AD 2+BD2，ADBD ，PABD ，PAADA，BD 平面 PAD，BD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD解：（）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，且 PO ，由平面 PAD平面 ABCD，知 PO平面 ABCD，由
29、BD平面 PAD，得 BD PD，又 PD1，BD ，PBD 的面积为 ，又BCD 的面积为 ，V PBCD V CPBD ，设点 C 到平面 PBD 的距离为 d，则 ，解得 d ，点 C 到平面 PBD 的距离为 第 17 页（共 22 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 0，10）10
30、，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计男女 20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取 5 人，进行体育锻炼体会交流，再从这 5 人中选出 2 人作重点发言，求作重点发言的 2 人中，至少有 1 人是女生的概率参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d临界值表P（K 2k 0
31、） 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （）计算得 K2，结合临界值表可得；（） “锻炼达标“的学生有 50 人，男女生人数比为 3：2，故用分层抽样方法抽取 5 人，第 18 页（共 22 页）有 3 人是男生，记为 a，b，c，有 2 人是女生，记为 d，e，用列举法以及古典概型概率公式可得【解答】解：（）列联表如下：锻炼不达标 锻炼达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200K2 6.0615.024，所以能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认
32、为“锻炼达标”与性别有关（） ”锻炼达标“的学生有 50 人，男女生人数比为 3：2，故用分层抽样方法抽取 5 人，有 3 人是男生，记为 a，b，c，有 2 人是女生，记为 d，e，则从这 5 人中选出 2 人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc ， bd，be，cd ，ce，de，共 10 种，设事件 A 表示“作重点发言的 2 人中，至少有 1 人是女生” ，则事件 A 发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be ，ce，de 共 7 种，所以所求概率为 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题20 （12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0
33、） ，F 2（c，0） ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y 与椭圆 C 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在直线 l：y k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（ ）1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！【分析】 （）由题意可得 3，以及直线 y 与椭圆 C 相切，可得 b ，解之即得 a，b，从而写出椭圆 C 的方程；（）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出 k 的取值范围第 19 页（共 22 页）【解答】解：（）在 1（ab0）中，令 xc，可得 y ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦
34、长为 3， 3，直线 y 与椭圆 C 相切，b ，a2a 24，b 23故椭圆 C 的方程为 + 1；（）由（）可知 c1，则直线 l 的方程为 yk（x+1） ，联立 ，可得（4k 2+3）x 2+8k2x+4k2120，则64k 44（4k 2+3） （4k 212）144（k 2+1）0，x 1+x2 ，x 1x2 ，y 1y2k 2（x 1+1） （x 2+1） ，（ ） 1， 1，（x 21，y 2） （x 11，y 1）x 1x2（x 1+x2）+1+y 1y21，即 + +1 1，整理可得 k24，解得2k2，直线 l 存在，且 k 的取值范围为（2，2） 【点评】本题考查了直线
35、方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方第 20 页（共 22 页）法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）alnx2x+x 2（aR） （1）若 a1，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（2）设 f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，且不等式 f（x 1）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）代入 a 的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由 f（ x1）mx 2 恒成立，得 m1x 1+2x1lnx1 ，令h（x）1x+2xlnx （ 0x ） ，根据函数的单调性求出
36、 m 的范围即可【解答】解：（1）a1 时，f（x ） 2+2x，故 f（1）1，又 f（1）1，故切线过（1，1） ，切线方程是：xy 20；（2）f（x） alnx2x+x 2（x0） ，f（x） ，令 f（x）0 ，得 2x22x+a0，f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，48a0，故 x1+x21，x 1x2 0，故 0a ，故 0x 1 ， x 21，由 f（x 1）mx 2 恒成立，得 m 1x 1+2x1lnx1 ，令 h（x）1x +2xlnx （0x ） ，h（x）2lnx +1，0x ，31 0，故 h（x）0，故 h（x ）在（0， ）递减，第 21
37、页（共 22 页）故 h（x）h（ ） ln2，故 m ln2，即实数 m 的范围是（， ln2【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，P 是曲线 C1 上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹为 C2（）求曲线 C2 的直角坐标方程；（）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 l：sincos 交曲
38、线 C2 于 M，N 两点，求| MN|【分析】 （）利用 cos2+sin21 消去 可得圆 C1 的普通方程，设 PQ 的中点坐标为（x，y） ，则 P 点坐标为（2x，y） ，将 P 的坐标代入 C1 的方程即可得；（）先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入 C2 的直角坐标方程可得 M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN| 【解答】解：（）利用 cos2+sin21 消去 可得（x3） 2+（y1） 24，设 PQ 的中点坐标为（x，y） ，则 P 点坐标为（2x，y ） ，则 PQ 中点的轨迹方程为（2x3） 2+（y 1） 24（）直线的直角坐标方程为 yx1，联立
39、yx1 与（2x 3） 2+（y1） 24 得 x ，|MN| 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x 2|（）解不等式 f（x ）+f（2x+1）6；（）对 a+b1（a，b0）及x R，不等式 f（xm）（x） 恒成立，求第 22 页（共 22 页）实数 m 的取值范围【分析】 （）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可（）利用 1 的代换，结合基本不等式先求出 + 的最小值是 9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可【解答】解：（）f（x ）+ f（2x+1）|x 2|+|2 x1| 当 x 时，由 33x 6，解得 x1；当 x2 时，x +16 不成立；当 x2 时，由 3x36，解得 x3所以不等式 f（x ）6 的解集为（，1 3，+） （）a+b1（a，b0） ，（a+b） （ + ）5+ + 5+2 9，对于xR，恒成立等价于：对x R，| x2m|x2|9，即| x2 m|x 2| max9|x 2m| | x2| （x2m）（x +2）| |4 m|9m+4 9，13m5【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用 1 的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键
