1、2019 年北京市延庆区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 （5 分）已知集合 Ax| x（x +1）0 ，集合 Bx|1x1，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|1x0 C x|1x1 D x|0x12 （5 分） “0k1”是“方程 表示双曲线”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知 x（0，1） ，令 alog x3，bsinx ，c2 x，那么 a，b，c 之间的大小关系为（ ）Aabc Bbac Cbca Dc ab4 （5
2、 分）函数 在区间 上的零点之和是（ ）A B C D5 （5 分）已知数列a n中， ，若利用如图程序框图计算该数列的第2019 项，则判断框内的条件是（ ）An2016 Bn2017 Cn2018 Dn20196 （5 分）已知曲线 （t 为参数） ，若曲线 C 上存在点 P 为曲线 D：1上一点，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C 1，1 D 2，27 （5 分）已知一个正四面体的底面积为 ，那么它的正视图（如图）的面积为（ ）A B C D8 （5 分）5 名运动员参加一次乒乓球比赛，每 2 名运动员都赛 1 场并决出胜负设第 i 位运动员共胜 xi 场，负 yi 场（i 1，2
3、，3，4，5） ，则错误的结论是（ ）Ax 1+x2+x3+x4+x5y 1+y2+y3+y4+y5Bx 12+x22+x32+x42+x52y 12+y22+y32+y42+y52Cx 1+x2+x3+x4+x5 为定值，与各场比赛的结果无关Dx 12+x22+x32+x42+x52 为定值，与各场比赛结果无关二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分）已知等比数列a n的公比为 2，若 a1+a34，则 a2 10 （5 分）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足（1i ）z i，那么 z 的虚部为 11 （5 分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中
4、点，若 ，则 + 的值为 12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的单调递减函数，能说明“一定存在 x0R 使得 f（x 0）1”为假命题的一个函数是 f（x ） 13 （5 分）已知 f（x ）（2x1） 4，设 ，则a1+2a2+3a3+4a4 14 （5 分）已知集合 Mx N|1x21，集合 A1，A 2，A 3 满足每个集合都恰有 7 个元素； A1A 2A 3M集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 Xi（i 1，2，3） ，则 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和为 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
5、.15 （13 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上， ，AC 7（）求 sinCAD 的值；（）若 BD10，求 AD 的长及ABD 的面积16 （13 分）2020 年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米下表为 2007 年2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据单位：平方米2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6农村 2
6、3.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8（）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的概率；（）在给出的 10 年数据中，随机抽取三年，记 X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积 4 平方米的年数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） ；（）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016 年中城镇人均住房面积的方差为 ，农村人均住房面积的方差为 ，判断 与 的大小 （只需写出结论） 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC
7、D 是平行四边形，BCD135，侧面 PAB底面 ABCD，PAAB，ABACPA2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点M 在线段 PD 上（）求证：直线 EF平面 PAC；（）若 M 为 PD 的中点，求平面 MEF 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；（）设 ，当 为何值时，直线 ME 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求 的值18 （13 分）已知函数 f（x ）ln （x+a）在点（1，f （1） ）处的切线与直线 x2y 0 平行（）求 a 的值；（）令 ，求函数 g（x）的单调区间19 （14 分）已知椭圆 G： ，左、右焦点分别为（c，0） 、 （c，0） ，若点M（c，
8、1）在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）若直线 l： 与椭圆 G 交于两个不同的点 A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于 P，Q 两点，求证：| PM| QM|20 （13 分）已知集合 SnX|X（x 1，x 2，x n） ，x i0，1 ，i 1，2，n （n2） 对于 A（a 1，a 2，a n） ，B（b 1，b 2，b n）S n，定义 A 与 B 之间的距离为d（A，B ） |aib i|（）A，B S2，写出所有 d（A，B）2 的 A，B ；（）任取固定的元素 ISn，计算集合 MkA Sn|d（A，I）k （1kn）中元素个数；（）设 PSn，P 中有 m（m 2）个元素
9、，记 P 中所有不同元素间的距离的最小值为证明：m 2019 年北京市延庆区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 （5 分）已知集合 Ax| x（x +1）0 ，集合 Bx|1x1，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|1x0 C x|1x1 D x|0x1【分析】先求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x（x +1）0 x|1x0，集合 B x|1x 1，ABx| 1x 1故选：C【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求
10、解能力，是基础题2 （5 分） “0k1”是“方程 表示双曲线”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线方程的特点建立不等式关系求出 k 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程 表示双曲线，则（k1） （k+2）0得 k1 或 k2，即“0k1”是“方程 表示双曲线”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义以及不等式的关系是解决本题的关键3 （5 分）已知 x（0，1） ，令 alog x3，bsinx ，c2 x，那么 a，b，c 之间的大小关系为（
11、 ）Aabc Bbac Cbca Dc ab【分析】根据 x（0，1）即可得出 ，从而得出a，b，c 的大小关系【解答】解：x（0，1） ；log x3log x10，0sin x1，2 x2 01；abc故选：A【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义，正弦函数的图象4 （5 分）函数 在区间 上的零点之和是（ ）A B C D【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数零点的定义、正弦函数的零点，求出在区间 上的零点，可得结论【解答】解：令函数 2sin（2x ）0，可得2x k，求得 x + ，kZ根据 x区间 ，可得 x ， ，故函数在区间 上的零点之
12、和为 + ，故选：B【点评】本题主要考查函数零点的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的零点，属于基础题5 （5 分）已知数列a n中， ，若利用如图程序框图计算该数列的第2019 项，则判断框内的条件是（ ）An2016 Bn2017 Cn2018 Dn2019【分析】根据程序框图，先判断 n218 和 n2019 是否满足即可得到结论【解答】解：若计算数列的第 2019 项，则当 n2017 时，满足条件，此时 a2018，n2018，此时满足条件，a 2019 ，n2019，则此时 n2019 不满足条件，即条件为 n2018，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算
13、法是解决本题的关键6 （5 分）已知曲线 （t 为参数） ，若曲线 C 上存在点 P 为曲线 D：1上一点，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C 1，1 D 2，2【分析】将曲线 C 和曲线 D 化成普通方程后，转化为直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径可得【解答】解：由曲线 C 消去参数 t 得 xy+a0，由 1 得 x2+y21，依题意得直线与圆有公共点，所以 1，解得 故选：B【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题7 （5 分）已知一个正四面体的底面积为 ，那么它的正视图（如图）的面积为（ ）A B C D【分析】利用已知条件判断正视图的位置，求出正四面体的
14、棱长，然后求解正视图的面积【解答】解：由题意正四面体的正视图是三角形，说明三角形的底面为：正四面体的底面三角形的高，正视图的长边是正四面体的棱长，令一边是侧面的高，就是斜高，正视图是等腰三角形，正四面体的底面积为 ，可得 ，可得 a2 ，底面三角形的高为：3，所以正视图的面积为： 3 故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的面积，判断几何体的形状是解题的关键8 （5 分）5 名运动员参加一次乒乓球比赛，每 2 名运动员都赛 1 场并决出胜负设第 i 位运动员共胜 xi 场，负 yi 场（i 1，2，3，4，5） ，则错误的结论是（ ）Ax 1+x2+x3+x4+x5y 1+y2+y3+y4+
15、y5Bx 12+x22+x32+x42+x52y 12+y22+y32+y42+y52Cx 1+x2+x3+x4+x5 为定值，与各场比赛的结果无关Dx 12+x22+x32+x42+x52 为定值，与各场比赛结果无关【分析】根据题意，使用排除法，逐项分析即可【解答】解：共有 5 名运动员，每 2 名运动员都赛 1 场并决出胜负故共有 10 场比赛，故所有运动员胜的场数与负的场数相等，且为 10 场，即 x1+x2+x3+x4+x5y 1+y2+y3+y4+y510，故 A，C 正确，对第 i 位运动员来说，共参加 4 场比赛，故 xi+yi4，所以： （x 1+y1） （x 1y 1）4（x
16、 1y 1） ，所以 （ ）+（ ）04（x 1y 1）+4（x 5y 5）0，x1+x2+x3+x4+x5y 1+y2+y3+y4+y5，故 B 正确，对于选项 D，当每个运动员都胜两场时， ，而当第一名运动员全输第二名运动员全赢时其它运动员各胜 2 场时 D 错故选：D【点评】本题考查了合情推理，属于中档题二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分）已知等比数列a n的公比为 2，若 a1+a34，则 a2 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：由等比数列a n的公比为 2，a 1+a34，a 1（1+2 2）4，解得 a1 则 a2 故答案为： 【
17、点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足（1i ）z i，那么 z 的虚部为 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1i）zi，z ，z 的虚部为 故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题11 （5 分）如图，正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若 ，则 + 的值为 0 【分析】运用平面向量基本定理可解决此问题【解答】解：根据题意， + + ， + 2 2 2 2 2（2 ）2 22， 2+ 0故答案为 0【点评】本题考查平面向
18、量基本定理的简单应用12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的单调递减函数，能说明“一定存在 x0R 使得 f（x 0）1”为假命题的一个函数是 f（x ） （ ） x+1 【分析】根据题意，分析可得举出一个一个值域大于等于 1 的减函数即可，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，若存在 x0R 使得 f（x 0）1”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于 1 的减函数，分析可得：f（x ）（ ） x+1 符合要求；故答案为：（ ） x+1（答案不唯一） 【点评】本题考查存在量词和特称命题的定义以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题13 （5 分）已知 f（x ）（2x1） 4，设 ，则
19、a1+2a2+3a3+4a4 8 【分析】把等式两边同时对 x 求导数，再令 x1，可得 a1+2a2+3a3+4a4 的值【解答】解：已知 f（x ）（2x1） 4，设 ，把等式两边同时对 x 求导数，可得 8（2x1） 3a 1+2a2x+3a3x2+4a4x4，再令 x1，可得 a1+2a2+3a3+4a48，故答案为：8【点评】本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题14 （5 分）已知集合 Mx N|1x21，集合 A1，A 2，A 3 满足每个集合都恰有 7 个元素；
20、A1A 2A 3M集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 Xi（i 1，2，3） ，则 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和为 132 【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可【解答】解：集合 Mx N|1x21，由集合 A1，A 2，A 3 满足每个集合都恰有 7个元素； A1A 2A 3M 可知最小的三个数为 1，2，3；21 必是一个集合的最大元素，含有 21 集合中的元素，有 21，20，19，16 和 1，2，3 中一个组成，这样特征数最小，不妨取 1，这时 X1 最小值为 22；15 必是一个集合的最大元素，含有
21、15 集合中的元素，有 15，14，13，10 和 2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取 2，这时 X2 最小值为 17；9 必是一个集合的最大元素，含有 9 集合中的元素，有 9，8，7，4 和 3 组成，这样特征数最小，这时 X3 最小值为 10；则 X1+X2+X3 的最小值为 22+17+1251同理可知最大的三个数为 21，20，19；含有 21 集合中的元素，有 21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为 34；含有 20 的集合中元素为 20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为 27；含有 19 的集合中元素为 19，6，5，4，3，2，1，特
22、征数最大，且为 20；则 X1+X2+X3 的最大值为 34+27+2081；所以 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和为 51+81132故答案为：132【点评】本题综合考查了元素与集合间的关系、集合的运算以及新概念，属于中档题目三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15 （13 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上， ，AC 7（）求 sinCAD 的值；（）若 BD10，求 AD 的长及ABD 的面积【分析】 （）由已知利用诱导公式可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 ，根据两角和的正弦函数公式可求 sinDAC 的值（）在ACD 中
23、，由正弦定理可求 AD 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解ABD 的面积【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）因为 ，所以 ，（1 分）所以 （2 分）又因为 ， ，（3 分）所以 sinDACsin（ADC+ACD）sinADCcosACD+cosADCsinACD （7 分）（）在ACD 中，由 ，（9 分）得 （11 分）所以 （13 分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16 （13 分）2020 年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均
24、住房建筑面积 30 平方米下表为 2007 年2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据单位：平方米2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8（）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的概率；（）在给出的 10 年数据中，随机抽取三
25、年，记 X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积 4 平方米的年数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） ；（）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016 年中城镇人均住房面积的方差为 ，农村人均住房面积的方差为 ，判断 与 的大小 （只需写出结论） 【分析】 （）随机抽取连续两年数据：共 9 次两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米：共 5 次利用古典概率计算公式即可得出（） X 所有可能的取值为：0，1，2，3利用超几何分布列计算公式即可随机变量X 的分布列（III）根据 20122016 年中城镇人均住房面积与农村人均住房面积的
26、数据，即可判断出结论【解答】解：（）随机抽取连续两年数据：共 9 次（1 分）两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米：共 5 次（2 分）设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件 A，因此 （3 分）（） X 所有可能的取值为：0，1，2，3（4 分）， ， ，（8 分）随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P（10 分）（11 分）（） （13 分） 【点评】本题考查了超几何分布列及其数学期望、古典概率计算公式、方差的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135，侧面
27、PAB底面 ABCD，PAAB，ABACPA2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点M 在线段 PD 上（）求证：直线 EF平面 PAC；（）若 M 为 PD 的中点，求平面 MEF 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；（）设 ，当 为何值时，直线 ME 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求 的值【分析】 （）证明 ABACEFAC 推出 PA底面 ABCD，得到 PAEF，即可证明 EF平面 PAC（）若 M 为 PD 的中点，求平面 MEF 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值；（）设 ，当 为何值时，直线 ME 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ，求 的值【解答】 （本小题满分 1
28、4 分）（）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 ABAC，BCD135，所以 ABAC由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得 EFAB ，所以 EFAC （1 分）因为侧面 PAB底面 ABCD，且 PAAB，面 PAB面 ABCDAB且 PA面 PAB 所以 PA底面 ABCD（3 分）又因为 EF底面 ABCD，所以 PAEF（4 分）又因为 PAAC A ，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，所以 EF平面 PAC（5 分）（）解：因为 PA底面 ABCD，ABAC，所以 AP，AB，AC 两两垂直，故以AB，AC，AP分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系，则
29、A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C （0，2，0） ，P（0，0，2） ，D（2，2， 0） ，E（1，1，0） ，（6 分）设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ，由 ， ，得令 x1，得 （1，1，1） （7 分）M 为 PD 的中点，由（1）知，AC 平面 MEF 且 ，（8 分）所以 ，（9 分）平面 MEF 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 ；（10 分）（）设 ，则 ，所以 M（2 ，2 ，22） ，（11 分），（12 分）由（1）知 （1，1，1） 直线 ME 与平面 PBC 所成的角正弦值为所以 ，即 ，（13 分）解得 或 （舍） （14 分）【点评】本题
30、考查直线与平面垂直的判断定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力18 （13 分）已知函数 f（x ）ln （x+a）在点（1，f （1） ）处的切线与直线 x2y 0 平行（）求 a 的值；（）令 ，求函数 g（x）的单调区间【分析】 （）求出导函数，求出切线的斜率，然后求解 a 即可（）化简 ，求出 ，令，通过 判断函数是增函数，求解函数的最值，然后求解函数的单调区间即可【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）f（x ）ln（x +a） （1 分） （2 分）f（x）在点（ 1，f（1） ）处的切线与直线 x2y 0 平行，解得 a1（4 分）（）由（）可知 （5 分）
31、函数 g（x）的定义域是（1，0）（0，+） ，（6 分）所以 ，（7 分）令 ，（8 分）又 ，（9 分）x（1，0）有 h（x ） 0 恒成立故 h（x）在（1，0）上为增函数，由 h（x）h（0）ln10，所以函数 g（x）是（1，0）上单调递减 （11 分）x（0，+）有 h（x）0 恒成立故 h（x）在（0，+）上为减函数，由 h（x）h（0）ln10，所以函数 g（x）是（0，+）上单调递减 （13 分）综上，g（x）在 （1，0）和 （0，+）单调递减【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力19 （14 分）已知椭圆 G： ，左、
32、右焦点分别为（c，0） 、 （c，0） ，若点M（c，1）在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）若直线 l： 与椭圆 G 交于两个不同的点 A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于 P，Q 两点，求证：| PM| QM|【分析】 （）根据 M 点在椭圆上即可求出 a 的值，可得椭圆方程，（）利用直线 l 与椭圆 C 有两个交点，求出4m 0 或 0m4设 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，结合韦达定理，求解 AB 坐标，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k 2，推出 k1+k20，即可证明 |PM| PN【解答】解：（）M（c，1）在椭圆 上，由 b22解得 a24所以，
33、椭圆的标准方程为（）由 得 因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点，并注意到直线 l 不过点 M，所以 解得4m 0 或 0m4设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ， 显然直线 MA 与 MB 的斜率存在，设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k 2，由（）可知则 ， ， ， ， ， 因为 k1+k20，所以 MPQMQP所以|PM| |QM|【点评】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用20 （13 分）已知集合 SnX|X（x 1，x 2，x n） ，x i0，1 ，i 1，2，n （n2） 对于 A
34、（a 1，a 2，a n） ，B（b 1，b 2，b n）S n，定义 A 与 B 之间的距离为d（A，B ） |aib i|（）A，B S2，写出所有 d（A，B）2 的 A，B ；（）任取固定的元素 ISn，计算集合 MkA Sn|d（A，I）k （1kn）中元素个数；（）设 PSn，P 中有 m（m 2）个元素，记 P 中所有不同元素间的距离的最小值为证明：m 【分析】 （）根据题意知写出 d（A，B）2 时对应的 A、B；（）分别写出 k1、2、k 和 n 时，集合 Mk 中对应元素的个数；（）记 P（c 1，c 2，c n+1 ）|（c 1，c 2，c n+1 ，c n）P，证明|P
35、 |P |，得出|P|P|m，从而证明 m2 n+1 【解答】解：（）根据题意知，当 d（A，B）2 时，对应 A（1，1） ，B（0，0） ；或 A（1，0） ，B（0，1） ；或 A（0，1） ，B（1，0） ；或 A（0，0） ，B（1，1） ；（4 分）（）当 k1 时， ，（5 分）当 k2 时， ；（6 分）写出|M k| + + ；（7 分）特别的，|M n| + + 2 n；所以 MK 元素个数为 ；（8 分）（）证明：记 P（c 1，c 2，c n+1 ）|（c 1，c 2，c n+1 ，c n）P，我们证明|P | P|一方面显然有|P| P|；另一方面，A、BS n，且 AB，假设他们满足 a1b 1，a 2b 2，a n+1 b n+1 ；则由定义有 d（A，B） 1，与 P 中不同元素间距离至少为 相矛盾；从而（a 1，a 2，a n+1 ）（b 1，b 2，b n+1 ） ；这表明 P中任意两元素不相等，从而|P |P| m；又 P中元素有 n +1 个分量，至多有 2n+1 个元素从而 m2 n +1（13 分）【点评】本题考查了集合中元素个数应用问题，也考查了数学归纳思想与逻辑推理应用问题，是难题
