1、2019 年湖南省株洲市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知集合 M1，0，1，2，Nx|1x3，则 MN （ ）A 1，0，1，2，3 B 1，0，1 C1，2D 1，2，32 （3 分）i 为虚数单位，复数 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di3 （3 分）如图，在边长为 1 的正方形内有不规则图形 ，由电脑随机从正方形中抽取10000 个点，若落在图形 内和图形 外的豆子分别为 3335，6665，则图形 面积的估计值为（ ）A B C D4 （3 分）已知双曲线 C： 1 的一条
2、渐近线 l 的倾斜角为 ，且 C 的一个焦点到 l 的距离为 ，则双曲线 C 的方程为（ ）A 1 B 1C 1 Dx 25 （3 分）已知等差数列a n单调递增且满足 a1+a104，则 a8 的取值范围是（ ）A （2，4） B （，2） C （2，+） D （4，+）6 （3 分）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 CD 的中点，则的值为（ ）A1 B C D第 2 页（共 24 页）7 （3 分）已知命题 p：x 0，e xx+1，命题 q： x（ 0，+ ） ，lnx x，则下列命题正确的是（ ）Apq B （
3、p）q Cp（q） D （p）（q）8 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A96 B120 C144 D1809 （3 分）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便某高铁换乘站设有编号为， ， ， 的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 疏散乘客时间（s ）120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）A B C D10 （3 分）若函数 f（x ）cos （2x ）a（x0， ）恰有三个不同的零点x1，x 2，x 3，则 x1+x2
4、+x3 的取值范围是（ ）A ， ） B ， ） C （ ， D （ ， 11 （3 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1，ABAA 12，AD 1，正方形 CC1D1D 所在平面记为 ，若经过点 A 的直线 l 与长方体 ABCDA 1B1C1D1 所有的棱所成角相等，且lM，则线段 AM 的长为（ ）A B3 C D第 3 页（共 24 页）12 （3 分）设函数 f（x ） ，其中 a2，则满足 f（x）+f （x1）3 的 x 取值范围是（ ）A （1，+ ） B （ ，+） C （2，+） D （0，+）二、填空题（将答案填在答题纸上）1
5、3 （3 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 y2x 的最大值为 14 （3 分）在（1 ） （1+x） 5 的展开式中，x 2 项的系数为 （用数字作答） 15 （3 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 14，4S n a1+a2+an+1（n1） ，则an 16 （3 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF2 的延长线交椭圆 C 于点 D，若F 1BD 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率为 三、解答题（解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17如图，在四边形 ABCD 中，ADC ，AD3，sinBCD ，连接BD，3BD4BC （）求BDC 的值；（）若 BD ，AEB ，求ABE 的面积最大值18如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为边长为 2 的菱形，BAD ，PAPB，M为 AB 中点，连接 MD（）求证：平面 PCD平面 PMD；（）若平面 PAB平面 ABCD，且二面角 BAPD 的余弦值为 ，求四棱锥第 4 页（共 24 页）PABCD 的体积19已知抛物线 E：y 22px （ p0）经过点 A（1，2） ，过 A 作两条不同直线 l1，l 2，其中直线 l1，l 2 关于直线
7、 x1 对称（）求抛物线 E 的方程及准线方程；（）设直线 l1，l 2 分别交抛物线 E 于 B、C 两点（均不与 A 重合） ，若以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切，求直线 BC 的方程20从某公司生产线生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：（）求这 1000 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，其中近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2（i）利用该正态分布，求 P（175
8、.6Z 224.4） ；（ii）已知每件该产品的生产成本为 10 元，每件合格品（质量指标值Z（175.6，224.4）的定价为 16 元；若为次品（质量指标值 Z（175.6，224.4） ，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户 48 元若该公司卖出 100 件这种产品，记 Y 表示这件产品的利润，求 E（Y） 附： 12.2若 ZN （， 2） ，则 P（Z +）0.68，P（ 2Z +2）0.95第 5 页（共 24 页）21设函数 f（x ）e x（ax+2） ，g（x）x 2+4x+2（）讨论 yf（x）的极值；（）若曲线 yf（x）和曲线 yg（x）在点 P（0，2）处有相同的切线
9、，且当x2 时，mf（x ）g（x ） ，求 m 的取值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，现以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）设 P，Q 是圆 C 上的两个动点，且POQ ，求 |OP|+|OQ|的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |+|x1|，a R（）若 a2，解不等式 f（x ）5；（）当 a2 时，函数 f（x）的最小值为 3，求实数 a 的值第 6 页（共 24 页）2019 年湖南省株洲市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、
10、选择题：本在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）已知集合 M1，0，1，2，Nx|1x3，则 MN （ ）A 1，0，1，2，3 B 1，0，1 C1，2D 1，2，3【分析】进行交集的运算即可【解答】解：M1，0，1，2，Nx|1x3；MN1 ， 2故选：C【点评】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算2 （3 分）i 为虚数单位，复数 的虚部是（ ）A1 B1 Ci Di【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，复数 的虚部是 1故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （3
11、分）如图，在边长为 1 的正方形内有不规则图形 ，由电脑随机从正方形中抽取10000 个点，若落在图形 内和图形 外的豆子分别为 3335，6665，则图形 面积的估计值为（ ）A B C D【分析】根据几何槪型的概率公式进行估计即可得到结论【解答】解：设图形 的面积为 S，因为由电脑随机从正方形中抽取 10000 个点，落在 图形内和图形 外的豆子分别第 7 页（共 24 页）3335，6665，所以 ，故选：A【点评】本题主要考查几何槪型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础4 （3 分）已知双曲线 C： 1 的一条渐近线 l 的倾斜角为 ，且 C 的一个焦点到
12、 l 的距离为 ，则双曲线 C 的方程为（ ）A 1 B 1C 1 Dx 2【分析】根据条件列方程组求出 a，b 即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为 y x，焦点坐标为（c，0） ， ，解得 b ，a1双曲线的方程为：x 2 1故选：D【点评】本题考查了双曲线的定义与简单性质，属于中档题5 （3 分）已知等差数列a n单调递增且满足 a1+a104，则 a8 的取值范围是（ ）A （2，4） B （，2） C （2，+） D （4，+）【分析】利用 a1+a104，可得 a12 ，表示出 a8，即可求 a8 的取值范围【解答】解：设公差为 d，则a 1+a104，2a
13、 1+9d4，a 12 ，第 8 页（共 24 页）a 8a 1+7d2+ d，d0，a 82+ d2故选：C【点评】正确利用等差数列的通项公式是解题的关键6 （3 分）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BAD60，E 为 CD 的中点，则的值为（ ）A1 B C D【分析】将 表示为 + ，再利用向量的运算法则，两个向量的数量积的定义求解【解答】解：在菱形 ABCD 中，BAD60，ABD 为正三角形，由 60，可得 18060120 （ + ） + 22cos60+12cos120211，故选：A【点评】本题考查向量的数量积运算关键是将 表示为 + 易错点在
14、于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错本题还可以以 ， 为基底，进行转化计算，属于中档题7 （3 分）已知命题 p：x 0，e xx+1，命题 q： x（ 0，+ ） ，lnx x，则下列命题正确的是（ ）Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q）【分析】利用导数和函数零点分别判断命题 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：令 f（x ）e xx1，则 f（x ）e x1，当 x0 时，f （x）0，所以 f（x ）在（0，+） 单调递增，f（x）f（0）第 9 页（共 24 页）0，x0， exx+1 ，p 真；令 g（x）lnxx ，g（
15、x） 1 ，当 0x1 时，g（x ）0，当 x1 时，g（x）0，即当 x1 时，g（x）取得极大值，同时也是最大值 g（1）10，所以 g（x）0 在（0，+） 恒成立，则 q 为假命题；则 p（q）为真命题，故选：C【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，构造函数利用导数研究函数最值是解决本题的关键8 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）A96 B120 C144 D180【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧
16、视图为底面的柱体，柱体的底面由一个边长为 4 的正方形和一个底边长为 4，高为 2 的三角形组成，故柱体的底面面积 S44+ 2420，柱体的高即为三视图的长，即 h6故柱体的体积 VSh120，故选：B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，难度不大，属于基础题9 （3 分）高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便某高铁换乘站第 10 页（共 24 页）设有编号为， ， 的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的
17、时间如下：安全出口编号 疏散乘客时间（s ）120 220 160 140 200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）A B C D【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解【解答】解：设某高铁换乘站设有编号为， ， ，的五个安全出口疏散乘客时间分别为 a、b、c、d、e，则 a+b120，b+ c220，c+d160，d+e140，a+e200，解得：a60，b60，c160，d0，e140，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是，故选：C【点评】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题10 （3 分）若函数 f（x ）cos （2x ）a（x0， ）恰有三个不同
18、的零点x1，x 2，x 3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（ ）A ， ） B ， ） C （ ， D （ ， 【分析】先作出 yg（t）的图象，再结合三角函数图象的性质及函数的零点与函数图象交点的关系观察图象即可得解【解答】解：设 t2x ，第 11 页（共 24 页）因为 x0， ，所以 t ，2，则 g（t）cost，t ，2 ，函数 f（x）cos（2x ） a（x0， ）恰有三个不同的零点 x1，x 2，x 3 等价于 yg（t）与直线 ya 有三个不同的交点，由图可知：t 2+t32 ，t 1 ，0） ，即 2x2 +2x3 2 ，2x 1 ，0） ，即 x2+x
19、3 ，x 10， ） ，所以 x1+x2+x3 ， ） ，故选：A【点评】本题考查了三角函数图象的性质及函数的零点与函数图象交点的关系，属中档题11 （3 分）已知长方体 ABCDA 1B1C1D1，ABAA 12，AD 1，正方形 CC1D1D 所在平面记为 ，若经过点 A 的直线 l 与长方体 ABCDA 1B1C1D1 所有的棱所成角相等，且lM，则线段 AM 的长为（ ）A B3 C D【分析】建立坐标系，设 M（ 0，x，y） ，令|cos |cos | |cos ， |即可求出 M 的坐标满足的条件，从而可得 AM 的长【解答】解：以 D 为原点建立空间坐标系 Dxyz
20、，如图所示，则 （1，0，0） ， （0，2，0） ， （0，0，2） ，设 M（0，x，y） ，则 （1，x，y ） ，cos ，cos ，cos ， ，点 A 的直线 l 与长方体 ABCDA 1B1C1D1 所有的棱所成角相等，第 12 页（共 24 页）|x |y|1，AM 故选：D【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，向量是解决空间角的常用工具，属于中档题12 （3 分）设函数 f（x ） ，其中 a2，则满足 f（x）+f （x1）3 的 x 取值范围是（ ）A （1，+ ） B （ ，+） C （2，+） D （0，+）【分析】若 a2，讨论 xa，xa，若 x1
21、a，a 1x1a；结合分段函数解析式，以及函数的单调性和不等式的解法，即可得到不等式成立时 x 的取值范围【解答】解：函数 f（x ） ，其中 a2，若 xa2，则 x1a13，f（x）的导数为 f（x ） 3x2+33（x+1） （x1）0，可得 f（x）f（2）2，f （x1）f（3）27918，即有 f（x）+f（x 1）20，不符题意；则 xa，若 x1a，f（x）+f （x1）3，即为xx+1 3，解得 x 1；若 a1x1a，f（x）+f（x 1）3，即为x（x1） 3+3（x 1）3，第 13 页（共 24 页）化为 x33x 2+x+50，由于 a2，且 axa+1，可得 g（
22、x）x 33x 2+x+5 的导数 g（x）3x 26x+10，即 g（x）在a，a+1 ）递增， g（a）取得最小值，且为 a33a 2+a+5，且 a33a 2+a+5，而在 a2 时，a 33a 2+a+5 递增，且为负值，不符题意综上可得 x 的范围是（1，+） 故选：A【点评】本题考查了分段函数的运用问题，也考查了解不等式与分类讨论思想，以及导数的应用问题，是难题二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）已知实数 x，y 满足条件 ，则 y2x 的最大值为 2 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可【解答】解：实数 x，y 满足条件 的可行域如图：设
23、 zy 2x，则 y2x+ z，当 y2x+z 经过可行域的 A（0，2）时，目标函数取得最大值：2故答案为：2【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力14 （3 分）在（1 ） （1+x） 5 的展开式中，x 2 项的系数为 0 （用数字作答） 第 14 页（共 24 页）【分析】把（1+x） 5 按照二项式定理展开，可得（1 ） （1+x） 5 的展开式中，x 2 项的系数【解答】解：（1 ） （1+x） 5（1 ） （1+5x+10x 2+10x3+5x4+x5） ，故 x2 项的系数为 10100，故答案为：0【点评】本题主要考查二项式定理的应
24、用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题15 （3 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 14，4S n a1+a2+an+1（n1） ，则an 【分析】根据数列的递推公式可得 4，由于当 n1 时，4S 1a 1+a2，可得34，故数列a n从第二项开始，以 12 为首项，以 4 为公比的等比数列，即可求出通项公式【解答】解：4S na 1+a2+an+1（n1） ，4S n1 a 1+a2+an（n 2） ，两式相减可得 4ana n+1，即 4，当 n1 时，4S 1a 1+a2，a 23a 112， 34，数列a n从第二项开始，以 12 为首项，
25、以 4 为公比的等比数列，a n124 n2 34 n1 ，n2，综上所述 an ，第 15 页（共 24 页）故答案为： 【点评】本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题16 （3 分）已知 F1，F 2 是椭圆 C： + 1（ab0）的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF2 的延长线交椭圆 C 于点 D，若F 1BD 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率为 【分析】过 D 作 x 轴的垂线 DM，根据等腰三角形和椭圆性质可得 DF2 ，利用三角形相似可求出 D 点坐标，代入椭圆方程即可求出椭圆离心率【解答】解：BF 1+B
26、F22a，DF 1+DF22a，BD+ DF1+BF14a，F 1BD 是等腰三角形， BF1BF 2a，DF 2BD BF 2 a，不妨设 B 在 x 轴上方，作 DMx 轴于 M，则 ，MF 2 c，DM b，即 D（ ， b） 代入椭圆方程可得 + 1，故 ，解得 e 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的性质，离心率计算，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第 16 页（共 24 页）17如图，在四边形 ABCD 中，ADC ，AD3，sinBCD ，连接BD，3BD4BC （）求BDC 的值；（）若 BD ，AEB ，求ABE 的面积最大值【分析】 （）在B
27、CD 中，由正弦定理可得 sinBDC ，再结合边的大小关系可得BDC ；（）在ABD 中，由勾股定理得 AB2 ，然后在ABE 中，由余弦定理得AEBE12，最后根据三角形的面积公式可得所求最大值【解答】解：（）在BCD 中，由正弦定理得 ，sinBDC 3BD4BC，BDBC，BDC 为锐角，BDC （）在ABD 中，AD 3，BD ，ADB ，AB 2 在ABE 中，由余弦定理得 AB2AE 2+BE22AEBE cos ，12AE 2+BE2AE BE2 AEBEAEBEAE BE，当且仅当 AEBE 时等号成立，AEBE12，S ABE AEBEsin 3 ，即ABE 面积的最大值为
28、 3 【点评】正余弦定理常与三角形的面积结合在一起考查，其中考查三角形面积最值是热第 17 页（共 24 页）点题型，此时往往需要用基本不等式求解，解题时要注意等号成立的条件，属于中档题18如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为边长为 2 的菱形，BAD ，PAPB，M为 AB 中点，连接 MD（）求证：平面 PCD平面 PMD；（）若平面 PAB平面 ABCD，且二面角 BAPD 的余弦值为 ，求四棱锥PABCD 的体积【分析】 （）连接 BD，在菱形 ABCD 中可得 DMAB ，又 PMAB，进而可得 AB平面 PMD，于是得到 CD平面 PMD，所以可得结论成立（）建立空间直角坐标系，
29、设 PMa，求出平面 ABP 和平面 ADP 的法向量，根据二面角 BAPD 的余弦值为 ，列方程得出 a ，即 PM ，然后根据椎体的体积公式求解即可【解答】 （）证明：连接 BD，菱形 ABCD 中，BAD ，ABD 为等边三角形，又 M 为 BC 中点，DM ABPAPB，PM AB ，又 DM PMM，AB平面 PMD，又 ABCD，CD平面 PMD，又 CD平面 PCD，平面 PCD平面 PMD（）解：平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，PMAB，PM平面 PAB，PM平面 ABCD，第 18 页（共 24 页）以 M 为原点，MB，MD，MP 所在直线分别为
30、 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Mxyz，设 PMa，则 P（0，0，a） ，A（1，0，0） ，D （0， ，0） ， （1， ，0） ， （1，0，a） ，设平面 ADP 的一个法向量为 （x，y ，z） ，则 ，即 ，令 z ，可地 （ a，a， ） ，又 （0，1，0）为平面 PAB 的法向量，由题意得 cos ，解得 a ，即 PM ，又菱形 ABCD 的面积为 ABDM2 ，四棱锥 PABCD 的体积为 V 2【点评】空间向量的引入，为解决立体几何中的角度问题提供了工具，可将几何问题转化为数的运算的问题处理，但解题中需要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要
31、再转化为几何问题，属于中档题19已知抛物线 E：y 22px （ p0）经过点 A（1，2） ，过 A 作两条不同直线 l1，l 2，其中直线 l1，l 2 关于直线 x1 对称（）求抛物线 E 的方程及准线方程；（）设直线 l1，l 2 分别交抛物线 E 于 B、C 两点（均不与 A 重合） ，若以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切，求直线 BC 的方程【分析】 （）将点 A（1，2）坐标代入曲线方程求出 p2，于是可得曲线方程（）由题意设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立消元后根据根与系数的关系求出第 19 页（共 24 页）点 B 的坐标，同理得到点 C 的坐标，然后根据
32、以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切可求得点 B，C 中的参数，进而可得所求方程【解答】解：（）抛物线 E 过点 A（1，2） ，2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24x ，准线方程为 x1（）不妨设 B 在 C 的左边，从而可设直线 AB 的方程为 x1m（y2） （m 0） ，即xmy2m+1，联立抛物线方程，消去 x 整理得 y24my+8m40则 2+yB4m ，故 yB4m2，x B4m 24m+1 ，点 B（4m 24m+1，4m2 ） 又由条件得 AB 与 AC 的倾斜角互补，以m 代替点 B 坐标中的 m，可得点 C（4m 2+4m+1，4m 2） |BC |
33、8 m，且 BC 中点的横坐标为 1+4m 2，以线段 BC 为直径的圆与抛物线 E 的准线相切，4m 2+1+1 4 m，解得 mB（32 ，2 2） ，C（3+2 ，2 2） ，k BC1，直线 BC 的方程为 y（2 2）（x3+2 ） ，即 x+y10【点评】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求” 、 “整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及考查计算能力，属于中档题20从某公司生产线生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
34、（）求这 1000 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（ ， 2） ，其中第 20 页（共 24 页）近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2（i）利用该正态分布，求 P（175.6Z 224.4） ；（ii）已知每件该产品的生产成本为 10 元，每件合格品（质量指标值Z（175.6，224.4）的定价为 16 元；若为次品（质量指标值 Z（175.6，224.4） ，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户 48 元若该公司卖出 100 件这种产品，记 Y 表示这件产品的
35、利润，求 E（Y） 附： 12.2若 ZN （， 2） ，则 P（Z +）0.68，P（ 2Z +2）0.95【分析】 （）根据图中的数据及平均数、方差的定义可得所求（） （i）根据正态分布中特殊区间上的概率求解；（ ii）先由正态分布得到 EX95，然后再根据均值的线性性质求解即可【解答】解（）由题意得1700.02+1800.09+1900.22+200 0.33+2100.24+2200.08+2300.02200s2（170200） 20.02+（180200） 20.09+（190200） 20.22+（200200）20.33+（210200） 20.24+（220200） 20.
36、08+（230200） 20.02150，即样本平均数为 200，样本方差为 150（） （i）由（）可知，200， 12.2，ZN（200，12.2 2） ，P（175.6Z224.4）P（2 +）0.95，（ii）设 X 表示 100 件产品的正品数，由题意得XB（100，0.95）EX 1000.9595，EY16EX 48510010280第 21 页（共 24 页）【点评】本题考查频率分布直方图的应用及利用正态分布求特殊区间上的概率，考查应用数学知识解决问题的能力和计算能力，解答本题的关键是读懂题意，并从中得到解题需要的数据，属于中档题21设函数 f（x ）e x（ax+2） ，g（
37、x）x 2+4x+2（）讨论 yf（x）的极值；（）若曲线 yf（x）和曲线 yg（x）在点 P（0，2）处有相同的切线，且当x2 时，mf（x ）g（x ） ，求 m 的取值范围【分析】 （）求出导函数，然后根据参数 a 的取值判断出函数的单调性，进而得到极值（）由两曲线的切线相同得 a2，设 F（x）mf（x ）g（x）me x（2x+2）（x 2+4x+2） ，根据 F（0）2m 20，解得 m1然后由 F（x）0，解得x1lnm，x 22再根据两根的大小对函数 F（x）的单调性进行分类讨论，通过分析是否满足题意可得所求参数的范围【解答】解：（）f（x ）e x（ax+2） ，f（x）e
38、 x（ax+ a+2） 当 a 0 时， f（x ） 2ex0 恒成立，f （x）在 R 上单调递增，无极值当 a 0 时，由 f（x ） 0，解得 x ，可得函数 f（x）在（ ， ）上单调递减；函数 f（x）在（ ，+）上单调递增所以当 x 时，f（x）有极小值，且 f（ ）a ，无极大值当 a 0 时，由 f（x ） 0，解得 x ，第 22 页（共 24 页）可得函数 f（x）在（ ， ）上单调递增；函数 f（x）在（ ，+）上单调递减所以当 x 时，f（x）有极大值，且 f（ ）a ，无极小值综上所述：当 a0 时，f（x）在 R 上无极值当 a0 时，f（x ）有极小值，且 f（
39、）a ，无极大值当 a 0 时，由 f（x ） 0，解得 x ，f（x）有极大值，且 f（ ）a ，无极小值（）由题意得：g（x）2x+4，曲线 yf（x）和曲线 yg（x）在点 P（0，2）处有相同的切线，f（0）g（0） ，即 a+24，解得 a2，f（x）e x（ 2x+2） 令 F（x ）mf （x ）g（x）me x（2x+2）（x 2+4x+2） ，则 F（x） mex（2x+4）（2x+4）（me x1） （2x +4） ，由题意可得 F（0）2m2 0，解得 m1由 F（x） 0，解得 x1 lnm，x 22当 lnm 2，即 1me 2 时，则2x 10，当 x（2， x1）
40、时，F（x）0，F（x ）单调递减；当 x（x 1，+）时，F（x ）0， F（x ）单调递增F（x ）在（ 2，+ ）上的最小值为 F（x 1）2x 1+2 4x 12x 1（x 1+2）0mf（x）g（x ） ，恒成立当 lnm 2，即 me 2 时，则 F（x ）（e x+21） （2x+4） ，当 x2 时，F （x ） 0，函数 F（x）在（2，+ ）上单调递增，又 F（2）0，当 x2 时，F （x ）0，即 mf（x）g（x） ，恒成立当 lnm 2，即 me 2 时，则 F（2）2me 2 +22e 2 （me 2）0第 23 页（共 24 页）从而当 x2 时，F （x ）
41、0，即 mf（x）g（x）不可能恒成立综上所述 m 的取值范围为1，e 2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，现以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）设 P，Q 是圆 C 上的两个动点，且POQ ，求 |OP|+|OQ|的最大值【分析】 （）先由参数方程写出直角坐标方程，再由 x cos，y sin即可得到圆的极坐标方程；（）先根据POQ 设
42、出 P，Q 的极坐标，再对|OP |+|PQ|化为辅助角的形式，求出 的范围进而求出 |OP|+|OQ|的最大值【解答】解（）圆 C 直角坐标方程为（ x1） 2+y21，x 2+y22x0C： 22cos 0，2cos P（ 1，） ，Q （ 2， ）|OP| 12cos，|OQ| 22cos （+ ） ，|OP|+|OQ|2cos +2cos（+ ）3cos sin2 cos（ + ） ， 时， |OP|+|OQ|取得最大值 2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x a |+|x1|，a R（）若 a2，解不等式
43、 f（x ）5；（）当 a2 时，函数 f（x）的最小值为 3，求实数 a 的值【分析】 （）a2 时，f（ x）|2x+2|+|x+1|，f （x）的两个零点分别为1 和 1，通第 24 页（共 24 页）过零点分段法分别讨论 x1，1x1，x 1，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（）法一：a2 时， 1，化简 f（x）为分段函数，根据函数的单调性求出 f（x）在 x 处取最小值 3，进而求出 a 值法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f（x）最小值，进而求 a【解答】解（） a2 时，不等式为|2x +2|+|x1|5当 x1 时，不等式化为2x2x+15，x2，此时2x1当 1x1 时，不等式化为 2x+2x+15，x2 时，1x1；当 x1 时，不等式化为 2x+2+x15，x ，此时 1综上所述，不等式的解集为x|2 （）法一：函数 f（x ）|2xa|+| x1|，当 a2，即 1 时，f（x）所以 f（x） minf（ ） +13，得 a42（符合题意） ，故 a4法二：f（x） |2xa|+|x1| x |+|x |+|x1| |x |+|x1| （x ）（x1）| 1|所以 f（x） min| 1|3，又 a2，所以 a4【点评】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想属中档题
