1、一次函数聚焦考点温习理解1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 bkxy（k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， k（k 为常数，k 0） 。这时，y 叫做x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数 bkxy的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数 kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。k，b 与函数图象所在象限：y=kx 时（即 b 等于 0，y 与 x 成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)当 k0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大；当 k0,b0, 这时此函
2、数的图象经过一，二，三象限。当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。当 k0 时，直线必通过一、二象限；当 b0 时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当 k300 时，y 与 x 的函数关系式；（2 ）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于 200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎忙分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？15 （ 2017河北）如图，直角坐标系 xOy 中，A （0 ，5） ，直线 x=5 与 x 轴交于点 D，直线 y=38x9与 x 轴及直线 x=5 分别交于点
3、C，E，点 B，E 关于 x 轴对称，连接 AB（1 ）求点 C， E 的坐标及直线 AB 的解析式；（2 ）设面积的和 S=SCDE S 四边形 ABD O，求 S 的值；（3 ）在求（2 ）中 S 时，嘉琪有个想法：“将 CDE 沿 x 轴翻折到 CDB 的位置，而CDB与四边形 ABDO 拼接后可看成 AOC，这样求 S 便转化为直接求AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现 SAOS，请通过计算解释他的想法错在哪里16 （ 2018镇江）如图，一次函数 y kxb（ 0）的图像与 x轴， y轴分别交于A（9，0） ，B（0，6）两点，过点 C（2，0）作直线 l与 BC 垂直
4、，点 E 在直线 l位于 轴上方的部分（1 ）求一次函数 y kxb（ 0 ）的表达式；（2 ）若ACE 的面积为 1，求点 E 的坐标；（3 ）当CBE ABO 时，点 E 的坐标为_ 一次函数聚焦考点温习理解1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果 （k，b 是常数，k 0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。xy特别地，当一次函数 中的 b 为 0 时， （k 为常数，k 0） 。这时，y 叫做x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数 的图像是经过点（0，b ）的直线；kxyOyxCEABl正比例函数 的图像是经过原点（0，0）的直线。kxyk，b
5、与函数图象所在象限：y=kx 时（即 b 等于 0，y 与 x 成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)当 k0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大；当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。当 k0,b0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。当 k0 时，直线必通过一、二象限；当 b0 时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当 k0;故 从而得0)3(2kx6x故答案：D3 （ 2018 滨州）如果规定 表示不大于 x 的最大整数，例如 ，那么函数x 2.的图象为（ ）yx xy xy 123 1231123 1231 OOA B xy xy 123
6、 1231123 1231 OOC D【分析】用新定义题型考查一次函数图象与性质【解答】解：由题中 表示不大于 x 的最大整数定义，分 x 为正整数，负整数两种情况进x行验证，即可排除 B，C，D，故选 A. 故答案：A4 （ 2017福建）若直线 y=kx+k+1 经过点(m，n+3)和(m+1，2n 1)，且 0k 2 ，则 n 的值可以是( )A3 B4 C5 D6【分析】根据题意列方程组得到 k = n4，由于 0k 2 ，于是得到 0n 42，即可得到结论【解答】解：依题意得： ，k = n4，0k2，0n4 2，3+12mnk4n6， 故答案：C5 （ 2018 宿迁）在平面直角坐
7、标系中，过点 A（1 ，2）作直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是A5 B4 C3 D2【分析】根据一次函数图象与一次方程关系,结合面积转化为方程 ,分421k三种情形去掉绝对值求解即可6（ 2017苏州）若点 A(m，n)在一次函数 y3xb 的图象上，且 3mn2，则 b 的取值范围为( )Ab 2 Bb2 Cb2 Db2【分析】由点 A 的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出 3mbn，再由3mn 2，即可得出 b2 ，此题得解【解答】解：点 A(m，n)在一次函数 y3x b 的图象上，3mbn3mn 2， b 2，即 b2 故答案：D7
8、（ 2018聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍 10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量 y（mg /m3）与药物在空气中的持续时间 x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（ ）A经过 5min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg /m3B室内空气中的含药量不低于 8mg /m3 的持续时间达到了 11minC当室内空气中的含药量不低于
9、 5mg /m3 且持续时间不低于 35 分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D当室内空气中的含药量低于 2mg /m3 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到 2mg /m3 开始，需经过 59min 后，学生才能进入室内【分析】利用函数图象，识别临界点的含义,分情况求出函数解析式即可,二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 (2018郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点处，且AOC=60，A 点的坐标是(0，4) ，则直线 AC 的表达式是 【分析】先根据一次函数的解析式判断出该函数的增减性，再根据1 及可判断出12m、n
10、 的大小【解答】解：由 A 点坐标知菱形的边长为 4，由AOC=60知OAC 是等边三角形，故AC=OA=4XOC=60从而可得 C( ,2),则直线 AC 的解析式为32 43xy故答案： 43xy9 (2018 海南)如图 7，在平面直角坐标系中，点 M 是直线 y x 上的动点，过点 M 作 MNx 轴，交直线 y x 于点 N，当 MN8 时，设点 M 的横坐标为 m，则 m 的取值范围为_ 【分析】设 MN 交 x 轴于点 C，根据题意得，点 M、N 关于 x 轴对称,转化为临界分析求解10 （2018东营）在平面直角坐标系内有两点 A，B，其坐标为 A(1，1) ，B(2，7) ，
11、点 M 为 x 轴上的一个动点，若要使 MBMA 的值最大，则点 M 的坐标为 【分析】作点 A 关于 x 轴的对称点 A1，连接 BA1 交 x 轴于点 N,得 A1(1，1)再求出直线 BN的解析式即可【解答】解：如图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A1，连接 BA1 交 x 轴于点 NA (1，1)，A 1(1 ，1) 由对称知 MAMA 1，NANA 1，MB MA 1BA 1，而NBNA 1BA 1，MB MA 的最大值为 BA1 的长,此时 M 与 N 重合A 1(1 ，1) ，B(2，7)，直线 BN 的解析式为 y2x3，令 2x30 ，解得 x ，此时点 M 的坐标即为 M
12、(32，0)32故答案：( ，0) 32三、解答题（共 6 题，每题 10 分；共 60 分） 11 （ 2018 重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线 y x3 过点 A（5，m）且与 y 轴交于点 B，把点 A 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 C，过点 C 且与 y2 x平行的直线交 y 轴于点 D（2 ） 求直线 CD 的解析式；（2 ）直线 AB 与 CD 交于点 E，将直线 CD 沿 EB 方向平移，平移到经过点 B 的位置结束，求直线 CD 在平移过 程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围EBCDyxOA【分析】 （1）把 A 点坐标代入解析式求得 A 点具体坐
13、标，后根据平移规律求出 C 点坐标，根据平行线 K 值相等求出 CD 解析式。（3）确定 CD 和平移后的直线 CD 与 x 轴的交点横坐标。（4 ）【解答】解：（1）点 A（5 ，m）在直线 yx3 上，m532，即A（5 ，2 ）点 A 向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 CC（3，2）直线CD 与 y2 x 平行设直线 CD 的解析式为 y2 xb，把 C（3，2 ）代入得 b4直线 CD的解析式为 y2x 4(2)将 x0 代入 y x3 得 y3 ，即 B（0，3）平移后的直线 BF 的解析式为y2x3，令 y0 得 ，即 F（ ，0 ）将 y0 代入 y2 x4
14、得 x2，即2G（2 ，0 ）CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围是：312（ 2018齐齐哈尔）某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 20min 后乘坐小轿车沿同一路线出行.大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时的速度的 继续行驶，小轿车保持原速度不变.小轿车司107机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 6km 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口.两车距学校的路程 S（单位：km）和行驶时间 t（单位：min）之间的函数关系如图所示.请结合图像解决下面问题：（1 ）学校到景点的路程为 km，大客车途中停
15、留了 min，a ；（2 ）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？（3 ）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？（4 ）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待 分钟，大客车才能到达景点入口.第 22 题图【分析】(1)根据图象直接得出学校到景点的路程，大客车途中停留的时间，由点 A 的坐标和（60 ， 40）求出直线 AD 的函数解析式，由 C 点的横坐标求出点 C 的纵坐标 a15 的值；（2 ）由 B 的坐标求出 OB 的解析式及大客车原先的速度 km/min，由计算(4015
16、)( 1212)得出大客车被小客车追上至大客车到达入口的时间为 35 分钟，E（70 ，40） 然后求107出 CE 的函数解析式，再求出 60min 时，大客车所行的路程，进而求出小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远；（3 ）根据直线 AD 的解析式算出当 S46 时，t 66，得出 D 的坐标，再用 6(7066)算出小客车提速后的速度，并与 80km/h 比较得出是否超速；（4 ）由 40 得出大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车所用的时间，再减去12小客车到达的时间，从而解决问题【解答】解：(1)学校到景点的路程为 40km，大客车途中停留了 5min，设直线 AD
17、 的解析式为 Sk 1tb 1，将（20 ，0 ）和（60 ，40）代入解析式中，得k11， b120 ，St20将 C（35，a）代入可求得 a15 ；13 （ 2018 威武）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数且 ）4yxkyx0k的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 .(1,)AaB（1 ）求此反比例函数的表达式； 来源:ZXXK（2 ）若点 在 轴上，且 ，求点 的坐标.Px32ACPBOCSP【分析】 （1）将 A 的坐标代入一次函数，求出 a，再将 A 的坐标代入反比 例函数即可求出其表达式；（2）先求出点 B、C 的坐标，设 P 的坐标为（ ，0 ） ，用含有 x 的代
18、数式表示x，计算出 ，利用 ，建立方程求解.ACPSOS32APBOCS【 解答】解：（1）把点 A（ -1，a）代入 ，得 , A（-1 ，3 ） ，把 A（-4yx3a1， 3）代入反比例函数 kyx，得 ， 反比例函数的表达式为 3yx（2）联立两个函数表达式得 , 解得 ， 点 B 的坐标为4yx13xyB（-3，1） 当 时，得 . 点 C（-4， 0） 40yx4设点 P 的坐标为（ ，0） ， 32ACPBOSV1313(4)22x即 , 解得 ， . 点 P（-6，0 ）或（-2 ，0 ） 42x16x14 （ 2018成都）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植
19、甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植费用 y(元) 与种植面积 x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 100元.（1 ）直接写出当 0 x300 和 x300 时，y 与 x 的函数关系式；（2 ）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1200 m2，若甲种花卉的种植面积不少于 200 m2，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎忙分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？【分析】(1)由图可知，当 0 x300 时，y 与 x 是正比例函数，设 y=k1x，把点(300，39000)代入即可求得 y=k1x；当 x300 时，y
20、与 x 是一次函数，设 y=k2x+b，把点(300，39000)，(500,55000) 代入即可求得 y=k2x+b；(2) 设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植(1200a ) m2，根据题意，列不等式组求得不等式组的解，根据 a 得取值范围，一次函数的性质，分类讨论，确定最佳种植方案.【解答】解：（1）当 0 x300 时，设 y=k1x，把点(300，39000)代入 y=k1x，得39000= 300k1，解得 k1=130.y=130x .当 x300 时，设 y=k2x+b，把点(300 ，39000)，(500,55000) 代入 y=k2x+b，得 解得 y =80x
21、+15000.500392bk， .508，所以 ).3(15803，（2 ）设甲种花卉种植为 a m2，则乙种花卉种植(1200 a) m2，根据题意，得 解得 200a800.).10(a，当 200a300 时，W 1=130a+100(1200a)=30a+120000.当 a=200 时，W 最小值=126000( 元).当 300a800 时，W 2=80a+15000+100(1200a )=13500020a.当 a=800 时，W 最小值=119000（元）.119000126000， ，当 a=800 时，总费用最低，最低为 119000 元.此时乙种花卉种植面积为 120
22、0800=400(m 2).所以应分配甲种花卉种植面积为 800 m2，乙种花卉种植面积为 400 m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为 119000 元.15 （ 2017河北）如图，直角坐标系 xOy 中，A （0 ，5） ，直线 x=5 与 x 轴交于点 D，直线 y= x 与 x 轴及直线 x=5 分别交于点 C，E，点 B，E 关于 x 轴对称，连接 AB389（1 ）求点 C， E 的坐标及直线 AB 的解析式；（2 ）设面积的和 S=SCDE S 四边形 ABDO，求 S 的值；（3 ）在求（2 ）中 S 时，嘉琪有个想法：“将 CDE 沿 x 轴翻折到 CDB 的位置，而C
23、DB与四边形 ABDO 拼接后可看成 AOC，这样求 S 便转化为直接求AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现 SAOS，请通过计算解释他的想法错在哪里【分析】 （1）利用坐标轴上点的特点确定出点 C 的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点 E 坐标，进而得到点 B 坐标，最后用待定系数法求出直线 AB 解析式；（2 ）直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论，（3 ）先求出直线 AB 与 x 轴的交点坐标，判断出点 C 不在直线 AB 上，即可（2 ）由（1 ）知，E （5，3 ） ， DE=3，C（13，0） ， CD=5（13 ）=8 ，SCD
24、E= CDDE=12，由题意知， OA=5，OD=5，BD=3，S 四边形 ABDO= （BDOA）OD=20， 来源:Zxxk.Com12S=SCDES 四边形 ABDO=1220=32，（3 ）由（2 ）知，S=32 ，在AOC 中，OA=5 ，OC=13，SAOC= OAOC= =325，SS AOC，理由：由（1）知，直线 AB 的解析式为162y= x 5，令 y=0，则 0= x5 ， x= 13， 点 C 不在直线 AB 上，2 25即：点 A，B， C 不在同一条直线上， SAOCS16 （ 2018镇江）如图，一次函数 （ 0 ）的图像与 轴， 轴分别交于ykxbxyA（9，
25、0） ，B（0，6）两点，过点 C（2，0）作直线 与 BC 垂直，点 E 在直线 位于 轴上方的部分l l（1 ）求一次函数 （ 0）的表达式；ykxb（2 ）若ACE 的面积为 1，求点 E 的坐标；（3 ）当CBE ABO 时，点 E 的坐标为_ OyxCEABl【分析】：（1）利用待定系数法求解；（ 2）先求出直线 的函数表达式，然后根据ACEl的面积求出边 AC 上的高，即为点 E 的纵坐标，再代入直线 的函数表达式求得点 E 的横坐标；（3）过点作 EF 轴于点 F ，利用相似三角形的对应边成比例求解x设 E（ ， ） A （9 ，0） ，C（2 ，0） ，AC 11S ACE 1 ， 11t123 21 解得 E（ ， ） ()3t811OyxCABlD（3 ） （11，3） ：如答图所示，过点 E 作 EF 轴，垂足为点 FxABO CBF，AOBBCE90，ABOEBC BCE90 BOC ，BCO CBOBCO ECF BCEOA6923CBOECF又BOCEFC90 ，BOC CEF 解得FBCE6F2E3CF 9，EF3OF11 E（11，3） OyxCEABlDF
