1、2022-2023学年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。）1. 已知xR，则“|x+1|+|x-1|2”是“1x1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 某种产品的广告支出x与销售额y(单位：万元)之间有如表关系，y与x的线性回归方程为y=10.5x+5.4，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差(真实值减去预报值)为() x24568y3040607080A. 1.6B. 8.4C. 11.6D. 7.43. 在空间中，下列命题为真命题的是()A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行B
2、. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直4. 已知函数y=f(x)(xR)，其导函数为y=f(x)，有以下两个命题：若y=f(x)为偶函数，则y=f(x)为奇函数；若y=f(x)为周期函数，则y=f(x)也为周期函数那么()A. 是真命题，是假命题B. 是假命题，是真命题C. 、都是真命题D. 、都是假命题二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A=x|x2+x-6-2)=0.9，则P(X2)= 10.
3、 双曲线C：x22-y24=1的右焦点F到其一条渐近线的距离为 11. 投掷一颗骰子，记事件A=2,4,5，B=1,2,4,6，则P(A|B)= 12. 在ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若5acosA=bcosC+ccosB，则sin2A= 13. 函数y=log2x+1log4(2x)在区间(12,+)上的最小值为 14. 已知R，0，函数y= 3sinx-cosx在区间0,2上有唯一的最小值-2，则的取值范围为 15. 已知边长为2的菱形ABCD中，A=120，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且PQBD，则APCQ的最大值是 16. 已知0ab1，设W(x)=(x-a)3
4、(x-b)，fk(x)=W(x)-W(k)x-k，其中k是整数.若对一切kZ，y=fk(x)都是区间(k,+)上的严格增函数.则ba的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题14.0分)已知数列an是首项为9，公比为13的等比数列(1)求1a1+1a2+1a3+1a4+1a5的值；(2)设数列log3an的前n项和为Sn，求Sn的最大值，并指出Sn取最大值时n的取值18. (本小题14.0分)如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AEAD，ABAD，BC/AD，AB=AE=BC=2，AD=4，F、H分别为ED、
5、EA的中点(1)求证：BH/平面AFC；(2)求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值19. (本小题14.0分)为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题(1)在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；(2)在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均
6、答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是35，答对地理环境题的概率都是13.请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由20. (本小题18.0分)椭圆C的方程为x2+3y2=4，A、B为椭圆的左右顶点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上的动点(1)求椭圆的离心率；(2)若PF1F2为直角三角形，求PF1F2的面积；(3)若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆x2+y2=r2(0r1)相切，记直线PQ、PR的斜率分别为k1、k2，是否存在位于第一象限的点P，使得k1k2=1？若存在
7、，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由21. (本小题18.0分)设P是坐标平面xOy上的一点，曲线是函数y=f(x)的图像.若过点P恰能作曲线的k条切线(kN)，则称P是函数y=f(x)的“k度点”(1)判断点O(0,0)与点A(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；(2)已知0m，g(x)=sinx.证明：点B(0,)是y=g(x)(0x1不成立，即充分性不成立；1x1时，0x1，|x+1|+|x-1|2成立，即必要性成立；所以是必要不充分条件故选：B分别判断充分性与必要性是否成立即可本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题2.【答案】A【解析】解：y=10.5x+5.
8、4，当x=6时，y=10.56+5.4=68.4当广告支出6万元时，离差为70-68.4=1.6故选：A由线性回归方程求得x=6时的预报值，再由离差的定义得答案本题考查线性回归方程的应用，考查离差的求法，是基础题3.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行、垂直或相交，A错误；对于B，若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面可以互相平行，B错误；对于C，若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线可以与另外一个平面平行，C错误；对于D，由直线与平面垂直的性质可得：若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，
9、则这两条直线互相垂直，D正确故选：D根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项是否正确，综合可得答案本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，注意直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题4.【答案】D【解析】解：对于，若y=f(x)为偶函数，则y=f(x)不一定为奇函数，如f(x)=x3+1，f(x)=3x2是偶函数，f(x)不是奇函数，是假命题；对于，令f(x)=sinx+1，则f(x)=-cosx+x+C，(C为常数)，显然f(x)不是周期函数，是假命题故选：D对于，举例，设f(x)=x3+1，f(x)=3x2，f(x)是偶函数，f(x)不是奇函数，为假命题；对于，举例，设f(x)=
10、sinx+1，则f(x)=-cosx+x+C，(C为常数)，显然f(x)不是周期函数，为假命题本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题5.【答案】0,1【解析】解：A=x|x2+x-62)=P(X-2)=1-0.9=0.1故答案为：0.1由正态分布曲线的对称性进行求解即可本题考查正态分布的应用，属于基础题10.【答案】2【解析】解：双曲线方程为x22-y24=1，双曲线的右焦点F坐标为( 6,0)，渐近线为y= 2x，即 2xy=0，可得焦点F到其渐近线的距离为d= 12 2+1=2故答案为：2由双曲线方程，算出右焦点F为( 6,0)，
11、渐近线为y= 2x.由点到直线的距离公式加以计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离本题给出双曲线方程，求它的焦点F到渐近线的距离着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题11.【答案】12【解析】解：P(AB)=26=13，P(B)=46=23，则P(A|B)=P(AB)P(B)=1323=12故答案为：12根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解本题主要考查条件概率公式，属于基础题12.【答案】4 625【解析】解：由于5acosA=bcosC+ccosB，利用正弦定理：5sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sin
12、A，由于A(0,)，故cosA=15，所以A(0,2)，故sinA=2 65，所以sin2A=2sinAcosA=2152 65=4 625故答案为：4 625直接利用正弦定理和同角三角函数的关系式的变换及二倍角公式求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题13.【答案】2 2-1【解析】解：y=log2x+1log4(2x)=1+log2x+1log4(2x)-1=log2(2x)+1log4(2x)-1=log4(2x)log42+1log4(2x)-1=2log4(2x)+1log4(2x)-1
13、，x(12,+)，2x(1,+)，log4(2x)0，y=2log4(2x)+1log4(2x)-12 2log4(2x)1log4(2x)-1=2 2-1，当且仅当2log4(2x)=1log4(2x)，即log4(2x)= 22时，等号成立，即函数y=log2x+1log4(2x)在区间(12,+)上的最小值为2 2-1故答案为：2 2-1利用对数的运算性质化简函数解析式可得y=2log4(2x)+1log4(2x)-1，再利用基本不等式求解即可本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题14.【答案】56,116)【解析】解：y= 3sinx-cosx=2sin(
14、x-6)，由x0,2，知x-6-6,2-6，因为函数y在区间0,2上有唯一的最小值-2，所以2-632,72)，解得56,116). 故答案为：56,116).由辅助角公式化简可得y=2sin(x-6)，再结合正弦函数的图象与性质，即可得解本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题15.【答案】14【解析】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则BDAC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则： A(0,1)，C(0,-1)，内切圆的半径为 32，PQBD，且P，Q点在内
15、切圆上，设P(m,n)，Q(m,-n)，m,n(- 32, 32)，AP=(m,n-1),CQ=(m,1-n)，APCQ=m2-(n-1)2，m2+n2=( 32)2，设m= 32sin,n= 32cos，m2-(n-1)2=34sin2-( 32cos-1)2=-32cos2+ 3cos-14=-32(cos- 33)2+14，cos= 33时，-32(cos- 33)2+14取最大值14，APCQ的最大值为14故答案为：14可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出BDAC，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出A(0,1)，C(0,-1)，
16、内切圆的半径为 32，且设P(m,n)，Q(m,-n)，从而得出APCQ=m2-(n-1)2，可设m= 32sin,n= 32cos，从而可得出APCQ=-32cos2+ 3cos-14，然后配方即可求出最大值本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题16.【答案】(1,3【解析】解：fk(x)=(x-a)3(x-b)-(k-a)3(k-b)x-k=x3+(k-3a-b)x2+k2-(3a+b)k+3a2+3abx+k3-(3a+b)k2+(3a2+3ab)k-a3-3a2b，fk(x)=3
17、x2+2(k-3a-b)x+k2-(3a+b)k+3a22+3ab，则方程fk(x)=0满足=4-2k2+(3a+b)k+b2-3ab=-8(k-b)(k-3a-b2)，因为0ab1，所以3a-b2b1，当k(3a-b2,b)无解时，即3a-b20，ba(1,3时，对于任意的kZ都有0，即fk(x)0恒成立，所以y=fk(x)在(k,+)上严格增当k(3a-b2,b)有解时，即3a-b20，fk(x)=3x2-2(3a+b)x+3a(a+b)，设fk(x)=0的两个根为x1，x2(x10x1x2=a(a+b)0，所以x1，x2均为大于0，所以y=fk(x)在(0,x1)，(x2,+)上严格递增
18、，在(x1,x2)上严格递减，不满足条件，综上所述，ba的取值范围为(1,3，故答案为：(1,3根据题意可得fk(x)=(x-a)3(x-b)-(k-a)3(k-b)x-k=x3+(k-3a-b)x2+k2-(3a+b)k+3a2+3abx+k3-(3a+b)k2+(3a2+3ab)k-a3-3a2b，由于若对一切kZ，y=fk(x)都是区间(k,+)上的严格增函数，则方程fk(x)=0满足=4-2k2+(3a+b)k+b2-3ab=-8(k-b)(k-3a-b2)，分两种情况：当k(3a-b2,b)无解时，当k(3a-b2,b)有解时，ba的取值范围，即可得出答案本题考查导数的综合应用，解题
19、中需要理清思路，属于中档题17.【答案】解：(1)已知数列an是首项为9，公比为13的等比数列，则数列1an是以19为首项，3为公比的等比数列，即1a1+1a2+1a3+1a4+1a5=19(1-35)1-3=1219；(2)由题意可得an=9(13)n-1=33-n，则log3an=log333-n=3-n，则Sn=(2+3-n)n2=-12n2+52n=-12(n-52)2+258，又nN+，则当n=2或n=3时，Sn取最大值3【解析】(1)由已知可得数列1an是以19为首项，3为公比的等比数列，然后结合等比数列的前n项和公式求解即可；(2)由题意可得log3an=log333-n=3-n
20、，然后结合等差数列的前n项和公式求解即可本题考查了等比数列及等差数列，重点考查了等比数列及等差数列的前n项和公式，属基础题18.【答案】解：(1)证明：连接FH，如图所示： F、H分别为ED、EA的中点，在AED中，FH/AD且FH=12AD，BC/AD，BC=2，AD=4，FH/BC且FH=BC，四边形FHBC是平行四边形，FC/BH，又BH平面平面AFC，FC平面AFC，BH/平面AFC；(2)三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，即平面EAD平面ABCD，AEAD，又平面EAD平面ABCD=AD，AE平面EAD，AE平面ABCD，又AB平面ABCD，则AEAB，则建立以A为原点的
21、空间直角坐标系A-xyz，如图所示：AB=AE=BC=2，AD=4，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(0,2,1)，AC=(2,2,0)，AF=(0,2,1)，由(1)得平面EAB的法向量为j=(0,1,0)，设平面ACF的一个法向量为n=(x,y,z)，则nAC=2x+2y=0nAF=2y+z=0，取y=-1，则x=1，z=2，平面ACF的一个法向量为n=(1,-1,2)，设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为，cos=|cos|=|nj|n|j|=11 6= 66，故平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值为 66【解析】(1)连接FH，由题意得FH/AD且FH
22、=12AD，结合题意可得FH/BC且FH=BC，即四边形FHBC是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；(2)由题意得平面EAD平面ABCD，AEAD，可得AEAB，建立以A为原点的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法，即可得出答案本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19.【答案】解：(1)从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为C104，将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A，事件A的对立事件A-为“某代表队抢到至少1道地理环境题”，则P(A)=C54C104=142,P(A-)=1-P(A
23、)=4142；(2)情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，设该代表队必答环节的得分为X，X=0，2，4，7，10，P(X=0)=25,P(X=2)=2535=625,P(X=4)=(35)223=625，P(X=7)=(35)21323=225,P(X=10)=(35)2(13)2=125，则X的分布列为： X024710P25625625225125此时得分期望EX=025+2625+4625+7225+10125=125；情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，设该代表队必答环节的得分为Y，Y=0，3，6，8，10，P(Y=0)=25,P(Y=3)=1323=29,P(Y
24、=6)=131325=245，P(Y=8)=13133525=275,P(Y=10)=(13)2(35)2=125，则Y的分布列为： Y036810P2529245275125此时得分期望EY=025+329+6645+8275+10125=15675；由于12515675，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题【解析】(1)先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；(2)分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案本题考查了离散型随机变量的分布列与期望
25、，属于中档题20.【答案】解：(1)由椭圆C的方程为x2+3y2=4，得标准方程为x24+y243=1，a=2.c= 4-43=2 63，离心率e=ca= 63(2)设|PF1|=m，|PF2|=n，当F1PF2=2时，323=m2+n2，323=(m+n)2-2mn，mn=83，此时；SPF1F2=12mn=1283=43，由对称性，不妨设PF1F2=2时，且P在第一象限，则P(2 63,23)，此时；SPF1F2=124 6323=4 69，综上，PF1F2的面积为43或4 69(3)设P(x0,y0)，则直线PQ的方程为y-y0=k1(x-x0)，由已知|k1x0-y1| 1+k12=r
26、.(x02-r2)k12-2x0y0k1+y02-r2=0，同理：(x02-r2)k22-2x0y0k2+y02-r2=0，因而k1，k2，是方程(x02-r2)k2-2x0y0k+y02-r2=0的两根，所以k1k2=y02-r2x02-r2=1，得x02=y02，由P在第一象限得P(1,1)，存在位于第一象限的点P，使得k1k2=1，点P的坐标为P(1,1)【解析】(1)由已知易求椭圆的离心率；(2)分F1PF2=2，PF1F2=2两种情况可求PF1F2的面积；(3)设P(x0,y0)，则直线PQ的方程为y-y0=k1(x-x0)，可得(x02-r2)k12-2x0y0k1+y02-r2=
27、0，进而可得k1k2=y02-r2x02-r2=1，可求P的坐标本题考查椭圆的几何性质，考查三角形的面积，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题21.【答案】解：(1)由题意，设t0，则曲线y=lnx在点(t,lnt)处的切线方程为y-lnt=1t(x-t)，该切线过原点O时，-lnt=-1，解得t=e，故原点O是函数y=lnx的一个1度点；又因为该切线过点A(2,0)，所以-lnt=1t(2-t)，设s(t)=tlnt-t+2，则s(t)=1+lnt-1=lnt，令s(t)=0，得t=1，所以t(0,1)时，s(t)0，s(t)单调递增，所以s(t)=tlnt-t+2在x=1处取得极小值，也是最
28、小值，且s(1)=0-1+2=10，所以-lnt=1t(2-t)无解，点A(2,0)不是函数y=lnx的1度点；(2)证明：设t0，y=cost，则曲线y=sinx在点(t,sint)处的切线方程为y-sint=cost(x-t)，则该切线过点(0,)，当且仅当-sint=-tcost(*)，设G(t)=sint-tcost-，G(t)=tsint，0t0，故y=G(t)在区间(0,)上单调递增，当0tm时，G(t)0，h(t)=6t2-6at，令h(t)=0得t=0或t=a，由ta时，h(t)0，得y=h(t)严格增；当0ta时，h(t)0，得y=h(t)严格减，故y=h(t)在t=0时取得
29、极大值h(0)=a+b，在t=a时取得极小值h(a)=b+a-a3，又h(-3a+b2)=-3a3(a+b2)20，当h(0)0h(a)时，由零点存在定理，y=h(t)在(-,0)，(0,a)，(a,+)上各有一个零点，不合要求；当0h(0)h(a)时，y=h(t)仅(a,+)上有一个零点，不合要求；当h(0)h(a)0时，y=h(t)仅(-,0)上有一个零点，也不合要求；故y=h(t)有两个不同零点当且仅当h(0)=0或h(a)=0，若a0，可得出曲线在点(t,sint)处的切线方程为y-sint=cost(x-t)，该切线过点(0,)时，-sint=-tcost，然后设G(t)=sint-
30、tcost-，然后根据导数符号可判断G(t)在(0,)上单调递增，从而得出方程-sint=-tcost无解，这样即可得出要证明的结论；(3)求导得出y=3x2-1，设tR，可得出曲线在(t,t3-t)处的切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t)，设点(a,b)为函数y=x3-x的2度点，从而得出关于t的方程b-(t3-t)=(3t2-1)(a-t)恰有两个不同的实数解，设h(t)=2t3-3at2+(a+b)，则h(t)有两个不同的零点，讨论a：a=0时，可得出不合要求；a0时，h(t)，根据h(t)=0可求出h(t)的极大值和极小值，并可得出h(-3a+b2)0，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数y=x3-x的2度点构成的集合本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题
