1、2019 年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）下列四个数中，是负数的是（ ）A|2| B （2） 2 C D2 （2 分）下列计算中，结果与 a2a4 相等的是（ ）Aa 2+a4 B （a 2） 4 Caa 7a Da 7a3 （2 分）若 a b，其中 a、b 为两个连续的整数，则 ab 的值为（ ）A2 B5 C6 D124 （2 分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体
2、的体积是（ ）A20 B30 C40 D505 （2 分）若一组数据 2，4，6，8，x 的方差比另一组数据 5，7，9，11，13 的方差大，则 x 的值可以为（ ）A12 B10 C2 D06 （2 分）如图，在正方形 OABC 中，点 B 的坐标是（4，4） ，点 E、F 分别在边 BC、BA上，OE2 若EOF 45，则 F 点的纵坐标是（ ）A1 B C D 1二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）3 的相反数是 ；3 的倒数是
3、 8 （2 分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系第 2 页（共 28 页）统根据规划，全市公共自行车总量明年将达 110000 辆，用科学记数法表示 110000 是 9 （2 分）要使式子 x+ 在实数范围有意义，则 x 的取值范围为 10 （2 分）计算： 11 （2 分）已知关于 x 的方程 x23x m 0 的一个根是 2，则它的另一个根是 ，m 的值是 12 （2
4、 分）已知圆锥的底面半径是 2cm，母线长为 3cm，则圆锥的侧面积为 cm 213 （2 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，外角DCE 85，则BAD 14 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12，其内部有一个小正方形 EFGH，其中E、F 、H 分别在 BC，CD ，AE 上若 BE9，则小正方形 EFGH 的边长 15 （2 分）如图，直线 y x+ 与双曲线 y 在第一象限内的图象交于一点 A（1，1） ，与 x 负半轴交与点 B点 P（m ，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且
5、P 点在A 点的右侧，分别过点 A、P 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C、D，连结 PB则ABC的面积 PBD 的面积（填“” 、 “”或“” ） 16 （2 分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，例如：如图，矩形 ABCD 的对角线交点 O 是矩形的一个腰点，则任一正第 3 页（共 28 页）方形的腰点共有 个三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （6 分）计算：（ ） 18 （7 分） （1）解方程组 （2
6、）请运用解二元一次方程组的思想方法解方程组 19 （8 分）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多 100 元，且用 1200 元购进的甲种兰花与用 900 元购进的乙种兰花数量相同（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？（2）该种植基地决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的 3 倍还多 10 株，求最多购进甲种兰花多少株？20 （8 分）某公司销售部统计了该部门所有员工某月的销售量，统计结果如表所示：每人销售量/件 120 150 210 240 450 800人数 2 3 5 3
7、1 1（1）根据上表，该销售部员工销售量的中位数是 ，众数是 （2）该销售部员工销售量的平均数约是 247 件，销售部经理把该月的工作量定为 247件如果员工该月的销售量小于 247 件，视为没有完成工作任务你认为这样规定是否合理？为什么？若不合理，那你认为该月的工作量定为多少件比较合适？说明你的理由21 （7 分）某种电子产品共 4 件，其中有正品和次品已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为 （1）该批产品有正品 件；（2）如果从中任意取出 2 件，求取出 2 件都是正品的概率第 4 页（
8、共 28 页）22 （8 分）如图，在ABCD 中，AF 是BAD 的平分线，交 BC 于点 F，与 DC 的延长线交于点 NCE 是BCD 的平分线，交 AD 于点 E，与 BA 的延长线交于点 M（1）试判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由；（2）若 BEME，证明四边形 ABFE 是菱形23 （8 分）如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48若斜坡 FA 的坡比 i1： ，求大树的高度 （结果保留一位小数）参考
9、数据：sin480.74 ，cos480.67，tan481.11， 取 1.7324 （9 分）某班“数学兴趣小组”对函数 yx 22| x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下（1）补全下表，在所给坐标系中画出函数的图象：x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 （2）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；（3）进一步探究函数图象发现：第 5 页（共 28 页）函数图象与 x 轴有 个交
10、点，所以对应方程 x22|x|0 有 个实数根；方程 x22|x|2 有 个实数根；关于 x 的方程 x22|x |a 有 4 个实数根，a 的取值范围是 25 （10 分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路 l，张老师从甲地出发沿公路 l 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 l 骑自行车前往甲地小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上张老师后两人一起步行到乙地设张老师与甲地的距离为 y1（m） ，小亮与甲地的距离为 y2（m ） ，张老师与小亮之间的距离为 s（m ） ，张老师行走
11、的时间为x（min） y 1、y 2 与 x 之间的函数图象如图 1 所示，s 与 x 之间的函数图象（部分）如图2 所示（1）求小亮从乙地到甲地过程中 y2（m ）与 x（min）之间的函数关系式；（2）直接写出点 E 的坐标和它的实际意义；（3）在图 2 中，补全整个过程中 s（m）与 x（min）之间的函数图象（标注关键点的坐标，所画图象加粗） 26 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点D，E，过点 B 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：CBF CAB；（2）若 CD2，tanCBF ，求 FC 的长第 6 页（共 2
12、8 页）27 （9 分）在平面直角坐标系 xOy 中， C 的半径为 r，给出如下定义：若点 P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心 C 的距离 dr，则称 P 为C 的关联整点（1）当O 的半径 r2 时，在点 D（2，2） ，E（1，0） ，F（0，2）中，为O 的关联整点的是 ；（2）若直线 yx +4 上存在 O 的关联整点，且不超过 7 个，求 r 的取值范围；（3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，若直线 yx+4 上存在C 的关联整点，求圆心 C 的横坐标 t 的取值范围第 7 页（共 28 页）2019 年江苏省南京市溧水区中考数学二模试卷参考答案与试
13、题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （2 分）下列四个数中，是负数的是（ ）A|2| B （2） 2 C D【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、|2|2，是正数，故本选项错误；B、 （2） 24，是正数，故本选项错误；C、 0，是负数，故本选项正确；D、 2，是正数，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简
14、是判断正、负数的关键2 （2 分）下列计算中，结果与 a2a4 相等的是（ ）Aa 2+a4 B （a 2） 4 Caa 7a Da 7a【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案【解答】解：a 2a4a 6a7aa 6，故选：D【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键3 （2 分）若 a b，其中 a、b 为两个连续的整数，则 ab 的值为（ ）A2 B5 C6 D12【分析】直接利用 的取值范围得出 a，b 的值，进而得出答案【解答】解：3 4，a b，其中 a、b 为两个连续的整数，a3，b4，ab12
15、第 8 页（共 28 页）故选：D【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 a，b 的值是解题关键4 （2 分）长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）A20 B30 C40 D50【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积【解答】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为 5 和 4，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为 5 和 2，因此这个长方体的长、宽、高分别为 5、2、4，因此这个长方体的体积为 42540 立方单位故选：C【点评】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题是由两种视图来推测整个正方体
16、的特征，这种类型问题在中考试卷中经常出现，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽5 （2 分）若一组数据 2，4，6，8，x 的方差比另一组数据 5，7，9，11，13 的方差大，则 x 的值可以为（ ）A12 B10 C2 D0【分析】利用方差定义判断即可【解答】解：5，7，9，11，13，这组数据的平均数为 9，方差为S12 （4 2+22+0+22+42）8；数据 2，4，6，8，x 的方差比这组数据方差大，则有 S22S 128，当 x12 时，2，4，6，8，12 的平均数为 6.4，方差为 （4.4 2+2
17、.42+0.42+1.62+5.62）11.84，满足题意，故选：A【点评】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键6 （2 分）如图，在正方形 OABC 中，点 B 的坐标是（4，4） ，点 E、F 分别在边 BC、BA第 9 页（共 28 页）上，OE2 若EOF45，则 F 点的纵坐标是（ ）A1 B C D 1【分析】如图连接 EF，延长 BA 使得 AMCE，则OCEOAM先证明OFEFOM，推出 EFFMAF +AMAF+CE ，设 AFx，在 RtEFB 中利用勾股定理列出方程即可解决问题【解答】解：如图连接 EF，延长 BA 使得 AMCE，则OCEO
18、AMOEOM ， COEMOA，EOF45，COE+AOF45，MOA+AOF45，EOFMOF，在OFE 和OFM 中，OFEFOM，EFFMAF+AM AF +CE，设 AFx ，CE 2，EF2+x，EB2，FB4 x，（2+x） 22 2+（4x） 2，第 10 页（共 28 页）x ，点 F 的纵坐标为 ，故选：B【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7 （2 分）3 的相反
19、数是 3 ；3 的倒数是 【分析】根据倒数以及相反数的定义即可求解【解答】解：3 的相反数是 3；3 的倒数是 故答案是：3， 【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数8 （2 分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统根据规划，全市公共自行车总量明年将达 110000 辆，用科学记数法表示 110000 是 1.1105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的
20、位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：110000 用科学记数法表示为：1.110 5，故答案为：1.110 5【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9 （2 分）要使式子 x+ 在实数范围有意义，则 x 的取值范围为 x1 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解： 在实数范围有意义，1x0，解得 x1故答案为：x1第 11 页（共 28 页）【点评】本题考查的是二次根式有意
21、义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键10 （2 分）计算： 【分析】先把 化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则运算，然后合并即可【解答】解：原式2 2 故答案为 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式11 （2 分）已知关于 x 的方程 x23x m 0 的一个根是 2，则它的另一个根是 1 ，m的值是 2 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：设该方程的另外一根为 x1，2+x 13，x 11，2x 1m，m2，故答案为：1，2【点评】本题考查一元二
22、次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型12 （2 分）已知圆锥的底面半径是 2cm，母线长为 3cm，则圆锥的侧面积为 6 cm 2【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2【解答】解：底面半径是 2cm，则底面周长4cm，圆锥的侧面积 436cm 2【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解13 （2 分）如图，四边形 ABCD 内接于O ，外角DCE 85，则BAD 85 第 12 页（共 28 页）【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答【解答】解：四边形 ABCD 内接于O ，BADDCE85，故答案为：85【点评】
23、此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键14 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 12，其内部有一个小正方形 EFGH，其中E、F 、H 分别在 BC，CD ，AE 上若 BE9，则小正方形 EFGH 的边长 【分析】由四边形 ABCD 为正方形，得到四个角为直角，四条边相等，在直角三角形ABE 中，利用勾股定理求出 AE 的长，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 ABE 与三角形 EFC 相似，由相似得比例，求出 EF 的长，即为小正方形 EFGH 的边长【解答】解：
24、四边形 ABCD 是正方形，BC90，ABBC12，CE 3，在 Rt ABE 中，AB 12，BE9，AE 15，AEB +CEF AEB+BAE90，BAE CEF，且BC90，ABE ECF， 即 ，第 13 页（共 28 页）解得：EF ，则小正方形 EFGH 的边长 故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键15 （2 分）如图，直线 y x+ 与双曲线 y 在第一象限内的图象交于一点 A（1，1） ，与 x 负半轴交与点 B点 P（m ，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且 P 点在A 点的右侧，分别过点
25、 A、P 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C、D，连结 PB则ABC的面积 PBD 的面积（填“” 、 “”或“” ） 【分析】连接 OA、OP，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 SAOC S POD k，然后根据三角形面积公式得到 SAOB S POB ，即可证得 SABC S PBD 【解答】解：连接 OA、OP，则 SAOC S POD k，A（1，1） ，点 P（m，n）是该双曲线在第一象限内图象上的一点，且 P 点在 A 点的右侧，m1，n1，AC1PD，S AOB OBAC，S POB OBPD，S AOB S POB ，S AOB +SAOC S POB +SPOD ，即
26、SABC S PBD ，故答案为第 14 页（共 28 页）【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，反比例函数系数 k 的几何意义，三角形面积等，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式16 （2 分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，例如：如图，矩形 ABCD 的对角线交点 O 是矩形的一个腰点，则任一正方形的腰点共有 9 个【分析】根据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，可得正方形一共有 9 个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四点，据此解答即可【解答】解：如
27、图，正方形一共有 9 个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点故答案为：9【点评】 （1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、第 15 页（共 28 页）菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相
28、等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （6 分）计算：（ ） 【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可【解答】解：（ ） 【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键18 （7 分） （1）解方程组 （2）请运用解二元一次方程组的思想方法解方程组 【分析】 （1）把代入 得： 3x2（x+1）1，求出解 x1，再把 x1 代入得：y2 即可，（2）由 得： x1y ，再把 代入得：1y+y 23，解得：y 11，
29、y 22，把y11，y 22 分别代入得：x 12，x 21 即可【解答】解：（1）把代入 得： 3x2（x+1）1，解得：x1把 x1 代入 y得：y 2第 16 页（共 28 页）方程组的解为 ，（2）由得： x1y把代入 得： 1y +y23，解得：y 11，y 22，把 y11，y 22 分别代入得：得：x 12，x 21，方程组的解为 或 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法19 （8 分）南京市某花卉种植基地欲购进甲
30、、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多 100 元，且用 1200 元购进的甲种兰花与用 900 元购进的乙种兰花数量相同（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？（2）该种植基地决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲种兰花的 3 倍还多 10 株，求最多购进甲种兰花多少株？【分析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元，注意分式方程要检验；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题【解答】解：（1）设每株乙种兰花的成本为 x 元，则每株甲种兰花的成本为（x+100
31、）元由题意得 ，解得，x300，经检验 x300 是分式方程的解，x+100300+100400，答：每株甲种兰花的成本为 400 元，每株乙种兰花的成本为 300 元；（2）设购进甲种兰花 a 株第 17 页（共 28 页）由题意得 400a+300（3a+10 ）30000，解得，a ，a 是整数，a 的最大值为 20，答：最多购进甲种兰花 20 株【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分式方程的知识和不等式的性质解答20 （8 分）某公司销售部统计了该部门所有员工某月的销售量，统计结果如表所示：每人销售量/件 120 150 210 240
32、450 800人数 2 3 5 3 1 1（1）根据上表，该销售部员工销售量的中位数是 210 件 ，众数是 210 件 （2）该销售部员工销售量的平均数约是 247 件，销售部经理把该月的工作量定为 247件如果员工该月的销售量小于 247 件，视为没有完成工作任务你认为这样规定是否合理？为什么？若不合理，那你认为该月的工作量定为多少件比较合适？说明你的理由【分析】 （1）根据中位数和众数的定义求解可得；（2）根据平均数和中位数及众数的意义解答【解答】解：（1）该销售部员工销售量的中位数是 210 件，众数是 210 件，故答案为：210 件，210 件；（2）因为 15 人中有
33、 13 人的销售额不到 247 件，247 件虽是所给这组数据的平均数，但这组数据中有差异较大的数据，所以它不能很好地反映销售人员的一般水平，销售额定为 210 件合适些，因为 210 件既是这组数据的中位数，又是这组数据的众数，是大部分人能达到的水平【点评】此题考查了学生对中位数，众数的概念及其运用，它们都是反映数据集中趋势的指标21 （7 分）某种电子产品共 4 件，其中有正品和次品已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为 （1）该批产品有正品 3 件；第 18 页（共 28 页）（2）如果从中任意取出 2 件，求取出 2 件都是正品的概率【分析】 （1）由某种电子产品共 4 件，其
34、中有正品和次品已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为 ，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出 2 件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）某种电子产品共 4 件，从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为 ；批产品有正品为：44 3故答案为：3；（2）画树状图得：结果共有 12 种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共 6 种，P（两次取出的都是正品） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22 （8 分）如图，在ABCD 中，AF 是B
35、AD 的平分线，交 BC 于点 F，与 DC 的延长线交于点 NCE 是BCD 的平分线，交 AD 于点 E，与 BA 的延长线交于点 M（1）试判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由；（2）若 BEME，证明四边形 ABFE 是菱形第 19 页（共 28 页）【分析】 （1）根据平行四边形的性质和判定解答即可；（2）根据菱形的判定解答即可【解答】解：（1）四边形 AFCE 是平行四边形，理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，BADBCD，AD BC，FADBFAAF 是BAD 的角平分线，CE 是BCD 的角平分线，FAD BAD ，BCE BCD，FADBCE，BFA BCE，AFC
36、E，又ADBC，四边形 AFCE 的是平行四边形；（2）AF 是BAD 的角平分线，且FAD BFA ，BFA BAF，BABF，BEME，BEM 90 ，AFCE，BOABEM90，即 BOAF，又在ABF 中，BABF，ABE FBE，第 20 页（共 28 页）ADBC，AEB FBE，ABE AEB，BAAE，BFAE，又ADBC，四边形 ABFE 的是平行四边形，又BABF，ABFE 是菱形【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定以及菱形的判定解答23 （8 分）如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D
37、处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48若斜坡 FA 的坡比 i1： ，求大树的高度 （结果保留一位小数）参考数据：sin480.74 ，cos480.67，tan481.11， 取 1.73【分析】首先过点 D 作 DMBC 于点 M，DNAC 于点 N，由 FA 的坡比i1： ，DA6，可求得 AN 与 DN 的长，然后设大树的高度为 x，又由在斜坡上 A处测得大树顶端 B 的仰角是 48，可得 AC ，又由在BDM 中， ，可得 x3（3 + ） ，继而求得答案【解答】解：过点 D 作 DMBC 于点 M，D
38、NAC 于点 N，则四边形 DMCN 是矩形，DA6，斜坡 FA 的坡比 i1： ，第 21 页（共 28 页）DN AD3，ANAD cos306 3 ，设大树的高度为 x，在斜坡上 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48，tan48 1.11，AC ，DM CNAN+ AC3 + ，在BDM 中， ，BM DM，x3（3 + ） ，解得：x12.5答：树高 BC 约 12.5 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键24 （9 分）某班“数学兴趣小组”对函数 yx 22| x|的图象和性质进行了探究，探究
39、过程如下（1）补全下表，在所给坐标系中画出函数的图象：x 3 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 1 0 3 （2）观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；（3）进一步探究函数图象发现：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应方程 x22|x|0 有 3 个实数根；第 22 页（共 28 页）方程 x22|x|2 有 2 个实数根；关于 x 的方程 x22|x |a 有 4 个实数根，a 的取值范围是 1a0 【分析】解：（1）根据函数的对称性补全的表格，并依据表格数据画出函数的图
40、象即可；（2）本题答案不唯一，例如：函数 yx 22|x |的图象关于 y 轴对称； 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大；（3）观察图象即可求解【解答】解：（1）根据函数的对称性补全的表格和图象如下：；（2）本题答案不唯一，函数 yx 22|x |的图象关于 y 轴对称；当 x1 时， y 随 x 的增大而增大；（3）从图象可以看出：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应方程 x22|x | 0 有 3 个实数根；方程 x22|x|2 有 2 个实数根；关于 x 的方程 x22|x |a 有 4 个实数根，a 的取值范围是； 1a0；第 23 页（共 28 页）故：答案为：3，3； 2
41、； 1a0【点评】本题考查的是抛物线图象和函数的交点问题，涉及到函数的对称性、图象描点画法等，其中函数对称性是本题解题的关键25 （10 分）甲、乙两地之间有一条笔直的公路 l，张老师从甲地出发沿公路 l 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路 l 骑自行车前往甲地小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上张老师后两人一起步行到乙地设张老师与甲地的距离为 y1（m） ，小亮与甲地的距离为 y2（m ） ，张老师与小亮之间的距离为 s（m ） ，张老师行走的时间为x（min） y 1、y 2 与 x 之间的函数图象如图 1 所示，s 与 x 之间的函数图象（部分）如图2 所示（1）求小亮从乙地
42、到甲地过程中 y2（m ）与 x（min）之间的函数关系式；（2）直接写出点 E 的坐标和它的实际意义；（3）在图 2 中，补全整个过程中 s（m）与 x（min）之间的函数图象（标注关键点的坐标，所画图象加粗） 【分析】 （1）把将 A（0，2000） 、B（10，0）代入到 y2kx +b 中，即可求解；（2）点 E（32，1600）表示张老师出发 32min 后，被从甲地原路原速返回的小亮追上的距离，即可求解；（3）将关键点在图上标出，用折线连接即可【解答】解：（1）设小亮从乙地到甲地过程中 y2（m ）与 x（min）之间的函数关系式为 y2kx+b，将 A（0，2000） 、B（10
43、，0）代入到 y2kx+b 中， ，解得： ，y 2200x+2000 （0x 10） ；（2）点 E（32，1600） ，张老师出发 32min 后，被从甲地原路原速返回的小亮追上，此时他们距甲地 1600 m；（3）图象如下：第 24 页（共 28 页）【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是关键点坐标的求解26 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点D，E，过点 B 作O 的切线，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：CBF CAB；（2）若 CD2，tanCBF ，求 FC 的长【分析】 （1）由圆周角定理得出AEB
44、90，得到BAE+ABC90，由切线性质得出ABC+ CBF90，即可证得BAECBF ，由等腰三角形的性质得出BAE EAC CAB，即可证得结论；（2）易证得DBCCBF，从而证得 BD4，设 ABx，则 ADx2，由勾股定理证得 AB5，AD3，然后根据射影定理得到 AB2ADAF，即可求得 AF，进而求得FC【解答】 （1）证明：AB 为 O 的直径，AEB 90BAE +ABC 90，ABAC，BAE EAC CAB第 25 页（共 28 页）BF 为O 的切线，ABC+ CBF90BAE CBFCBF CAB；（2）解：连接 BD，AB 为O 的直径，ADB90DBCDAE，DBC
45、CBFtanCBF tanDBC CD2，BD4，设 ABx，则 ADx 2，在 Rt ABD 中，ADB90，由勾股定理得 x5AB5，AD 3，在 Rt ABC 中，BDAC，AB 2AD AFAF FCAFAC 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及射影定理的应用，第 26 页（共 28 页）主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力27 （9 分）在平面直角坐标系 xOy 中， C 的半径为 r，给出如下定义：若点 P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心 C 的距离 dr，则称 P 为C 的关联整点（1）当O 的半径 r2 时，在点 D（2，2） ，E（1，0） ，F
46、（0，2）中，为O 的关联整点的是 E，F ；（2）若直线 yx +4 上存在 O 的关联整点，且不超过 7 个，求 r 的取值范围；（3）C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，若直线 yx+4 上存在C 的关联整点，求圆心 C 的横坐标 t 的取值范围【分析】 （1）分别计算出点 D，E，F 与圆心 O 的距离，即可根据定义直接判断；（2）分别求出直线 yx +4 与 O 的关联整点只有一个和 7 个时两种特殊情况下 r 的值即可；（3）同（2）找出关键的关联整点，求出圆心 C 的横坐标即可求出 t 的取值范围【解答】解：D（2，2） ，E（1，0） ，F（0，2） ，O （0，0） ，OD
47、2 2，OE12，OF2，E，F 为O 的关联整点，故答案为：E，F；（2）如图 1，当O 过点 G（ 2，2）时，rOG 2 ，第 27 页（共 28 页）当 O 过点 F（2，6）时，rOF 2 ，当直线 yx +4 上存在O 的关联整点，且不超过 7 个时， r ；（3）如图 2，当C 过点 M（3，1）时，CM2，ME 1，则 CE ，此时点 C 的横坐标 t ，当 C'过点 N（5，1）时，则 FC' ，点 C'的横坐标 t ，圆心 C 的横坐标 t 的取值范围为： t 【点评】本题考查了新定义，用勾股定理求两点间的距离等，解题的关键是根据题意找第 28 页（共 28 页）出关键点，求出 r 的值
