1、2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科） （内考）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （ ）A B C D2 （5 分）设集合 A1， 0，1 ，Bx|2 x2，则 AB（ ）A B1 C 1，0 D0 ，13 （5 分）若 x，y 满足不等式组 ，则 z2x3y 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D54 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e，抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（1，0） ，若 ep，则双曲线 C 的渐近线方程为（
2、 ）Ay x By x Cy x Dy x5 （5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）A B C D6 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S43S 2， a715，则a n的公差为（ &nbs
3、p;）第 2 页（共 24 页）A1 B2 C3 D47 （5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）A0 B1 C2018 D20178 （5 分）已知函数 f（x ）ln （x+1）ax ，若曲线 yf（x）在点（0，f （0） ）处的切线方程为 y2x，则实数 a 的值为（ ）A2 B1 C1 D29 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BCCC 11，AB 1D ，则直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ） cosxsinx 在（0， ）上是单调函数，且 f（ ）1，则 的
4、取值范围为（ ）A （0， B （0， C （0， D （0， 11 （5 分）已知半圆 C：x 2+y21（y0） ，A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使BPQ ，则 t 的取值范围是（ ）A ，0） B ，0）（0， C ，0）（0， D ，0）（0， 第 3 页（共 24 页）12 （5 分）在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BD2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角 BACD 的余弦值为 ，则所得三棱锥 ABCD 的内切球的表
5、面积为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos ，则 cos2 14 （5 分）在（1+x） （2+x） 5 的展开式中，x 3 的系数为 （用数字作答） 15 （5 分）已知函数 f（x ）是奇函数，且 0x 1x 2 时，有 1，f（2）1，则不等式 x3f（x ）x 的解集为 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足，S n3a n 2，数列na n的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn100 的最小的 n 值为
6、 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 Sbc cosA，C （）求 cosB 的值；（）若 c ，求 S 的值18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AB CD，BCD ，PABD，AB2，PAPDCDBC1（）求证：平面 PAD平面 ABCD；（）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值19 （12 分）某
7、中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学第 4 页（共 24 页）生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟 0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计男女 20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（）在“锻炼达标”的学生中，按男女用
8、分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这 10 人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为X，求 X 的分布列和数学期望参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d临界值表P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63520 （12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0） ，F 2（c，0） ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y 与椭圆 C 相切（）求椭
9、圆 C 的标准方程；（）是否存在直线 l：y k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（ ）第 5 页（共 24 页）1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21 （12 分）已知函数 f（x ）e xax（）若函数 f（x ）在 x（ ，2）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 （注e319）（）设 g（x）f（x）ax 2，若函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x 2 证明：（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数
10、） ，P 是曲线 C1 上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹为 C2（）求曲线 C2 的直角坐标方程；（）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 l：sincos 交曲线 C2 于 M，N 两点，求| MN|选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x 2|（）解不等式 f（x ）+f（2x+1）6；（）对 a+b1（a，b0）及x R，不等式 f（xm）（x） 恒成立，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）（内考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 1
11、2 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （ ）A B C D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2 （5 分）设集合 A1， 0，1 ，Bx|2 x2，则 AB（ ）A B1 C 1，0 D0 ，1【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| x1；AB 故选：A【点评】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义3 （5 分）若 x，y 满足不等式组 ，则 z2x3y 的最小值为（
12、;）A2 B3 C4 D5【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出 z 的最小值【解答】解：画出 x，y 满足不等式组 表示的平面区域，如图所示；平移目标函数 z2x3y 知，A（2，3） ，B （1，0） ，C（0，1）第 7 页（共 24 页）当目标函数过点 A 时，z 取得最小值，z 的最小值为 22335故选：D【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查4 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为 e，抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（1，0） ，若 ep，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）Ay x By x Cy x D
13、y x【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解 a，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程【解答】解：抛物线 y22px（p0）的焦点坐标为（1，0） ，则 p2，又 ep，所以 e 2，可得 c24a 2a 2+b2，可得：b a，所以双曲线的渐近线方程为：y 故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用5 （5 分）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为 3 部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一
14、个矩形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三第 8 页（共 24 页）部分的概率为（ ）A B C D【分析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：图标第一部分的面积为 83124，图标第二部分的面积和第三部分的面积为 329，图标第三部分的面积为 224 ，故此点取自图标第三部分的概率为 ，故选：B【点评】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题6 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S43S 2，
15、a715，则a n的公差为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据题意，设等差数列a n的公差为 d，分析可得 4a1+6d3（2a 1+d） ，a1+6d15，解可得 d 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列a n的公差为 d，若 S43S 2，a 715，则 4a1+6d3（2a 1+d） ，a 1+6d15，解可得 a13，d2；故选：B【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，关键是掌握等差数列的前 n 项和公式的形式，属于基础题7 （5 分）运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）第 9 页（共 24 页）A0 B1 C2018 D2017【分析】由
16、已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S2017+（sin +sin ）+（sin +sin ）+ （sin +sin ）的值，可得：S2017+（sin +sin ）+（sin +sin ）+（sin +sin ）2017故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8 （5 分）已知函数 f（x ）ln （x+1）ax ，若曲线 yf（x）在点（0，f （0） ）处的切
17、线方程为 y2x，则实数 a 的值为（ ）A2 B1 C1 D2【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过 f（0） ，求解即可；【解答】解：f （x ）的定义域为（1，+） ，因为 f（x） a，曲线 yf（x ）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x，可得 1a2，解得 a1，故选：B第 10 页（共 24 页）【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力9 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BCCC 11，AB 1D ，则直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，D
18、C 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值【解答】解：以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ABa，则 A（1，0，0） ，D （0，0，0） ，B 1（1，a，1） ，（1，a，1） ， （0，a，1） ，AB 1D ，cos ，解得 a ，B 1（1， ，1） ，B（1， 0） ，C 1（0， ，1） ，（0， ） ， （1，0，1） ，设直线 AB1 与 BC1 所成角为 ，则 cos 直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 故选：D【点评】本题考查异
19、面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 11 页（共 24 页）10 （5 分）已知函数 f（x ） cosxsinx 在（0， ）上是单调函数，且 f（ ）1，则 的取值范围为（ ）A （0， B （0， C （0， D （0， 【分析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（+ ） ，则 + （ ， ，由此可得 的取值范围【解答】解：函数 f（x ） cosxsinx2cos（x+ ） 在（0，）上是单调函数， +， 0 又 f（）1，即 cos（+ ） ，则
20、 + （ ， ， （0， ，故选：C【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题11 （5 分）已知半圆 C：x 2+y21（y0） ，A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使BPQ ，则 t 的取值范围是（ ）A ，0） B ，0）（0， C ，0）（0， D ，0）（0， 【分析】根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，分析可得在 RtPBT 中，| BT| |PB|t|，分 p 在 x 轴上方、下方和 x 轴上三种情况讨
21、论，分析 |BT|的最值，即可得 t 的范围，综合可得答案【解答】解：根据题意，设 PQ 与 x 轴交于点 T，则|PB| t|，由于 BP 与 x 轴垂直，且BPQ ，则在 RtPBT 中，|BT| |PB| |t|，当 P 在 x 轴上方时， PT 与半圆有公共点 Q，PT 与半圆相切时，| BT|有最大值 3，此时 t有最大值 ，第 12 页（共 24 页）当 P 在 x 轴下方时，当 Q 与 A 重合时，|BT |有最大值 2，|t|有最大值 ，则 t 取得最小值 ，t0 时，P 与 B 重合，不符合题意，则 t 的取值范围为 ，0） ；故选：A【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及
22、直线与圆的位置关系，属于基础题12 （5 分）在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BD2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面角 BACD 的余弦值为 ，则所得三棱锥 ABCD 的内切球的表面积为（ ）A B C D【分析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出 DNAC，BN AC，可得出二面角 BACD 的平面角为BND，再利用余弦定理求出 BD，可知三棱锥 BACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的 倍得出内切球的半径 R，再利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：如下图所示，第 13 页（共 24 页）易知ABC 和ACD 都是等边三角形，取 AC 的
23、中点 N，则 DNAC，BNAC 所以，BND 是二面角 BACD 的平面角，过点 B 作 BODN 交 DN 于点 O，可得BO平面 ACD因为在BDN 中， ，所以，BD 2BN 2+DN22BNDNcosBND，则 BD2故三棱锥 ABCD 为正四面体，则其内切球半径 因此，三棱锥 ABCD 的内切球的表面积为 故选：C【点评】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知 cos ，则 cos2
24、;【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：cos ，cos22cos 212（ ） 21 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题14 （5 分）在（1+x） （2+x） 5 的展开式中，x 3 的系数为 120 （用数字作答） 【分析】根据（2+x） 5 的展开式的通项公式，计算在（1+x） （2+x） 5 的展开式中含 x3的项是什么，从而求出 x3 的系数【解答】解：（2+x） 5 的展开式的通项是，所以在（1+x） （2+x） 5（2+x） 5+x（2+x） 5 的展开式中，含 x3 的项为 ，所以 x3 的系数为 120
25、故答案为：120第 14 页（共 24 页）【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目15 （5 分）已知函数 f（x ）是奇函数，且 0x 1x 2 时，有 1，f（2）1，则不等式 x3f（x ）x 的解集为 0，2 【分析】根据条件构造函数 g（x）f （x）x，判断函数 g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可【解答】解：由 x3f（x）x 等价为3f （x）x1设 g（x）f（ x）x，又由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，则有 f（x）f（x） ，则有 g（x）f（x）（x）f （x）+
26、xf（x）x g（x） ，即函数 g（x）为 R 上的奇函数，则有 g（0）0；又由对任意 0x 1x 2 时，有 1，则 1， 1， 10，即 g（x）在0 ，+ ）上为减函数，g（x）是奇函数，g（x）在（，+）上为减函数，f（2）1，g（2） f（2）（2）1+2 3；g（2）3，g（0）f（0 ）00，则3f（x） x0 等价为 g（2）g（x）g（0） ，g（x）是减函数，0x2，即不等式 x3f（x）x 的解集为0，2 ；第 15 页（共 24 页）故答案为：0，2【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数 g（x） ，利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和
27、单调性进行转化是解决本题的关键16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足，S n3a n 2，数列na n的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn100 的最小的 n 值为 7 【分析】根据题意，将 Sn3a n2 变形可得 Sn1 3a n1 2，两式相减变形可得2an3a n1 ，令 n1 求出 a1 的值，即可得数列a n是以 a11 为首项，公比为 的等比数列，即可得数列a n的通项公式，进而可得 Tn1+2 +3（ ） 2+n（） n1 ，由错位相减法分析求出 Tn 的值，若 Tn100，即 4+（2n4）（ ）n100，验证分析可得 n 的最小值，即可得答案【解答】解：根
28、据题意，数列a n满足 Sn3a n2，当 n2 时，有 Sn1 3a n1 2，可得： an3a n3a n 1，变形可得 2an3a n1 ，当 n1 时，有 S1a 13a 12，解可得 a11，则数列a n是以 a11 为首项，公比为 的等比数列，则 an（ ） n1 ，数列na n的前 n 项和为 Tn，则 Tn1+2 +3（ ） 2+n（ ） n1 ，则有 Tn +2（ ） 2+3（ ） 3+n（ ） n，可得： Tn1+（ ）+（ ） 2+（ ） n1 n（ ） n2（1）n（ ） n，变形可得：T n4+ （2n4）（ ） n，若 Tn100，即 4+（2n4）（ ） n100
29、，分析可得：n7，故满足 Tn100 的最小的 n 值为 7；故答案为：7【点评】本题考查数列的递推公式，关键是分析数列a n的通项公式，属于基础题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考第 16 页（共 24 页）题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，ABC 的面积为 S，且 Sbc cosA，C （）求 cosB 的值；（）若 c ，求 S 的值【分析】 （）由已知利用三角形面积公式可得 tanA2，利用同角三
30、角函数基本关系式可求 sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求 cosB 的值（）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，利用正弦定理可得 b 的值，即可得解 S的值【解答】解：（）S bcsinAbccosA，sinA2cosA，可得：tan A2，ABC 中，A 为锐角，又sin 2A+cos2A1，可得：sinA ，cosA ，又C ，cosBcos（A+ C）cosAcosC+sin AsinC （）在ABC 中，sinB ，由正弦定理，可得：b 3，Sbccos A3【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦
31、函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AB CD，BCD ，PABD，AB2，PAPDCDBC1（）求证：平面 PAD平面 ABCD；（）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值第 17 页（共 24 页）【分析】 （）推导出 ADBD，PABD，从而 BD平面 PAD，由此能证明平面PAD平面 ABCD（）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
32、利用职权向量法能求出直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值【解答】证明：（）ABCD，BCD ，PAPDCDBC1，BD ，ABC ， ， ，AB2，AD ，AB 2AD 2+BD2，ADBD ，PABD ，PAADA，BD 平面 PAD，BD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD解：（）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，且 PO ，由平面 PAD平面 ABCD，知 PO平面 ABCD，以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为y 轴，直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（ ，0） ，B（ ，
33、0） ，C （ ，0） ，P（0，0， ） ，（1，0，0） ， （ ， ） ，设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ，则 ，取 z ，得 （0， ， ） ， （ ， ） ，第 18 页（共 24 页）cos ，直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/
34、分钟 0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均体育锻炼时间在40，60）的学生评价为“锻炼达标” （）请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计男女 20 110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这 10 人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为
35、X，求 X 的分布列和数学期望参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d第 19 页（共 24 页）临界值表P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635【分析】 （I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论（） （i）在“锻炼达标”的学生 50 中，男女生人数比为 3：2，用分层抽样方法抽出10 人，男生有 6 人，女生有 4 人【解答】解：（I）列出列联表，课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200K
36、2 6.0615.021所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关 （6分）（） （i）在“锻炼达标”的学生 50 中，男女生人数比为 3：2，用分层抽样方法抽出 10 人，男生有 6 人，女生有 4 人（ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言， 2 人中女生的人数为 X，则 X 的可能值为 0，1，2则 P（X 0） ，P（X1） ，P（X2） ，可得 X 的分布列为：X 0 1 2P 可得数学期望 E（X）0 +1 +2 【点评】本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超
37、几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 20 页（共 24 页）20 （12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0） ，F 2（c，0） ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y 与椭圆 C 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在直线 l：y k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（ ）1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！【分析】 （）由题意可得 3，以及直线 y 与椭圆 C 相切，可得 b ，解之即得 a，b，从而写出椭圆 C 的方程；（）联立方程组，根据韦达定理
38、和向量的运算，即可求出 k 的取值范围【解答】解：（）在 1（ab0）中，令 xc，可得 y ，过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3， 3，直线 y 与椭圆 C 相切，b ，a2a 24，b 23故椭圆 C 的方程为 + 1；（）由（）可知 c1，则直线 l 的方程为 yk（x+1） ，联立 ，可得（4k 2+3）x 2+8k2x+4k2120，则64k 44（4k 2+3） （4k 212）144（k 2+1）0，x 1+x2 ，x 1x2 ，第 21 页（共 24 页）y 1y2k 2（x 1+1） （x 2+1） ，（ ） 1， 1，（x 21，y 2） （x 1
39、1，y 1）x 1x2（x 1+x2）+1+y 1y21，即 + +1 1，整理可得 k24，解得2k2，直线 l 存在，且 k 的取值范围为（2，2） 【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e xax（）若函数 f（x ）在 x（ ，2）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 （注e319）（）设 g（x）f（x）ax 2，若函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x 2 证明：【分析】 （）问题转化为 a ，令 h（x） ，x（ ，2） ，根据函数的单调性求出
40、a 的范围即可；（）求出 2a ，问题转化为证（x 1x 2） +10，令x1x 2t（t0） ，即证不等式 t e t+10，当 t0 时恒成立，设 h（t）t e t+1，则 h（t） （ +1），根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）由 f（x ）0，得 a ，令 h（x） ，x （ ，2） ，第 22 页（共 24 页）h（x） ，故 h（x）在（ ，1）递减，在（1，2）递增，又 h（ ）2 ，h（2） ，h（1）e，故 h（2）h（ ） ，故 a（e，2 ） ；（）g（x）f（x）ax 2e xaxax 2，故 g（x）e x2ax a，x 1，x 2 是函数 g（x ）的两个不
41、同的极值点（不妨设 x1x 2） ，易知 a0（若 a0，则函数 f（x ）没有或只有 1 个极值点，与已知矛盾） ，且 g（x 1）0，g（x 2）0，故 2ax 1a0， 2ax 2a0，两式相减得 2a ，于是要证明 ln（2a ） ，即证明 ，两边同除以 ，即证（x 1x 2） 1，即证（x 1x 2） +10，令 x1x 2t（t0） ，即证不等式 t e t+10，当 t0 时恒成立，设 h（t）t e t+1，则 h（t ） （ +1） ，设 k（t） （ +1） ，则 k（t） （ 1） ，当 t0 时，k （t）0，k （ t）递减，故 k（t）k（0）0，即 （ +1）0，
42、故 h（t）0，第 23 页（共 24 页）故 h（t）在 t0 时递减，h（t）在 t0 处取最小值 h（0）0，故 h（t）0 得证，故 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，P 是曲线 C1 上的任一点，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q，线段 PQ 的中点的轨迹为 C2（）求曲线 C2 的直角坐标方程；（）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
43、坐标系，若直线 l：sincos 交曲线 C2 于 M，N 两点，求| MN|【分析】 （）利用 cos2+sin21 消去 可得圆 C1 的普通方程，设 PQ 的中点坐标为（x，y） ，则 P 点坐标为（2x，y） ，将 P 的坐标代入 C1 的方程即可得；（）先把 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入 C2 的直角坐标方程可得 M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN| 【解答】解：（）利用 cos2+sin21 消去 可得（x3） 2+（y1） 24，设 PQ 的中点坐标为（x，y） ，则 P 点坐标为（2x，y ） ，则 PQ 中点的轨迹方程为（2x3） 2+（y 1） 24（
44、）直线的直角坐标方程为 yx1，联立 yx1 与（2x 3） 2+（y1） 24 得 x ，|MN| 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x 2|（）解不等式 f（x ）+f（2x+1）6；（）对 a+b1（a，b0）及x R，不等式 f（xm）（x） 恒成立，求实数 m 的取值范围第 24 页（共 24 页）【分析】 （）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可（）利用 1 的代换，结合基本不等式先求出 + 的最小值是 9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可【解答】解：（）f（x ）+ f（2x+1）|x 2|+|2 x1| 当 x 时，由 33x 6，解得 x1；当 x2 时，x +16 不成立；当 x2 时，由 3x36，解得 x3所以不等式 f（x ）6 的解集为（，1 3，+） （）a+b1（a，b0） ，（a+b） （ + ）5+ + 5+2 9，对于xR，恒成立等价于：对x R，| x2m|x2|9，即| x2 m|x 2| max9|x 2m| | x2| （x2m）（x +2）| |4 m|9m+4 9，13m5【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用 1 的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键
