1、2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x25x 60 ，Bx|x 3k+1，kZ ，则 AB 等于（ ）A2 ，3，4 B1 ，2，3 C2 ，5 D1 ，42 （5 分）已知复数 z 是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（ ）A2i B2i Ci Di3 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A2 B4 C6 D84 （5 分
2、）已知变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 zx+2y 的最小值为（ ）A9 B7 C5 D35 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致是（ ）A BC D6 （5 分）如图所示的程序框图，若输出的 S30，则输入的整数 m 值为（ ）第 2 页（共 25 页）A7 B8 C9 D107 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A210 B208 C206 D2048 （5 分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对
3、1+2+3+100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f（x）（m0） ，则 f（1）+f（2）+f （3）+ +f（m+2018）等于（ ）A B C D9 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积S cosC，且 a ，b ，则 c（ ）A2 B C D10 （5 分）设函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，则函数第 3 页（共 25 页）yf（x）+ f（x + ）的单调增区间为（ ）A
4、k ，k+ （kZ） B k ，k+ （kZ）Ck ， k+ （kZ） Dk，k+ （k Z）11 （5 分）已知 f（x ） ，若方程 f（x）2axa1 有唯一解，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ） B ） C 8 ） D 8（）12 （5 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 作垂直 x 轴的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上方若 |AB|3，ABF 2 的内切圆的面积为 ，则直线 AF2 的方程是（ ）A3x+2y30 B2x+3y20 C4x+3y4 D3x +4y30二、填空题（每题 5 分
5、，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， 2 3 ， +t ，若 ，则实数 t 14 （5 分）在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概率为 15 （5 分）若曲线 f（x ）ae x+ex 在点（0，f （0） ）处的切线与直线 x+3y0 垂直，则函数 f（x ）的最小值为 16 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC平面ABC， ACB 60，AB3 ，DC2
6、，则球 O 的表面积为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S10 120，a 2a 1，a 4a 2，a 1+a2 成第 4 页（共 25 页）等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 Tn 为数列 的前 n 项和，求满足 Tn 的最小的 n 值18 （12 分）某职业学校有 2000 名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了 100 名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在
7、校的月消费金额 x（元）和服务部可获得利润 y（元） ，满足关系式：y ，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为 ，求 的分布列及数学期望（ii）若校服务部计划每月预留月利润的 ，用于资助在校月消费低于 400 元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E，F 分别为 A1C1，BC 的中点，AB BC2，C 1FAB （1）求证：ABBC；（2）若直线 C1F 和平面 ACC1A 所成角的正弦值等于 ，求二面角 ABEC 的正弦值第 5 页（共 25 页）2
8、0 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，且|AB|8（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线DR，ER 分别交直线 l：y 2 x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）ax2lnx+2（1a）+ （a0） （1）若 f（x） 0 在1 ，+ ）上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）证明：1+ + + ln（2n+1）+ （nN*） 选考题：共 10 分.请考生在 22、23
9、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ + ）2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a| x3|（a R） （1）若 a1，求不等式 f（x ）+10 的解集；（2）已知 a0，若 f（x ）+3 a2
10、对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x25x 60 ，Bx|x 3k+1，kZ ，则 AB 等于（ ）A2 ，3，4 B1 ，2，3 C2 ，5 D1 ，4【分析】先求出集合 A，再利用交集定义求解【解答】解：集合 Ax| x25x 60 x|1x 6，B x|x3k+1，k Z，AB1，4故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交
11、集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知复数 z 是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（ ）A2i B2i Ci Di【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值，则答案可求【解答】解：复数 z 是纯虚数， ，即 a2z2i 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）A2 B4 C6 D8【分析】设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线
12、垂直，推第 7 页（共 25 页）断出其斜率之积为1 进而求得 a 和 b 的关系，再利用焦距为 4，即可求出双曲线的实轴长【解答】解：双曲线 1（a0，b0） ，则双曲线的渐近线方程为 y x两条渐近线互相垂直， （ ）1，a 2b 2，焦距为 4，2c4 ，c2 ，a 28a 2，a 24，a2，双曲线的实轴长为：4故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生转化和化归思想，考查计算能力，属于中档题4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 zx+2y 的最小值为（ ）A9 B7 C5 D3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，
13、数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（3，2） ，由图可知，当直线 zx+2y 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为7故选：B第 8 页（共 25 页）【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5 （5 分）函数 f（x ） 的图象大致是（ ）A BC D【分析】结合函数奇偶性和函数值的对应性进行排除判断即可【解答】解：f（x ） f（x） ，即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B，当 x0 时，f（ x）0，排
14、除 D，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号的一致性，利用排除法是解决本题的关键6 （5 分）如图所示的程序框图，若输出的 S30，则输入的整数 m 值为（ ）第 9 页（共 25 页）A7 B8 C9 D10【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次 km ，km+2 否，Sm，km +1，第二次 km+1，km+2 否，Sm+ m+12m+1，km +2，第三次 km+2，km+2 否，S2m+1+m +23m+3 ，k m+3，第四次 km+3，km+2 是，输出 S3m+3 30，得 3m27，得 m9，故选
15、：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键7 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A210 B208 C206 D204【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图是正方体的一部分，第 10 页（共 25 页）由题意可得：666 204故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键8 （5 分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子.19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是正十七边形尺规作图之理论与方法 ，在其年幼时，对1+
16、2+3+100 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 f（x）（m0） ，则 f（1）+f（2）+f （3）+ +f（m+2018）等于（ ）A B C D【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：函数 f（x ） （m0） ，则 f（1）+f（2）+ f（3）+f（m+2018） + + 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积S cosC，且
17、a ，b ，则 c（ ）A2 B C D【分析】由已知利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求 tanC，进而可求cosC 的值，根据余弦定理可求 c 的值第 11 页（共 25 页）【解答】解：ABC 的面积 S cosC，且 a ，b ， cosC sinC，解得：tanC ，cosC ，c 2故选：A【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题10 （5 分）设函数 f（x ）Asin（x+） （A0，0）的部分图象如图所示，则函数yf（x ）+ f（x+ ）的单调增区间为（ ）
18、Ak ，k+ （kZ） B k ，k+ （kZ）Ck ， k+ （kZ） Dk，k+ （k Z）【分析】利用图象确定 A， 和 的值，求出函数的 解析式，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：由图象知 A2， （ ） 得 T，即 ，得2，则 f（x）2sin（2x +） ，f（ ）2sin2（ ）+ 2sin （ +）2，sin（ +）1，得 2k 得 2k ，kZ ，得 f（x）2sin（2x +2k ）2sin（2x ） ，函数 yf（x）+ f（x + ）2sin （2x ）+2 sin（2x+ ）2sin（2x ）+2 sin +（2x ）第 12 页（共
19、 25 页）2sin（2x ）+2 cos（2x ）4 sin（2x ）+ cos（2x ）4sin（2x + ）4sin2x，由 2k 2x2k+ ， kZ 得 k xk + ，kZ ，即函数的单调递增区间为k ，k + （k Z） ，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键考查学生的推理能力11 （5 分）已知 f（x ） ，若方程 f（x）2axa1 有唯一解，则实数 a 的取值范围是（ ）A （ ） B ） C 8 ） D 8（）【分析】求出 f（x ）的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，
20、求出 a 的范围即可【解答】解：令1x0，则 0x+11，则 f（x+1）x+1 ，故 f（x） ，如图示：由 f（x）2axa1，得 f（x）a（ 2x+1）1，函数 ya（2x+1）1 恒过 A（ ，1） ，故 KAB ，若方程 f（x） 2axa1 有唯一解，则 2a ，即 a ；第 13 页（共 25 页）当 2ax+a1 1 即图象相切时，根据0，9a 28a（a1）0，解得 a8，故选：D【点评】本题考查了函数零点问题，考查数形结合思想，是一道中档题12 （5 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）的左，右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 作垂直 x 轴的直线交椭圆 E 于 A，B
21、 两点，点 A 在 x 轴上方若 |AB|3，ABF 2 的内切圆的面积为 ，则直线 AF2 的方程是（ ）A3x+2y30 B2x+3y20 C4x+3y4 D3x +4y30【分析】可令 xc ，求得 A，B 的坐标，可得 3a2b 2，求得内切圆的面积，由三角形的面积公式可得 a2c，解方程可得 a，b，c，求得 A，F 2 的坐标，可得所求直线方程【解答】解：如图所示：椭圆 E： + 1 中，令 xc，得 y2b 2（1 ） ，|AB| 2|y| 3，又ABF 2 的内切圆面积为 ，内切圆半径为 r ，由椭圆的定义可得ABF 2 的周长为 4a，ABF 2 的面积为 S 2
22、c3 4a，即有 a2c，又 3a2b 2，a 2b 2c 2，第 14 页（共 25 页）解得 a2，b ，c1，则 A（1， ） ，F 2（1，0） ，则直线 AF2 的方程是 y0 （x 1） ，即为 3x+4y3 0故选：D【点评】本题考查椭圆的定义和方程，性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， 2 3 ， +t ，若 ，则实数 t 【分析】根据条件可求出 ，而由 得出 ，进行数量积的运算即可求出 t【解答】解： ， ； ； ； ；解得 故答案
23、为： 【点评】考查向量夹角的定义，单位向量的定义，向量垂直的充要条件，以及向量的数量积运算14 （5 分）在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球第 15 页（共 25 页）的概率为 【分析】基本事件总数 n 35，既有红球又有白球包含的基本事件个数 m30，由此能求出既有红球又有白球的概率【解答】解：在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，基本事件总数 n 35，既有红球又有白球包含的基本事件个数 m 30，既有红球又有白球的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了
24、学生通过阅读，提取有用信息，用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题15 （5 分）若曲线 f（x ）ae x+ex 在点（0，f （0） ）处的切线与直线 x+3y0 垂直，则函数 f（x ）的最小值为 4 【分析】求出函数的导数，求得切点处的切线的斜率，由两直线垂直的条件可得斜率为3，即可解得 m 的值【解答】解：f（x ）ae x+ex 在的导数为 f（x）ae xe x ，即有 f（x）在 x0 处的切线斜率为 ka1，由在 x0 处的切线与直线 x+3y0 垂直，即有 a13，解得 a4所以 f（x）4 ex+ex 在的导数为 f（x）4e xe x
25、，f（x）0，解得 xln2 ，x ln 2 时 f（x）0，函数是减函数， xln 2 时f（x）0，函数是增函数，所以 xln2 是函数的极小值点也是函数的最小值点，所以函数的最小值为：f（ln2）4 +eln24故答案为：4【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，第 16 页（共 25 页）同时考查两直线垂直的条件，正确求出导数是解题的关键16 （5 分）已知三棱锥 D ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC平面ABC， ACB 60，AB3 ，DC2 ，则球 O 的表面积为 36 【分析】由题意画出图形，设底面三角形的外心为 G，半径为
26、r，由正弦定理求出 r，再设三棱锥 DABC 的外接球的球心为 O，半径为 R，进一步求得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解【解答】解：如图，设底面三角形的外心为 G，半径为 r，则 2r ，即 r ，再设三棱锥 DABC 的外接球的球心为 O，半径为 R，则 球 O 的表面积为 4R236故答案为：36【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S10 120，a 2a 1，a 4a 2，a 1+a2 成等比数列（1
27、）求数列a n的通项公式；（2）设 Tn 为数列 的前 n 项和，求满足 Tn 的最小的 n 值【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，由已知列式求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前 n 项和，再由裂项相消法求 Tn，求解不等式得答案【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，第 17 页（共 25 页）由题意， ，解得：a 13，d2a n3+2（n1）2n+1 ；（2）由（1）得， ，则 ， 由 Tn ，得 3n235n600，解得：n （舍）或 n nN*，n 的最小值为 14【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，考查等比数列的性质，训练
28、了利用裂项相消法求数列的前 n 项和，是中档题18 （12 分）某职业学校有 2000 名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了 100 名学生，并将统计结果绘成直方图如图所示（1）试估计该校学生在校月消费的平均数；（2）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额 x（元）和服务部可获得利润 y（元） ，满足关系式：y ，根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i）将校服务部从一个学生的月消费中，可获得的利润记为 ，求 的分布列及数学期望（ii）若校服务部计划每月预留月利润的 ，用于资助在校月消费低于 400 元的学生，估计受资助的学生每人每月可获得多少元？第
29、 18 页（共 25 页）【分析】 （1） （1）根据频率分布直方图，取每组中点和相应的频率计算学生月消费的平均数（2） （i）根据每个学生在校的月消费金额 x（元）和服务部可获得利润 y（元）之间的函数关系，得到获得利润的情况，及每种情况所对应的概率，列出分布列，求出数学期望（ii）根据（i）中的数学期望，得到校服务部的每月总利润，再求出受资助学生人数，得到受资助的学生每人每月可获得的钱数【解答】解：（1）学生月消费的平均数 680（2） （i）月消费值落入区间 200，400） 、400，800） 、800，1200的频率分别为0.05、0.80、0.15，因此 P（10）0.05，P（3
30、0）0.80，P（50）0.15，即 的分布列为 10 30 50P 0.05 0.80 0.15 的数学期望值 E（）100.05+300.80+500.1532（ii）服务部的月利润为 32200064000（元） ，受资助学生人数为 20000.05100，每个受资助学生每月可获得 64000 100160（元） 【点评】本题考查频率分布直方图计算平均数，求变量的分布列及数学期望，属于简单题第 19 页（共 25 页）19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E，F 分别为 A1C1，BC 的中点，AB BC2，C 1FAB （1）求证：ABBC；（2）若直线 C1F
31、 和平面 ACC1A 所成角的正弦值等于 ，求二面角 ABEC 的正弦值【分析】 （1）由线线垂直，证明线面垂直，即 AB平面 BCC1B1，再证明 ABBC（2）以 B 点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面 ABE 和平面 CBE 的法向量，通过法向量之间的夹角余弦值，得到二面角 ABEC 的正弦值【解答】证明：（1）在直三棱柱中，CC 1平面 ABCD， AB平面 ABCD，CC 1AB，又 C1FAB，且 C1F，C 1C平面 BCC1B1，CC 1C 1FC 1，AB平面 BCC1B1，又BC平面 BCC1B1，ABBC解：（2）以 B 点为坐标原点，分别以 BC，BA，BB 1
32、为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系设 AA1a，则 B（0，0，0） ，C （2，0，0） ，A（0，2，0） ，B 1（0，0，a） ，C1（2，0，a） ，A 1（0，2，a ） ，E （1，1，a） ，F（1，0，0） ，（1，0，a） ， （2，2，0） ， （0，0，a） ，设平面 ACC1A1 的法向量 （ x，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1，0） ，直线 C1F 和平面 ACC1A 所成角的正弦值等于 ， ，解得 a2 ，第 20 页（共 25 页）（0，2，0） ， （1，1，2 ） ， （2，0，0） ，设平面 ABE 的一个法向量 （x，y，z）
33、，则 ，取 z1，得 （2 ，0，1） ，设平面 CBE 的一个法向量 （x，y，z） ，则 ，取 z1，得 （0，2 ，1） ，记二面角 ABE C 的平面角为 ，|cos| ，sin ，二面角 ABE C 的正弦值为 【点评】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，通过法向量求二面角的大小，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，过点 F，斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，且|AB|8（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C
34、于不同于 R（1，2）的两点 D、E，若直线DR，ER 分别交直线 l：y 2 x+2 于 M，N 两点，求|MN|取最小值时直线 DE 的方程【分析】 （1）过点 F 且斜率为 1 的直线方程与抛物线方程联立，利用|AB| 8 求得 p 的值，即可写出抛物线 C 的方程；（2）设 D（x 1，y 1） ，E（x 2， y2） ，直线 DE 的方程为 xm（y 1）+1 ，m 0，直线DR 的方程为 yk 1（x 1）+2，由题意求出 xM、x N 的值，建立| MN|的解析式，再求|MN|的最小值以及此时直线 DE 的方程设第 21 页（共 25 页）【解答】解：（1）抛物线 y22px 的
35、焦点为 F（ ，0） ，直线方程为：yx ，代入 y22px（p0）中，消去 y 得：x 23px+ 0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 x1+x23p；由|AB| 8，得 x1+x2+p8，即 3p+p8，解得 p2，所以抛物线 C 的方程为：y 24x；（2）设 D（x 1，y 1） ，E（x 2， y2） ，直线 DE 的方程为 xm（y 1）+1 ，m 0，如图所示，由 ，消去 x，整理得：y 24my+4（m1）0，y 1+y24m，y 1y24（m1） ，设直线 DR 的方程为 yk 1（x1）+2，由 ，解得点 M 的横坐标 xM ，又 k1 ，x M
36、，同理点 N 的横坐标 xN ，|y2 y1| 4 ，|MN | |xMx N| | + |2 | | ，令 m1t，t0，则 mt+1，|MN | 2 2 2 2 第 22 页（共 25 页），所以当 t2，即 m1 时，|MN| 取最小值为 ，此时直线 DE 的方程为 x+y20【点评】本题考查了抛物线方程以及直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax2lnx+2（1a）+ （a0） （1）若 f（x） 0 在1 ，+ ）上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）证明：1+ + + ln（2n+1）+ （nN*） 【分析
37、】 （1）通过 f（x ） ，求出 f（x）的单调性，结合 f（1）0，求出 a 的取值范围（2）由（1）得当 a1， ，令 ，得到，再由 n1，2，3，n，然后 n 个不等式相加，证明结论【解答】解：（1）f（x ）的定义域为（0，+） ， 当 0 a1 时， ，若 1x ，则 f（x）0，f（x ）在（1， ）上是减函数，所以时，f（x ）f（1）0，即 f（x）0 在 1，+）上不恒成立第 23 页（共 25 页）当 a 1 时， ，当 x1 时，f（x ）0，f（x）在，1+）上是增函数，又 f（1）0，所以 f（x）0综上所述，所求 a 的取值范围是1，+ ） （2）由（1）知当 a
38、1 时，f（x ）0 在1 ，+）上恒成立取 a1 得 ，所以 x 令 ，nN *，得 ，即 ，所以 ， 上式中 n1，2，3，n，然后 n 个不等式相加，得到：1+ + + ln（2n+1）+ （nN*） 【点评】本题考查利用导数求函数单调性，恒成立求参数范围，通过函数构造不等式，属于难题选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ +
39、 ）2 （1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标【分析】 （1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1 的普通方程，运用xcos，ysin ，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2 的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y40 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y40 平行的直线方程为 x+y+t0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标另外：设 P（ cos，sin） ，由点到直线的距离
40、公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和 P 的坐标第 24 页（共 25 页）【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，移项后两边平方可得 +y2cos 2+sin21，即有椭圆 C1： +y21；曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）2 ，即有 （ sin+ cos）2 ，由 xcos ，ysin ，可得 x+y40，即有 C2 的直角坐标方程为直线 x+y40；（2）由题意可得当直线 x+y40 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y 40 平行的直线方程为 x+y+t0，联立 可得 4x2+6tx+3t230，由直线与椭圆相切，可
41、得36t 216（3t 23）0，解得 t2，显然 t2 时，|PQ|取得最小值，即有|PQ| ，此时 4x212x+90，解得 x ，即为 P（ ， ） 另解：设 P（ cos，sin） ，由 P 到直线的距离为 d ，当 sin（ + ） 1 时，|PQ|的最小值为 ，此时可取 ，即有 P（ ， ） 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题第 25 页（共 25 页）选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x +a| x3|（a R） （1）若 a1，求不等式 f（x ）+10
42、 的解集；（2）已知 a0，若 f（x ）+3 a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围【分析】 （1 ）当 a1 吋，函数 f（x ）|2x1| |x3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；（2）当 a0 吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应 f（x）的最小值 f（x） min，再解关于 a 的不等式，从而求出 a 的取值范围【解答】解：（1 ）当 a1 吋，函数 f（x ）|2x1| |x3|，当 x 时，f（ x）12x+（x3）x2，不等式 f（x）+10 化为x2+10，解得 x1；当 x3 时，f（x）2x1+（x3）3x4，不等式 f（x）+10 化为 3
43、x4+10，解得 x1，取 1x3；当 x3 时，f（x）2x1（x3）x +2，不等式 f（x）+10 化为 x+2+10，解得 x3，取 x 3；综上所述，不等式 f（x ）+1 0 的解集为 x|x1 或 x1；（2）当 a0 吋，若 x ，则 f（x）2xa+（x3）xa3，此时 f（x） minf（ ） 3，则 f（x）+3a a32，解得 a1；若 x3，则 f（x）2x+a+（x3）3x+a3，此时 f（x）f（ ） a3，则 f（x）+3a a 32，解得 a1；若 x3，则 f（x）2x+a（x3）x+a+3，此时 f（x） minf（3）6+a，则 f（x）+3a4a+6 2 恒成立；综上所述，不等式 f（x ）+3a2 对任意 xR 恒成立时，a 的取值范围是 a1【点评】本题考查了含有字母系数的绝对值不等式恒成立应用问题，是中档题
