1、第12讲 二次函数,2.二次函数的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.,3.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系,4.二次函数与一元二次方程的关系,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的概念 变量y是x的二次函数的关键:化简后的关于自变量的代数式是整式,且x的最高指数为2,二次项的系数不能为0. 例1若 是二次函数,则m的值是( ) A.2 B.0 C.-2 D.2或-2 答案C 解析根据题意有m2-2=2,且2-m0,故解得m=-2. 误区警示二次函数中二次项系数不为0
2、这个条件是不能忽略的.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的图象 1.理解二次函数的图象的关键是要抓住抛物线的开口方向、对称轴的位置、顶点所在的象限、与y轴的交点坐标. 2.根据抛物线在平面直角坐标系中的位置可确定a,b,c的符号,抛物线与x轴的交点个数决定b2-4ac的符号,在判断a+b+c,a-b+c等式子的值时,要分别抓住图象上的点(1,y),(-1,y)所在的位置.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2(2017贵州安顺)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:4ac-b20;3b+2c0;4a+c2b;m(am+b)+b
3、0,4ac-b20,4a-2b+c0,4a+c2b,错误; 由图象可知当x=-1时该二次函数取得最大值,a-b+cam2+bm+c(m-1).m(am+b)+b0,可判断;根,3b+2c0,可判断;当x=-1时该二次函数取得最大值,据此可判断.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的性质 1.结合开口方向、对称轴可理解二次函数的增减性;结合开口方向和顶点的纵坐标可理解二次函数的最值. 2.已知点A(a,b)和B(c,b)是抛物线上两点,由于它们的纵坐标相同,所以,这条抛物线的对称轴是x= .,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3(2017甘肃天水)如图是抛物
4、线y1=ax2+bx+c(a0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: abc0;方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);当1y1;x(ax+b)a+b,其中正确的结论是 .(只填写序号),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案: 解析:由图象可知:a0,c0,故abc0,故错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故正确;根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故错
5、误;观察图象可知,当1x4时,有y20(或0;4ac2.其中正确的结论的个数是( C )A.1 B.2 C.3 D.4,解析:a0,故正确;抛物线与x轴有两个交点,故正确;对称轴x=-1化简得2a-b=0故错误;当x=-1时所对的y值2,故正确.,3.(2018甘肃武威)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:ab0;a+bm(am+b)(m为实数);当-10,其中正确的是( A )A. B. C. D.,解析:抛物线的开口向下,a0,b=-2a,即2a+b=0,故正确; 由图象知当x
6、=3时,y=9a+3b+c0, 把b=-2a代入得,3a+c0,故错误; 当x=1时,y取最大值,则a+b+cam2+bm+c,则m(am+b)a+b, 故正确; 由图象可知,当-1x3时,函数图象有些部分位于x轴下方,故错误. 故选A.,4.(2016甘肃兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是-7 .,解析:本题考查二次函数最值问题,可将其化为顶点式y=(x+2)2-7.,5.(2016甘肃天水)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论:abc0;,解析:观察题图,发现: 开口向下a0;对称轴在y轴右侧,OA=OC,x
7、A=-c. 将点A(-c,0)代入y=ax2+bx+c中, 得ac2-bc+c=0,即ac-b+1=0,正确;,综上可知正确. 故答案为.,6.(2017甘肃白银)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式; (2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NMAC,交AB于点M,当AMN面积最大时,求点N的坐标; (3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.,解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,(2)设点N的坐标为(n,0)(-2n8),则BN=n+2,CN=8-n. B(-2,0),C(8,0),BC=10. 令x=0,解得y=4,点A(0,4),OA=4,当n=3时,即N(3,0)时,AMN的面积最大. (3)当N(3,0)时,N为BC边中点. M为AB边中点,
