1、2019 年北京市延庆区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 （5 分）已知集合 Ax| x（x +1）0 ，集合 Bx|1x1，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|1x1 C x|1x0 D x|0x12 （5 分）圆心为（0，1）且与直线 y2 相切的圆的方程为（ ）A （x1） 2+y21 B （x+1） 2+y21Cx 2+（y1） 21 Dx 2+（y+1 ） 213 （5 分） “0k1”是“方程 表示双曲线”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必
2、要条件4 （5 分）已知 x（0，1） ，令 alog 3x，bsin x，c2 x，那么 a，b，c 之间的大小关系为（ ）Aabc Bbac Cbca Dc ab5 （5 分）函数 在区间 上的零点之和是（ ）A B C D6 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出的 S 值为 4，则判断框内应填入的判断条件为（ ）Ai2 Bi 3 Ci4 Di57 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是（ ）A B C D18 （5 分）4 名运动员参加一次乒乓球比赛，每 2 名运动员都赛 1 场并决出胜负设第 i 位运动员共胜 xi 场，负 yi 场（i 1，2，3，4）
3、 ，则错误的结论是（ ）Ax 1+x2+x3+x4y 1+y2+y3+y4BCx 1+x2+x3+x4 为定值，与各场比赛的结果无关D 为定值，与各场比赛结果无关二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足（1i ）z i，那么 z 的虚部为 10 （5 分）已知向量 （1，x） ， （x，x +1） ，则 的最小值为 11 （5 分）设 x，y 满足约束条件 则 x2+y2 的最大值是 12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的单调递减函数，能说明“一定存在 x0R 使得 f（x 0）0”为假命题的一个函数是 f（x ） 1
4、3 （5 分）若函数 的值域为1，1 ，则 a 的取值范围是 14 （5 分）已知集合 Mx N|1x15，集合 A1，A 2，A 3 满足每个集合都恰有 5 个元素； A1A 2A 3M集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 Xi（i 1，2，3） ，则 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和为 三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15 （13 分）已知等差数列a n满足 a1+a26，a 2+a310（）求数列a n的通项公式；（）设数列 ，求数列b n的前 n 项和 Sn16 （13 分）2020 年我国全面建成小康
5、社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米下表为 2007 年2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据单位：平方米2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年城镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8（）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；（）现从
6、上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的概率；（）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016 年中城镇人均住房面积的方差为 ，农村人均住房面积的方差为 ，判断 与 的大小 （只需写出结论） （注：方差 ，其中 为 x1x2，x n 的平均数）17 （13 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上， ，AC 7（）求 sinCAD 的值；（）若 BD10，求 AD 的长及ABD 的面积18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135，侧面 PAB底面 ABCD，PAA
7、B，ABACPA2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，过EF 的平面与面 PCD 交于 M，N 两点（）求证：EFMN；（）求证：平面 EFMN平面 PAC；（）设 ，当 为何值时四棱锥 MEFDC 的体积等于 1，求 的值19 （13 分）已知函数 （）当 a1 时，求曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 a1 时，求函数 f（ x）在上区间（0，e零点的个数20 （14 分）已知椭圆 G： ，左、右焦点分别为（c，0） 、 （c，0） ，若点M（c，1）在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）若直线 l： 与椭圆 G 交于两个不同的点
8、A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于 P，Q 两点，求证：| PM| QM|2019 年北京市延庆区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 （5 分）已知集合 Ax| x（x +1）0 ，集合 Bx|1x1，则 AB（ ）A x| 1x1 Bx|1x1 C x|1x0 D x|0x1【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x（x +1）0 x|1x0，集合 B x|1x 1，ABx| 1x 1故选：B【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性
9、质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）圆心为（0，1）且与直线 y2 相切的圆的方程为（ ）A （x1） 2+y21 B （x+1） 2+y21Cx 2+（y1） 21 Dx 2+（y+1 ） 21【分析】根据题意设圆方程为 x2+（y1） 2r 2，由圆心到直线的距离得到半径 r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为 x2+（y1） 2r 2，直线 y2 与圆相切，圆心到直线的距离等于半径 r，r1故圆的方程为：x 2+（y 1） 21，故选：C【点评】本题考查了点到直线的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题3 （5 分） “0k1”是“方程 表示双曲线”的（ ）A
10、充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线的定义求出 k 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程表示双曲线，则（k1） （k+2）0，得2k1，即“0k1”是“方程 表示双曲线”的充分条件和必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义求出 k 的范围是解决本题的关键4 （5 分）已知 x（0，1） ，令 alog 3x，bsin x，c2 x，那么 a，b，c 之间的大小关系为（ ）Aabc Bbac Cbca Dc ab【分析】根据 x 范围，利用搭桥法即可比较 a，b，c 的大
11、小【解答】解：0x1 ，ylog 3x 在（0，+）上单调递增log 3xlog 310，即 a0又ysin x 在（0， ）单调递增，0sinx 1，即 0b1，y2 x 在（0，+ ）上单调递增2 x1 abc，故选：A【点评】本题考查基本初等函数的性质，利用搭桥法容易得到结果属于基础题5 （5 分）函数 在区间 上的零点之和是（ ）A B C D【分析】利用辅助角公式化积，求得函数的零点，作和得答案【解答】解： ，由 ，kZ，得 x ，k Zx ，x ， 则函数 在区间 上的零点之和是 故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查由已知三角函数值求角，是基础题6 （5 分）执行如图
12、所示的程序框图，如果输出的 S 值为 4，则判断框内应填入的判断条件为（ ）Ai2 Bi 3 Ci4 Di5【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：由 log2（S+2） 4 得 S+216，即 S14，则 i1 时，S2，i2，S2+2 22+46，i3，S6+2 36+814，i4 此时不满足条件 ，输出 S4，故条件为 i4，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟是解决本题的关键7 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面中最大面积是（ ）A B C D1【分析】由题意知，该三棱锥的直观图如图中的 ABCD 所示，经过计算面积即可得出答案【
13、解答】解：由题意知，该三棱锥的直观图如图中的 C1ABD 所示：则 SABD 1， ， ，S ，故其四个面中最大的面积为 故选：A【点评】本题考查了三棱锥的三视图、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8 （5 分）4 名运动员参加一次乒乓球比赛，每 2 名运动员都赛 1 场并决出胜负设第 i 位运动员共胜 xi 场，负 yi 场（i 1，2，3，4） ，则错误的结论是（ ）Ax 1+x2+x3+x4y 1+y2+y3+y4BCx 1+x2+x3+x4 为定值，与各场比赛的结果无关D 为定值，与各场比赛结果无关【分析】由题意知 x1+x2+x3+x4y 1+y2+y3+y46
14、，判断 A、C 正确；由 xi+yi3，得出 xi3y i，推导出 + + + + + + ，判断 B 正确；由题意知 + + + 的值不是定值，与各场比赛结果有关【解答】解：对于 A，4 人中每 2 人举行 1 场比赛，共举行 6 场比赛，所以胜 6 场负 6场，即 x1+x2+x3+x4y 1+y2+y3+y46，A 正确；对于 B，由题意知 xi+yi3， x i3y i， + + + + + +366（y 1+y2+y3+y4）+ + + +3636+ + + + + + + ，B 正确；对于 C，由题意知 x1+x2+x3+x46 为定值，与各场比赛结果无关，C 正确；对于 D， +
15、 + + 的值不是定值，它与各场比赛结果有关，D 错误故选：D【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，是中档题二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）设 i 为虚数单位，如果复数 z 满足（1i ）z i，那么 z 的虚部为 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1i）zi，z ，z 的虚部为 故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知向量 （1，x） ， （x，x +1） ，则 的最小值为 1 【分析】利用向量的数量积化简，通过二次函数求解最小值即可【解答】解：向量 （1，
16、x） ， （x，x +1） ，则 x+x 2+xx 2+2x，当 x1 时， 的最小值为：1故答案为：1【点评】本题考查向量的数量积的应用，二次函数的简单性质的应用，是基本知识的考查11 （5 分）设 x，y 满足约束条件 则 x2+y2 的最大值是 5 【分析】画出不等式组表示的可行域，根据 x2+y2 表示平面区域内的点 P（x，y）到原点 O 的距离的平方；求出最优解，即得目标函数的最大值【解答】解：画出 x，y 满足约束条件 表示的可行域如图所示，由 x2+y2 表示平面区域内的点 P（x ，y）到原点 O 的距离的平方；由 可得 A（2，1） ，则取最优解 x2，y 1 时，x 2+
17、y2 取得最大值是 22+125故答案为：5【点评】本题考查了不等式组表示平面区域和线性规划的应用问题，是基础题12 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的单调递减函数，能说明“一定存在 x0R 使得 f（x 0）0”为假命题的一个函数是 f（x ） （ ） x 【分析】根据题意，只需要举出值域大于 0 的减函数即可，据此可得答案，【解答】解：根据题意，要说明“一定存在 x0R 使得 f（x 0）0”为假命题，只需要据此值域大于 0 的减函数即可，则 f（x）（ ） x 符合；故答案为：（ ） x， （答案不唯一）【点评】本题考查函数的单调性与值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于
18、基础题13 （5 分）若函数 的值域为1，1 ，则 a 的取值范围是 1，+） 【分析】分别由正弦函数和反比例函数的值域和单调性，可得所求范围【解答】解：函数 的值域为1，1 ，由 xa 时，f（ x）sinx 的值域为 1，1，由 xa 时，f（ x） 1，1，若 a1，则 f（x ）在 xa 时，f（x ） （0， ） 1， 1成立；若 a1 时，f（x ） 1，1 ，综上可得 a 的范围是1，+） 故答案为：1，+） 【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的运用，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题14 （5 分）已知集合 Mx N|1x15，集合 A1，A 2，A 3 满足每个集
19、合都恰有 5 个元素； A1A 2A 3M集合 Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合 Ai 的特征数，记为 Xi（i 1，2，3） ，则 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和为 96 【分析】求出集合 Mx N*|1x151，2，3，4，5，6，7，8 ，9，10，11，12，13，14， 15，由题意列举出集合A1，A 2，A 3，由此能求出 X1+X2+X3 的最大值与最小值的和【解答】解：解：由题意集合 M xN*|1x151，2，3，4，5，6，7，8 ，9，10，11，12，13，14， 15，当 A11 ，4， 5，6，7，A 23，12，13，14，15 ，A 32 ，8，
20、9，10，11时，X1+X2+X3 取最小值：X 1+X2+X38+18+1339，当 A11 ，4， 5，6，15，A 22，7，8，9，14 ，A 3 3，10，11，12，13时，X1+X2+X316+16+1648，当 A11 ，2， 3，4，15，A 25，6，7，8，14 ，A 3 9，10，11，12，13时，X1+X2+X3 取最大值：X 1+X2+X316+19+2257，X 1+X2+X3 的最大值与最小值的和为：39+5796故答案为：96【点评】本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题共 6 小题，
21、共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15 （13 分）已知等差数列a n满足 a1+a26，a 2+a310（）求数列a n的通项公式；（）设数列 ，求数列b n的前 n 项和 Sn【分析】 （）设数列a n的公差为 d，利用已知条件求出公差 d，然后求解 an（）记 判断b n是首项为 16，公比为 4 的等比数列，然后求解数列的和即可【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）设数列a n的公差为 d，因为 a1+a26，a 2+a310，所以 a3a 14，所以 2d4，d2（3 分）又 a1+a1+d6，所以 a12，（4 分）所以 ana 1+（n1）d2n（6 分）
22、（）记所以 ，（7 分）又 ， （9 分）所以b n是首项为 16，公比为 4 的等比数列， （10 分）其前 n 项和 （11 分） （13 分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力16 （13 分）2020 年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米下表为 2007 年2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据单位：平方米2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年城镇 18.66 20.25 22
23、.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6农村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.4 45.8（）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；（）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的概率；（）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据记20122016 年中城镇人均住房面积的方差为 ，农村人均住房面积的方差为 ，判断 与 的大小 （只需写出结论） （注：方差 ，其中 为 x1x2，x n 的平均数）
24、【分析】 （）记事件 A 为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，利用古典概型概率计算公式能求出该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率（）随机抽取连续两年数据共 9 次，两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米共 5 次，由此能求出两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的概率（） 【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）记事件 A 为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准，（1 分）则所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为 （4 分）（）随机抽取连续两年数据：共 9 次（6 分）两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米：共
25、 5 次（9 分）设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件 B，因此 P（B ） （10 分）（） （13 分） 【点评】本题考查概率、方差的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17 （13 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上， ，AC 7（）求 sinCAD 的值；（）若 BD10，求 AD 的长及ABD 的面积【分析】 （）由已知利用诱导公式可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求 ，根据两角和的正弦函数公式可求 sinDAC 的值（）在ACD 中，由正弦定理可求 AD 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解ABD 的面积【解答】 （本小题
26、满分 13 分）解：（）因为 ，所以 ，（1 分）所以 （2 分）又因为 ， ，（3 分）所以 sinDACsin（ADC+ACD）sinADCcosACD+cosADCsinACD （7 分）（）在ACD 中，由 ，（9 分）得 （11 分）所以 （13 分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135，侧面 PAB底面 ABCD，PAAB，ABACPA2，E，F 分别为 BC，AD 的
27、中点，过EF 的平面与面 PCD 交于 M，N 两点（）求证：EFMN；（）求证：平面 EFMN平面 PAC；（）设 ，当 为何值时四棱锥 MEFDC 的体积等于 1，求 的值【分析】 （I）证明 EF平面 PCD，根据线面平行的性质即可得出 EFMN；（II）证明 EFAC，EFPA 得出 EF平面 PAC，故而平面 EFMN平面 PAC；（III）根据棱锥的体积计算 M 到平面 ABCD 的距离，从而得出 的值【解答】证明：（）四边形 ABCD 中，是平行四边形，E，F 分别为 BC，AD 的中点，EFCD，又 CD面 PCD，EF 面 PCDEF面 PCD，又EF 平面 EFMN，平面
28、EFMN平面 PCDMN，EFMN，（）证明：在平行四边形 ABCD 中，BCD135，ABCD，ABC45，又 ABAC ，ACB45，ABAC由（）得 EFAB ，EF AC侧面 PAB底面 ABCD，且 PAAB，面 PAB面 ABCDAB，PA面 PAB，PA底面 ABCD，又 EF底面 ABCD，PAEF又PAAC A，PA平面 PAC，AC 平面 PAC，EF平面 PACEF 平面 EFMN平面 EFMN平面 PAC，（）S 四边形 EFMN S 四边形 ABCDS ABC 2， ， ，即 M 到平面 ABCD 的距离为 ， 【点评】本题考查了线面平行的性质，面面垂直的判定，棱锥的
29、体积计算，属于中档题19 （13 分）已知函数 （）当 a1 时，求曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）求函数 f（x ）的单调区间；（）当 a1 时，求函数 f（ x）在上区间（0，e零点的个数【分析】 （）当 a1 时， ，f（1）0，解得 k，可得切线方程（） ，令 f（x ）0，xe 1a ，列表即可得出单调性（）法一：由（）可知 f（x ）的最大值为 ，对 a 分类讨论，即可得出单调性，函数的零点法二：令 ， ，axln，x 令 g（x）xlnx，x1，列表可得单调性，进而得出结论【解答】解：（）当 a1 时， ，（1 分）f（1）0，k0（2 分）f（1）0，
30、切点（1，0） ，切线方程是 y1（3 分）（） ，（4 分）令 f（x）0，xe 1a （5 分）x、f （x）及 f（x）的变化情况如下x （0，e 1a ） e1a （e 1a ，+）f（ x） + 0 f（x） 增 减所以，f（x）在区间（ 0，e 1a ）上单调递增，f（x ）在区间（e 1a ，+）上单调递减（7 分）（）法一：由（）可知 f（x ）的最大值为 （8 分）（1）当 a1 时，f（x ）在区间（0，1）单调递增，在区间（1，e）上单调递减由 f（1）0，故 f（x）在区间（0，e上只有一个零点 （10 分）（2）当 a1 时，a1，1a0，e 1a 1且 （12 分）
31、因为 f（e a ） 0，所以，f（x）在区间（0，e 上无零点（13 分）综上，当 a1 时，f（x ）在区间（0，e上只有一个零点当 a1 时，f（x ）在区间（0，e上无零点（）法二：令 ， ，axlnx，令 g（x）xlnx （8 分），x1（10 分）x （0，1） 1 （1，e ）g（ x） 0 +g（x） 减 极小值 1 增（11 分）由已知 a1所以，当 a1 时，f（x ）在区间（0，e上只有一个零点（12 分）当 a1 时，f（x ）在区间（0，e上无零点 （13 分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法，考查了
32、推理能力与计算能力，属于难题20 （14 分）已知椭圆 G： ，左、右焦点分别为（c，0） 、 （c，0） ，若点M（c，1）在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）若直线 l： 与椭圆 G 交于两个不同的点 A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于 P，Q 两点，求证：| PM| QM|【分析】 （）根据 M 点在椭圆上即可求出 a 的值，可得椭圆方程，（）利用直线 l 与椭圆 C 有两个交点，求出4m 0 或 0m4设 A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，结合韦达定理，求解 AB 坐标，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k 2，推出 k1+k20，即可证明 |PM| PN【解答】解：（）M（c，1）在椭圆 上，由 b22解得 a24所以，椭圆的标准方程为（）由 得 因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点，并注意到直线 l 不过点 M，所以 解得4m 0 或 0m4设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ， 显然直线 MA 与 MB 的斜率存在，设直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1，k 2，由（）可知则 ， ， ， ， ， 因为 k1+k20，所以 MPQMQP所以|PM| |QM|【点评】本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用
