1、推理与证明跟踪知识梳理考纲解读：1结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2通过具体实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考点梳理：来源:Z.xx.k.Com1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、 比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理数学中常见的合情推理有：归纳推理 与类比推理(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推
2、出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实的正确结论 (包括 定义、公理、定理等) ，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过 程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的
3、判断核心能力必练一、选择题1在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为（ ）A甲丙丁戊乙 B甲丁丙乙戊C甲乙丙丁戊 D甲丙戊乙丁2类比平面内正三角形的“ 三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条
4、棱的夹角都相等.A B C. D3甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A 甲 B乙 C丙 D不确定4有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，若 ，则 是函数()fx0()f0x的极值点，因为 在 处的导数值为 0，所以 是 的极值()fx()fx30 3()f点，以上推理是（ ）A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确5中国有个名句“ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子算经 中记载的算筹，古代是用算筹
5、来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是 ，则 9117 用算筹可表示为（ ）A B C D6 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式LhV它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率
6、 近似取为 3.那么近似公式21.36vLh 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）75A. B. C. D.25815703517 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图 1 中 的1， 3，6，10，这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的1， 4，9，16这样的数称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）来源:A.289 B.1024 C.1225 D.13788已知三角形的三边分别为 ，内切圆的半径为 ，则三角形的面积为,abcr；四面体的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 类比12sabcr1234,sR三角形的
7、面积可得四面体的体积为（ ）A. B.1234VssR1234VssC. D.4 R9一位同学画出如下若干个圈：如果依此规律继续画下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的 的个数是（ ）A12 B13 C14 D1510为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文 a2 b,2bc,2c3d,4 d，例如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.则当接收方收到密文 14,9,23,28 时，解密得到的明文为（ ）A6,4, 1,7 B7,6,1,4 C4,6,1,7 D1,6,4,71
8、1将 1、 、 、 按如图所示的方式排列，若规定 表示第 排从左往右第236,mn个数，则 表示的数是（ ）n7,5A1 B C D23612观察下列各式： ，则21,ab4,7,ab51,ab（ ）10abA28 B76 C123 D19913设函数 ，观察： ,)0(2)(xf 2)(1xfxf， ,43)(12xf 3f2()78xf， ，由归纳推理可得当 N*且 时， 65)(34xf nn( )1(nfxA B 2nx21C Dnnx)1(n)(14有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“ 是乙或丙获奖 ”乙说：“ 甲、丙都未获奖 ”丙说：“我
9、获奖了 ”丁说：“ 是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁15在 平面几何中有如下结论：正三角形 AB的内切圆面积为 ，外接圆面积为 ，则1S2S124S，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 PABC的内切球体积为 ，1V外接球体积为 ，则 12V=（ ）A 18 B 9 C 164 D 12716在平面几何里有射影定理：设三角形 的两边 ， 是 点在 上的ABACBC射影，则 拓展到空间，在四面体 中， 平面 ，点D2 是 在面 内的射影，且 在 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结OCOD论是（ ）A BBCDOBCSS2 BDCOA
10、DSS2C DD AC17如图所示，把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，第 9 个三角形数是 ( )A44 B45 C46 D4718如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边Si()1,234ia=形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则Pi()1,234ih=12k类比以上性质，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为12342hhk+=Vi，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，若(),iSQi()1,234iH=，则 （ ）3124SK=1234H+A B C D2VK2VK3VK3VK二、填空题19有
11、三张卡片，分别写有 和 , 和 ， 和 ，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看123了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_20 ，计算 ，*123fnnN352 42 8 163ffff， ， ，推测当 时，有 73f21高三（1）班某一学习小组的 、 、 、 四位同学周五下午参加学校的课外活动，ABCD在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步. 不在散步，也不在打篮球； 不在跳舞，也不在散步；“ 在散步” 是“ 在跳舞”A
12、CA的充分条件； 不在打篮球，也不在散步； 不在跳舞，也不在打篮球.D以上命题都是真命题，那么 在 .22若 为 的各位数字之和，如 ，1+9+7=17，则nf2*1N21497；记 ，则7142, ,kkffnfnffnN.208f23把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到在的顺序排成一列，得到一个数列 ，若 ，则 _na2017nn24如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：的横、纵坐标分别对应数列 的前 12 项126,AxyAxy *Nna（横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项
13、） ，如下表所示：来源:1a23a45a67a891012ax1yx2y3xy4xy5xy6xy按如此规律下去，则 _， _152016推理与证明跟踪知识梳理考纲解读：1结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2通过具体实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考点梳理：1合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理当前提为真时，结论可
14、能为真的推理叫合情推理数学中常见的合情推理有：归纳推理与类比推理(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实的正确结论 (包括定义、公理、定理等) ，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)演绎推理的
15、一般模式“三段论”大前提已知的一般性的原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断核心能力必练一、选择题1在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语则这五位代表的座位顺序应为（ ）A甲丙丁戊乙 B甲丁丙乙戊C甲乙丙丁戊 D甲丙戊乙丁【答案】D2类比平面内正三角形的“ 三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质？你认为比较恰当的是（ ）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角
16、都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A B C. D 【答案】D【解析】 各侧面都是全等的正三角形， 三个结论都正确，故选 D.3甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A甲 B乙 C丙 D不确定【答案】B【解析】如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，那么乙丙说的是真话，乙是满分故选 B4有一
17、段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，若 ，则 是函数()fx0()f0x的极值 点，因为 在 处的导数值为 0，所以 是 的极值()fx()fx30 3()f点，以上推理是（ ）A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确【答案】A【解析】大前提是“对于可导函数 ，若 ，则 是函数 的极值点”，()fx0()f0x()fx不是真命题，因为对于可导函数 ，如果 ，且满足当 时和当0时的导函数值异号，那么 是函数 的极值点，所以大前提错误故选 A 0x0x()fx5中国有个名句“ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将
18、几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是 ，则 9117 用算筹可表示为（ ）A B C D【答案】A6 算数书竹 简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式LhV它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取
19、为 3.那么近似公式21.36vLh 相当于将圆 锥体积公式中的 近似取为（ ）75A. B. C. D.2581570351【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，则 ，rh2Lr 2215,.3758rhrh7 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1 中的1， 3，6，10，这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的1， 4，9，16这样的数称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C8已知三角形的三边分别为 ，内切圆的半径为 ，则三角形的面积为,abc
20、r；四面体的四个面的面积分别为 ，内切球的半径为 类比12sabcr1234,sR三角形的面积可得 四面体的体积为（ ）A. B.1234VssR1234VssC. D.4 R【答案】B【解析】设四面体的内切球的球心为 ，则球心 到四个面的距离都是 ，所以四面体的O体积等于以 为顶点，分别以四个面为底面的 个三棱锥体积的和类比三角形的面积可O4得四面体的体积为 故选 B.123()VssR9一位同学画出如下若干个圈：如果依此规律继续画下去，得到一系列的圈，那么在前 120 个圈中的 的个数是（ ）A12 B13 C14 D15【答案】D【解析】由题意可得 ，为首项为 2，公差为 1 的等差数列
21、，123,4,aa，当 时， ；当21()(1)ndnS n449S时， .550前 120 个圈中的有 个，故选 D10为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密） ，接收方由密文明文（解密） ，已知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文 a2 b,2bc,2c3d,4 d，例如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.则当接收方收到密文 14,9,23,28 时，解密得到的明文为（ ）A6,4, 1,7 B7,6,1,4 C4,6,1,7 D1,6,4,7【答案】A【解析】依题意，得 解得 明文为 6，4，1，7. 214,93,8abcd,1,7abc11将
22、1、 、 、 按如图所示的方式排列，若规定 表示第 排从左往右第26,mn个数，则 表示的数是（ ）n7,5A1 B C D236【答案】B12观察下列各式： ，则21,3,ab34,7,ab51,ab（ ）10abA28 B76 C123 D199来源:【答案】C 来源:Z*xx*k.Com【解析】观察可得各式的值构成数列 1，3 ，4，7 ，11 ，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1， 3，4，7，11，18，29 ，47，76，123 ，第十项为 123，即 .1023ab13设函数 ，观察： ,)0(2)(xf 2)(1xfxf， ,
23、43)(12xf 3f2()78xf， ，由归纳推理可得当 N*且 时， 65)(34xf nn( )1(nfxA B 2nx21C Dnnx)1(n)(【答案】C【解析】观察可得，所给的函数式的分子不变都是 x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是 1，3，7 ，15， ，第二部分的数分别是21n2， 4，8，16， ， .2n12nnnfxfxx14有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手 ，甲说：“ 是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“ 是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A甲 B乙 C丙
24、D丁【答案】C15在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC的内切圆面积为 ，外接圆面积为 ，则1S2S124S，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 PABC的内切球体积为 ，1V外接球体积为 ，则 12V=（ ）A 18 B 9 C 164 D 127【答案】D【解析】平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径比为 12 ，则它们的面积的比为1 4，类似地，在空间内，正四面体的内切球与外接球的半径比为 13，则体积比为 1 27.16在平面几何里有射影定理：设三角形 的两边 ， 是 点在 上的ABCADBC射影，则 拓展到空间，在四面体 中， 平面 ，点BCDA2 是 在面 内的射影，且
25、在 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结OOD论是（ ）A BBCDOBCSS2 BDCOADSS2C DBDCOADSS2 ABCDBCSS2【答案】 A17如图所示，把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，第 9 个三角形数是 ( )A44 B45 C46 D47 【答案】B【解析】l 是第 1 个三角形数；3 是第 2 个三角形数，3=1+2 ；6 是第 3 个三角形数，6=1+2+3；10 是第 4 个三角形数，10=1+2+3+4；15 是第 5 个三角形数，15=1+2+3+4+5 ；那么，第 9 个三角形数是 l+2+3
26、+4+5+6+7+8+9=45.18如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的 边长记为 ，此四边Si()1,234ia=形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则Pi()1,234ih=12k类比以上性质，体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为12342hhk+=Vi，此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ，若(),iSQi()1,234iH=，则 （ ）3124SK=1234H+A B C D2VK2VK3VK3VK【答案】D【解析】由题设中提供的信息及类比推理的思维模式可知 D 是正确的，故选 D. 二、填空题19有三张卡片，分别写有 和 , 和 ， 和 ，甲，乙，丙三人各取走一张卡
27、片，甲看123了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_【答案】 和1320 ，计算 ，*123fnnN352 42 8 163ffff， ， ，推测当 时，有 73f【答案】 ()nf【解析】因为 所以 .234456,(),(2),ff2()nf21高三（1）班某一学习小组的 、 、 、 四位同学周五下午参加学校的课外活动，ABCD在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步. 不在散步，也不在打篮球； 不在跳舞，也不在散步；“
28、 在散步” 是“ 在跳舞”A CA的充分条件； 不在打篮球，也不在散步； 不在跳舞，也不在打篮球.D以上命题都是真命题，那么 在 .【答案】画画【解析】由题意得，画出此表：篮球 画画 跳舞 散步AABBC CDD可得 在画画.22若 为 的各位数字之和，如 ，1+9+7=17，则nf2*1N21497；记 ，则714f 2, ,kkffnfnffnN.208【答案】11来23把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到在的顺序排成一列，得到一个数列 ，若 ，则 _na2017nn【答案】 103【解析】分析
29、题图乙，可得第 行有 个数，则前 行共有 个数，第 行最kk12（ ） k后的一个数为 ，从第三行开始，每一行的数，从左到右都是公差为 的等差数列，因2k为 ， ，所以 ，则 出现在第 行，第1936420542240174501745行第一个数为 ，这行中第 个数为 ，前 行519372932共有 个数，则 为第 个数故答案为 3124如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：的横、纵坐标分别对应数列 的前 12 项126,AxyAxy *Nna（横坐标 为奇数项，纵坐标为偶数项） ，如下表所示：1a23a45a67a891012axyx2y3xy4xy5xy6xy按如此规律下去，则 _， _152016【答案】 ；408
