1、第17讲直角三角形与锐角三角函数,考点一,考点二,考点一直角三角形的性质及判定,考点一,考点二,考点二解直角三角形 1.锐角三角函数 (1)三角函数的定义及关系,考点一,考点二,(2)特殊角的三角函数的值:,考点一,考点二,2.解直角三角形及其应用 (1)解直角三角形的类型:,考点一,考点二,(2)解直角三角形的实际应用:,考点一,考点二,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,30角所对直角边是斜边的一半 含30角的直角三角形具有特殊的性质:在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半. 此结论是由等边三角形的性质推出,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数. 注
2、意:该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30)的特殊性质,在非直角三角形或一般直角三角形中不能应用;应用时,要注意找准30的角所对的直角边,以及斜边.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例1(2018广西)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45,已知甲楼的高AB是120 m,则乙楼的高CD是 m(结果保留根号),解析:由题意可得:BDA=45, 则AB=AD=120 m, 又CAD=30, 在RtADC中,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边
3、的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”.在题中如果有一个30的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关系.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,直角三角形的性质和判定 例2(2018广西柳州)如图,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,则sin B= =( ),答案:A 解析:C=90,BC=4,AC=3, AB=5,故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨直角三角形中线段和角之间的数量关系 (1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的重要工具,有时也用于证明线段相等;(2)角:
4、直角三角形的两锐角互余,可用来计算角的大小,也是证明角相等的重要工具;(3)斜边中线:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另外还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则C=90;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,锐角三角函数值的求法 例3(2018山东德州)如图,在44的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点上,则BAC的正弦值是 .,解析:AB2
5、=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5, AC2+BC2=AB2, ABC为直角三角形,且ACB=90,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨格点图中求某个角的三角函数值的方法 通常的做法是构造合适的直角三角形,然后根据格点来表示出各边的长,从而求出相应的三角函数值.在构造直角三角形时需注意,通常我们要去求的边或角不要分割,另外就是构造的直角三角形的边尽可能的是整个的格点数,这样便于我们求值.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,有关特殊角三角函数值的计算,=5. 方法点拨1.本题考查实数的运算、指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值,解
6、答本题的关键是明确它们各自的计算方法.这是核心素养中数学运算的基本要求. 2.特殊角的锐角三角函数值要记熟,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相关定理与性质直接推导计算也可;,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,锐角三角函数的应用 例5(2018重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=10.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 240.4
7、1,cos 240.91,tan 24=0.45)( )A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:A 解析:作BMED交ED的延长线于点M,CNDM于点N. 在RtCDN中,CD=10,(3k)2+(4k)2=100, k=2,CN=8,DN=6, 四边形BMNC是矩形, BM=CN=8,BC=MN=20, EM=MN+DN+DE=66,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨求直角三角形中某锐角的三角函数值,常需利用勾股定理求出有关边长,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转化到直角三角形中.,考
8、法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解直角三角形的实际应用 例6(2018山东烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速,如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时.数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速,在l外取一点P,作PCl,垂足为点C.测得PC=30米,APC=71,BPC=35.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70,sin
9、 710.95,cos 710.33,tan 712.90),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解:在RtAPC中,AC=PCtan APC=30tan 71302.90=87, 在RtBPC中,BC=PCtan BPC=30tan 35300.70=21,则AB=AC-BC=87-21=66,又40 km/h11.1 m/s, 该车没有超速.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨1.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,当问题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把
10、实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 2.一般过程是:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形,转化为解直角三角形问题).(2)先根据题目已知特点选用适当锐角三角函数(或边角关系)去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.,2.(2014甘肃天水)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.ABC的顶点都在方格的格点上,则cos A= .,3.(2017甘肃武威)如图是一张三角形纸片ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠:使点A与点B重合,则折痕长等于_cm.,解析:取AB的中
11、点M,过点M作MNAB交AC于点N,因为AC=8 cm,BC=6 cm, 所以AB=10 cm,4.(2017甘肃天水)一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向的A处,点A与灯塔P的距离为20海里,它向东航行到达灯塔P南偏西45方向上的B处,求轮船航行的距离AB.(结果保留根号),解:如图,过P作PCAC交AB延长线于点C,则APC=60,BPC=45,AP=20,在PBC中,BPC=45, PBC为等腰直角三角形, BC=PC=10,5.(2018甘肃)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图,A,B两地被大山阻隔,由A地到
12、B地需要绕行C地,若打通穿山隧道,建成A,B两地的直达高铁可以缩短从A地到B地的路程.已知CAB=30,CBA=45,AC=640公里,求隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短多少公里?(参考数据:,解:过点C作CDAB于点D,在RtADC和RtBCD中,1 088-864=224(公里), 答:隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224公里.,6.(2015甘肃甘南州)如图,从热气球C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为30和60.如果这时气球的高度CD为90米.且点A,D,B在同一直线上,求建筑物A,B间的距离.,解:由已知,得ECA=30,FCB=60,CD=9
13、0, EFAB,CDAB于点D. A=ECA=30,B=FCB=60.,7.(2015甘肃白银)如图所示,将直尺摆放在三角板ABC上,使直尺与三角板的边分别交于点D,E,F,G,量得CGD=42.(1)求CEF的度数; (2)将直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点B,交AC边于点H,如图所示.点H,B在直尺上的读数分别为4,13.4,求BC的长(结果保留两位小数).(参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90),解:(1)CGD=42,C=90, CDG=90-42=48, DGEF,CEF=CDG=48. (2)点H,B的读数分别为4,13.4, HB=
14、13.4-4=9.4, BC=HBcos 429.40.746.96 答:BC的长为6.96.,8.(2016甘肃白银)如图是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景.图是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图.已知AC=0.66米,BD=0.26米,=20(参考数据:sin 200.342,cos 200.940,tan 200.364).(1)求AB的长;(精确到0.01米) (2)若测得ON=0.8米,试计算小明头顶由N点运动到M点的路径,解:(1)过点B作BFAC于点F.AF=AC-BD=0.4(米), AB=AFsin 201.17(米). (2)MON=90+20=110,
