1、2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）1 （3 分）9 的相反数是（ ）A9 B C9 D2 （3 分）下列运算一定正确的是（ ）A2a+2a2a 2 Ba 2a3a 6C （2a 2） 36a 6 D （a+b） （ ab）a 2b 23 （3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D4 （3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）A BC D5 （3 分）如图，PA、PB 分别与 O 相切于 A、B 两点，点 C 为 O 上一点，连接AC、BC，若
2、P50，则 ACB 的度数为（ ）第 2 页（共 31 页）A60 B75 C70 D656 （3 分）将抛物线 y2x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay2（x+2） 2+3 By2（x2） 2+3Cy 2（x 2） 23 Dy2（x+2） 237 （3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次降价的百分率为（ ）A20% B40% C18% D36%8 （3 分）方程 的解为（ ）Ax Bx Cx Dx 9 （3 分）点（1，4）在反比例函数 y 的
3、图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A （4，1） B （ ，1） C （4，1） D （ ，2）10 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM AD，交 AB 于点M，EN AB ，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是（ ）A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）11 （3 分）将数 6260000 用科学记数法表示为 12 （3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）把多项式 a36a 2b+9ab2 分解因式的结果是
4、 第 3 页（共 31 页）14 （3 分）不等式组 的解集是 15 （3 分）二次函数 y（x6） 2+8 的最大值是 16 （3 分）如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC ，其中点 A与 A 是对应点，点 B与 B 是对应点，点 B落在边 AC 上，连接 AB，若ACB45，AC3，BC2，则 AB 的长为 17 （3 分）一个扇形的弧长是 11cm，半径是 18cm，则此扇形的圆心角是 度18 （3 分）在ABC 中，A50，B30，点 D
5、在 AB 边上，连接 CD，若ACD为直角三角形，则BCD 的度数为 度19 （3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 20 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD、CE，CE 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 三、解答题（其中 2122 题各 7 分，23-24 题各 8 分，2527 题各 10 分，共计 60 分
6、）21 （7 分）先化简再求值：（ ） ，其中 x4tan45+2cos3022 （7 分）图 1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长第 4 页（共 31 页）均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图 1 中画出以 AC 为底边的等腰直角三角形 ABC，点 B 在小正方形顶点上；（2）在图 2 中画出以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，点 D 在小正方形的顶点上，且ACD 的面积为 823 （8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要
7、求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种） ，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有 1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名24 （8 分）已知：在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F（1）如图 1，求证：AECF；（2）如图 2，当ADB30时，连接 AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直第 5 页（共 31 页）接写出图 2
8、 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的 25 （10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？26 （10 分）已知：MN 为O 的直径，OE 为 O 的半径，AB、CH 是O 的两条弦，AB OE 于点 D，CH MN 于点 K，连接 HN、HE ，HE 与 MN 交于
9、点 P（1）如图 1，若 AB 与 CH 交于点 F，求证：HFB2EHN；（2）如图 2，连接 ME、OA，OA 与 ME 交于点 Q，若 OAME ，EON4CHN ，求证：MPAB；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 OC、BC 、AH，OC 与 EH 交于点 G，AH 与 MN交于点 R，连接 RG，若 HK： ME2：3，BC ，求 RG 的长27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y x+4 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，直线 BC 与 x 轴交于点 C，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称；（1）求直线 BC 的解析式；第 6 页（共
10、 31 页）（2）点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 上一点，BQAP ，连接 PQ，设点 P 的横坐标为 t，PBQ 的面积为 S（S0） ，求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，点 E 在线段 OA 上，点 R 在线段 BC 的延长线上，且点 R 的纵坐标为 ，连接 PE、BE 、AQ，AQ 与 BE 交于点 F，APECBE，连接 PF，PF的延长线与 y 轴的负半轴交于点 M，连接 QM、MR，若 tanQMR ，求直线 PM的解析式第 7 页（共 31 页）2019 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题
11、解析一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）1 （3 分）9 的相反数是（ ）A9 B C9 D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数【解答】解：9 的相反数是 9，故选：C【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2 （3 分）下列运算一定正确的是（ ）A2a+2a2a 2 Ba 2a3a 6C （2a 2） 36a 6 D （a+b） （ ab）a 2b 2【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；【解答】解：2a+2a4a，A 错误；a2a3a 5，B 错误；（2a 2） 38a 6
12、，C 错误；故选：D【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式是解题的关键3 （3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；第 8 页（共 31 页）B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误故选：B【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形
13、能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键4 （3 分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）A BC D【分析】左视图有 2 列，从左到右分别是 2，1 个正方形【解答】解：这个立体图形的左视图有 2 列，从左到右分别是 2，1 个正方形，故选：B【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键5 （3 分）如图，PA、PB 分别与 O 相切于 A、B 两点，点 C 为 O 上一点，连接AC、BC，若P50，则 ACB 的度数为（ ）A60 B75 C70 D65【分析】先利用切线的性质得OAPOBP
14、90，再利用四边形的内角和计算出AOB 的度数，然后根据圆周角定理计算ACB 的度数第 9 页（共 31 页）【解答】解：连接 OA、OB，PA、PB 分别与 O 相切于 A、B 两点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，AOB180P 18050130，ACB AOB 13065故选：D【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理6 （3 分）将抛物线 y2x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay2（x+2） 2+3 By2（x2） 2+3Cy 2（x 2） 23 Dy2（x+2） 23【分析】根据
15、“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y2x 2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 y2（x2） 2+3，故选：B【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减7 （3 分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，则平均每次降价的百分率为（ ）A20% B40% C18% D36%【分析】设降价得百分率为 x，根据降低率的公式 a（1x） 2b 建立方程，求解即可【解答】解：设降价的百分率为 x第 10 页（共 31 页）根据题意可列方程为 2
16、5（1x） 216解方程得 ， （舍）每次降价得百分率为 20%故选：A【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1x） 2b 对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键8 （3 分）方程 的解为（ ）Ax Bx Cx Dx 【分析】将分式方程化为 ，即可求解 x ；同时要进行验根即可求解；【解答】解： ，2x9x3，x ；将检验 x 是方程的根，方程的解为 x ；故选：C【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键9 （3 分）点（1，4）在反比例函数 y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（
17、;）A （4，1） B （ ，1） C （4，1） D （ ，2）【分析】将点（1，4）代入 y ，求出函数解析式即可解题；【解答】解：将点（1，4）代入 y ，k4，y ，第 11 页（共 31 页）点（4，1）在函数图象上，故选：A【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键10 （3 分）如图，在ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM AD，交 AB 于点M，EN AB ，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是（ ）A B C D 【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质【解答】解：在ABCD 中，EM AD易证
18、四边形 AMEN 为平行四边形易证BEM BADEND ，A 项错误 ，B 项错误 ，C 项错误 ，D 项正确故选：D【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）11 （3 分）将数 6260000 用科学记数法表示为 6.2610 6 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数第 12 页
19、（共 31 页）【解答】解：6260000 用科学记数法可表示为 6.26106，故答案为：6.2610 6【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12 （3 分）在函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 x 【分析】函数中分母不为零是函数 y 有意义的条件，因此 2x30 即可；【解答】解：函数 y 中分母 2x30，x ；故答案为 x ；【点评】本题考查函数自变量的取值范围；熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题的关键13 （3 分）把多项式 a36a 2
20、b+9ab2 分解因式的结果是 a（a3b） 2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：a 36a 2b+9ab2a（a 26ab+9b 2）a（a3b） 2故答案为：a（a3b） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键14 （3 分）不等式组 的解集是 x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 0，得：x3，解不等式 3x+21，得：x ，不等式组的解集为 x3，故答案为：x3第 13 页（共 31 页）【点评】本题考查的
21、是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键15 （3 分）二次函数 y（x6） 2+8 的最大值是 8 【分析】利用二次函数的性质解决问题【解答】解：a10，y 有最大值，当 x6 时，y 有最大值 8故答案为 8【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键16 （3 分）如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC ，其中点 A与 A 是对应点，点 B与 B 是对应点，点 B落在边 AC 上，连接 AB，若ACB45，AC3，BC2，则 AB 的长为 &
22、nbsp;【分析】由旋转的性质可得 ACA 'C3，ACB ACA'45，可得A'CB90，由勾股定理可求解【解答】解：将ABC 绕点 C 逆时针旋转得到ABC ，ACA'C 3，ACBACA'45A'CB90A'B 故答案为【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键17 （3 分）一个扇形的弧长是 11cm，半径是 18cm，则此扇形的圆心角是 110 度【分析】直接利用弧长公式 l 即可求出 n 的值，计算即可第 14 页（共 31 页）【解答】解：根据 l 11 ，解得：n110，故答案为：1
23、10【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键18 （3 分）在ABC 中，A50，B30，点 D 在 AB 边上，连接 CD，若ACD为直角三角形，则BCD 的度数为 60或 10 度【分析】当ACD 为直角三角形时，存在两种情况：ADC90或ACD90，根据三角形的内角和定理可得结论【解答】解：分两种情况：如图 1，当 ADC90时，B30，BCD903060；如图 2，当 ACD90时，A50，B30，ACB1803050100，BCD1009010，综上，则BCD 的度数为 60或 10；故答案为：60或 10；【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性
24、质，分情况讨论是本题的关键第 15 页（共 31 页）19 （3 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：列表得：（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）（1，3） （2，3） （3，3） （
25、4，3） （5，3） （6，3）（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）由表可知一共有 36 种情况，两枚骰子点数相同的有 6 种，所以两枚骰子点数相同的概率为 ，故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比20 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC，A60，点 E 为 AD 边上一点，连接 BD、CE，CE
26、 与 BD 交于点 F，且 CEAB，若 AB8，CE6，则 BC 的长为 2 【分析】连接 AC 交 BD 于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形，第 16 页（共 31 页）可得BAODAO 30，ABADBD 8，BOOD4，通过证明EDF 是等边三角形，可得 DEEF DF2，由勾股定理可求 OC，BC 的长【解答】解：如图，连接 AC 交 BD 于点 OABAD ，BC DC ，A 60，AC 垂直平分 BD，ABD 是等边三角形BAODAO30，ABADBD 8，BOOD 4CEABBAOACE30，CEDBAD60DAO ACE 30AEC
27、E6DEAD AE2CEDADB60EDF 是等边三角形DEEFDF2CFCEEF4，OF ODDF 2OC 2BC 2【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键三、解答题（其中 2122 题各 7 分，23-24 题各 8 分，2527 题各 10 分，共计 60 分）第 17 页（共 31 页）21 （7 分）先化简再求值：（ ） ，其中 x4tan45+2cos30【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得 x 的值，代入计算可得【解答】解：原式 （ ） ，当 x4tan45+2cos3041+2 4+
28、时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则22 （7 分）图 1、2 是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AC 的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图 1 中画出以 AC 为底边的等腰直角三角形 ABC，点 B 在小正方形顶点上；（2）在图 2 中画出以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，点 D 在小正方形的顶点上，且ACD 的面积为 8【分析】 （1）作 AC 的垂直平分线，作以 AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 B；（2）以 C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点 D；第 18 页（共 3
29、1 页）【解答】解；（1）作 AC 的垂直平分线，作以 AC 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 B；（2）以 C 为圆心，AC 为半径作圆，格点即为点 D；【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规作图方法是解题的关键23 （8 分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种） ，学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图请根据图中所给的信息
30、解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有 1500 名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名【分析】 （1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；第 19 页（共 31 页）（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以 1500 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：1830%60（名） ，答：在这次调查中，一共抽取了 60 名学生；（2）60（18+9+12+6）15（名） ，则本次调查中，选取国防类书籍的学生有 15 名，补全条
31、形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1500 225（名） ，答：该校最想读科技类书籍的学生有 225 名【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键24 （8 分）已知：在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F（1）如图 1，求证：AECF；（2）如图 2，当ADB30时，连接 AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形 ABCD 面积的 【分析】 （1）由 AAS 证明ABECDF，即可得出结论；第 20 页（共 31 页）（2）由平行线的性质得出C
32、BDADB30，由直角三角形的性质得出BE AB，AE AD，得出ABE 的面积 ABAD 矩形 ABCD 的面积，由全等三角形的性质得出CDF 的面积 矩形 ABCD 的面积；作 EGBC 于 G，由直角三角形的性质得出 EG BE AB AB，得出 BCE 的面积 矩形 ABCD 的面积，同理：ADF 的面积 矩形 ABCD 的面积【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD，AB CD ，AD BC，ABE DF，AEBD 于点 E，CFBD 于点 F，AEB CFD90，在ABE 和CDF 中， ，ABE CDF（AAS） ，AECF；（2）解：ABE 的面积CDF 的面积
33、BCE 的面积 ADF 的面积矩形 ABCD面积的 理由如下：ADBC，CBDADB30，ABC90，ABE 60，AEBD ，BAE 30，BE AB，AE AD，ABE 的面积 BEAE AB AD ABAD 矩形 ABCD 的面积，ABE CDF，CDF 的面积 矩形 ABCD 的面积；作 EGBC 于 G，如图所示：第 21 页（共 31 页）CBD30，EG BE AB AB，BCE 的面积 BCEG BC AB BCAB 矩形 ABCD 的面积，同理：ADF 的面积 矩形 ABCD 的面积【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含 30角的直角三角形的性质、平行线的性
34、质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含 30角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键25 （10 分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【分析】 （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元，根据题意得： ，求解即可；（2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副，根据题意得：
35、16z+10（40z）550，即可求解；【解答】解：（1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元，根据题意得： ， ，每副围棋 16 元，每副中国象棋 10 元；（2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副，第 22 页（共 31 页）根据题意得：16z+10 （40z ）550，z25，最多可以购买 25 副围棋；【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键26 （10 分）已知：MN 为O 的直径，OE 为 O 的半径，AB、CH 是O 的两条弦，AB OE 于点 D，CH MN 于点 K，连接 HN、HE ，HE 与 M
36、N 交于点 P（1）如图 1，若 AB 与 CH 交于点 F，求证：HFB2EHN；（2）如图 2，连接 ME、OA，OA 与 ME 交于点 Q，若 OAME ，EON4CHN ，求证：MPAB；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 OC、BC 、AH，OC 与 EH 交于点 G，AH 与 MN交于点 R，连接 RG，若 HK： ME2：3，BC ，求 RG 的长【分析】 （1）利用“四边形内角和为 360”、 “同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证 ABMB，再根据“等角对等边” ，证明 MPME；（3）由全等三角形性质和垂径定理可将 HK
37、：ME2：3 转化为 OQ：MQ4：3；可设RtOMQ 两直角边为：OQ4k，MQ 3k ，再构造直角三角形利用 BC ，求出 k的值；求得 OPOROG，得PGR 为直角三角形，应用勾股定理求 RG【解答】解：（1）如图 1，ABOE 于点 D，CHMN 于点 KODB OKC90ODB +DFK+OKC+EON360DFK+EON180第 23 页（共 31 页）DFK+HFB180HFBEONEON2EHNHFB2EHN（2）如图 2，连接 OB，OAME，AOMAOEABOEAOEBOEAOM+AOEAOE+BOE，即：MOEAOBMEABEON4CHN，EON2EHNEHN2CHNE
38、HCCHNCHMNHPNHNMHPNEPM，HNMHEMEPM HEMMPMEMPAB（3）如图 3，连接 BC，过点 A 作 AFBC 于 F，过点 A 作 ALMN 于 L，连接AM，AC，由（2）知：EHCCHN，AOMAOEEOCCONEOC+CON+AOM+AOE180AOE+EOC90，AOM+CON 90OAME，CH MNOQM OKC90，CKHK，ME2MQ，AOM+OMQ90第 24 页（共 31 页）CONOMQOCOAOCKMOQ（AAS）CKOQHKHK：ME2：3，即：OQ：2MQ2：3OQ：MQ 4 ：3设 OQ4k， MQ3k，则 OM 5k，ABME6k在
39、Rt OAC 中， AC 5 k四边形 ABCH 内接于O，AHC AOC 9045，ABC180AHC18045135，ABF 180ABC 18013545AFBFABcosABF6kcos453 k在 Rt ACF 中，AF 2+CF2AC 2即： ，解得：k 11， （不符合题意，舍去）OQHK4，MQOK 3，OMON5KNKP2 ，OP ON KNKP5221，在HKR 中，HKR90，RHK45， tanRHKtan45 1RKHK4ORRNON4+251CONOMQOCMEPGO HEMEPM HEMPGO EPMOGOP OR 1第 25 页（共 31 页）PGR90在 Rt
40、 HPK 中， PH 2POG PHN ，OPG HPNPOG PHN ，即 ，PGRG 【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾股定理及解直角三角形等第 26 页（共 31 页）27 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y x+4 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，直线 BC 与 x 轴交于点 C，且点 C 与点 A 关于 y 轴对称；（1）求直线 BC 的解析式；（2）点 P 为线段 AB 上一点，点 Q 为线段 BC 上一点，BQAP ，
41、连接 PQ，设点 P 的横坐标为 t，PBQ 的面积为 S（S0） ，求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，点 E 在线段 OA 上，点 R 在线段 BC 的延长线上，且点 R 的纵坐标为 ，连接 PE、BE 、AQ，AQ 与 BE 交于点 F，APECBE，连接 PF，PF的延长线与 y 轴的负半轴交于点 M，连接 QM、MR，若 tanQMR ，求直线 PM的解析式【分析】 （1）由 y x+4，求出 A（3，0）B（0，4 ） ，所以 C（3，0） ，设直线 BC的解析式为 ykx+b，将 B（0，4） ，C（3，0）代入，解得
42、k ，b4，所以直线 BC的解析式 ；（2）过点 A 作 ADBC 于点点 D，过点 P 作 PNBC 于 N，PGOB 于点 G由sinACD ，即 ，求出 AD ，设 P（t， t+4） ，由cosBPG cosBAO ，即 ，求出 ，由 sinABC ，求得 PN ，BQ5+ ，所以 S，即 S ；第 27 页（共 31 页）（3）如图，延长 BE 至 T 使 ETEP ，连接 AT、PT、AM、PT 交 OA 于点 S，易证ATBC，所以TAEFQB，ATFQBF，于是 AFQF ，TF BF，再证明MBF PTF，所以 MFPF，BMPT ，于是四边形 AMPQ 为平行四边形，由si
43、nABCsinMQR ，设 QR25a，HR 24a，则 QH7a，tanQMR，所以 MH23a，BQ MQ23a+7a30a，BRBQ+QR55a，过点 R 作 RKx轴于点 K求得 M（0， ） ，设直线 PM 的解析式为 ymx +n，解得 ，因此直线 PM 的解析式为 y 【解答】解：（1）y x+4，A（3，0）B（0，4） ，点 C 与点 A 关于 y 轴对称，C（3，0） ，设直线 BC 的解析式为 ykx +b，将 B（0，4） ，C（3，0）代入，解得 k ，b4，直线 BC 的解析式 ；（2）如图 1，过点 A 作 AD BC 于点点 D，过点 P 作 PNBC 于 N，
44、PGOB 于点G第 28 页（共 31 页）OAOC3，OB4，AC6，AB BC5，sinACD ，即 ，AD ，点 P 为直线 y x+4 上，设 P（t， t+4） ，PGt，cosBPGcosBAO，即 ， ，sinABC ，PN ，APBQ ，BQ5+ ，S ，即 S ；（3）如图，延长 BE 至 T 使 ETEP ，连接 AT、PT、AM、PT 交 OA 于点 S第 29 页（共 31 页）APE EBC，BACBCA，180APEBAC 180EBCACB，PEA BECAET，PTAE ，PSST ，APAT，TAEPAEACB ，ATBC，TAEFQB ，AFTBFQ ，AT
45、AP BQ，ATFQBF ，AFQF ，TFBF ，PSABOA90，PTBM，TBMPTB，BFM PFT，MBF PTF，MFPF，BM PT，四边形 AMPQ 为平行四边形，APMQ ，MQAPBQ ，MQRABC，过点 R 作 RH MQ 于点 H，sinABCsinMQR ，第 30 页（共 31 页）设 QR25a，HR24a，则 QH7a，tanQMR ，MH 23a，BQMQ23a+7a30a，BRBQ+ QR55 a，过点 R 作 RKx 轴于点 K点 R 的纵坐标为 ，RK ，sinBCO ，CR ，BR ， ，a ，BQ30a3，5+ 3，t ，P（ ） ， ，BMPT 2 PS ，BO 4，OM ，M（0， ） ，设直线 PM 的解析式为 ymx+n， ，解得 ，直线 PM 的解析式为 y 【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、三角形全等以及三角函数是解题的关键
