1、2018 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A1， 2，3 ，B1，a ，若 A B1 ，3，则 a（ ）A0 B1 C2 D32 （5 分）已知复数 z ，则在复平面内，z 的对应点位于（ ）A第一象限内 B第二象限内 C第三象限内 D第四象限内3 （5 分）某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30 ，样本数据分组为17.5，20） ，20
2、，22.5 ） ，22.5，25） ， 25，27.5） ，27.5 ，30根据直方图，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是（ ）A68 B72 C76 D804 （5 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 z2x+3y 的最大值为（ ）A10 B8 C3 D25 （5 分）函数 y sin（x ）cos （x ）的最大值为（ ）A B C D6 （5 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，短轴长大于 2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（ ）A （2，+） B （4，+） C （2，4） D （4，8）7 （5 分
3、）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 23 页）A4+2 B2+6 C4+ D2+48 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出 S 的值为（ ）A3.2 B3.6 C3.9 D4.99 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f （2） ）（ ）A B C D10 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x ） （0）的最小正周期为 ，将函数yf（x ）的图象向左平移 个单位后，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的图象（ ）A关于点（ ，0）对称 B关于点（ ，0）对称C关于直线 x
4、 对称 D关于直线 x 对称第 3 页（共 23 页）11 （5 分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为 4m，圆直径为 2m若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（ ）A B C D12 （5 分）已知对a（，0） ，x （0，+） ，不等式 x2+（3a）x+32a 2ke x 成立，则实数 k 的取值范围为（ ）A （3，+） B3，+） C （4，+） D4 ，+）二、填空题：本题共 4 小题每小题 5 分，共 2013 （5 分）已
5、知向量 （2，5） ， （5，t） ，若 ，则（ + ）（ 2 ） 14 （5 分）已知点 P 是双曲线 y 21 上的一点，F 1，F 2 是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|4 ，则PF 1F2 的面积为 15 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，下列命题：若 m ，n，m，n ，则 ；若 m ，n，m，n ，则 n ；若 m，n，al，且 ml ，nl，则 ；若 m，n 异面，m，n，且 m，n ，则 其中正确命题的序号为 （填所有正确命题的序号）16 （5 分）在ABC
6、 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若2sinBcosC+sinC2sinA，sin A+sinC2 sinAsinC，b3，则 a+c 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60第 4 页（共 23 页）17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 13，S n+1 3Sn+3（）求a n的通项公式；（）令 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn，并求使Tn （m 23 m）对所有的 nN*恒成立的
7、整数 m 的取值集合18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，BC2AD4，ABCD，点 E 为 PC 中点（）证明：DE平面 PAB；（）若 PA平面 ABCD，ABC60，直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 60，求四棱锥 PABCD 的体积19 （12 分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量 80 后、 90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了 100 位员工，得到数据如表：
8、愿意接受外派人数 不愿意接受外派人数 合计80 后 20 20 40 90 后 40 20 60 合计 60 40 100（）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关” ，并说明理由；（）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的 80 后员工中，用分层抽样方法抽出 6 名员工进行海外体验活动培训，再在这 6 名员工中随机选出 4 第 5 页（共 23 页）名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率参考数据：P（
9、K 2k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d20 （12 分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 在 y 轴的正半轴上，点 A 是抛物线上的一点，以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F（I）求抛物线的标准方程：（）设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P，Q 两点，连接 QF 并延长交抛物线的准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程21 （12 分）已知函数 f（x ）klnx1+ ，且曲
10、线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直（）求函数 f（x ）的单调区间；（）若 f（x） ax 对 0x1 恒成立，求实数 a 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin +cos，点 P 的曲线 C 上运动（I）若点 Q 在射线 OP 上，且|OP|OQ| 4，求点 Q 的轨迹的直角坐标方程；（）设 M（4， ） ，求 MOP 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23设 a0，b0，且 a2b+ab22，求证：（）a 3+b32；（）
11、（a+b） （a 5+b5）4第 6 页（共 23 页）2018 年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A1， 2，3 ，B1，a ，若 A B1 ，3，则 a（ ）A0 B1 C2 D3【分析】根据 AB1 ，3 便知 3B，而 B1，a ，从而得出 a3【解答】解：AB1 ，3 ；3B；a3故选：D【点评】考查列举法表示集合的概念，交集及其运算，以及元素与集合的关系2 （5 分）已知复数 z ，则在复平面内，z 的对应点
12、位于（ ）A第一象限内 B第二象限内 C第三象限内 D第四象限内【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案【解答】解：z ，在复平面内 z 的对应点的坐标为（2，1） ，位于第三象限故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）某高校调查了 320 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30 ，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5 ） ，22.5，25） ， 25，27.5） ，27.5 ，30根据直方图，这 32
13、0 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是（ ）第 7 页（共 23 页）A68 B72 C76 D80【分析】由频率分布直方图求出每周的自习时间不足 22.5 小时的频率，由此能求出这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足 22.5 小时的频率为：（0.02+0.07）2.50.225，这 320 名学生中每周的自习时间不足 22.5 小时的人数是：0.22532072故选：B【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题4 （5
14、分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 z2x+3y 的最大值为（ ）A10 B8 C3 D2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出实数 x，y 满足条件 对应的平面区域（阴影部分） ，由 z2x+3y，得 y x+ ，平移直线 y x+ ，由图象可知当直线 y x+ 经过点 B 时，直线 y x+ 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得 B（2，2） 此时 z 的最大值为 z22+3210，故选：A第 8 页（共 23 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5 （5 分）函
15、数 y sin（x ）cos （x ）的最大值为（ ）A B C D【分析】分别展开两角差的正弦、余弦，整理后再由辅助角公式化积，则答案可求【解答】解：y sin（x ）cos （x ） 函数 y sin（x ）cos （x ）的最大值为 故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的正弦、余弦，是基础题6 （5 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，短轴长大于 2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（ ）A （2，+） B （4，+） C （2，4） D （4，8）【分析】根据题意，由椭圆的离心率公式可得 e ，则 c a，结合椭圆的几何性质可得 a
16、2c 2b 21，即 1，解可得 a 的范围，由椭圆的长轴长为 2a 分析可得答案第 9 页（共 23 页）【解答】解：根据题意，椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，即 e ，则 c a，又由椭圆短轴长大于 2，即 2b2，则 b1，则有 a2c 2b 21，即 1，解可得 a2，则该椭圆的长轴长 2a4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+） ；故选：B【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的离心率公式，注意短轴长为 2b7 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A4+2 B2+6 C4+ D2+4【分析】三视图的直观图是上部为三棱柱，下部是圆柱，利用三视
17、图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的组合体，上部是三棱柱，底面边长为 2，底面三角形的高为 1，棱柱的高 2，下部是圆柱，高为 2，底面半径为： ，所以几何体的体积为： 2+4，故选：D第 10 页（共 23 页）【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键8 （5 分）执行如图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出 S 的值为（ ）A3.2 B3.6 C3.9 D4.9【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出 a2 时程序运行后输出的 S 值【解答】解：执行如图所示的程序框图，若输入 a2，则 k1 时，S1+ 2；k2 时，
18、S2+ ；k3 时，S + ；k4 时，S + ；k5 时，S + 3.9；此时终止循环，输出 S3.9故选：C【点评】本题考查了程序的运行过程应用问题，是基础题第 11 页（共 23 页）9 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f （2） ）（ ）A B C D【分析】由分段函数的解析式，先计算 f（2） ，再计算 f（f（2） ） ，结合指数、对数的运算性质，可得所求值【解答】解：函数 f（x ） ，则 f（2）log 2（1+2）1log 2 ，f（f（2） ）f（log 2 ） 故选：A【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意运用各段的解析式，以及指数、对数的运
19、算性质，考查运算能力，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）sin（x ） （0）的最小正周期为 ，将函数yf（x ）的图象向左平移 个单位后，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的图象（ ）A关于点（ ，0）对称 B关于点（ ，0）对称C关于直线 x 对称 D关于直线 x 对称【分析】根据函数的最小正周期和图象平移求得 g（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确【解答】解：函数 f（x ）sin（x ） （0）的最小正周期为 T， 2 ；将函数 yf（x）的图象向左平移 个单位，得 yf（x+ ）sin2（x+ ） sin （2x+ ）的图象，函数 g（x）sin
20、（2x+ ） ；第 12 页（共 23 页）g（ ）sin（ + ）0，图象不关于点（ ，0）对称，A 错误；g（ ）sin（ + ）0，图象关于点（ ，0）对称，B 正确，D 错误；g（ ）sin（ + ）1，图象不关于 x 对称，C 错误；故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题11 （5 分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为 4m，圆直径为 2m若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（ ）A B C D【分析】结合图形求
21、出八个全等等腰三角形的面积与黑色部分图案的面积，计算比值即可【解答】解：根据题意知，八个全等等腰三角形的面积为 8 22sin458 ；黑色部分图案的面积为 12 ；所求的概率为 P 故选：D【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题12 （5 分）已知对a（，0） ，x （0，+） ，不等式 x2+（3a）x+32a 2ke x 成立，则实数 k 的取值范围为（ ）A （3，+） B3，+） C （4，+） D4 ，+）第 13 页（共 23 页）【分析】利用导函数研究其单调性，求解最值即可判断【解答】解：由不等式 x2+（3a）x+32a 2ke x 成立，即 成立，令
22、 f（x） ，则 f（x） 令 f（x）0 ，可得：x 12a1，x 2a，a（，0） ，x 12a10，x 2a0x（0，+） ，当 x（0， a） ，f（x ） 0，则 f（x）在 x（0， a）单调递增当 x（a， +） ，f（x）0，则 f（x）在 x（ a，+）单调递减当 xa 时，f（x）取得最大值为 f（a） k ，即 f（a） k ，a（，0） ，f（a）f（0）k即 k3故选：B【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用二、填空题：本题共 4 小题每小题 5 分，共 2013 （5 分）已知向量 （2，5）
23、， （5，t） ，若 ，则（ + ）（ 2 ） 29 【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得 2（5）+5t0，解可得t2，即可得向量 的坐标，进而可得 + 、 2 的值，由数量积的计算公式计算即可得答案第 14 页（共 23 页）【解答】解：向量 （2，5） ， （5，t） ，若 ，则 2（5）+5t0，解可得 t2，则 （2，5） ， （5，2） ，则有 + （3，7） ， 2 （12，1） ，则（ + ）（ 2 ）（3）12+7129；故答案为：29【点评】本题考查向量的数量积的计算，关键是求出 t 的值14 （5 分）已知点 P 是双曲线 y 21 上的一点，F 1，F 2 是双
24、曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|4 ，则PF 1F2 的面积为 【分析】根据双曲线定义可条件得出 P 到两焦点的距离，根据余弦定理求出F 1PF2，从而得出三角形的面积【解答】解：不妨设 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF 1|PF 2|2 ，又|PF 1|+|PF2|4 ，|PF 1| 3 ，| PF2| ，又|F 1F2|2c2 ，cosF 1PF2 ，sinF 1PF2 ，PF 1F2 的面积为 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的定义与性质，属于中档题15 （5 分）已知 m，n 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，下列命题：若 m ，
25、n，m，n ，则 ；若 m ，n，m，n ，则 n ；若 m，n，al，且 ml ，nl，则 ；若 m，n 异面，m，n，且 m，n ，则 其中正确命题的序号为 （填所有正确命题的序号）【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知：在中：若 m，n，m ，n，则 与 相交或平行，故 错误；第 15 页（共 23 页）在中：若 m ，n，m 且 mn，又 n，则 n ，故正确；在中：若 m，n ，al ，且 ml ，nl，则 与 不一定垂直，故错误；在中：在 中，m，在 内存在
26、直线 m1m，又 m，m 1m，n 是两条异面直线， 直线 m1 与 n 是两条相交直线，又 n ，故正确故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题16 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若2sinBcosC+sinC2sinA，sin A+sinC2 sinAsinC，b3，则 a+c 3 【分析】由 2sinBcosC+sinC2sinA 2（sinBcosC+cosBsinC） ，求出 B ，从而
27、b（a+c）3 ac，进而 b2a 2+c22ac cos ，求出 b 3，从而 2a2c23ac90，解得 ac3，由此能求出 a+c【解答】解：2sinBcosC+sinC2sinA 2（sinBcosC+cosBsin C） ，cosB ，又 B 是ABC 内角，B ，sinA+sinC 2 sinAsinC，sin B ，sinB（sinA+sinC）3 ，b（a+c）3 ac，又 b2a 2+c22ac cos ，b3，2a 2c23ac90，解得 ac3，a+c 3 故答案为：3 【点评】本题考查三角形中两边和的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理等基础知识，考查运用求
28、解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 6017 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 13，S n+1 3Sn+3第 16 页（共 23 页）（）求a n的通项公式；（）令 bn ，求数列b n的前 n 项和 Tn，并求使Tn （m 23 m）对所有的 nN*恒成立的整数 m 的取值集合【分析】 （I）由 a13，S n+13S n+3变形为 Sn+1+ 3（S n+ ） S 1+ 利用等比数列的通项公式可
29、得 Sn再利用 n2 时，a nS nS n1 即可得出（II）b n 2 ，再利用裂项求和方法即可得出数列b n的前 n 项和 Tn再利用不等式的解法即可得出【解答】解：（I）a 13， Sn+13S n+3S n+1+ 3（S n+ ） S 1+ 数列S n+ 是等比数列，公比为 3，首项为 S n+ ，S n n2 时，a nS nS n1 3 nn1 时，也成立a n3 n（II）b n 2 ，数列b n的前 n 项和Tn2 + 2 1Tn （m 23 m） ，1 （m 23m） ，1m4，使 Tn （m 23m）对所有的 nN*恒成立的整数 m 的取值集合为0，1，2，3【点评】本题
30、考查了数列递推关系、对数运算性质、裂项求和方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，BC2AD4，ABCD，点 E 为 PC 中点第 17 页（共 23 页）（）证明：DE平面 PAB；（）若 PA平面 ABCD，ABC60，直线 PB 与平面 ABCD 所成角为 60，求四棱锥 PABCD 的体积【分析】 （）取 PB 中点 M，连结 EM，AM 推导出四边形 ADEM 是平行四边形，从而AMDE ，由此能证明 DE 平面 PAB（）求出等腰梯形 ABCD 的面积 S3 ，由 PA平面 ABCD，得PBA 是 PB 与平面
31、ABCD 所成角，从而PBA60，PA ，由此能求出四棱锥 PABCD的体积【解答】证明：（）取 PB 中点 M，连结 EM，AME 是 PC 的中点，EMBC ，EM BC，ADBC，BC2AD，EM AD，四边形 ADEM 是平行四边形，AMDE，DE平面 PAB，AM 平面 PAB，DE平面 PAB解：（）由条件ABC60，BC 2AD4，则DFC 是边长为 2 的等边三角形，四边形 ABFD 是边长为 2 的菱形，等腰梯形 ABCD 的面积 S 3 ，PA平面 ABCD，PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成角，PA平面 ABCD，ABC60，直线 PB 与平面 ABCD 所成角为
32、60，PBA 60，PA ，四棱锥 PABCD 的体积 V 6第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19 （12 分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量 80 后、 90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了 100 位员工，得到数据如表：愿意接受外派人数 不
33、愿意接受外派人数 合计80 后 20 20 40 90 后 40 20 60 合计 60 40 100（）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关” ，并说明理由；（）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的 80 后员工中，用分层抽样方法抽出 6 名员工进行海外体验活动培训，再在这 6 名员工中随机选出 4 名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率参考数据：P（K 2k）0.15 0.10 0.05 0.0
34、25 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式：K 2 ，其中 na+ b+c+d【分析】 （）根据调查的数据，计算观测值，对照临界值得出结论；第 19 页（共 23 页）（）用分层抽样方法抽出 6 名员工，接受愿意接受外派与不愿意接受外派的人数，用列举法求得基本事件数，计算满足题意的概率值【解答】解：（）根据调查的数据，计算K2 2.7782.706，所以在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄层有关” ；（）由于参与调查的 80 后员工愿意接受外派与不愿意接受外派人数相同，用分层抽样方法抽出 6
35、名员工，愿意接受外派与不愿意接受外派的各 3 名，设不愿意接受外派的 3 人为 A、B、C ，愿意接受外派的为 d、e、f，现从这 6 人中选 4 人（相当于其中 2 人没有抽到） ，基本事件是AB、AC、Ad 、Ae 、Af、BC、Bd、Be 、Bf 、Cd 、Ce、Cf、de、df、ef 共 15 种，“愿意接受外派的人数不少于不愿意接受外派人数”即“愿意接受外派的人数为 2 人或3 人” ，基本事件是（转化为 2 人没有被抽到） ，即Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce 、Cf、de、df 、ef 共 12 种，故满足题意的概率为 P 【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典
36、概型的概率问题，是基础题20 （12 分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点 F 在 y 轴的正半轴上，点 A 是抛物线上的一点，以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F（I）求抛物线的标准方程：（）设直线 m 在 y 轴上的截距为 6，且与抛物线交于 P，Q 两点，连接 QF 并延长交抛物线的准线于点 R，当直线 PR 恰与抛物线相切时，求直线 m 的方程【分析】 （）设所求抛物线方程为 x22px（p0） ，可得 p2，即可得抛物线的标准方程（） 不妨设直线 m：ykx+6，P（x 1，y 1） ，Q （ x2，y 2） ，由 ，消 y 得x24kx240，即 写出抛物线在点
37、P（ ）处的切线方程，第 20 页（共 23 页）令 y1，得 R（ ） ，利用 Q，F，R 三点共线，所以 kQFk FR，得 k2 ，即求直线 m 的方程【解答】解：（）设所求抛物线方程为 x22px（p0） ，由以 A 为圆心，2 为半径的圆与 y 轴相切，切点为 F，所以 p2，即该抛物线的标准方程为 x24y（）由题知，直线 m 的斜率存在，不妨设直线 m：ykx +6，P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） ，由 ，消 y 得 x24kx240，即 （1）抛物线在点 P（ ）处的切线方程为 ，令 y1，得 x ，所以 R（ ） ，而 Q，F，R 三点共线，所以 kQFk F
38、R，及 F（0，1） ，得（ ） （ +16x1x20，整理得 4（x 1+x2） 22x 1x2+16+16x1x20，将（1）式代入得 k2 ，即 k ，故所求直线 m 的方程为 y 或 y 【点评】本题考查了抛物线的方程、切线，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）klnx1+ ，且曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直（）求函数 f（x ）的单调区间；（）若 f（x） ax 对 0x1 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）令 f（1）0 求出 k，再根据 f（x）的符号得出 f（x）的单调区间；（II）分离参数得 a ，求出 在（0，1）上的
39、最小值即可得出 a 的范围【解答】解：（I）f（x ）的定义域为（0，+） ，f （x） ，第 21 页（共 23 页）yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴垂直，f（1）0，即 k1，f（x） ，当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f （x）0，f（x）的单调递减区间为（0，1） ，单调递增区间为（1，+） （II）f（x）lnx1+ ，f（x）ax 对 0x1 恒成立，a 在（0，1）上恒成立，设 g（x） （0x1） ，则 g（x） ，令 h（x）2xxlnx2（0x1） ，则 h（x）2lnx11lnx0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）0，g（x）0
40、，g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）g（1）0，a0【点评】本题考查了函数单调性与导数的关系，函数恒成立问题与函数最值的计算，属于中档题选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin +cos，点 P 的曲线 C 上运动（I）若点 Q 在射线 OP 上，且|OP|OQ| 4，求点 Q 的轨迹的直角坐标方程；（）设 M（4， ） ，求 MOP 面积的最大值【分析】 （）设 Q（， ） ，P（ 1，） （0， 10） ，则 1sin +cos，又|OP |OQ|4，求出
41、sin +cos，即 sin+cos 4，将 xcos，y sin 代入 sin+cos4，得点 Q 轨迹方程；（）设 P（， ） （0） ，则 cos +sin，由 M（4， ） ，得MOP 面积第 22 页（共 23 页） +sin） 2，当且仅当 sin21 时，取“” ，取 即可，由此能求出MOP 面积的最大值【解答】解：（）设 Q（， ） ，P（ 1，） （0， 10） ，则 1sin +cos，又|OP |OQ|4， 1 4，即 ， sin+cos ，sin+ cos4，将 xcos ，ysin 代入 sin+cos4，得点 Q 轨迹方程为 x+y4；（）设 P（， ） （0） ，
42、则 cos +sin，M（4， ） ，MOP 面积 +sin） 2 ，当且仅当 sin21 时，取“” ，取 即可，MOP 面积的最大值为 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、考查三角形面积的最大值的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23设 a0，b0，且 a2b+ab22，求证：（）a 3+b32；（） （a+b） （a 5+b5）4【分析】 （）利用作差法比较即可，（）利用作差法比较即可【解答】证明：（）设 a0，b0，且 a2b+ab22，（a 3+b3）2a 3+b3a 2bab 2a 2（ab）+ b2（ba）（ab） （a 2b 2）（ab） 2（a+b）0，第 23 页（共 23 页）a 3+b32；（） （a+b） （a 5+b5）a 6+b6+a5b+ab5（a 3+b3） 22a 3b3+a5+ab5（a 3+b3） 22a 3b3+a5b+ab5（a 3+b3） 2+ab（a 42a 2b2+b4）（a 3+b3） 2+ab（a 2b 2） 2，a0，b0，a 3+b32，（a+b） （a 5+b5）4【点评】本题考查了作差法比较不等式的大小，考查了转化能力，属于基础题
