1、2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z ，则 z 的实部为（ ）A3 B3 C2 D22 （5 分）若集合 A1，2， 3，Bx|x 22x0 ，则 AB（ ）A2 B3 C1 ，2 D2 ，33 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线与过其右焦点的直线y2x 2 平行，则该双曲线的实轴长为（ ）A1 B2 C3 D44 （5 分）若向量 ， 满足| |2，| |3，| | ，
2、则 （ + ）（ ）A5 B6 C7 D85 （5 分）某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12y 1 2 3 5 6由表中数据求得 y 关于 x 的回归方程为 0.65x + ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）A B C D6 （5 分）若函数 f（x ）sinx cosx（0）的最小正周期为 ，则 f（x）的单调增区间为（ ）Ak ，k+ （k Z） B k ，k+ （kZ）Ck ， k+ （kZ） Dk ，k + （k Z）7 （5 分）如图所示的程序框图，若
3、输出的 S30，则输入的整数 m 值为（ ）第 2 页（共 24 页）A7 B8 C9 D108 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A210 B208 C206 D2049 （5 分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对1+2+3+100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f（x）（m0） ，则 f（1）+f（2）+f （3）+ +f（m+
4、2018）等于（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ）是偶函数，定义域为 R，单调增区间为0，+） ，且 f（1）0，则（x1 ）f（x 1）0 的解集为（ ）A2，0 B1，1 C （，01 ，2 D （，10，111 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC平面第 3 页（共 24 页）ABC，ACB 90，AB 3 ，DC2 ，则球 O 的表面积为（ ）A28 B30 C32 D3612 （5 分）已知 f（x ） ，若方程 f（x）2axa1 有唯一解，则实数 a 的取值范围是（ ）A （
5、 ） B ） C 8 ） D 8（）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）曲线 y +xex 在点（0，1）处的切线方程为 14 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+2y 的最小值为 15 （5 分）已知椭圆 1（a0，b0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为B，若点 F 到直线 AB 距离为 b，则该椭圆的离心率为 16 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，tanA，则 的取值范围是 &n
6、bsp; 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60分17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S10 120，a 2a 1，a 4a 2，a 1+a2 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 Tn 为数列 的前 n 项和，求满足 Tn 的最小的 n 值18 （12 分）某县共有户籍人口 60 万，经统计，该县 60 岁及以上、百岁以下的人口占比13.8%，百岁及以上老人 15 人，现从该县 60 岁及以上、百岁
7、以下的老人中随机抽取230 人，得到如下频数分布表：第 4 页（共 24 页）年龄段（岁） 60，70） 70，80） 80，90） 90，99）人数（人） 125 75 25 5（1）从样本中 70 岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取 21 人，进一步了解他们的生活状况，则 80 岁及以上老人应抽多少人？（2）从（1）中所抽取的 80 岁及以上的老人中，再随机抽取 2 人，求抽到 90 岁及以上老人的概率；（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅关于加强新时期老年人优待服务工作的意见精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：本县户
8、籍 60 岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取 55 元基本养老金；本县户籍 80 岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；（a）百岁及以上老年人，每人每月发放 345 元生活补贴；（b）90 岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放 200 元的生活补贴；（c）80 岁及以上、90 岁以下老年人，每人每月发放 100 元的生活补贴试估计政府执行此项补贴措施的年度预算19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 为 A1C1 的中点，AB BC2，C 1FAB ，（1）求证：ABBC；（2）若 C1F平面 ABE，且 C1F2，求点 A 到平面 BCE 的距离20
9、 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，且|AB|8（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线DR，ER 分别交直线 l：y 2 x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程第 5 页（共 24 页）21 （12 分）已知函数 f（x ） bx（a，b R） （1）当 b0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 g（x） 在 x （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e ）上有两个零点，求实数
10、 b 的取值范围(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ + ）2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a| x3|（a R） （1）若 a1，求不等式 f（x ）+
11、10 的解集；（2）已知 a0，若 f（x ）+3 a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 24 页）2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z ，则 z 的实部为（ ）A3 B3 C2 D2【分析】结合复数的运算法则进行化简，即可得 z 的实部【解答】解：z 3+3i，故 z 的实部为3，故选：A【点评】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关
12、键2 （5 分）若集合 A1，2， 3，Bx|x 22x0 ，则 AB（ ）A2 B3 C1 ，2 D2 ，3【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| x0，或 x2 ；AB2，3故选：D【点评】考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算3 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线与过其右焦点的直线y2x 2 平行，则该双曲线的实轴长为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】求出右焦点的坐标，渐近线的斜率，然后求解 a 即可【解答】解：直线 y2x 2 经过双曲线的右焦点，可得 c ，双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线与过其
13、右焦点的直线 y2x2 平行，第 7 页（共 24 页）可得 ，又 a2+b25，解得 a1，所以双曲线的实轴长为：2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4 （5 分）若向量 ， 满足| |2，| |3，| | ，则 （ + ）（ ）A5 B6 C7 D8【分析】利用向量的模以及数量积化简求解即可【解答】解：向量 ， 满足| |2，| |3，| | ，可得 4+92 7，可得 3，则 （ + ） 4+37故选：C【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的运算法则的应用，是基本知识的考查5 （5 分）某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x 和 y 进行统
14、计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12y 1 2 3 5 6由表中数据求得 y 关于 x 的回归方程为 0.65x + ，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）A B C D【分析】求出样本点的中心，求出 的值，得到回归方程得到 5 个点中落在回归直线下方的有（6，2） ， （8，3） ，共 2 个，求出概率即可【解答】解： 8， 3.4，故 3.40.658+ ，解得：a1.8，则 0.65x1.8，故 5 个点中落在回归直线下方的有（6，2） ， （8，3） ，共 2 个，故所求概率是 p ，故选：A第 8 页（共 24 页）【点评】本题考查了
15、回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题6 （5 分）若函数 f（x ）sinx cosx（0）的最小正周期为 ，则 f（x）的单调增区间为（ ）Ak ，k+ （k Z） B k ，k+ （kZ）Ck ， k+ （kZ） Dk ，k + （k Z）【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的周期求出 2，结合函数单调性进行求解即可【解答】解：f（x ）sin x cosx2sin （x ） ，f（x）的最小正周期为 ， 得 2，即 f（x）2sin（2x ） ，由 2k 2x 2k + ，k Z，得 k xk+ ， （ kZ） ，即函数的单调递增区间为k ，k +
16、（k Z） ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简求出 是解决本题的关键7 （5 分）如图所示的程序框图，若输出的 S30，则输入的整数 m 值为（ ）第 9 页（共 24 页）A7 B8 C9 D10【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次 km ，km+2 否，Sm，km +1，第二次 km+1，km+2 否，Sm+ m+12m+1，km +2，第三次 km+2，km+2 否，S2m+1+m +23m+3 ，k m+3，第四次 km+3，km+2 是，输出 S3m+3 30，得 3m27，得 m9，故选：C【点评】本题主要考查程
17、序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键8 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A210 B208 C206 D204【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图是正方体的一部分，第 10 页（共 24 页）由题意可得：666 204故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键9 （5 分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对1+2+3+100 的求和运算
18、中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f（x）（m0） ，则 f（1）+f（2）+f （3）+ +f（m+2018）等于（ ）A B C D【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：函数 f（x ） （m0） ，则 f（1）+f（2）+ f（3）+f（m+2018） + + 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x ）是偶函数，定义域为 R，单调增区间为0，+） ，且 f（1）0，则（x1 ）f（x 1）0 的
19、解集为（ ）A2，0 B1，1 C （，01 ，2 D （，10，1【分析】根据题意，结合函数的单调性以及特殊值可得在区间0，1 上，f （x）0，在第 11 页（共 24 页）区间1，+ ）上，f（x）0，结合函数的奇偶性可得在区间1，0 上，f （x ）0，在区间（，1上，f（x）0，综合可得：在区间1，1 上，f（x）0，在区间（，1和1，+）上，f （x）0，又由（x1）f（x1）0 或，解可得 x 的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）的单调增区间为0 ，+） ，且 f（1）0，则在区间0，1上，f（x）0，在区间1，+ ）上，f （ x）0，又由函
20、数 f（x）为偶函数，在区间 1，0上，f（x ）0，在区间（，1 上，f（x）0，综合可得：在区间1，1上，f （x）0，在区间（ ，1 和1，+）上，f（x）0，（x1）f（x1）0 或 ，解可得：x0 或 1x 2，即不等式的解集为（，01 ，2；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析 f（x）的函数值的正负情况，属于基础题11 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC平面ABC， ACB 90，AB3 ，DC2 ，则球 O 的表面积为（ ）A28 B30 C32 D36【分析】将三棱锥还原成长方体，根据长方体的外
21、接球与三棱锥的外接球相同，可得【解答】解：将三棱锥还原为如图长方体，设该长方体的外接球为球 O，则长方体的 8个顶点都在球 O 的球面上，所以，三棱锥 DABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，故长方体的外接球与三棱锥的外接球都为球 O，而根据长方体的对称性，球 O 的球 O，在长方体的体对角线上，且长方体的体对角线是球的半径的 2 倍，而体对角线 AE 2r，所以 r ，故球的表面积为 S4r 2 30 故选：B第 12 页（共 24 页）【点评】本题考查了三棱锥的外接球，还原三棱锥是较好的一种解法，属于中档题12 （5 分）已知 f（x ） ，若方程 f（x）2axa1 有唯一解，则实数
22、a 的取值范围是（ ）A （ ） B ） C 8 ） D 8（）【分析】求出 f（x ）的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出 a 的范围即可【解答】解：令1x0，则 0x+11，则 f（x+1）x+1 ，故 f（x） ，如图示：由 f（x）2axa1，得 f（x）a（ 2x+1）1，函数 ya（2x+1）1 恒过 A（ ，1） ，故 KAB ，第 13 页（共 24 页）若方程 f（x） 2axa1 有唯一解，则 2a ，即 a ；当 2ax+a1 1 即图象相切时，根据0，9a 28a（a1）0，解得 a8，故选：D【点评】本题考查了函数零点问题，考查数形
23、结合思想，是一道中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）曲线 y +xex 在点（0，1）处的切线方程为 y1 【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程【解答】解：由于 y +xex，可得 y +ex+xex，令 x0，可得 y0，曲线 y +xex 在点（0 ，1）处的切线方程为 y10即 y1故答案为：y1【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题14 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+2y 的最小值为 7 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合
24、得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案第 14 页（共 24 页）【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（3，2） ，由图可知，当直线 zx+2y 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为7故答案为：7【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分）已知椭圆 1（a0，b0）的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为B，若点 F 到直线 AB 距离为 b，则该椭圆的离心率为 【分析】求出左焦点坐标，AB 的方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：椭圆 1
25、（a0，b0）的左焦点为 F（c，0） ，右顶点为 A，上顶点为 B，直线 AB 的方程为： ，即：bx +ayab0点 F 到直线 AB 距离为 b，可得： b，可得 14（a+c） 225a 2+25b250a 225c 2可得：39e 2+28e360，e （0，1） ，解得 e ，e （舍去） ，故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查第 15 页（共 24 页）16 （5 分）在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2，tanA，则 的取值范围是 （2 ，4） 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2
26、Acos B，结合角的范围可求 2AB ，利用三角形内角和定理及已知可求范围 A （ ， ） ，可得sinA（ ， ） ，进而根据正弦定理，比例的性质即可求解【解答】解：tanA ，cos 2A+cosCcosAsin 2A+sinAsinC，可得：cos2AcosB，在锐角ABC 中，2AB ，A+ B+C ，可得：3A+C，C （0， ） ，A （ ， ） ，可得：sinA （ ， ） ，a2， （2 ，4） 故答案为：（2 ，4） 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题：共
27、 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60分17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S10 120，a 2a 1，a 4a 2，a 1+a2 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 Tn 为数列 的前 n 项和，求满足 Tn 的最小的 n 值【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前 n 项和，再由裂项相消法求 Tn，求解不等式得答案【解答】解：（1）设等差数列
28、a n的公差为 d，第 16 页（共 24 页）由题意， ，解得：a 13，d2a n3+2（n1）2n+1 ；（2）由（1）得， ，则 ， 由 Tn ，得 3n235n600，解得：n （舍）或 n nN*，n 的最小值为 14【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题18 （12 分）某县共有户籍人口 60 万，经统计，该县 60 岁及以上、百岁以下的人口占比13.8%，百岁及以上老人 15 人，现从该县 60 岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230 人，得到如下频数分布表：年龄段（岁） 60，70） 70，8
29、0） 80，90） 90，99）人数（人） 125 75 25 5（1）从样本中 70 岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取 21 人，进一步了解他们的生活状况，则 80 岁及以上老人应抽多少人？（2）从（1）中所抽取的 80 岁及以上的老人中，再随机抽取 2 人，求抽到 90 岁及以上老人的概率；（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅关于加强新时期老年人优待服务工作的意见精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：本县户籍 60 岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取 55 元基本养老金；本县户籍 80 岁及以上老年人额外
30、享受高龄老人生活补贴；（a）百岁及以上老年人，每人每月发放 345 元生活补贴；（b）90 岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放 200 元的生活补贴；第 17 页（共 24 页）（c）80 岁及以上、90 岁以下老年人，每人每月发放 100 元的生活补贴试估计政府执行此项补贴措施的年度预算【分析】 （1）采用分层抽样的方法抽，求出各阶段人数的比例，即可求出 21 人中 80 岁及以上老人应抽多少人（2）直接根据组合的性质从 21 人中随机抽取 2 人除以 90 岁及以上老人可得概率；（3）根据县 60 岁以上、百岁以下的人口占比 13.8%，计算本县户籍 60 岁各阶段人数每月领取 55
31、元基本养老金，再加外享受高龄老人生活补贴计算总和政府执行此项补贴措施的年度预算【解答】解：由题意，随机抽取 230 人，6070 的比例为 ，7080 的比例为 ，8090 的比例为 ，90 以上比例为 （1）采用分层抽样 70 岁及以上老人，抽 21 人，80 岁及以上老人应抽人（2）抽 21 人，8090 应抽 5 人，90 以上的为 1 人随机抽取 2 人，抽到90 岁及以上老人的概率为 1 （3）在 60 万人，该县 60 岁以上、百岁以下的人口占比 13.8%，可得 60 岁以上百岁以下的人口为：60000013.8%82800 人，百岁及以上的老人 15人；60 岁及以上居民，每月
32、领取 55 元基本养老金：82815554554825 元80 岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴：百岁及以上老年人：153455175 元90 岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放 200 元：82800 36000080 岁及以上、90 岁以下老年人，每人每月发放 100 元：82800 9000000政府执行此项补贴措施的年度预算为：（4554825+5175+360000+9000000）12 个月167040 万元【点评】本题考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，计算能力，属于基础题第 18 页（共 24 页）19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E
33、为 A1C1 的中点，AB BC2，C 1FAB ，（1）求证：ABBC；（2）若 C1F平面 ABE，且 C1F2，求点 A 到平面 BCE 的距离【分析】 （1）根据 ABC 1F，ABCC 1 可得 AB平面 BCC1B1，故而 ABBC；（2）过 F 做 FMAC 交 AB 于 M，连接 EM，由 C1F平面 ABE 可得 C1FEM，得出FM 为ABC 的中位线求出 CC1，利用 VABEC V EABC 计算点 A 到平面 BCE 的距离【解答】 （1）证明：CC 1平面 ABC，AB平面 ABC，CC 1AB，又 ABC 1F，CC 1C 1FC 1，AB平面 BCC1B1，又
34、BC平面 BCC1B1，ABBC（2）过 F 做 FMAC 交 AB 于 M，连接 EM，EC 1AC，FMEC 1，C 1F平面 ABE，C 1F平面 EMFC1，平面 EMFC1平面 ABEEM，C 1FEM，四边形 EMFC1 是平行四边形，FMEC 1 AC，FM 是ABC 的中位线CF BC1，CC 1 ，EBECBC2，S EBC 设 A 到平面 EBC 的距离为 d，则 VABEC ，又 VA BECV EABC ，第 19 页（共 24 页）d2，即 A 到平面 EBC 的距离为 2【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题20 （12 分
35、）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，且|AB|8（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线DR，ER 分别交直线 l：y 2 x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程【分析】 （1）过点 F 且斜率为 1 的直线方程与抛物线方程联立，利用|AB| 8 求得 p 的值，即可写出抛物线 C 的方程；（2）设 D（x 1，y 1） ，E（x 2， y2） ，直线 DE 的方程为 xm（y 1）+1 ，m 0，直线DR 的方程为 y
36、k 1（x 1）+2，由题意求出 xM、x N 的值，建立| MN|的解析式，再求|MN|的最小值以及此时直线 DE 的方程设【解答】解：（1）抛物线 y22px 的焦点为 F（ ，0） ，直线方程为：yx ，代入 y22px（p0）中，消去 y 得：x 23px+ 0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 x1+x23p；由|AB| 8，得 x1+x2+p8，即 3p+p8，解得 p2，所以抛物线 C 的方程为：y 24x；（2）设 D（x 1，y 1） ，E（x 2， y2） ，直线 DE 的方程为 xm（y 1）+1 ，m 0，如图所示，由 ，消去 x，整理得：y 2
37、4my+4（m1）0，第 20 页（共 24 页）y 1+y24m，y 1y24（m1） ，设直线 DR 的方程为 yk 1（x1）+2，由 ，解得点 M 的横坐标 xM ，又 k1 ，x M ，同理点 N 的横坐标 xN ，|y2 y1| 4 ，|MN | |xMx N| | + |2 | | ，令 m1t，t0，则 mt+1，|MN | 2 2 2 2 ，所以当 t2，即 m1 时，|MN| 取最小值为 ，此时直线 DE 的方程为 x+y20【点评】本题考查了抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了分析第 21 页（共 24 页）问题解决问题的能力，是中档题21 （12 分）
38、已知函数 f（x ） bx（a，b R） （1）当 b0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（2）若函数 g（x） 在 x （e 为自然对数的底）时取得极值，且函数g（x）在（0，e ）上有两个零点，求实数 b 的取值范围【分析】 （1）b0 时，f（x ） ，x （0，+） f （x） ，即可得出单调性（2）g（x） b，x（0，+） g（x） 根据函数 g（x）在 x （e 为自然对数的底）时取得极值，可得0，解得 a0g（x） b，再利用导数已经其单调性极值及其函数零点存在大量即可得出【解答】解：（1）b0 时，f（x ） ，x （0，+ ） f（x） ，可得函数 f（x）在（ 0，e
39、a+1）上单调递增，在（e a+1，+ ）上单调递减（2）g（x） b，x（0，+） g（x） 函数 g（x）在 x （e 为自然对数的底）时取得极值， 0，解得 a0g（x） b，g（x） 可得 x （e 为自然对数的底）时取得极大值，函数 g（x）在（0，e ）上有两个零点，g（ ） b0，g（e） b0，解得 b 第 22 页（共 24 页）实数 b 的取值范围是 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做
40、的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ + ）2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标【分析】 （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用xcos，ysin ，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y40 的平行线与椭圆相切时，|PQ|
41、取得最值设与直线x+y40 平行的直线方程为 x+y+t0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标另外：设 P（ cos，sin） ，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，移项后两边平方可得 +y2cos 2+sin21，即有椭圆 C1： +y21；曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）2 ，即有 （ sin+ cos）2 ，由 xcos ，ysin ，可得 x+y40，即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y
42、40；（2）由题意可得当直线 x+y40 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y 40 平行的直线方程为 x+y+t0，第 23 页（共 24 页）联立 可得 4x2+6tx+3t230，由直线与椭圆相切，可得36t 216（3t 23）0，解得 t2，显然 t2 时，|PQ|取得最小值，即有|PQ| ，此时 4x212x+90，解得 x ，即为 P（ ， ） 另解：设 P（ cos，sin） ，由 P 到直线的距离为 d ，当 sin（ + ） 1 时，|PQ|的最小值为 ，此时可取 ，即有 P（ ， ） 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时
43、考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a| x3|（a R） （1）若 a1，求不等式 f（x ）+10 的解集；（2）已知 a0，若 f（x ）+3 a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1 ）当 a1 吋，函数 f（x ）|2x1| |x3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；（2）当 a0 吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应 f（x）的最小值 f（x） min，再解关于 a 的不等式，从而求出 a 的取值范围【解答】解：（1 ）当 a1 吋，函数 f（x ）
44、|2x1| |x3|，当 x 时，f（ x）12x+（x3）x2，不等式 f（x）+10 化为x2+10，解得 x1；第 24 页（共 24 页）当 x3 时，f（x）2x1+（x3）3x4，不等式 f（x）+10 化为 3x4+10，解得 x1，取 1x3；当 x3 时，f（x）2x1（x3）x +2，不等式 f（x）+10 化为 x+2+10，解得 x3，取 x 3；综上所述，不等式 f（x ）+1 0 的解集为 x|x1 或 x1；（2）当 a0 吋，若 x ，则 f（x）2xa+（x3）xa3，此时 f（x） minf（ ） 3，则 f（x）+3a a32，解得 a1；若 x3，则 f（x）2x+a+（x3）3x+a3，此时 f（x）f（ ） a3，则 f（x）+3a a 32，解得 a1；若 x3，则 f（x）2x+a（x3）x+a+3，此时 f（x） minf（3）6+a，则 f（x）+3a4a+6 2 恒成立；综上所述，不等式 f（x ）+3a2 对任意 xR 恒成立时，a 的取值范围是 a1【点评】本题考查了含有字母系数的绝对值不等式恒成立应用问题，是中档题
