1、2019 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A0， 1，2，3，4，6 ，Bx|x 2 n，nN，则 AB 的元素个数是（ ）A0 B1 C2 D32 （5 分）已知复数 z 满足 z（2i）1+i ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的
2、户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A240，18 B200，20 C240，20 D200，184 （5 分）函数 f（x ）x 2sinx 的图象大致为（ ）A BC D5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a5+a950，a 413，则 S10（ ）A170 B190 C180 D1896 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y22 相切，则第 2 页（共 22 页）此双曲线的离心率等于（ ）A B C D27 （5 分）在ABC 中，BAC60，AB3，AC 4
3、，点 M 满足 2 ，则等于（ ）A7 B8 C9 D108 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A8 B8 C8 D89 （5 分）已知 f（x ）是定义在2 b，1b上的奇函数，且在 2b，0上为增函数，则f（x1）f（ 2x）的解集为（ ）A1， B1， C 1，1 D 10 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 N2018，则输出的结果是（ ）A2018 B2018 C1009 D100911 （5 分）已知实数 x，y 满足： ，若 zkx y 取得最小值的最优解有无数个，则实数 k 的值是（
4、）A1 B4 C1 或 D1 或 412 （5 分）已知函数 f（x ）kx2k ，若函数至少有一个零点，则 k 取值范围是（ ）第 3 页（共 22 页）A1，0 B C D （ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f （ ） ） 14 （5 分）曲线 yx lnx 在点（ 1，0）处的切线的方程为 15 （5 分）已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 22，离心率为 ，则椭圆 E 的方程为
5、; 16 （5 分）已知数列a n和b n满足 a1，a 2，a 3an2 bn（nN*） ，若数列a n为等比数列，且 a12，a 416则数列 的前 n 项和 Sn 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知 a、b、c 分别是ABC 内角 A、B、C 的对边， 2aacosBbcosA（）求 ；（）若 b4，cosC ，求ABC 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底而 ABCD 是正方形，对角
6、线 AC 与 BD 交于点 F，侧面 SBC 是边长为 2 的等边三角形， E 为 SB 的中点（）证明：SD平面 AEC；（）若侧面 SBC底面 ABCD，求点 A 到平面 BSD 的距离19 （12 分）研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离 x（单位：千米）和学生花费在上学路上的时间 y（单位：分钟）有如下的统计资料：到学校的距离 x（千米） 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1第 4 页（共 22 页）花费时间 y（分钟） 17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2如果统计资料表明 y 与 x 有线性相关关系，试求：（）判断 y
7、 与 x 是否有很强的线性相关性？（相关系数 r 的绝对值大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到 0.01）（）求线性回归方程 x+ （精确到 0.01） ；（）将 27 分钟的时间数据 称为美丽数据，现从这 6 个时间数据 中任取 2 个，求抽取的 2 个数据全部为美丽数据的概率参考数据： yi175.4， xiyi764.36， （x i ） （y i ）80.30， （x i ） 214.30， （y i ）2471.65， 82.13参考公式：r ， 20 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B两点（）若以 A
8、，B 为直径的圆的方程为（x2） 2+（y3） 216，求抛物线 C 的标准方程；（）过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l 2，证明：l 1，l 2 的交点在定直线上21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（ax 2+x+a） （）求函数 f（x ）的单调区间；（）若函数 f（x ）e x（ax 2+2x）+1 恒成立，求实数 a 的取值范围选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知极坐标系中，点 M（4 ， ） ，曲线 C 的极坐标方程为 2第 5 页（共 22 页），点 N 在曲线
9、 C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的参数方程；（）求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最小值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|x1| （）求不等式 f（x ）3 的解集；（）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb2，求的取值范围第 6 页（共 22 页）2019 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
10、一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A0， 1，2，3，4，6 ，Bx|x 2 n，nN，则 AB 的元素个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】先求出 AB，由此能求出 AB 中元素的个数【解答】解：集合 A0， 1，2，3，4，6 ，B x|x2 n，nN，AB1，2，4，AB 的元素个数是 3故选：D【点评】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）已知复数 z 满足 z（2i）1+i ，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数
11、代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 z（2i） 1+i，得 z ，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） ，在第一象限故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）第 7 页（共 22 页）A240，18 B200，20 C240，20 D200，18【分析】利用扇形统计图和分层抽样的性质能求出样本容量
12、；由扇形统计图、分层抽样和条形统计图能求出抽取的户主对四居室满意的人数【解答】解：样本容量 n（250+150+400）30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为：15030%40%18故选：A【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，考查扇形统计图、分层抽样和条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）函数 f（x ）x 2sinx 的图象大致为（ ）A BC D【分析】根据函数 f（x ）x 2sinx 是奇函数，且函数过点，0，从而得出结论【解答】解：由于函数 f（x ）x 2sinx 是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除 B
13、和 D；又函数过点（，0） ，可以排除 A，所以只有 C 符合故选：C【点评】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与 x 轴的交点，属于基础题5 （5 分）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a5+a950，a 413，则 S10（ ）第 8 页（共 22 页）A170 B190 C180 D189【分析】根据等差数列的性质可得 a1+a10a 4+a738，再根据求和公式即可求出【解答】解：a 5+a950，2a 7a 5+a950，a 725，a 413，a 1+a10a 4+a713+25 38 ，S 10 （a 1+a10）190故选：B【点评】本题考查了等差
14、数列的性质与求和公式，考查了运算能力，属于基础题6 （5 分）若双曲线 1（a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y22 相切，则此双曲线的离心率等于（ ）A B C D2【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到 ab 关系，然后求解双曲线的离心率【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay0，圆（x2） 2+y22 的圆心（2，0） ，半径为 ，双曲线 1（a0，b0）的渐近线与圆（x2） 2+y22 相切，可得： ，可得 a2b 2，c a，e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力7 （5
15、 分）在ABC 中，BAC60，AB3，AC 4，点 M 满足 2 ，则第 9 页（共 22 页）等于（ ）A7 B8 C9 D10【分析】利用已知条件，表示出向量则 ，然后求解向量的数量积【解答】解：在ABC 中，BAC 60，AB3，AC 4，点 M 满足 2 ，可得 + ，则 （ + ） + 3+ 7故选：A【点评】本题考查向量的数量积的运算，向量的几何中的应用，是基本知识的考查8 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A8 B8 C8 D8【分析】根据三视图知该几何体是正方体截去一个 球体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，
16、该几何体是棱长为 2 的正方体，截去一个 球体，如图所示；该几何体的体积为 V2 3 238 故选：B第 10 页（共 22 页）【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题9 （5 分）已知 f（x ）是定义在2 b，1b上的奇函数，且在 2b，0上为增函数，则f（x1）f（ 2x）的解集为（ ）A1， B1， C 1，1 D 【分析】根据题意，由奇函数的定义可得 2b+（1b）0，解可得：b1，则函数的定义域为2，2，结合函数的单调性分析可得 f（x）在 2，2上为增函数，据此可得 f（x1） f（2x ）2x12x 2，解可得 x 的取值范围，即可得答案【
17、解答】解：根据题意，函数 f（x ）是定义在2 b，1b上的奇函数，则 2b+（1b）0，解可得：b1，则函数的定义域为2，2 ，又由 f（x）在2b，0即2，0 上为增函数，则 f（x）在2，2 上为增函数，f（x1）f（2x ）2x12x 2，解可得：1x1，即不等式的解集为1，1；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题10 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 N2018，则输出的结果是（ ）A2018 B2018 C1009 D1009【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模
18、拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S12+34+2017 2018 的值，由于 S12+34+ +20172018（12）+（34）+（56）+（20172018）1009故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题第 11 页（共 22 页）11 （5 分）已知实数 x，y 满足： ，若 zkx y 取得最小值的最优解有无数个，则实数 k 的值是（ ）A1 B4 C1 或 D1 或 4【分析】作出不等式组表示的平面区域，令
19、zkxy，则 ykxz 则z 表示直线ykx z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图象可求 k 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：若使得 kxy 取得最小值的可行解有无数个，结合图象可知，则 zkxy，与约束条件的直线 x+y20 或 4xy+20 平行，a1 或 4故选：D【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，当满足取得最值的最优解的不唯一时，一般需要确定目标函数中的 直线斜率与边界斜率的比较12 （5 分）已知函数 f（x ）kx2k ，若函数至少有一个零点，则 k 取值范围是（ ）A1，0 B C D （ 【分析】根据函数与方程之间的关系
20、，转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 f（x ）kx 2k 0，得 kx2k ，设 ykx2kk （x2） ，y ， （1x1） ，第 12 页（共 22 页）则 y ， （1x 1）对应的曲线为半径为 1 的圆的上半部分，要使若函数至少有一个零点，则直线 yk（x 1）与半圆相切或相交，作出两个的图象由图象知，k0，则圆心 O 到直线 kxy 2k0 的距离 d 1，即 4k21+k 2，即 3k21，k 2 ，即 k ，k0， k 0，即实数 k 的取值范围是 ，0 ，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象交点个数问题，
21、利用数形结合转化为直线和圆的位置关系是解决本题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知函数 f（x ） ，则 f（f （ ） ） 【分析】根据题意，由函数解析式求出 f（ ）的值，进而可得 f（f（ ） ）f（ ） ，结合解析式即可得答案第 13 页（共 22 页）【解答】解：根据题意，函数 f（x ） ，则 f（ ）sin ，f（f（ ） ）f（ ）2（ ） 3 ；故答案为：【点评】本题考查分段函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题14 （5 分）曲线 yx lnx 在点（ 1，0）处的切线的方程为 xy 1
22、0 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x1 时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由 f（x ）xlnx，得，f（1）ln1+11，即曲线 f（x） xlnx 在点（1，0）处的切线的斜率为 1，则曲线 f（x） xlnx 在点（1，0）处的切线方程为 y01（x1） ，整理得：xy10故答案为：xy 10【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题15 （5 分）已知椭圆 E 的中心为原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 22，离心率为 ，则椭圆 E 的方程为
23、;1 【分析】由离心率，以及 ac2 2，列出方程组，由此能求出椭圆 E 的方程【解答】解：椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为 2 2，离心率为 ，可得，a2 ，c2，从而 b24第 14 页（共 22 页）椭圆 E 的方程为 1故答案为： 1【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查16 （5 分）已知数列a n和b n满足 a1，a 2，a 3an2 bn（nN*） ，若数列a n为等比数列，且 a12，a 416则数列 的前 n 项和 Sn 【分析】设出等比数列的公比为 q，由通项公式
24、可得 q，再由等差数列的求和公式，可得 bn n（n+1） ， 2（ ） ，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：数列a n为公比为 q 的等比数列，且 a12 ，a 416，可得 q38，即 q2，则 an2 n，a1a2a3an2 ，即 222232n2 1+2+3+n2 2 ，则 bn n（n+1） ， 2（ ） ，则前 n 项和 Sn2（1 + + ）2（1 ） 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 题-21 题为必考题，每
25、个试题考生都必须作答22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答17 （12 分）已知 a、b、c 分别是ABC 内角 A、B、C 的对边， 2aacosBbcosA（）求 ；（）若 b4，cosC ，求ABC 的面积【分析】 （I）由已知结合正弦定理及和角正弦公式可得，2sinAsinC ，进而可求；第 15 页（共 22 页）（II）由（I）可得， c2a，由余弦定理可得，c 2a 2+b22abcosC，代入即可求解 a，代入三角形的面积公式 即可求解【解答】解：（I）2aacosBbcosA由正弦定理可得，2sinAsinAcosB+sinBcosAsin（A+B）sin C， 2；（
26、II）由（I）可得， c2a，cosC 且 C 为三角形的内角，sinC ，b4由余弦定理可得，c 2a 2+b22abcosC3a 2+2a160，a0，a2， 【点评】本题主要考查了正弦定理，和角公式及余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，底而 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 交于点 F，侧面 SBC 是边长为 2 的等边三角形， E 为 SB 的中点（）证明：SD平面 AEC；（）若侧面 SBC底面 ABCD，求点 A 到平面 BSD 的距离【分析】 （）连结 EF，推导出 EFDS ，由此能证明 SD平面
27、AEC第 16 页（共 22 页）（）推导出 AB平面 BCS，由 VABSD V DABS V ABSC ，能求出点 A 到平面 BSD的距离【解答】证明：（）连结 EF，由题意得 EF 是BDS 的中位线，EFDS，SD平面 AEC，EF 平面 AEC，SD平面 AEC解：（）平面 SBC底面 ABCD，交线为 BC，ABBC ，AB平面 BCS，在BSD 中，BDDS2 ，BS2， ，V ABSD V DABS ，设 A 到面 BSD 的距离为 d，则 d 点 A 到平面 BSD 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
28、基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离 x（单位：千米）和学生花费在上学路上的时间 y（单位：分钟）有如下的统计资料：到学校的距离 x（千米） 1.8 2.6 3.1 4.3 5.5 6.1第 17 页（共 22 页）花费时间 y（分钟） 17.8 19.6 27.5 31.3 36.0 43.2如果统计资料表明 y 与 x 有线性相关关系，试求：（）判断 y 与 x 是否有很强的线性相关性？（相关系数 r 的绝对值大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到 0.01）（）求线性回归方程 x+
29、 （精确到 0.01） ；（）将 27 分钟的时间数据 称为美丽数据，现从这 6 个时间数据 中任取 2 个，求抽取的 2 个数据全部为美丽数据的概率参考数据： yi175.4， xiyi764.36， （x i ） （y i ）80.30， （x i ） 214.30， （y i ）2471.65， 82.13参考公式：r ， 【分析】 （）直接由已知数据求得相关系数 r，然后判断 y 与 x 的线性相关性；（）由已知数据及公式求得 与 的值，可得线性回归方程 x+ ；（）求出 6 个数据中美丽数据的个数，再由随机事件的概率计算公式求解【解答】解：（）r ，y 与 x 有很强的线性相关性；（
30、）依题意得， ， ， （x i ） （y i ）80.30， （x i ） 214.30，第 18 页（共 22 页） ，故线性回归方程为 ；（）由（）可知，当 x3.1 时， 27，当 x4.3 时，27满足 27 分钟的时间数据 共有 3 个，设 3 个美丽数据为 a，b，c，另 3 个不是美丽数据为 A，B，C，则从 6 个数据中任取 2 个共有 15 个情况，即：aA，aB，aC，bA，bB ，bC ，cA ，cB，cC，AB，AC，BC，ab，ac，bc抽取的数据全部为美丽数据有 3 种情况抽取的 2 个数据全部为美丽数据的概率为 【点评】本题考查线性回归方程，考查变量相关性故选的判
31、断，训练了随机事件概率的求法，是中档题20 （12 分）已知抛物线 C： x22py（p0）的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B两点（）若以 A，B 为直径的圆的方程为（x2） 2+（y3） 216，求抛物线 C 的标准方程；（）过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l 2，证明：l 1，l 2 的交点在定直线上【分析】 （1）由抛物线的定义可得 +34，得 p2，即可求出抛物线的方程（2）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出 A，B 两点横坐标的积，再利用导数写出过 A，B 两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值
32、 ，从而得到两切线交点的轨迹方程【解答】解：（1）由抛物线的定义可得 +34，得 p2，第 19 页（共 22 页）故抛物线 C 的标准方程为 x24y，（2）由抛物线 x22py 得其焦点坐标为 F（0， ） 设 A（x 1， ） ，B（x 2， ） ，直线 AB：ykx+ ，代入抛物线方程，得：x 22kpxp 20x 1x2p 2又抛物线方程求导得 y ，抛物线过点 A 的切线的斜率为 ，切线方程为 y （xx 1）抛物线过点 B 的切线的斜率为 ，切线方程为 y （xx 2）由得：y l 1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是 y 【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某
33、点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）e x（ax 2+x+a） （）求函数 f（x ）的单调区间；（）若函数 f（x ）e x（ax 2+2x）+1 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （）先对函数 f（x）求其导数，再对 a 分情况讨论，从而求出函数 f（x）的单调区间；（）运用分离参数法得出 ，再构造函数求出最值，确定 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（ x）的定义域为 R，且 f（x）（ax+a+1） （x+1）e x，（1）当 a0 时，f（x ）e x（x+1） ，当 x1 时，f （x）0，当 x1 时，f（x）0；所以函
34、数 f（x）的增区间为（1，+） ，减区间为（，1） （2）当 a0 时， ，且方程 f（x）0 有两根；第 20 页（共 22 页）当 a 0 时， ，所以函数 f（x）的增区间为（1，+） ；减区间为 当 a 0 时， ，所以函数 f（x）的增区间为 ，减区间为综上可知，当 a0 时，函数 f（x ）的增区间为 （1，+） ；减区间为 ；当 a0 时，函数 f（x ）的增区间为（1，+） ，减区间为（，1） ；当 a0 时，函数 f（x ）的增区间为 ，减区间为（）函数 f（x ）e x（ax 2+2x）+1 恒成立转化为 在 R 上恒成立；令 ，则 ，易知 h（x）在（0，+）上为增函数
35、，在（，0）为减函数h（x） minh（0）1故实数 a 的取值范围为（，1【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题，属于中档题目选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知极坐标系中，点 M（4 ， ） ，曲线 C 的极坐标方程为 2，点 N 在曲线 C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 1 的参数方程为 （t 为参数） （）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的参数方程；（）求线段 MN 的中点 P 到直线 l 的距离的最小值【分析】
36、（）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程，先把曲线 C 化成普通方程，再化成参数方程；（）利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得第 21 页（共 22 页）【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线的普通方程为xy60，曲线 C 的极坐标方程为 2+22sin2120，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+3y2120，即 + 1曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （）设 N（2 cos，2sin） ， （0 2） ，点 M 的极坐标为（4 ， ）化为直角坐标为（4，4） ，则 P（ cos+2，sin +2） ，点 P 到直线 l 的距离 d ，当 cos（+ ）1
37、时，等号成立点 P 到 l 的距离得最小值为 2 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +1|+2|x1| （）求不等式 f（x ）3 的解集；（）若函数 yf（x）的图象最低点为（m，n） ，正数 a，b 满足 ma+nb2，求的取值范围【分析】 （）分段去绝对值解不等式组，再相并；（）根据分段函数的图象得到最低点为（1，2） ，可得 a+2b2，再变形+ （a+2b） （ + ） （4+ + ）后用基本不等式可得【解答】解：（）当 x1 时，f （x）3x+13，得 x ，所以 x；当1x1 时，f（x）x+33，得 x0，所以 0x1；当 x1 时，f（ x）3x13，得 x ，所以 1x 综上：0x ，不等式的解集为0， 第 22 页（共 22 页）（）由 f（x） 的图象最低点为（1，2） ，即 m1，n2，所以 a+2b2，因为 a0，b0，所以 + （a+2 b） （ + ） （4+ + ） （4+2 ）4，当且仅当 a2b2 时等号成立所以 + 的取值范围是（4，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
