1、第 1 页（共 25 页）2018 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足（i1） （zi 3）2i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数为（ ）Ai1 B1+2i C1i D12i2 （5 分）已知集合 Ax| f（x）lg （x x 2+6） ，Bx |g（x） ，若AB ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，3） B （2，3） C （，2） D （3，+）3 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）右顶点与抛物线 y28x 焦点重合
2、且离心率 e ，则该双曲线方程为（ ）A BC D4 （5 分）已知在各项均为正数的等比数列a n中，a 1a3 16，a 3+a424，则 a5（ ）A128 B108 C64 D325 （5 分）已知 为第四象限角， ，则 的值为（ ）A B C D6 （5 分）已知命题 p：若 a，b 是实数，则 ab 是 a2b 2 的充分不必要条件；命题q：“ xR，x 2+23x ”的否定是“ xR，x 2+23x” ，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq7 （5 分）函数 f（x ）2+ 的图象大致为（ ）第 2 页（共 25 页）A BC D8 （5 分）如图所示的程序框
3、图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列” ，执行该程序，若输入 n6，则输出 C（ ）A5 B8 C13 D219 （5 分）从 A，B，C，D，E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有 A和 B 时， A 需排在 B 的前面出场（不一定相邻） ，则不同的出场方法有（ ）A51 种 B45 种 C42 种 D36 种10 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D 11 （5 分）正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 + 1 上若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A （ ，1） B
4、 （0， ） C （ ，1） D （0， ）12 （5 分）已知 f（x ）为函数 f（x）的导函数，且 f（ x） x2f （0）x +f（1）ex1 ，若 g（x ）f（x ） x2+x，则方程 g（ x）x0 在（0，+）上有且仅有一个根，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1 B （，1 C （，0）1 D1 ，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分.）13 （5 分）一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：（）如果开启 1 号阀门，那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门；（）如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门，那么要关闭
5、4 号阀门；（）不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门，现在要开启 1 号阀门，则同时开启的 2 个阀门是 14 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，且 u2x+y+2 的最小值为4，则 k 15 （5 分）若 x9a 0+a1（x 1）+a 2（x1） 2+a9（x1） 9，则 a7 的值为 16 （5 分）已知首项为 的数列a n的前 n 项和为 Sn，定义在 1，+）上恒不为零的函数f（x） ，对任意的 x，y R，都有 f（x）f（y ）f（x+y） 若点（ n，a n） （n N*）在函数 f（x ）的图象上，且不等式 m2+ S n 对任意的 nN*恒成立，则实数 m 的取值
6、范围为 第 4 页（共 25 页）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2cb）cosAacosB（1）求角 A 的大小；（2）若 D 为 BC 上一点，且满足 2 ，AD2 ，b3，求 a18 （12 分）如图 1，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别为底 AB，CD 上的点，且 EFAB ，EFEB FC2，EA FD，沿 EF 将平面 AEFD 折起至平面 AEFD平面 EBCF，如图 2 所示（1）求证：平面 ABD平面 BDF；（2）若二面角
7、 BADF 的大小为 60，求 EA 的长度19 （12 分）小张经营一个抽奖游戏顾客花费 3 元钱可购买游戏机会每次游戏中，顾客从装有 1 个黑球，3 个红球，6 个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个球（除颜色外其他都相同） ，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖顾客获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为 a 元，10 元，5 元，1 元若经营者小张将顾客摸出的 3 个球的颜色情况分成以下类别：A：1 个黑球 2 个红球；B：3 个红球；C：恰有 1 个白球；D：恰有 2 个白球；E：3 个白球且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三
8、等奖，中四等奖，不中奖五个层次（1）通过计算写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可） ；（2）已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客进行一次游戏时小张可获利 X 元，求变量 X 的分布列；若小张不打算在游戏中亏本，求 a 的最大值第 5 页（共 25 页）20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0） ，过椭圆的右焦点 F 任作一条直线交椭圆 C 于 A，B 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆 C 于 M，N 两点（）求证：AM 与 AN 的斜率之积为定值；（）若 2a|AB| MN|2，试探究直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系21 （12
9、分）已知 f（x ）（x1）e x（1）当 a0 时，求函数 g（x）f （x）+ ax2 的极值点（2）若x1，都有 f（x ） x+m+ln（x 1）成立，求 m 取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 C：cos（+ ）1，过极点 O 作射线与曲线 C交于点 Q，在射线 OQ 上取一点 P，使|OP|OQ| （1）求点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程；（2）以极点 O 为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy，若直线 l：y x 与（1）中的曲线 C1 相交于点 E（异于点 O） ，与曲线 C2：（t 为参数）相交于点
10、 F，求|EF|的值23设 f（x） |x1|+|x+1|， （x R）（1）求证：f（x ）2；（2）若不等式 f（x ） 对任意非零实数 b 恒成立，求 x 的取值范围第 6 页（共 25 页）2018 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足（i1） （zi 3）2i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数为（ ）Ai1 B1+2i C1i D12i【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】
11、解：由（i1） （z i3）2i，得 12i，则 z 的共轭复数为 1+2i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| f（x）lg （x x 2+6） ，Bx |g（x） ，若AB ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，3） B （2，3） C （，2） D （3，+）【分析】先分别求出集合 A，B，由此利用 AB ，能求出实数 m 的取值范围【解答】解：集合 Ax| f（x）lg （x x 2+6） x|xx 2+60 x|2x3，B x|g（x） x| xm ，A B，m3，实数 m 的取值范围是（3， +） 故选：D【点
12、评】本题考查实数值的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3 （5 分）已知双曲线 （a0，b0）右顶点与抛物线 y28x 焦点重合且离心率 e ，则该双曲线方程为（ ）A B第 7 页（共 25 页）C D【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的离心率转化求解双曲线方程即可【解答】解：抛物线 y28x 焦点（2，0） ，可得双曲线的实半轴的长 a2，双曲线 （a0，b0）的离心率 e ，可得 c3，则 b ，所以双曲线方程为： 故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力4 （5
13、分）已知在各项均为正数的等比数列a n中，a 1a3 16，a 3+a424，则 a5（ ）A128 B108 C64 D32【分析】根据等比中项求出 a2，再求出 q，即可求出答案【解答】解：a 1a316，a 22a 1a316，a 24，设公比为 q，a 3+a424，4q+4q 224，解得 q2 或 q3（舍去） ，a 5a 2q342 332，故选：D【点评】本题考查了等比数列的性质和通项公式，属于基础题5 （5 分）已知 为第四象限角， ，则 的值为（ ）A B C D【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin 和 cos 的值，可得 tan 的值，再利用第 8 页（共 25
14、 页）二倍角的正切公式结合 tan 的符号，求得 tan 的值【解答】解： 为第四象限角， sin 0，cos0， 是第二象限角， ，1+2sin cos ，sin cos ，sin cos ，sin ，cos ，tan ， 3 （舍去） ，或， ，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角正切公式的应用，要求学生能灵活地应用这些公式进行计算、求值和证明，提高学生分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查6 （5 分）已知命题 p：若 a，b 是实数，则 ab 是 a2b 2 的充分不必要条件；命题q：“ xR，x 2+23x ”的否定是“ xR，x 2+23x” ，则下列命
15、题为真命题的是（ ）Apq Bpq Cpq Dpq【分析】分别判断出 p，q 的真假，再判断出复合命题真假即可【解答】解：命题 p：若 a，b 是实数，则 ab 是 a2b 2 的充分不必要条件；是假命题；比如：a1，b2，“xR，x 2+23x”的否定是“ xR，x 2+23x” ，故命题 q：“xR，x 2+23x”的否定是“ xR，x 2+23x”是假命题，故pq 是真命题，故选：D【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道基础题7 （5 分）函数 f（x ）2+ 的图象大致为（ ）第 9 页（共 25 页）A BC D【分析】分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案【
16、解答】解：函数 f（x ）2+ 满足 f（x）f （ x） ，即函数为偶函数，图象关于原点对称，故排除 D；f（1）20，故排除 AC，故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档8 （5 分）如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列” ，执行该程序，若输入 n6，则输出 C（ ）第 10 页（共 25 页）A5 B8 C13 D21【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 C 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n6，A1，B1，k 3满足条件
17、 k6，执行循环体，C 2，A1，B2，k4满足条件 k6，执行循环体，C 3，A2，B3，k5满足条件 k6，执行循环体，C 5，A3，B5，k6满足条件 k6，执行循环体，C 8，A5，B8，k7不满足条件 k6，退出循环，输出 C 的值为 8故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9 （5 分）从 A，B，C，D，E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有 A和 B 时， A 需排在 B 的前面出场（不一定相邻） ，则不同的出场方法有（ ）A51 种 B45 种 C42 种 D36 种第 11 页（共 25 页）
18、【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：，三名歌手中同时有 A 和 B，三名歌手中不同时有 A 和 B，分别求出每一种情况的选法数目，由分类加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论：，三名歌手中同时有 A 和 B，此时需要在 C、D、E 中任选 1 人，有 3 种选取方法，此时要求 A 需排在 B 的前面出场，则有 A333 种情况，则此时不同的出场方法有 339 种；，三名歌手中不同时有 A 和 B，此时有 C5337 种选法，将选出的 3 人全排列，有 A336 种情况，则此时不同的出场方法有 7642 种；则不同的出场方法有 9+4251 种；故选：A【点评】本题考查排
19、列、组合的应用，注意题目中的限制条件，进行分类讨论10 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为（ ）A B C D 【分析】由三视图，可得直观图是有一侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角边长分别为 3，3 的直角三角形，三棱锥的高为 3 ，利用等体积方法求出内切球的半径，即可求出该几何体的内切球的体积【解答】解：由三视图，可得直观图是有一侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角边长分别为 3，3 的直角三角形，三棱锥的高为 3 ，体积为 ，三棱锥的表面积为 2 +227 ，设内切球的半径为 r，则 ，r ，第 12 页（共 25 页）该几何体的内切球的体积为 ，故选：D【点
20、评】本题考查了由三视图求几何体的面积体积的问题，注意三视图中：正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽11 （5 分）正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 + 1 上若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A （ ，1） B （0， ） C （ ，1） D （0， ）【分析】根据对称性，点 D 在直线 yx 上，x D2 c 2e2+e10，解得 0【解答】解：如图根据对称性，点 D 在直线 yx 上，可得 ，即 x2 c 2b2acc 2+aca 20e2+e10，解得 0故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题12 （5 分）已
21、知 f（x ）为函数 f（x）的导函数，且 f（ x） x2f （0）x +f（1）ex1 ，若 g（x ）f（x ） x2+x，则方程 g（ x）x0 在（0，+）上有且仅有一个根，则实数 a 的取值范围是（ ）第 13 页（共 25 页）A （0，1 B （，1 C （，0）1 D1 ，+）【分析】先对函数 f（x ）求导得 f（x） ，在函数 f（x）和其导函数解析式 f（x）的解析式中分别令 x0 和 x1，列方程组求出 f（0）和 f（1）的值，可得出函数f（x）的解析式，进而得到函数 g（x）的解析式，再由 ，转化得到，将问题转化为直线 与函数 的图象有且只有一个公共点，通过导数分
22、析函数 h（x）的单调性与极值，作出函数 h（x）的图象，利用数形结合思想求出 a 的取值范围【解答】解： ，则 f（x）xf（0）+f （1）ex1 ，所以， ，解得 ，所以，则 ，由 ，得 ，得 ，得，则该方程在 x（0，+）上有且仅有一个根，构造函数 ，其中 x0，则 ，令 h（x）0，则x1当 0x1 时，h（x ）0；当 x1 时，h（x）0所以，函数 yh（x）在x1 处取得最小值 1，作出函数 yh（x ）的图象如下图所示，结合图象可知，当 或 时，即当 a0 或 a1 时，直线 与函数的图象只有一个公共点，第 14 页（共 25 页）因此，实数 a 的取值范围是（，0）1，故选
23、：C【点评】本题考察导数的运算以及函数的零点个数问题，正确处理含参函数零点个数问题，并将该问题进行等价转化，是处理该问题的关键，属于中等题二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分.）13 （5 分）一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：（）如果开启 1 号阀门，那么必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门；（）如果开启 2 号阀门或者 5 号阀门，那么要关闭 4 号阀门；（）不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门，现在要开启 1 号阀门，则同时开启的 2 个阀门是 2 和 3 【分析】要开启 1 号阀门，必须同时开启 2 号阀门，开启 2 号阀门，
24、要关闭 4 号阀门，不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门，故要开启 3 号阀门【解答】解：由题意得：要开启 1 号阀门，必须同时开启 2 号阀门并且关闭 5 号阀门；开启 2 号阀门，要关闭 4 号阀门；不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门，故要开启 3 号阀门现在要开启 1 号阀门，则同时开启的 2 个阀门是 2 和 3故答案为：2 和 3【点评】本题考查简单的合情推理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意题设中隐含条件的合理运用14 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，且 u2x+y+2 的最小值为4，则 k 1 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即
25、先确定 z 的最优解，然后确定 k 的值即可【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）第 15 页（共 25 页）由 u2x+y+2，得 y2x +u2，平移直线 y2x +u2，由图象可知当直线 y2x +u2 经过点 A 时，直线 y2x+u2 的截距最小，此时 z 最小目标函数为 2x+y+24，由 ，解得 A（2，2） ，点 A 也在直线 y2k 上，k1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15 （5 分）若 x9a 0+a1（x 1）+a 2（x1） 2+a9（x1） 9，则 a7 的值为 36 【分析】根据 x91+（x
26、 1） 9a 0+a1（x1）+a 2（x1） 2+a9（x1） 9，利用二项展开式的通项公式求得 a7 的值【解答】解：x 91+（x 1） 9a 0+a1（x1）+a 2（x 1） 2+a9（x1） 9，a 7 36，故答案为：36【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，第 16 页（共 25 页）属于基础题16 （5 分）已知首项为 的数列a n的前 n 项和为 Sn，定义在 1，+）上恒不为零的函数f（x） ，对任意的 x，y R，都有 f（x）f（y ）f（x+y） 若点（ n，a n） （n N*）在函数 f（x ）的图象上，且不等式 m2+
27、S n 对任意的 nN*恒成立，则实数 m 的取值范围为 （1， ） 【分析】根据 f（x ）f（y ） f（x+y） ，令 xn，y 1，可得数列a n是以 为首项，以 为公比的等比数列，进而可以求得 Sn，进而 m 的取值范围【解答】解：对任意 x，y R，都有 f（x）f （y）f（x+y） ，令 xn，y1，得 f（n）f（1）f （n+1） ，即 f（1） ，数列a n是以 为首项，以 为公比的等比数列，a nf（n）（ ） n，Sn （1 ） ， ） 不等式 m2+ S n 对nN +恒成立，可得 m2+ ，解得1m ，故答案为：（1， ） 【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题
28、，解题的关键是根据对任意 x，yR，都有 f（x）f（y）f（x+y）得到数列a n是等比数列，属中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足（2cb）cosAacosB（1）求角 A 的大小；（2）若 D 为 BC 上一点，且满足 2 ，AD2 ，b3，求 a【分析】 （1）由正弦定理和三角函数公式可得 cosA ，可得 A；（2）在ADC，ADB 中，分别应用余弦定理，结合 cosADCcos ADB，即可第 17 页（共 25 页）解得 a 的值【解答】 （本
29、题满分为 12 分）解：（1）（2cb）cos AacosB，由正弦定理可得（2sinA sinB）cosAsinAcosB，变形可得 2sinCcosAsinBcosA+sinAcosBsin（A+B）sin C，C 为三角形的内角，sinC 0，cosA ，A ； （4 分）（2）在ABC 中，由余弦定理得：a 2b 2+c22bccos A， （5 分）在ADC 中，由余弦定理得：9（ ） 2+122 ， （7 分）在ADB 中，由余弦定理得：c 2（ a） 2+122 ， （9 分）由于 cosADCcosADB，解得：c6，a3 （12 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，
30、三角函数恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图 1，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别为底 AB，CD 上的点，且 EFAB ，EFEB FC2，EA FD，沿 EF 将平面 AEFD 折起至平面 AEFD平面 EBCF，如图 2 所示（1）求证：平面 ABD平面 BDF；（2）若二面角 BADF 的大小为 60，求 EA 的长度【分析】 （1）延长 DA，FE ，CB 交于 H，可得 AE 为DHF 的中位线，BE 为CHF 的中位线，运用面面垂直的性质定理和判定定理，证得 CH平面 BDF，即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理可得
31、 BE平面 AEFD，过 B 作 BMDH ，连接EM，BME 为二倍角 BADF 的平面角，可得BME60，运用直角三角形的正第 18 页（共 25 页）切函数定义，解方程即可得到所求值【解答】解：（1）证明：EFEB FC2，EA FD，可得 FC4，延长 DA，FE，CB 交于 H，可得 AE 为DHF 的中位线，BE 为CHF 的中位线，可得 CHBF ，平面 AEFD平面 EBCF，DFFC，可得 DF平面 EBCF，即有 DFCH，可得 CH平面 BDF，由 CH平面 ABD，可得平面 ABD平面 BDF；（2）平面 AEFD平面 EBCF，BEAE，可得 BE平面 AEFD，过
32、B 作 BMDH ，连接 EM，可得 DHEM ，即有BME 为二倍角 BADF 的平面角，可得BME60，即有 EM ，在直角三角形 AEH 中，tanAHE ，即有 ，解得 EA 第 19 页（共 25 页）【点评】本题考查面面垂直的判定和性质的运用，考查二面角的平面角的求法，以及空间想象能力，运算和推理能力，属于中档题19 （12 分）小张经营一个抽奖游戏顾客花费 3 元钱可购买游戏机会每次游戏中，顾客从装有 1 个黑球，3 个红球，6 个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个球（除颜色外其他都相同） ，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖顾客获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领
33、取的奖金为 a 元，10 元，5 元，1 元若经营者小张将顾客摸出的 3 个球的颜色情况分成以下类别：A：1 个黑球 2 个红球；B：3 个红球；C：恰有 1 个白球；D：恰有 2 个白球；E：3 个白球且小张计划将五种类别按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖五个层次（1）通过计算写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可） ；（2）已知顾客摸出的第一个球是红球的条件下，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客进行一次游戏时小张可获利 X 元，求变量 X 的分布列；若小张不打算在游戏中亏本，求 a 的最大值【分析】 （1）求出一至四等奖的概率，即可写出分别
34、对应的类别；（2）顾客摸出的第一个球是红球的条件下，利用条件概率计算公式即可得出他获得二等奖的概率（3）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求出分布列得到期望，即可求 a 的最大值【解答】解：（1）P（A） ，P（B） ，P（C）第 20 页（共 25 页） ，P（D ） ，P（E） 可得：P（B ）P （A）P（E ）P（C）P（D ） 一至四等奖分别对应的类别分别为：B，A，E，C （2）顾客摸出的第一个球是红球的条件下，他获得二等奖的概率 P （3）X 的分布列为：X （a3） 7 2 2 3P （a3）2140+72+1800，解得 a194因此 a 的最大值为 194【点评】本题考
35、查了古典概率计算公式、条件概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）已知椭圆 C： + 1（ab0） ，过椭圆的右焦点 F 任作一条直线交椭圆 C 于 A，B 两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆 C 于 M，N 两点（）求证：AM 与 AN 的斜率之积为定值；（）若 2a|AB| MN|2，试探究直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系【分析】 （）设 A（x 0，y 0） ，M （x 1，y 1） ，N（x 1，y 1） ，由 1，1，两式相减，得 ，由此能证明 kAMkAN 为定值（）当弦 AB 所在直线的斜率不存在时，MNAB，当
36、弦 AB，弦 MN 所在直线的斜率均存在时，设弦 AB 与弦 MN 的斜率分别为 k1，k 2，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，M（x 3， y3） ，N（x 4，y 4） ，则直线 AB，MN 的方程分别为 yk 1（xc） ，yk 2x，分别与椭圆 C 联立方程组，求出|AB|和| MN|，推导出弦 AB 与弦 MN 所在直线的倾斜角相等或互补第 21 页（共 25 页）【解答】证明：（）设 A（x 0，y 0） ，M （x 1，y 1） ，N（ x 1，y 1） ，由 1， 1，两式相减，得 + 0，即 ， ， ，k AMkAN 为定值解：（）当弦 AB 所在直线的斜率不
37、存在时，| AB| ，|MN | 2b， 弦 MN 为此椭圆的短轴，此时，MNAB，当弦 AB，弦 MN 所在直线的斜率均存在时，不妨设弦 AB 与弦 MN 的斜率分别为 k1，k 2，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，M（x 3，y 3） ，N（x 4， y4） ，则直线 AB，MN 的方程分别为 yk 1（xc） ，yk 2x，由 ，得 ， ， ，|AB| |x1x 2| ，同理，由 ，第 22 页（共 25 页）得 ， ，|MN | |x3x 4| 2ab ，|AB| ，即 2a 4a 2b2 ，即 2a 4a 2b2 ，即 （a 2b 2） ，ab， ，k 1k 2，弦
38、AB 与弦 MN 所在直线的倾斜角相等或互补，弦 AB 与弦 CD 的斜率有一个存在，一个不存在时，满足题意【点评】本题考查 AM 与 AN 的斜率之积为定值的证明，考查直线 AB 与直线 MN 的倾斜角之间的关系的探究，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用21 （12 分）已知 f（x ）（x1）e x（1）当 a0 时，求函数 g（x）f （x）+ ax2 的极值点（2）若x1，都有 f（x ） x+m+ln（x 1）成立，求 m 取值范围【分析】 （1）对函数 g（x）求导数，利用导数 g（x）0，求得极值点，讨论 a 的取值情况，判断是极大
39、值还是极小值点；（2）不等式化为 f（x ）xln （x 1）m，构造 h（x）f（x）xln（x1） ，x1；求 h（x）的最小值即可求得 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）（x1）e x，第 23 页（共 25 页）函数 g（x）f（x）+ ax2（x1）e x+ ax2；g（x）xe x+axx（e x+a） ，令 g（x）0，解得 x0 或 xln（a） ；当 a 1 时， ln（a）0，当 x 在 R 上变化时，可得下表：x （，ln（a） ）ln（a） （ln（a） ，0）0 （0，+）g （ x） + 0 0 +g（x） 极小值 极大值 所以由表可知，此时极大值点为
40、xln（a） ，极小值点为 x0；同理当 1 a0 时，极大值点为 x0，极小值点为 xln（a） ；当 a 1 时， g（x）x（e x1）0 恒成立，此时 g（x）（x1）e x x2 在R 上单调递增，既无极大值点也无极小值点；（2）不等式 f（x ）x+m+ ln（x1）化为 f（x ）xln（x1）m，设 h（x）f（ x）xln（x1） ，x1；h（x）（x1）e xx ln（x1） ，其中 x；则 h（x）xe x1 xe x x （e x ） ，令 F（x ）e x ，x 1；则 F（x） ex+ 0 恒成立，F（x）为增函数F（2）e 2 10；取 x1e 2 ，则 x1+e
41、 2 ，F（1+e 2 ） e 20；存在唯一 x0（1+e 2 ，2） ，使 F（x 0）0，即 ；又 1xx 0 时，F（x）0，即 h（x）0，h（x）为减函数；xx 0 时，F（x）0，即 h（x）0，h（x）为增函数；h（x） minh（x 0）（x 01） x 0ln（x 01）第 24 页（共 25 页）x 01x 0 ln 1，对x1，有 f（x ）x +m+ln（x 1）成立等价 f（x）xln（x 1）1m 恒成立即 m1；所以 m 的取值范围是 m1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲2
42、2 （10 分）在极坐标系中，已知曲线 C：cos（+ ）1，过极点 O 作射线与曲线 C交于点 Q，在射线 OQ 上取一点 P，使|OP|OQ| （1）求点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程；（2）以极点 O 为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy，若直线 l：y x 与（1）中的曲线 C1 相交于点 E（异于点 O） ，与曲线 C2：（t 为参数）相交于点 F，求|EF|的值【分析】 （1）设 P（， ） ，Q（，） ，则 ，又曲线C：cos （+ ）1，代入化简即可得出（2）由曲线 C2 的参数方程消去参数 t 化为普通方程：x+y ，利用互化公式可得极坐标方程
43、由直线 l：y x 可得：极坐标方程： （R） 分别与曲线 C2 及其曲线 C1 的极坐标方程联立解出即可得出【解答】解；（1）设 P（，） ，Q（，） ，则 ，又曲线C：cos （+ ）1， cos（ + ）1，cossin即为点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程（2）曲线 C2： （t 为参数） ，消去参数 t 化为普通方程：x+y ，可得极第 25 页（共 25 页）坐标方程：（cos +sin） 由直线 l：y x 可得：极坐标方程： 或把 代入曲线 C2 可得： 2 （ +1） 把 代入曲线 C1 可得： 1 +sin |EF| 2 11【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参
44、数方程化为普通方程及其应用、极坐标的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23设 f（x） |x1|+|x+1|， （x R）（1）求证：f（x ）2；（2）若不等式 f（x ） 对任意非零实数 b 恒成立，求 x 的取值范围【分析】 （1）利用三角不等式证明：f（x ）2；（2）g（b） 3，可得 f（x）3，即|x 1|+|x+1|3，分类讨论，求 x 的取值范围【解答】 （1）证明：f（x ）|x1|+| x+1|1x |+|x+1|1x+x+1|2；（2）解：g（b） 3，f（x）3，即 |x1|+|x+1|3，x1 时，2x 3，x 1.5，x1.5；1x1 时，23 不成立；x1 时，2x3，x 1.5， x1.5综上所述 x1.5 或 x1.5【点评】本题考查三角不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/7/6 12:23:00；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463
