1、平面向量跟踪知识梳理考纲解读：1.向量的线性运算及几何意义（1 ）理解平面向量的有关概念及向 量的表示方法（2 ）向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义（3 ）理解两个向量共线的含义（4 ）了解向量线性运算的性质及其几何意义2.平面向量基本定理及向量的坐标运算（1 ）了解平面向量基本定理及其意义（2 ）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 来源:Zxxk.Com（3 ）会用坐标对向量进行线性运算（4 ）理解用坐标表示的平面向量共线的条件3.向量数量积的定义及长度、角度问题（1 ）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2 ）掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示（3 ）了解平面向量的数量
2、积与向量投影的关系（4 ）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算（5 ）理解数量积的性质,并能运用4.向量数量积的综合应用（1 ）能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题（2 ）会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系（3 ）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题考点梳理：一、向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法2.向量的线性运算 3.向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件为存在唯一实数 ,使得 b=a 成立.二、平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量, 那么对于这 一平面内的任意向量 a,
3、有且只有 一对实数 1,2,使 a= 1e1+2e2 . 其中, 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一 ; (3)若 1e1+2e2=0,则 1=2=0.考点三 平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算 2.向量坐标的求法 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x 2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b0,则 a 与 b 共线a =b
4、 x1y2-x2y1=0 . 三、向量数量积的定义及长度、角度问题 1.两向量夹角的定义和范围 2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3.平面向量的数量积4.向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量, 是 a 与 e 的夹角,则 (1)ea=ae= |a|cos . (2)ab ab=0 . (3)当 a 与 b 同向时, ab=|a|b| ;当 a 与 b 反向时, ab=-|a|b| . 特别地,a a= |a|2 . (4)cos = . ab(5)|ab|a|b|. 5.坐标表示 (1)若 a=(x,y),则 aa=a2=|a|2=x2+y2,
5、|a|= . (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式. 四、利用向量解决平行、垂直问题 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)ab x1x2+y1y2=0 . (2)ab x1y2-x2y1=0 . 拓展延伸 向量中常用的结论: 在ABC 中, 设A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)在 的条件下,存在 ,使得 I 为ABC 的内心; |Ia +b +c =0P 为ABC 的内心. P(2)| |=| |= | |P 为ABC 的外心. ABC(3) + + =0G 为ABC 的重心. (4) = =
6、 P 为 ABC 的垂心. PA核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北孝感二模,8)设 D、E、F 分别为ABC 三 边 BC、CA、AB 的中点, 则 +2 +3DAEB= ( ) FCA. B. C. D. 2AD32A12AC32A2 (2018 河北、河南、山西三省联考,10) 如图,在等边 ABC 中, O 为ABC 的重心,点 D 为 BC边上靠近 B 点的四等分点,若 =x +y , 则 x+y=( ) ODBA. B. C. D. 1232343 (2018 宁夏银川 4 月模拟)已知| |=2,| |=1,且| -2 |=2 ,则向量 和ABCDAB3AB的夹角 CD为
7、( ) A.30 B.60 C.120 D.150 4已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）ab1ab2abaA0 B1 C. 2 D 来源:15已知 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的取值范围为（ ,cc）A B C. D1,22,2,36向量 ， ，若 是实数，且 ，则 的最cos25,inasin20,cobtuatbu小值为（ ）A B C D12127设向量 ，若 ，则实数 等于（ ）2,ambbamA2 B4 C6 D 38如图，已知 ， ， ， ，则 （ ）A4BD3AEA B C D314ba53124ab314ab529已知平形四边形 的对角线分别
8、为 ，且 ，点 是 上靠近ACDACBD， 2EFB的四等分点，则（ ）DA B152FEBAD 152FEADC D10已知点 ， ， 在圆 上，满足 （其中 为坐标原点） ，C21xy2OC0O且 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）ABOBAA B1 C D12 11211 为 内一点，且 ， ，若 ， ， 三点共线，C 20OAtBO则 的值为（ ）tA B C D1314122312已知 是单位圆上的两点， 为圆心，且 是圆 的一条直径，, 0,AOBMN点 在圆内，且满足 ，则 的最小值为（ ）C1OCARA B C D1243413已知 的外接圆半径为 1，圆心为点 ，且 ，则
9、 的C O350ABABC面积为（ ）A B C D8575654514如图所示， ， ， 是圆 上不同的三点，线段 的延长线与线段 交于圆外COOBA的一点 ，若 （ ， ） ，则 的取值范围是（ ）DARA B C D(0,1)(1,),11,015半圆的直径 ， 为圆心， 是半圆上不同于 、 的任意一点，若 为半径4ABP的中点，则 的值是（ ）OCPACA B C D无法确定21216在 中， ， ， 分别为角 ， ， 对边的长，若 abcAB，则 （ ）43aBA0osA B C D212413629362917已知点 为 内部一点，且满足 ，则 ，OC 40OABAOB， 的面积之
10、比依次为（ ）B A4:2:3 B2:3:4 C4:3:2 D3:4:518已知向量 与 的夹 角为 30，且 ，则 等于（ ）ab3,2ababA1 B C13 D13 72319如图，在平行四边形 中， ， 分别为 ， 上的点，且ACDMNAB，连接 ， 交于 点，若 ，则 的值为（ ）32 43MN， PCA B C. D353761361720设 ， ， 是非零向量.若 ，则（ ）abc|()|2acbabcA. B. C. D.()0()0()0c二、填空题21已知 ， ，则与 方向相同的单位向量 1,2a,1b2abe22已知直角梯形 中， ， ， ， ， 是腰ABCD/90ADC
11、21BCP上的动点，则 的最小值为_.DC3P23 为 的 边上一点， ，过 点的直线分别交直线 2B于 ，若 ，其中 ，则 _.AB、 EF、 ,AFAC0,2124如图，已知 中， 为边 上靠近 点的三等分点，连接 ， 为线段BC DADE的中点，若 ，则 .Dmnn25如图，正方形 中， 分别是 的中点， 若 ，则ABCD,MN,BCDACMBN_326如图，点 为 的重心，且 ， ，则 的值为 OABC OAB4ACB27在 中， ， ， ， 边上的高线为 ，RtAOB 05|OA52|BAOD点 位于线段 上，若 ，则向量 在向量 上的投影为 .ED43EED28在 中， ， ， 是
12、线段 上的动点（含端点）C 16sinicosC，则 的取值范围是 A29如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是线段ABCD 2AB1DCP上一动点， 是线段 上一动点， ， ，则 的BCQQ()PBAQ取值范围是_30在直角梯形 分别为,1,2,ABCDABDCABEF的中点，点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示） 若,P，其中 ，则 的取值范围是_ PEF,R2平面向量跟踪知识梳理考纲解读：1.向量的线性运算及几何意义（1 ）理解平面向量的有关概念及向量的表示方法（2 ）向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义（3 ）理解两个向量共线的含义（4 ）了解向量线性运算的性质及其
13、几何意义2.平面向量基本定理及向量的坐标运算（1 ）了解平面向量基本定理及其意义（2 ）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示（3 ）会用坐标对向量进行线性运算（4 ）理解用坐标表示的平面向量共线的条件3.向量数量积的定义及长度、角度问题（1 ）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2 ）掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示（3 ）了解平面向量的数量积与向量投影的关系（4 ）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算（5 ）理解数量积的性质,并能运用4.向量数量积的综合应用（1 ）能 运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题（2 ）会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系（3 ）会用
14、向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题考点梳理：一、向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法2.向量的线性运算 3.向量共线定理:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件为存在唯一实数 ,使得 b=a 成立.二、平面向量基本定理 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 不共线 向量, 那么对于这 一平面内的任意向量 a, 有且只有 一对实数 1,2,使 a= 1e1+2e2 . 其中, 不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一 ; 来源:ZXXK来源:
15、(3)若 1e1+2e2=0,则 1=2=0.考点三 平面向量的坐标运算 1.加法、减法、数乘运算 2.向量坐标的求法 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x 2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b0,则 a 与 b 共线a =b x1y2-x2y1=0 . 三、向量数量积的定义及长度、角度问题 1.两向量夹角的定义和范围 2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 3.平面向量的数量积4.向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与
16、b 方向相同的单位向量, 是 a 与 e 的夹角,则 (1)ea=ae= |a|cos . (2)ab ab=0 . (3)当 a 与 b 同向时, ab=|a|b| ;当 a 与 b 反向时, ab=-|a|b| . 特别地,a a= |a|2 . (4)cos = . ab(5)|ab|a|b|. 5.坐标表示 (1)若 a=(x,y),则 aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= . (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式. 四、利用向量解决平行、垂直问题 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)ab x1x
17、2+y1y2=0 . (2)ab x1y2-x2y1=0 . 拓展延伸 向量中常用的结论: 在ABC 中, 设A ,B ,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)在 的条件下,存在 ,使得 I 为ABC 的内心; |Ia +b +c =0P 为ABC 的内心. P(2)| |=| |= | |P 为ABC 的外心. ABC(3) + + =0G 为ABC 的重心. (4) = = P 为 ABC 的垂心. 来源:PA核心能力必练一、选择题1 (2018 湖北孝感二模,8)设 D、E、F 分别为ABC 三边 BC、CA、AB 的中点,则 +2 +3DAEB= ( ) FCA. B. C. D.
18、2AD32A12AC32A【答案】D【解析】因为 D、E、F 分别为 ABC 三边 BC、CA 、AB 的中点,所以 +2 +3 = (DEBFC12+ )+BAC2 ( + )+3 ( + )= + + + + + = +1212ACB12ACB32A12CB12+= + = ,故选 D. A32 (2018 河北、河南、山西三省联考,10) 如图,在等边ABC 中,O 为 ABC 的 重心,点 D 为BC 边上靠近 B 点的四等分 点,若 =x +y , 则 x+y=( ) ODABCA. B. C. D. 123234【答案】B3 (2018 宁夏银川 4 月模拟)已知| |=2,| |
19、=1,且| -2 |=2 ,则向量 和ABCDAB3AB的夹角 CD为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】C【解析】易知( -2 )2= -4 +4 =4-4 +4=12, ABCDAB2CDAB =-1,cos= = , 1向量 和 的夹角为 120.故选 C.4已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）ab1ab2abaA0 B1 C. 2 D 1【答案】D【解析】 在 方向上的投影为 ，故选 D.2ab2210abab5已知 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的取值范围为（ ,cc）A B C. D1,22,2,3【答案】B6向量 ， ，若
20、 是实数，且 ，则 的最cos25,inasin20,cobtuatbu小值为（ ）A B C D1212【答案】C【解析】 ， cos25in0,si5cos0uatbtt （ ） 222si 1sin451| t t ，是实数，由二次函数的性质知当 时， 取到最小值，最小值为 ，故选 C.t 2tu27设向量 ，若 ，则实数 等于（ ）2,1,ambbamA2 B4 C6 D 3【答案】C【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 .故选2ba20ba420m6C8如图，已知 ， ， ， ，则 （ ）ABCBD3CAEDA B C D314ba53124ab314ab52【答案】D【解析】 .31
21、53,424BCADECbababa9已知平形四边形 的对角线分别为 ，且 ，点 是 上靠近AB， ECFBD的四等分点，则（ ）DA B152FEBAD 152FEADC D【答案】C10已知点 ， ， 在圆 上，满足 （其中 为坐标原点） ，ABC21xy2OABC0O且 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）OBA B1 C D12 112【答案】A【解析】由 ，得 ，即()()ACOA0OCB三点共线，又 ，故所求的投影为 .故选 ACBO,ABO 1|cos32BA11 为 内一点，且 ， ，若 ， ， 三点共 20CDtBOD线，则 的值为（ ）tA B C D13141223【答
22、案】A2已知 是单位圆上的两点， 为圆心，且 是圆 的一条直径，, O0,ABMNO点 在圆内，且满足 ，则 的最小值为（ ）C1CARCA B C D12434【答案】C【解析】由 得 三点共线，1OAOR,AB，所以当 最小时值最MNCM 221COC小.此时 为圆心到直线 的距离，由于 ，所以圆心到直线的距离为B0，故最小值为1sin30213413已知 的外接圆半径为 1，圆心为点 ，且 ，则 的AC O3450ABCAB面积为（ ）A B C D8575654【答案】C【解析】由题意知 ，由 可得1OA340OAB，两边平法可得 ，所以 ，因此345ABC921625 OAB，同 理
23、， ， ，两边分别平方可得34B3C，根据同角三角函数基本关系可得3cos,cos,55OOA，所以ininBCC0112ABCOACBSS，故选 C.314652514如图所示， ， ， 是圆 上不同的三点，线段 的延长线与线段 交于圆外OCOBA的一点 ，若 （ ， ） ，则 的取值范围是（ ）DABRA B C D(0,1)(1,),11,0【答案】D15半圆的直径 ， 为圆心， 是半圆上不同于 、 的任意一点，若 为半径4ABOCABP的中点，则 的值是（ ）OCPA B C D无法确定212【答案】A【解析】因为 为 的中点，且 为半径 的中点，所以 ，APO2PABOPC所以 ，故
24、选 A.22PBC2()116在 中， ， ， 分别为角 ， ， 对边的长，若 abcABC，则 （ ）423aA0osA B C D124136293629【答案】A17已知点 为 内部一点，且满足 ，则 ，OAC 40OABAOB， 的面积之比依次为（ ）B A4:2:3 B2:3:4 C4:3:2 D3:4:5【答案】A【解析】不妨设三角形为等腰 直角三角形，且直角边长为 ，以直角顶点 为原点建立平1C面直角坐标系，则 ，设 ，则0,1,0,ABC,Oxy，即 解得 ，所以23439,2Oxy3902,12,39xy，所以面积比为 .111,66ACOBCOABSSS 4:318已知向量
25、 与 的夹角为 30，且 ，则 等于（ ）ab3ababA1 B C13 D13 723【答案】A【解析】 ，cos,abab所以 .22364119如图，在平行四边形 中， ， 分别为 ， 上的点，且ABCDMNABD，连接 ， 交于 点，若 ，则 的值为（ ）3 43AMBN， PCA B C. D3537613617【答 案】D20设 ， ， 是非零向量.若 ，则（ ）abc|()|2acbabcA. B. C. D.()0()0()0c【答案】D.【解析】若 ，则 ；若 ，则由abc()0acacb可知， ， 也成立 ，故选 D.1|(|2c ()0c二、填空题21已知 ， ，则与 方
26、向相同的单位向量 1,a,1b2abe【答案】 345，【解析】因为 ， ，所以 ，所以1,2a,1b2(1,),(3,4)ab e|2|ba.345，22已知直角梯形 中， ， ， ， ， 是腰ABCD/90ADC21BCP上的动点，则 的最小值为_.DC3P【答案】 5【解析】如图所示，以直线 分别为 轴建立平面直角坐标系，设 ，则,A,xyDa， ，设 ，则(2,0)1,ABa(0,)CD(0)Pba，所以 ，所以,Pbb3B5,4，所以 的最小值为 .235(34)5A523 为 的 边上一点， ，过 点的直线分别交直线DABC 2DCB于 ，若 ，其中 ，则 _.、 EF、 ,AF0
27、,21【答案】3【解析】由题意可得 ，21(1)3DBCmEnABnACm所以 21,3mn324如图，已知 中， 为边 上靠近 点的三等分点，连接 ， 为线段AB BADE的中点，若 ，则 .ADCEnmn【答案】 1225如图，正方形 中， 分别是 的中点，若 ，则ABCD,MN,BCDACMBN_3【答案】 0【解析】设正方形飞边长为 ， 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平2A,BAD,xy面直角坐标系，则 ， ， ， ， ， 所,C,1M2N,012BN以 解得 所以 .2,6,523026如图，点 为 的重心，且 ， ，则 的值为 OABC OAB4ACB【答案】3227在
28、中， ， ， ， 边上的高线为 ，RtAOB 05|OA52|BAOD点 位于线段 上，若 ，则向量 在向量 上的投影为 .ED43EED【答案】 或123【解析】由等面积法求得 ，设 ，则 ，因为 ，所以2Dx2xAB，所以 所以 或0OEAD 3()(2),4EAODAEx12x. 3228在 中， ， ， 是线段 上的动点（含端BC 16sinicosBCDAB点） ，则 的取值范围是 DA【答案】 来源:ZXXK4,0【解析】如图所示， ， ，16BACcos16bA ，22223bcabca又 ，siniosA ，()csin0cos2BCBCB ，设 ， ，22234bcac|DA
29、x4 .2()(),0DA29如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是线段ABC B1CP上一动点， 是线段 上一动点， ， ，则 的BCQDQ()PBAQ取值范围是_ _【答案】 0,230在直角梯形 分别为,1,2,ABCDABDCABEF的中点，点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示） 若,P，其中 ，则 的取值范围是_ PEF,R2【答案】 1,【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立平面直角坐标系，依题意A,BAD,xy得 ， ， ，则 ，设0,1D,E31(1,)2,0,CF311,2EDAF，因为 ，所以cos,in,0,PAP，即 两式相减得31cs,i,23cos,21in，又 ，所以2sincosin4,4.i1,4
