1、1专题 02 函数的概念与基本初等函数 I1 【2019 年高考全国卷理数】已知 ，则0.20.32log.abc， ，A Babc abC D【答案】B【解析】 22log0.l10,a.201,b即.30,c,c则 b故选 B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2【2019 年高考天津理数】已知 ， ， ，则 的大小关系为5log2a0.52lb0.2c,abcA Bacb abC D【答案】A【解析】因为 ，551log2l2a，0.50.5llb，即 ，1.2.c1c所以 .a故选 A.【名师点睛】本题考
2、查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3【2019 年高考全国卷理数】若 ab，则Aln(a b)0 B3 a0 Dab【答案】C【解析】取 ，满足 ，但 ，则 A 错，排除 A；2,1abln()02由 ，知 B 错，排除 B；2193取 ，满足 ，但 ，则 D 错，排除 D；,abab|12|因为幂函数 是增函数， ，所以 ，即 a3b30，C 正确.3yx3故选 C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断4【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或
3、亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1= ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼215lgE星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A10 10.1 B10.1Clg10.1 D10 10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足 ，12125lgEm令 ，21.45,26.7m则1212lg(.4526.7)10.,E从而 . 10.2故选 A. 【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识信息处理能力 阅读理解能力以及对数的运算.5【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)= 2sinco在 的图像大致为,A B3C
4、 D【答案】D【解析】由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对22sin()sin() ()cocoxxf f()fx称又 ，可知应为 D 选项中的图象214()1,2f2()0f故选 D【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题6【2019 年高考全国卷理数】函数 在 的图像大致为32xy6,A BC D【答案】B【解析】设 ，则 ，所以 是奇函数，32()xyf332()2() ()xxf fx()fx图象关于原点成中心对称，排除选项 C4又 排除选项 D；342()0,f，排除选项 A，36()7f故选 B【名师
5、点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择本题注重基础知识、基本计算能力的考查7 【2019 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数 ， (a0，且 a1)的图象可能是1xya12log)ax【答案】D【解析】当 时，函数 的图象过定点 且单调递减，则函数 的图象过定点01axya(0,1)1xya且单调递增，函数 的图象过定点 且单调递减，D 选项符合；(,1)1log2a,2当 时，函数 的图象过定点 且单调递增，则函数 的图象过定点 且单调递减，axy(0,)1xya(0,1)函数 的图象过定点 且单调递增，各选项均不符合.1log2ay1,2）综上，选 D
6、.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论 的不同取值范围，认识函数的单调性.a8【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的2L5轨道运行 点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M ，月球质量为 M ，地月距离2L为 R， 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足
7、方程：.设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，1213()()MrR 34532(1)则 r 的近似值为A B21 21MRC D231MR231【答案】D【解析】由 ，得 ，rR因为 ，1213()()Mrr所以 ，1212 2()()MRR即 ，5432221()()M解得 ，231所以231.rR故选 D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错9【2019 年高考全国卷理数】设 是定义域为 R 的偶函数，且在 单调递减，则fx0,+A （log 3 ） （ ） （ ） f14f32f236B （log 3 ） （
8、 ） （ ）f14f23f32C （ ） （ ） （log 3 ） f2f23f14D （ ） （ ） （log 3 ）f3f32f【答案】C【解析】 是定义域为 的偶函数， fxR331(log)(l4)ff，223033log4l1,l4又 在(0 ，+)上单调递减，fx ，23323(log4)fff即 .23231log4fff故选 C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案10【2017 年高考山东理数】设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ,则24yxAln(1)yxBAB=A（1,2） B
9、 (1,2C（-2,1） D-2,1)【答案】D【解析】由 得 ，240x2x由 得 ，11故 .|1|1ABx选 D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.711 【2018 年高考全国卷理数】函数 的图像大致为2exf【答案】B【解析】 为奇函数，舍去 A；2e0, ,xxffxf，舍去 D；1ef时， ， 单24 3e2e,xx xxf 20fx()f调递增，舍去 C.因此选 B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象
10、的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 12 【2018 年高考全国卷理数】函数 的图像大致为42yx8【答案】D【解析】函数图象过定点 ，排除 A，B ；(0,2)令 ，则 ，4()yfx324(1)fxx由 得 ，得 或 ，此时函数单调递增，0f21)020由 得 ，得 或 ，此时函数单调递减，排除 C.()fx2()xxx故选 D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.13 【2018 年高考浙江】函数 y= sin2x 的图象可能是2A B9C D【答案】D【解
11、析】令 ，因为 ，所以2sinxf,2sin2sinxxxf fxR为奇函数，排除选项 A,B;sixf因为 时， ，所以排除选项 C，,20fx故选 D【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在 上的符号，即可判断选择.有关函数图象的,2识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性14 【2018 年高考全国卷理数】设函数 ，若 为奇函数，则曲线321fxaxfx在点 处的切线方程为yfx0,A B 2 y
12、xC Dyx 【答案】D【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，f 10a1a所以 ， ，3fx23x所以 ，01,0f10所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 ，yfx0, 0yffxyx故选 D【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线 在某个点 处的切线方程f0,f的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导fx数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 15 【2018 年高考全国卷理数】已知 是定义域为 的奇函数，满fx,足 若 ，则1fx
13、f12123ff50fA B0 50C2 D50【答案】C【解析】因为 是定义域为 的奇函数，且 ，fx,1fxf所以 ,1134f fxfT， ，因此 ，25012312f fff因为 ，所以 ，34f f， 0f因为 ，从而 .0f35ff故选 C【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解16 【2018 年高考天津理数】已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为2logealnb12log3cA B abc C
14、D c【答案】D11【解析】由题意结合对数函数的性质可知： ， ，2loge1a21ln0,ogeb，1222logl3logec据此可得： .ab本题选择 D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确17 【2018 年高考全国卷理数】设 ， ，则0.
15、2log3a2log0.3bA B 0ababC D【答案】B【解析】 ， ，0.22log3,l0.ab0.30.311log2,logab， ,即 ，0.31l4b又 ， ，,aab .0故选 B【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.18【2017 年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是MN（参考数据：lg30.48）A10 33 B10 53 C10 73 D10 9312【答案】D【解析】设 ，两边取对数， ，36180MxN3613618080lgl
16、gl61lg3809.2x所以 ，即 最接近 .93.2810x931故选 D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令 ，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公36180x式包含 ， ， .logllogaaaMNlloglaaaMNloglnaaM19【2017 年高考全国卷理数】设 x、 y、 z 为正数，且 ，则235xyzA2x0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当 x0 时，y f（x） axbx axb（1 a）xb0，得 x ，=1则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（
17、x）ax b x3 （a+1）x 2+axaxb x3 （a+1）x 2b，=13 12 =13 12，2()a当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x (a+1，+） ，此时函数单调递增，令 y0 得 x 0，a+1 ） ，此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）ax b 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：18 0 且 ，1 321()()02baab解得 b0，1a 0，b
18、 （a+1） 3， 16则 a1，bf（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x ）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_【答案】 （答案不唯一）23()fx【解析】对于 ，其图象的对称轴为 ，2()fx 32x则 f（x）f（0）对任意的 x （0，2都成立，但 f（x）在0 ，2上不是单调函数.【名师点睛】解题本题需掌握充分必要条件和函数的性质，举出反例即可.42 【2018 年高考江苏】函数 满足 ，且在区间 上，fx4ffxR2,则 的值为_cos,02,1,xf15f【答案】 2【解析】由 得函数 的周期为 4，4fxffx所以 1156,2fff因此 1cos.24ff【名师
19、点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.fa27(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.43【2017 年高考江苏】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总x存储费用为 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是 4x【答案】30【解析】总费用为 ，60904()2904xx当且仅当 ，即 时等号成立93【名师点睛】在利用基本不等式求最
20、值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误44 【2018 年高考江苏】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在()=232+1() (0,+) ()上的最大值与最小值的和为 _1,1【答案】3【解析】由 得 或 ，260fxax 3ax因为函数 在 上有且仅有一个零点且 ，所以 ，f,0=1f0,3af因此 解得 .32210,a3a从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 fx,0,1max0,ff，min1f ff则 axminf0+43.故答
21、案为 .3【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等2845 【2018 年高考浙江】已知 R ，函数 f(x)= ，当 =2 时，不等式 f(x)0.()fx2(0,2()1()fx2,01(1kg若在区间(0，9上，关于 x 的方程 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 .()fg【答案】12,34【解析】作出函数 ， 的图象，如图：()fxg29由图可知，函数 的图象与 的2()1()fx1()(2,34,56,78)
22、gxxx图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9 上，关于 x 的方程 有 2 个不同的实数根，)fg要使关于 的方程 有 8 个不同的实数根，x()fgx则 与 的图象有 2 个不同的交点，2()1,0f()2),(01kx由 到直线 的距离为 1，可得 ，解得 ，(,0)kxy2|3(0)4k两点 连线的斜率 ，(2,)13k ，34k综上可知，满足 在(0,9 上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为 .()fxg1234，【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数 ， 的图象，数形结合求解是解
23、题的关键()fxg因素.47 【2018 年高考天津理数】已知 ，函数 若关于 的方程0a2,0,.axfxx恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范围是 _.fxa【答案】 48，30【解析】分类讨论：当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是0xfxa2xa21xa1x方程的实数解，则 ；1当 时，方程 即 ，整理可得： ，很明显 不是0xfxa2xa2xa2x方程的实数解，则 .2令 ，其中 ， ，则原问题2,01,xg2121xx242xx等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的xyaa规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可gy 0a得，实数 的取值范围是 .a4,8
