1、2018 年广西桂林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 ，Bx|lgx0，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|0x2 C x|1x2 DR2 （5 分）已知复数 z ，则|z|（ ）A B3 C D3 （5 分）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图中点 A 表示 3 月 1 日的 AQI
2、指数值为 201则下列叙述正确的是（ ）A这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90B12 天中超过 7 天空气质量 “优良”C从 3 月 4 日到 9 日，空气质量越来越好D这 12 天的 AQI 指数值的平均值为 1004 （5 分）已知函数 f（x ）是2 m ，2m 6（mR）上的偶函数，且 f（x）在2m ，0上单调递减，则 f（x）的解析式不可能为（ ）Af（x）x 2+m Bf（x ）m |x|Cf（x）x m Df（x ）log m（|x|+1）5 （5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该第 2 页（共 2
3、8 页）几何体的表面积为（ ）A B C D6 （5 分）将函数 图象向右平移 个单位长度后与原函数图象重合，则 的最小值为（ ）A6 B C2 D7 （5 分）已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 16 的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A BC D 或8 （5 分）若双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 为 C上一点若直线 为线段 PF2 的垂直平分线，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的所有值之和是 54，则判断框的空白处应填第 3 页（共 28
4、 页）（ ）An8 Bn9 Cn10 Dn1210 （5 分）过点（2，1）的直线交抛物线 于 A、B 两点（异于坐标原点 O） ，若，则该直线的方程为（ ）Ax+y30 B2x+y50 C2xy+50 Dx 2y011 （5 分）已知函数 f（x ）（xm） 2+（ae x3m ） 2（m R）的最小值为 ，则正实数 a（ ）A3 B3e 2 C3e 2 D3 或 3e212 （5 分）某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙在 18 位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他 17 人，则称其为“优秀人才” 那么这
5、18 人中“优秀人才”数最多为（ ）A1 B2 C9 D18二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）设函数 ，若 f（2）4，则 f（2） 第 4 页（共 28 页）14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 15 （5 分）在数列a n中，已知 a1a 22若 an+2 是 anan+1 的个位数字，则 a27 16 （5 分）已知ABC 的内角分别为 A，B，C， ，且ABC 的内切圆面积 ，则 的最小值为
6、 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知数列a n为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 （1）求a n的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） 通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分统计结果如下表示组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100频数 25 150 200 250 225 100 50（1）由频数分布表
7、可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（u，210） ，u 近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） ，请用正态分布的知识求 P（36Z79.50） ；（2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于 u 的可以获赠 2 次随机花费，得分低于 u 的可以获赠 1 次随机话费；（ ii）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：赠送的随机话费（单位：元） 20 40概率 0.75 0.25现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据与
8、公式 14.5，若 XN（u， 2） ，则第 5 页（共 28 页）P（u Zu+）0.6827 ，P（u2 Zu+2） 0.9545，P（u3 Zu+3） 0.997319 （12 分）如图，四棱锥 FABCD 中，底面 ABCD 为边长是 2 的正方形，E，G 分别是CD、AF 的中点，AF 4，FAEBAE，且二面角 FAEB 的大小为 90（1）求证：AEBG ；（2）求二面角 BAF E 的余弦值20 （12 分）已知 F1、F 2 是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A、B 两点， F1B 与 y 轴交于点 D，AD F1B，且| OD|1
9、，O 为坐标原点（1）求 C 的方程；（2）设 P 为椭圆 C 上任一异于顶点的点， A1、A 2 为 C 的上、下顶点，直线 PA1、PA 2分别交 x 轴于点 M、N 若直线 OT 与过点 M、N 的圆切于点 T试问：|OT |是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （x+a）x （a R） ，直线 l： 是曲线yf（x ）的一条切线（1）求 a 的值；（2）设函数 g（x）xe x2xf （xa）a+2，证明：函数 g（x）无零点选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半
10、轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为 l 的倾斜第 6 页（共 28 页）角） ，曲线 E 的极坐标方程为 4sin ，射线 ， ， 与曲线 E分别交于不同于极点的 A，B，C 三点（1）求证： ；（2）当 时，直线 l 过 B，C 两点，求 y0 与 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|（1）若 x0R，使不等式 f（ x2）f（x3）u 成立，求满足条件的实数 u 的集合M；（2）已知 t 为集合 M 中的最大正整数，若 a1，b1，c1，且（a1） （b1）（c1）t，求证： abc8第 7 页（共 28 页）201
11、8 年广西桂林市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 ，Bx|lgx0，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|0x2 C x|1x2 DR【分析】分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 x|0x2，B x|lgx0x|0 x 1，ABx|0 x2故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）已知复数 z ，则|z|（ ）A B3 C D【分
12、析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z ，|z| 故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3 （5 分）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大于 100 时称空气质量为“优良” 如图是某市 3 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图中点 A 表示 3 月 1 日的 AQI 指数值为 201则下列叙述正确的是（ ）第 8 页（共 28 页）A这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90B12 天中超过 7 天空气质量 “优良”C从 3 月 4 日到
13、 9 日，空气质量越来越好D这 12 天的 AQI 指数值的平均值为 100【分析】根据图表从小到大写出对应数据，然后求出中位数和平均数，根据数据及图表中曲线的升降即可得出答案【解答】把 12 个数据按照从小到大重新排列，即67，72，77，85，92，97，104，111，135，138，144，201，可得中位数为 ，所以 A 错误；其中不大于 100 的共有 6 个，即有 6 填的空气质量“优良” ，所以 B 错误；从 3 月 4 日到 9 日 AQI 指数值逐渐降低，即空气质量越来越好，所以 C 正确；110.25，所以 D 错误，故选：C【点评】这是一道图表题，解题的关键在于对图表中
14、的数据进行正确的处理，难度不大，属于基础题4 （5 分）已知函数 f（x ）是2 m ，2m 6（mR）上的偶函数，且 f（x）在2m ，0上单调递减，则 f（x）的解析式不可能为（ ）Af（x）x 2+m Bf（x ）m |x|Cf（x）x m Df（x ）log m（|x|+1）【分析】由题意可得 2m+2m 60，即有 f（x ）是 2，2上的偶函数，且 f（x）在2，0上单调递减，对照选项，一一判断奇偶性和单调性，即可得到结论【解答】解：函数 f（x ）是2m ，2m 6（mR）上的偶函数，第 9 页（共 28 页）可得 2m+2m60，解得 m4，即有 f（x）是2，2
15、上的偶函数，且 f（x ）在 2，0上单调递减，对于 A，f（x）x 2+4，为偶函数，且在 2，0递减；对于 B，f（x）4 |x|，可得 f（x）为偶函数，且在 2，0 递增，不符题意；对于 C，f（x ）x 4，为偶函数，且在 2，0递减；对于 D，f（x）log 4（|x |+1）为偶函数，且在2，0递减故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查定义法和复合函数的单调性，属于中档题5 （5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【分析】由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥 SABC
16、，其中平面SACABC，SAAB BCSCSB2 ，AC4，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥 SABC，其中平面 SACABC，SAABBCSC SB 2 ，AC 4，如图，SASC，ABBC，该几何体的表面积为：S2（S SAC +SSAB ）2（ ）8+4 第 10 页（共 28 页）故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题6 （5 分）将函数 图象向右平移 个单位长度后与原函数图象重合，则 的最小值为（ ）A6 B C2 D
17、【分析】根据三角函数的平移变绿规律，函数 ysin （x+ ）的图象向右平移 个单位后与原图象重合可判断出 是周期的整数倍，由此求出 的表达式，判断出它的最小值【解答】解：函数 ysin（x + ）的图象向右平移 个单位后与原图象重合 ，kZ6 k，k Z0 ，可得 6 最小故选：A【点评】本题考查由 yA sin（ x+）的部分图象确定其解析式，本题判断出是周期的整数倍，是解题的关键，属于基础题7 （5 分）已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 16 的球面上，则该圆锥的体积为（ ）第 11 页（共 28 页）A BC D 或【分析】先计算球的半径，根据勾股定理
18、求出圆锥的高，从而得出圆锥的高【解答】解：S 球 4R 216，球的半径 R2，设棱锥的高为 h，则 OM|hR|，由勾股定理可得：R 2（hR） 2+1，解得 h2 圆锥的体积 V 故选：D【点评】本题考查了圆锥和球的几何特征与体积计算，属于中档题8 （5 分）若双曲线 C： （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，P 为 C上一点若直线 为线段 PF2 的垂直平分线，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】设 F2（c ，0） ，P 为双曲线的右支上一点，求得 F2 到直线 的距离为db，运用双曲线的定义和中位线定理、结合离心率公式，可得所求值【解答】解：设 F
19、2（c ，0） ，P 为双曲线的右支上一点，可得 F2 到直线 的距离为 d b，由直线 为线段 PF2 的垂直平分线，可得|PF2|2 b，由题可得F 1PF290，且| PF1|2a，由双曲线的定义可得|PF 2|PF 1|2a，即为 2b2a2a，即 b2a，第 12 页（共 28 页）则 e ，故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用垂直平分线的性质定理、双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题9 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的所有值之和是 54，则判断框的空白处应填（ ）An8 Bn9 Cn10 Dn12【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能
20、是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当 x1，n1 时，x 不是 3 的倍数，输出 1，n2，x3，应不满足退出循环的条件；当 x3，n2 时，x 是 3 的倍数，不输出，n3，x 5，应不满足退出循环的条件；当 x5，n3 时，x 不是 3 的倍数，输出 5，n4，x 7 ，应不满足退出循环的条件；当 x7，n4 时，x 不是 3 的倍数，输出 7，n5，x 9 ，应不满足退出循环的条件；当 x9，n5 时，x 是 3 的倍数，不输出，n6，x 11 ，应不满足退出循环的条件；当 x11，n6 时，x 不是 3 的倍数，输出 11，n7，x 13，
21、应不满足退出循环的条件；当 x13，n7 时，x 不是 3 的倍数，输出 13，n8，x 15，应不满足退出循环的条第 13 页（共 28 页）件；当 x15，n8 时，x 是 3 的倍数，不输出，n9，x 17 ，应不满足退出循环的条件；当 x17，n9 时，x 不是 3 的倍数，输出 17，n10，x19，应满足退出循环的条件；故退出循环的条件应为 n9，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答10 （5 分）过点（2，1）的直线交抛物线 于 A、B 两点（异于坐标原点 O） ，若，则该直线的方程为（ ）Ax+y30 B
22、2x+y50 C2xy+50 Dx 2y0【分析】讨论 k 是否存在，联立方程组，根据根与系数的关系，令 0 求出 k 的值即可得出直线 l 的方程【解答】解： ， 0，（1）若直线 l 无斜率，则直线 l 方程为 x2代入抛物线方程可得 A（2， ） ，B（2， ） ， 451，不符合题意（2）若直线 l 有斜率，设直线 l 方程为：yk（x 2）+1，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，联立方程组 ，消去 x 得：y 2 y+ 5 0，y 1y2 5消去 y 得：k 2x2+（2k4k 2 ）x+4k 24k +10，x 1x2 ， x 1x2+y1y2 + 50，解得 k2
23、或 k 第 14 页（共 28 页）若 k ，则直线 l 经过原点，不符合题意k2，直线 l 的方程为 y2（x2）+1，即 2x+y50故选：B【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题11 （5 分）已知函数 f（x ）（xm） 2+（ae x3m ） 2（m R）的最小值为 ，则正实数 a（ ）A3 B3e 2 C3e 2 D3 或 3e2【分析】可知（xm ） 2+（ae x3m ） 2 表示点 A（x，ae x）与点 B（m，3m）的距离的平方，点 A 在曲线 yae x 上，点 B 在曲线 y3x 上，设与 y3x 平行的直线与曲线 yae x 相切于点 P（
24、x 0， ） 点 A（x，ae x）与点B（m，3m）的距离的平方的最小值等于点 P（x 0， ）到直线 y3x 的距离即 ，可得得 x00，a3【解答】解：（xm ） 2+（ae x3m ） 2 表示点 A（x，ae x）与点 B（m，3m）的距离的平方，点 A 在曲线 y aex 上，点 B 在曲线 y3x 上，如图，可得 a0，设与 y3x 平行的直线与曲线 yae x 相切于点 P（x 0， ） yae x， ，点 A（x ，ae x）与点 B（m，3m ）的距离的平方的最小值等于点 P（x 0， ）到直线y3x 的距离 ， 结合得 x00，a3第 15 页（共 28 页）故选：A【点
25、评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题12 （5 分）某单位对一岗位面向社会公开招聘，若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高，则称甲不亚于乙在 18 位应聘者中，如果某应聘者不亚于其他 17 人，则称其为“优秀人才” 那么这 18 人中“优秀人才”数最多为（ ）A1 B2 C9 D18【分析】若要是优秀人才，则一门学科第一或两门学科都是第一，由此能求出这 18 人中“优秀人才”数最多的人数【解答】解：据题意知：若要是优秀人才，则一门学科第一或两门学科都是第一，这 18 人中“优秀人才”数最多为 2 人故选：B【点评】本题考查“优秀人才”数的求法，考查集合
26、中元素个数的确定等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）13 （5 分）设函数 ，若 f（2）4，则 f（2） 3 【分析】推导出 f（a）a 2 4，由 a0 且 a1，解得 a2，从而 f（x ），由此能求出 f（2） 【解答】解：函数 ，f（2）4，第 16 页（共 28 页）f（a）a 24，由 a0 且 a1，解得 a2，f（x） ，f（2）log 2（4+4）log 283故答案为：3【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题
27、14 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 ， 【分析】实数 x，y 满足 ，表示一个三角形区域（包含边界） ，三角形的三个顶点的坐标分别为 A（0，1） ，B（1，2） ，C （0，2） ，则 的几何意义是点（x，y）与 P（2，0）连线的斜率，由此可求结论【解答】解：实数 x，y 满足 ，表示一个三角形区域（包含边界） ，三角形的三个顶点的坐标分别为 A（2，3） ，B（1， ） ，C （1，2）则 的几何意义是点（x，y）与 P（2，0）连线的斜率，由于 PC 的斜率为 ，PB 的斜率为： ，所以 的取值范围为：， 故答案为： ， 第 17 页（共 28 页）【点评】本题
28、考查线性规划知识的运用，解题的关键是确定平面区域，明确目标函数的几何意义15 （5 分）在数列a n中，已知 a1a 22若 an+2 是 anan+1 的个位数字，则 a27 4 【分析】由已知得 a1a 22，a 34，依此类推可得数列的一个周期为 6，故a27a 34【解答】解：a n+2 等于 anan+1 的个位数字，a 1a 22，a 1a24，a 34，a 2a38，a 48，a 3a432，a 52，a 4a516，a 66，a 5a612，a 72，a 6a712，a 82，a 7a84，a 94，第 18 页（共 28 页）数列的一个周期为 6，a 27a 34，故答案为：
29、4【点评】本题考查注意数列的周期性质的合理运用，属于中档题16 （5 分）已知ABC 的内角分别为 A，B，C， ，且ABC 的内切圆面积 ，则 的最小值为 6 【分析】根据三角恒等变换求出 A60，设 B，C 到内切圆的切线长为 x，y，根据余弦定理和基本不等式求出 xy 的最小值，从而得出答案【解答】解： ，即 1 sinA，化简可得 cosA+ sinA1，cos 2A+ sin2A+ sinAcosA1，即 sin2A+cos2A1，2sin（2A+30 ）1，A60过内切圆的圆心向三边作垂线，垂直分别是 D，E，F，则 OD2 ，故而 OD1，于是 ADAE ，设 BFBD x，CE
30、CFy，则由余弦定理可得：cosA ，整理得：x+y （xy 1）2 ，解得 即 xy3 （x+ ）（y + ）cos60 xy+ （x+y）+32xy 6故答案为：6【点评】本题考查了三角恒等变换，平面向量的数量积运算，属于中档题第 19 页（共 28 页）三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知数列a n为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 （1）求a n的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 n 项和 Tn【分析】 （1）由题意由 ，得 即可求解a n的通项公式（2）根据数列a n为等比数列，求解 Sn，带入即可求解 bn的通项公式，可得数列的通项，从
31、而可以求解前 n 项和 Tn【解答】解：（1）由 ，得 当 n1 时，a 1S 1+1 a n是以 +1 为首项，4 为公比的等比数列 ， 当 n1 时， ，符合上式 （2）由（1）知 第 20 页（共 28 页）得： ， 【点评】本题主要考查数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 nN 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n1 等，这种办法通常称迭代或递推了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项求解参数错位相减法求解前 n 项和公式属于难题18 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民
32、对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） 通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分统计结果如下表示组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100频数 25 150 200 250 225 100 50（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（u，210） ，u 近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） ，请用正态分布的知识求 P（36Z79.50） ；（2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（
33、i）得分不低于 u 的可以获赠 2 次随机花费，得分低于 u 的可以获赠 1 次随机话费；（ ii）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：赠送的随机话费（单位：元） 20 40概率 0.75 0.25现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望附：参考数据与公式 14.5，若 XN（u， 2） ，则P（u Zu+）0.6827 ，P（u2 Zu+2） 0.9545，P（u3 Zu+3） 0.9973【分析】 （1）由题意计算平均值，根据 ZN（65，210）计算 P（36Z79.50）的值；第 21 页（共 28 页）（2）由题意知
34、X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）由题意计算平均值为35 0.025+450.15+550.20+650.25+750.225+850.1+950.050.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.7565，由于得分 Z 服从正态分布 N（65，210） ，且 14.5，所以 P（36Z79.50）P（65214.5Z65+14.5）0.9545 （0.95450.6827）0.8185；（2）设得分不低于 分的概率为 p，则 P（Z ）0.5 ，X 的取值为 20，40，60，80；计算 P（X 20）0.50.750.375，
35、P（X40）0.50.25+0.50.750.750.40625，P（X60）0.50.750.25+0.50.250.750.1875，P（X80）0.50.250.250.03125；所以 X 的分布列为：X 20 40 60 80 P 0.375 0.40625 0.1875 0.03125 所以 EX200.375+400.40625+600.1875+800.0312536【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题19 （12 分）如图，四棱锥 FABCD 中，底面 ABCD 为边长是
36、2 的正方形，E，G 分别是CD、AF 的中点，AF 4，FAEBAE，且二面角 FAEB 的大小为 90（1）求证：AEBG ；（2）求二面角 BAF E 的余弦值第 22 页（共 28 页）【分析】 （1）连接 BE，由已知可得，AEBE ，在ABE 中，由余弦定理可得cosBAE，结合FAEBAE，得 cosFAE，再由余弦定理求得 EF，根据二面角FAEB 的大小为 90，以 E 为坐标原点，以过 E 垂直 CD 的直线为 x 轴，以 EC 所在直线为 y 轴，以过 E 且垂直于底面的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，利用 可得 AEBG；（2）由（1）求得所用向量的
37、坐标，然后分别求出平面 EAF 与平面 BAF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角 BAFE 的余弦值【解答】 （1）证明：连接 BE，由已知可得，AEBE ，在ABE 中，由余弦定理可得，cos BAE FAE BAE，cos FAE ，在FAE 中，有 EF2AF 2+AE22AEAF cosFAE13 EF 二面角 FAE B 的大小为 90，以 E 为坐标原点，以过 E 垂直 CD 的直线为 x 轴，以 EC 所在直线为 y 轴，以过 E 且垂直于底面的直线为 z 轴建立空间直角坐标系则 A（2，1，0） ，E（0，0，0） ，B（2，1，0） ，F（ ， ， ） ，G（
38、 ， ， ） ，则 ， ， ，则 AEBG；（2）解：由（1）得 ， ， ，第 23 页（共 28 页）设平面 EAF 的一个法向量为 ，平面 BAF 的一个法向量为，由 ，取 x11，得 （1，2，0） ；由 ，取 ，得 cos 二面角 BAF E 为锐角，则其余弦值为 【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查二面角的平面间的求法，正确建系是解答该题的关键，是中档题20 （12 分）已知 F1、F 2 是椭圆 C： （ab0）的左、右焦点，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A、B 两点， F1B 与 y 轴交于点 D，AD F1B，且| OD|1，O 为坐标原点（1）求 C 的
39、方程；（2）设 P 为椭圆 C 上任一异于顶点的点， A1、A 2 为 C 的上、下顶点，直线 PA1、PA 2分别交 x 轴于点 M、N 若直线 OT 与过点 M、N 的圆切于点 T试问：|OT |是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由第 24 页（共 28 页）【分析】 （1）根据等边三角形的性质即可求出椭圆的方程（2）设 P（x 0，y 0） ，求出直线 PA1，PA 2 的方程：计算出|OM|ON| ，结合切割线定理得 OT 的长为定值 3【解答】解：（1）如图：AF 2x 轴，| OD|1，ABOD，O 为 F1F2 为的中点，D 为 BF1 的中点，ADF 1B，|AF
40、1| |AB| 2|AF2|4|OD|4，2a|AF 1|+|AF2|4+2 6，a3，|F 1F2| 2 ，c ，a3，b 2a 2c 26， + 1，（2）由（1）可知，A 1（0， ） ，A 2（0， ） 设点 P（x 0，y 0） ，直线 PA1：y x，令 y0，得 xM ；直线 PA2：y+ x，令 y0，得 xN ；|OM|ON| ， + 1，6y 02 x02，|OM| |ON|9由切割线定理得 OT2OMON9第 25 页（共 28 页）OT3，即线段 OT 的长度为定值 3【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应
41、用，难度较大，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）ln （x+a）x （a R） ，直线 l： 是曲线yf（x ）的一条切线（1）求 a 的值；（2）设函数 g（x）xe x2xf （xa）a+2，证明：函数 g（x）无零点【分析】 （1）求得 f（x ）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由切线的方程可得 a 的方程，解方程可得 a 的值；（2）求得 g（x）的导数，设出极值点，可得极小值，即为最小值，即可得证【解答】解：（1）函数 f（x）ln （x+a）x （a R）的导数为f（x） 1，设切点为（m，n） ，直线 l： 是曲线 yf（x）的一条切线，可得 1 ，ln（m+a）m
42、 m+ln3 ，解得 m2，a1；第 26 页（共 28 页）（2）证明：函数 g（x）xe x2xf （xa）a+2xe x2xf（ x1）2+2xe xxlnx，x 0，g（x）（x+1）e x1（x+1） （e x ） ，可设 ex 0 的根为 m，即有 em ，即有 mlnm ，当 xm 时，g（x）递增，0xm 时，g（x）递减，可得 xm 时，g（x）取得极小值，且为最小值，则 g（x）g（m ）me mm lnm1m+m1，可得 g（x）0 恒成立，则函数 g（x）无零点【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查函数的零点问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题选修
43、 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为 l 的倾斜角） ，曲线 E 的极坐标方程为 4sin ，射线 ， ， 与曲线 E分别交于不同于极点的 A，B，C 三点（1）求证： ；（2）当 时，直线 l 过 B，C 两点，求 y0 与 的值【分析】 （1）推导出|OA|4sin ， ， ，由此能证明 （2）当 时，求出 B 点的极坐标和 C 点的极坐标，从而得到，由此能求出 y0 与 的值第 27 页（共 28 页）【解答】证明：（1）曲线 E 的极坐标方
44、程为 4sin，射线 ， ， 与曲线 E 分别交于不同于极点的 A，B，C 三点，依题意，|OA|4sin ， ， ， 解：（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为 l 的倾斜角） ，当 时，B 点的极坐标为 ，C 点的极坐标为 ，直线 ，y 04， 【点评】本题考查线段和的证明，考查实数值和角的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|（1）若 x0R，使不等式 f（ x2）f（x3）u 成立，求满足条件的实数 u 的集合M；（2）已知 t 为集
45、合 M 中的最大正整数，若 a1，b1，c1，且（a1） （b1）（c1）t，求证： abc8【分析】 （1）求出 f（x 2）f（x3）的解析式，结合绝对值不等式的性质求出 u 的范围即可；（2）根据基本不等式的性质，分别求出 a，b，c 的范围，作积即可【解答】解：（1）由已知得 f（x 2）f（x3）|x 1|x2| ，则1f（x） 1，由于x 0R，使不等式| x1|x2| u 成立，所以 u1，第 28 页（共 28 页）即 M u|u1（2）由（1）知 t1，则（a 1） （b1） （c 1）t1因为 a1，b1，c1，所以 a10，b10，c10，则 ， （当且仅当 a2 时等号成立） ， （当且仅当 b2 时等号成立） ，（当且仅当 c2 时等号成立） ，则 （当且仅当 abc2 时等号成立） ，即 abc8【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题
