1、2019 年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A1，2， 3，4 ，BxN|3x 3，则 AB（ ）A1 ，2，3，4 B 3，2，1，0，1，2，3，4C1，2，3 D1 ，22 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的最大值为（ ）A1 B6 C5 D43 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A1 B1 C0 D24 （5 分）在ABC 中，若 a2b 2+c2bc，bc4，则ABC 的面积为（ ）A B1 C D25
2、 （5 分）不等式 成立的充分不必要条件是（ ）Ax1 Bx1Cx 1 或 0x1 D1x 1 或 x16 （5 分）已知 log2alog 2b，则下列不等式一定成立的是（ ）A Blog 2（a b）0C2 ab 1 D第 2 页（共 20 页）7 （5 分）设双曲线 mx2+ny21 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A2 B C D8 （5 分）已知函数 f（x ）|lnx| ， 若关于 x 的方程 f（x）+mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ）A0
3、，ln2 B （2ln 2，0） C （2ln2，0 D0 ，2+ln 2）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5 分）已知 aR，且复数 是纯虚数，则 a 10 （5 分）直线 l：x +y+m0 与圆 C：x 2+y24x+2y+10 相交于 A、B 两点，若ABC 为等腰直角三角形，则 m 11 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm312 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+c，若 f（1）0
4、，f' （1）0，但 x1 不是函数的极值点，则 abc 的值为 13 （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，ABAD2若 M、N 分别是边AD、BC 上的动点，满足 ， ，其中 （0，1） ，若 ，则 的值为 14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x2+2xy30，则 2x+y 的最小值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 3 页（共 20 页）15 （13 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且b3，c 1
5、，A2B（）求 a 的值；（）求 的值16 （13 分）为预防 H1N1 病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过） ，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组 B 组 C 组疫苗有效 673 x y疫苗无效 77 90 z已知在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33（）求 x 的值；（）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取多少个？（）已知 y465，z30，求不能通过测试的概率17 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C
6、1D1 中，BB 1底面ABCD， ADBC ，BAD90，ACBD（）求证：B 1C平面 ADD1A1；（）求证：ACB 1D；（）若 AD2AA 1，判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直？并说明理由18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 2+8n， bn是等差数列，且 anb n+bn+1（）求数列b n的通项公式；第 4 页（共 20 页）（）令 cn ，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （14 分）已知椭圆 （ab0）经过点 ，左、右焦点分别F1、F 2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为 （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的
7、一个动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭圆于 M、N 两个不同的点，求 的值20 （14 分）已知函数 f（x ）xlnx（）求函数 f（x ）的极值点；（）若直线 l 过点（0， 1） ，并且与曲线 yf（x）相切，求直线 l 的方程；（）设函数 g（x）f（x）a（x1） ，其中 aR，求函数 g（x）在区间1 ，e上的最小值 （其中 e 为自然对数的底数）第 5 页（共 20 页）2019 年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A1，2， 3，4 ，BxN|3x 3
8、，则 AB（ ）A1 ，2，3，4 B 3，2，1，0，1，2，3，4C1，2，3 D1 ，2【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：B0，1，2， 3；AB1，2，3故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的最大值为（ ）A1 B6 C5 D4【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线 z2x+y 过点 A 时，z 最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设 z2x+y，直线 z2x+y 过可行域内 A（2，1）的时候 z 最大，最大值为
9、 5，故选：C第 6 页（共 20 页）【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A1 B1 C0 D2【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第一次，i1， i5 不成立，S1 ，i2，第二次，i2，i5 不成立，S1 121，i3，第三次，i3，i5 不成立，S1（1）2，i4，第 7 页（共 20 页）第四次，i4，i5 不成立，S1 ，i5，第五次，i5，i5
10、不成立，S1 121，i6，第六次，i6，i5 成立，重新终止，输出 S1，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件进行模拟运算是解决本题的关键4 （5 分）在ABC 中，若 a2b 2+c2bc，bc4，则ABC 的面积为（ ）A B1 C D2【分析】利用余弦定理表示出 cosA，将已知等式变形后代入求出 cosA 的值，确定出 A的度数，再由 bc 的值，利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可【解答】解：ABC 中，a 2b 2+c2bc，即 b2+c2a 2bc，cosA ，A60，bc4，S ABC bcsinA ，故选：C【点评】此题考查了余弦
11、定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题5 （5 分）不等式 成立的充分不必要条件是（ ）Ax1 Bx1Cx 1 或 0x1 D1x 1 或 x1【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为对应集合关系进行求解即可【解答】解：由 得 1，即 x0 或 x1，则不等式 成立的充分不必要条件应该是x|x1 或 x0 的真子集，即 x1 满足条件第 8 页（共 20 页）故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键6 （5 分）已知 log2alog 2b，则下列不等式一定成立的是（
12、）A Blog 2（a b）0C2 ab 1 D【分析】由题意可得 ab0，依次比较即可【解答】解：log 2alog 2b，ab0，所以 0 ，2 ab 2 01，故 A、C 不正确；当 ab1 时，log 2（ab） 0，当 0ab1 时，log 2（a b）0，故 B 不正确； ，选项 D 正确；故选：D【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题7 （5 分）设双曲线 mx2+ny21 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A2 B C D【分析】利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的
13、方程与系数的关系求出 a2，b 2，利用双曲线的三个系数的关系列出 m，n 的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于 m，n 的另一个等式，解方程组求出 m，n 的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离【解答】解：抛物线 x28y 的焦点为（0，2）mx 2+ny21 的一个焦点为（0，2）焦点在 y 轴上a 2 ，b 2 ，c2根据双曲线三个参数的关系得到 4a2+b2 第 9 页（共 20 页）又离心率为 2 即 4解得 n1，m此双曲线的方程为 b ，渐近线方程：x+ 0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离： 故选：B【点评】解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有
14、定注意三参数的关系：c 2a 2+b2而椭圆中三参数的关系为 a2c 2+b28 （5 分）已知函数 f（x ）|lnx| ， 若关于 x 的方程 f（x）+mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ）A0，ln2 B （2ln 2，0） C （2ln2，0 D0 ，2+ln 2）【分析】设 h（x）f（x）+m，则 h（x ）是 f（x）的图象沿着 x1 上下平移得到，作出函数 h（x）与 g（x ）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可【解答】解：设 h（x）f（x）+m，作出函数 f（x）和 g（x）的图象如图则 h（x）是 f（ x）的图
15、象沿着 x1 上下平移得到，由图象知 B 点的纵坐标为 h（1）f （1）+ mln 1+mm，A 点的纵坐标为 g（2）2，当 x2 时，h（2）ln2+m，g（1）0，要使方程 f（x） +mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则等价为 h（x）与 g（x ）的图象有三个不同的交点，则满足 ，即 得 ，即2ln2m0，即实数 m 的取值范围是（ 2ln2，0，第 10 页（共 20 页）故选：C【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5
16、分）已知 aR，且复数 是纯虚数，则 a 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 是纯虚数， ，即 a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）直线 l：x +y+m0 与圆 C：x 2+y24x+2y+10 相交于 A、B 两点，若ABC 为等腰直角三角形，则 m 1 或3 【分析】确定圆心坐标与半径，利用ABC 为等腰直角三角形，可得 2，即可求出 m【解答】解：圆 C：x 2+y24x+2y+10，圆心坐标为：（2，1） ，半径为 2，因为ABC 为等腰直角三角形，所以 2 ，所
17、以 m1 或3故答案为：1 或3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，是基第 11 页（共 20 页）础题11 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm3【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：36 故答案为：36 【点评】本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力12 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx+c，若 f（1）0，f' （1）0，但 x1 不是函数的极值点，
18、则 abc 的值为 9 【分析】先求出函数的导数，再由题意得方程组，解出即可【解答】解：f（x ）3x 2+2ax+b，f（1）3+2 a+b0 ，又 f（1）1+a +b+c0 ，由 x1 不是 f（ x）的极值点，得 f（x）0 有一个根，4a 212b0，第 12 页（共 20 页）由解得：a3，b 3，c 1，abc9，故答案为：9【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，是一道基础题13 （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，ABAD2若 M、N 分别是边AD、BC 上的动点，满足 ， ，其中 （0，1） ，若 ，则 的值为 【分析】
19、由平面向量的线性运算得： + +（1） ， ，由平面向量数量积的性质及其运算得： +（1） （ ）2，所以2+（1） 2，又 2 ， | |23，可得：325+20，又 01，所以 ，得解【解答】解：由图可知： + +（1 ） ， ，又 ，所以 +（1） （ ）2，所以 2+（1） 2，又 2， | |23，可得：3 25+20，又 01，所以 ，故答案为： 第 13 页（共 20 页）【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x2+2xy30，则 2x+y 的最小值是 3 【分析】用 x 表示 y，得到
20、 2x+y 关于 x 的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解：x 2+2xy30，y ，2x+y2x+ 2 3当且仅当 即 x1 时取等号故答案为：3【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且b3，c 1，A2B（）求 a 的值；（）求 的值【分析】 （）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（）利用两角和差的余弦公式进行求解【解答】 （） 解：由 A2B，知 sinAsin2B2sin BcosB，（1 分）由正
21、、余弦定理得 （3 分）因为 b3，c1，所以 a212，则 （5 分）（） 解：由余弦定理得 （6 分）由于 0A，所以 （8 分）故 （11 分）第 14 页（共 20 页）（13 分）【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键考查学生的计算能力16 （13 分）为预防 H1N1 病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过） ，公司选定 2000 个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组 B 组 C 组疫苗有效 673 x y疫苗无效 77 90 z已知在全体样本
22、中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33（）求 x 的值；（）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果，问应在 C 组抽取多少个？（）已知 y465，z30，求不能通过测试的概率【分析】 （I）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，得到要求的数字与样本容量之间的比值等于 0.33，做出结果（II）做出每个个体被抽到的概率，利用这一组的总体个数，乘以每个个体被抽到的概率，得到要求的结果数（III）本题是一个等可能事件的概率，C 组疫苗有效与无效的可能情况有（ 465，35）（466，34） （467，33） （468，32） （469，31） （470，30）
23、共有 6 种结果，满足条件的事件是（465，35） （466，34）共有 2 个，得到概率【解答】解：（I）在全体样本中随机抽取 1 个，抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 ，x660，（II）C 组样本个数是 y+z2000（673+77+660+90） 500用分层抽样方法在全体中抽取 360 个测试结果，应在 C 组抽取的个数为 360（III）由题意知本题是一个等可能事件的概率，第 15 页（共 20 页）设测试不能通过事件为 M，C 组疫苗有效与无效的可能情况有（465，35） （466，34） （467，33）（468，32） （469，31） （470，30）共有 6 种结果
24、，满足条件的事件是（465，35） （466，34）共有 2 个根据等可能事件的概率知 P 【点评】本题考查分层抽样方法，考查在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目17 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BB 1底面ABCD， ADBC ，BAD90，ACBD（）求证：B 1C平面 ADD1A1；（）求证：ACB 1D；（）若 AD2AA 1，判断直线 B1D 与平面 ACD1 是否垂直？并说明理由【分析】 （）先证明 BC平面 ADD1A1，CC 1平面 ADD1A1，又 BCCC 1C，即可证明平面 BCC1B1
25、平面 ADD1A1，从而可证 B1C平面 ADD1A1（）先证明 BB1AC，又 ACBD，BB 1BDB，即可证明 AC平面 BB1D，从而可证 ACB 1D；（）用反证法，假设 B1D 平面 ACD1，由 AD1平面 ACD1，可得 B1DAD 1，再证明 A1B1AD 1，即可证明 AD1平面 A1B1D，从而可得 AD1A 1D，这与四边形AA1D1D 为矩形，且 AD2AA 1 矛盾，故得证【解答】 （本题满分为 14 分）证明：（）ADBC，BC 平面 ADD1A1，AD 平面 ADD1A1，BC平面 ADD1A1，（2 分）CC 1DD 1， CC1平面 ADD1A1，DD 1平
26、面 ADD1A1，CC 1平面 ADD1A1，第 16 页（共 20 页）又BCCC 1 C，平面 BCC1B1平面 ADD1A1，（3 分）又B 1C平面 BCC1B1，B 1C平面 ADD1A1（4 分）（）BB 1平面 ABCD，AC 底面 ABCD，BB 1AC， （5 分）又ACBD，BB 1BDB，AC平面 BB1D，（7 分）又B 1D底面 BB1D，ACB 1D；（9 分）（）结论：直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直，（10 分）证明：假设 B1D平面 ACD1，由 AD1平面 ACD1，可得 B1DAD 1，（11 分）由棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，BB 1底面
27、 ABCD，BAD90，可得：A 1B1AA 1，A 1B1A 1D1，又AA 1A 1D1A 1，A 1B1平面 AA1D1D，A 1B1AD 1，（12 分）又A 1B1B 1DB 1，AD 1平面 A1B1D，AD 1A 1D，（13 分）这与四边形 AA1D1D 为矩形，且 AD2AA 1 矛盾，故直线 B1D 与平面 ACD1 不垂直（14 分）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了反证第 17 页（共 20 页）法的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 2+8n， bn是等差数列
28、，且 anb n+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn ，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （）求出数列a n的通项公式，再求数列b n的通项公式；（）求出数列c n的通项，利用错位相减法求数列 cn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）S n3n 2+8n，n2 时，a nS nS n1 6n+5，n1 时，a 1S 111，a n6n+5；a nb n+bn+1，a n1 b n1 +bn，a na n1 b n+1b n1 2d6，d3，a 1b 1+b2，112b 1+3，b 14，b n4+3（n1）3n+1 ；（）c n 6（n+1）2 n，T n62 2+322
29、+（n+1）2 n，2T n62 22+323+n2n+（n+1 ）2 n+1，可得T n62 2+22+23+2n（n+1 ）2 n+112+6 6（n+1）2 n+1第 18 页（共 20 页）（6n）2 n+13n2 n+2，T n3n2 n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 （ab0）经过点 ，左、右焦点分别F1、F 2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为 （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭圆于
30、 M、N 两个不同的点，求 的值【分析】 （） 由题知 求出 a，b 即可得到椭圆方程（） 设直线 OQ：xmy，则直线 与椭圆联立，求出 OQ，MN，然后求解比值即可【解答】 （本题 14 分）（） 解：由题知 （2 分）解得 （3 分）则椭圆 C 的标准方程为 （4 分）（） 解：由（）知， ，（5 分）设直线 OQ：x my，则直线 （6 分）联立 得 ，所以 （8 分）第 19 页（共 20 页）由 得 （9 分）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 （10 分）所以 （11 分） （13 分）所以 （14 分）【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆
31、的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20 （14 分）已知函数 f（x ）xlnx（）求函数 f（x ）的极值点；（）若直线 l 过点（0， 1） ，并且与曲线 yf（x）相切，求直线 l 的方程；（）设函数 g（x）f（x）a（x1） ，其中 aR，求函数 g（x）在区间1 ，e上的最小值 （其中 e 为自然对数的底数）【分析】 （I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据 F（x）0 求得的区间是单调增区间，F（x ）0 求得的区间是单调减区间，求出极值（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：
32、 g'（x ）lnx+1a 解 g'（x ）0，得 xe a1 ，得出在区间（0，e a1 ）上，g（x）为递减函数，在区间（e a1 ，+）上，g（x ）为递增函数，下面对 a 进行讨论：当 ea1 1，当 1e a1 e ，当 ea1 e，从而得出 g（x）的最小值【解答】解：（）f'（x ）lnx+1，x0，（2 分）由 f'（x）0 得 ，（3 分）第 20 页（共 20 页）所以，f（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增（4 分）所以， 是函数 f（x ）的极小值点，极大值点不存在（5 分）（）设切点坐标为（x 0，y 0） ，则 y0x 0ln
33、x0，（6 分）切线的斜率为 lnx0+1，所以， ，（7 分）解得 x01，y 00，（8 分）所以直线 l 的方程为 xy10（9 分）（）g（x）xlnxa（x1） ，则 g'（x ）lnx+1 a，（10 分）解 g'（x ）0，得 xe a1 ，所以，在区间（0，e a1 ）上，g（x）为递减函数，在区间（e a1 ，+）上，g（x）为递增函数（11 分）当 ea1 1，即 a1 时，在区间1，e上，g（x）为递增函数，所以 g（x）最小值为 g（1）0（12 分）当 1e a1 e，即 1a2 时，g（x ）的最小值为 g（e a1 ）ae a1 （13 分）当 ea1 e，即 a2 时，在区间1，e上，g（x）为递减函数，所以 g（x）最小值为 g（e ）a+e ae（14 分）综上，当 a1 时，g（x）最小值为 0；当 1a2 时，g（x）的最小值 ae a1 ；当a2 时，g（x）的最小值为 a+eae 【点评】本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值
