1、北京市房山区2023届高三二模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 4. 已知正方形的边长为2，点P满足，则的值为（ ）A 2B. C. 4D. 5. 下列函数中，是偶函数且有最小值是（ ）A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）A. 相切B. 相交C. 相离D. 不能确定7. 高为、满缸水量为的
2、鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是A. B. C. D. 8. 已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 设集合，则（ ）A. 当时，B. 对任意实数，C. 当时，D. 对任意实数，第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11 若，则_12. 已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则_；_
3、13. 已知函数，给出两个性质：在上是增函数；对任意，写出一个同时满足性质和性质的函数解析式，_14. 若函数的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_15. 如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点给出下面几个结论：四边形平行四边形；四边形可能是正方形；存在平面与直线垂直；任意平面与平面垂直；平面与平面夹角余弦最大值为其中所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，（1）求；（2）若角为钝角，求的周长17. 如图，已知直三棱柱中，为中点，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：（1）证明：；（2）求直
4、线与平面所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18. 2021年3月教育部印发了关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，该通知指出，高中生每天睡眠时间应达到小时 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图（1）从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时的概率；（2）从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或小时的人数记为，求的分布列和数学期望；（3）从该校高一年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，
5、其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小（只需写出结论）19. 已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值；（3）证明：20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由21. 若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列是否具有性质，并说明理由；（2）设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；（3）若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列北京市房山区202
6、3届高三二模数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】考查两集合的基本运算，根据集合的运算规律即可得出答案.【详解】，故B选项正确，A选项错误，故C选项错误，故D选项错误，故选：B.2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3. 已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，则的值
7、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列方程组来求得.【详解】设等比数列的公比为，则，两式相除得，解得（负根舍去），所以.故选：C4. 已知正方形的边长为2，点P满足，则的值为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果.【详解】由条件可知 .故选：C5. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项
8、C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.【详解】对A，二次函数的对称轴为，不是偶函数，故A错误；对B，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，定义域为，所以函数是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；对D，定义域为，所以函数是偶函数，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值，故D正确.故选：D6. 已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（ ）A 相切B. 相交C. 相离D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线
9、的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，所以圆与直线相切.故选：A7. 高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢
10、的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8. 已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，所以直线的斜率的取值范围是.故选：A9. 已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B
11、【解析】【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.【详解】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B10. 设集合，则（ ）A. 当时，B. 对任意实数，C. 当时，D. 对任意实数，【答案】C【解析】【分析】依据选项将点代入验证即可.【详解】当时，将代入A得：成立，故，即A错误；若时，此时将代入不成立，即B错误；当时，此时将代入不成立，即C正确；若时，此时将代入A得成立，即D错误；故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若，则_【答案】1【解析】【分析】利用赋值法即可求解系数和.【详
12、解】在中，令得：，故答案为：1.12. 已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则_；_【答案】 . . #0.6【解析】【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点关于轴的对称点，即可求得，再结合余弦的差角公式即可得到结果.【详解】由题意，角终边过点，由三角函数定义知：，由角终边与角终边关于轴对称得角的终边过点，所以，故.故答案为：，.13. 已知函数，给出两个性质：在上是增函数；对任意，写出一个同时满足性质和性质的函数解析式，_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取函数，检验条件即可.【详解】取函数，由指数函数的单调性可知，函数在上为增函数，满足性质；因为恒成立，所以恒成立，所以对
13、任意，满足性质.故答案为：（答案不唯一）14. 若函数图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_【答案】【解析】【分析】根据三角函数对称性求得正确答案.【详解】当时，由解得，所以两个交点横坐标的和为.故答案为：15. 如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点给出下面几个结论：四边形是平行四边形；四边形可能是正方形；存在平面与直线垂直；任意平面与平面垂直；平面与平面夹角余弦的最大值为其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】通过几何性质得出四边形的形状，由线线、线面垂直即可得出面与直线和面的关系，以及面与面夹角余弦的最大值.【详解】由题意，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交
14、于点，由平面平面, 并且四点共面， 同理可证，故四边形一定是平行四边形，故正确；在正方体中，由几何知识得，面，面，若是正方形, 有, 这个与矛盾，故错误；由几何知识得, 面，小于，若直线与平面垂直，则直线，平面与直线不可能垂直，故错误.设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，,，面，面，面，面，面，任意平面与平面垂直，故正确.由几何知识得，当点和分别是对应边的中点时, 平面与面夹角最大，为：,故正确.故答案为：.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，考查学生的数形结合能力，转化能力，逻辑推理能力与运算求解能力，考查直观想象，数学运算和立体几何的画图能力，具有极强的综合
15、性.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，（1）求；（2）若角为钝角，求的周长【答案】（1） （2）18【解析】【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解；（2）用角余弦定理即可求出.【小问1详解】在中，因为，所以，因为，所以，由，得，解得【小问2详解】因为，为钝角，所以，由得，整理得，解得或（舍），所以.所以的周长为.17. 如图，已知直三棱柱中，为中点，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）证明详见解析 （
16、2）条件选择见解析，直线与平面所成角的正弦值为【解析】【分析】（1）若选，则通过证明平面来证得.若选，则先证明，然后通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】若选择条件:，连接，在直三棱柱中，平面，平面，所以.在三角形中，为的中点，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以，由于，平面，所以平面，由于平面，所以.若选择条件：，连接，由于是中点，所以，根据直三棱柱的性质可知，由于平面，所以平面，由于平面，所以.由于，所以，所以，则，则，由于，平面，所以平面，由于平面，所以.【小问2详解】先得到:若选，则在中，由，得，又，所以，.若选，则.
17、在三角形中，所以，所以，根据直三棱柱的性质可知，以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则.18. 2021年3月教育部印发了关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，该通知指出，高中生每天睡眠时间应达到小时 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图（1）从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时的概率；（2）从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或小时的人数记为，求的分布列和数学期望；（3）从该校高一年级学
18、生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小（只需写出结论）【答案】（1） （2）分布列详见解析， （3）【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案.（2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率，然后根据二项分布的知识求得的分布列和数学期望.（3）通过观察条形图求得正确答案.【小问1详解】记事件为“从该校高一学生中随机抽取人，该生平均每天的睡眠时间不少于小时”，样本中高一学生人数为：，其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，则：.【小问2详解】从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为小
19、时或小时的概率为.的可能取值为.的分布列为：.【小问3详解】通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性，根据方差的定义可知：.19. 已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值；（3）证明：【答案】（1） （2） （3）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）利用导数研究在区间上的单调性，由此求得在区间上的最小值. （3）结合（2）的结论证得不等式成立.【小问1详解】.所以，所以在点处切线的方程为，即.【小问2详解】当时，令，则.当时，所以在单调递减.所以.所以，函数在上单调递减.函数上单调递减.所以，即函数的最小值为.【小问3详解
20、】由（2）可知在上单调递减.又因为，所以.所以，即20. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由【答案】（1） （2）经过定点，定点为【解析】【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解、即可；（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到、两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.【小问1详解】 椭圆 的一个顶点为，焦距为， 解得， 椭圆 的方程为 .【小问2详解】在直线 上
21、，则点 ， 由 ，得 ， 由 ,得 ， ， ， ， 直线过定点 .【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结合椭圆的定量关系可求得所要的椭圆方程；（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线上两点，写出直线方程，化为点斜式的方程，可得到直线所过的定点.21. 若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列是否具有性质，并说明理由；（2）设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；（3）若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列【答案】（1）数列具有性质，理由见解析； （2）证明见解析 （3
22、）证明见解析【解析】【分析】（1）由数列中，得到，一定是数列中的项，即可求解；（2）根据题意，得到一定不是数列中的项，进而证得一定是数列中的项；（3）根据题意得到，且，进而得到，得到，当，证得，当，得到，由时，得到，两式相减得出，结合等差中项公式，即可求解.【小问1详解】解：数列具有性质.理由：根据有穷数列满足：，且对任意的，或 是数列中的项，则称数列具有性质，对于数列中，若对任意的，可得或或，可得一定是数列中的项，所以数列具有性质.【小问2详解】证明：由是数列中的任意一项，因为数列具有性质，即或 是数列中的项，令，可得或 是数列中的项，又因为，可得一定不是数列中的项，所以一定是数列中的项.【小问3详解】解：由数列具有性质，可得，所以，则，且，又由，所以，又由，设，因为可得，当时，可得， （）设，则，所以，由，又由，可得，所以，因为，由以上可知：且，所以且，所以，（）由（）知，两式相减，可得，所以当时，数列为等差数列.
