1、专题 05 万有引力定律第一部分名师综述万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度） 、以及分析卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。第二部分精选试题一、单选题1小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的 3 倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器
2、沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动所用的时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行，不考虑月球自转的影响，则下列说法正确的是 ( )A从登月器与航天站分离到对接，航天站至少转过半个周期B从登月器与航天站分离到对接，航天站至少转过 2 个周期C航天站做圆周运动的周期与登月器在椭圆轨道上运动的周期之比为278D航天站做圆周运动的周期与登月器在椭圆轨道上运动的周期之比为278【答案】 C【解析】【详解】航天站的轨道半径为 3R，登月器的轨道半长轴为 2R，由开普勒第三定律可知，航天
3、站做圆周运动的周期与登月器在椭圆轨道上运动的周期之比为： ；从登月器与航天站分离到对接，=3323=278登月器的运动的时间为一个周期 T，登月器可以在月球表面逗留的时间为 t，使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接， ，则 ， n 取整数，即 n 至少为 1，这+= = 827一时间要大于航天站的半个周期，而登月器在月球上要逗留一段时间，其值不知，即无法确定时间大小，则 AB 错误；航天站做圆周运动的周期与登月器在椭圆轨道上运动的周期之比为：，则 C 正确， D 错误；故选 C。=3323=2782如图，拉格朗日点 L1位于地球和月球连线上，处 在该点的物体在地球和月球引力的共同
4、作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动据此，科学家设想在拉格朗日点 L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动以 a1、 a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小， a3表示地球同步卫星向心加速度的大小以下判断正确的是( )Aa 2a3a1 Ba 2a1a3 Ca 3a1a2 Da 3a2a1【答案】 D【解析】【详解】空间站与月球绕地球同周期运动，据 可得，空间站向心加速度 比月球向心加速度 小，=(2)2 1 2即 .地球同步卫星和月球均是地球对它们 的万有引力充当向心力，即 ，地球同步12 321错误。3A 为静止于地球赤道上的物体、B 为近地卫星、C 为地球同步卫星，地球表面的重
5、力加速度为g，关于它们运行线速度 v、角速度 、周期 T 和加速度 a 的比较正 确的是（ ）A A B CB A B CCT CT BT ADa Ba Ca A【答案】 D【解析】【详解】卫星 C 与 A 具有相等的角速度，A 的半径小于 C 的半径，根据 v=r 知 vAvC，故有2=2 =vBvCvA，故 A 错误；卫星 C 与 A 具有相等的角速度，即 A= C；根据万有引力提供向心力，有，得 ，近地卫星 B 轨道半径小于同步卫星 C 的轨道半径， B C，故有2 2 =3 B A= C，故 B 错误；卫星 C 为同步卫星，周期与 A 物体周期相等，T C=TA；，根据万有引力提供向心
6、力 ，得 ，近地卫星 B 轨道半径小于同步卫星 C 的轨道半径，所以2 422 =23TBaC，故有 aBa Ca A，故 D 正确；故选 D。4某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面 P 点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气假设该地 区岩石均匀分布且密度为 ，天然气的密度远小于 ，可忽略不计如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为 g；由于空腔的存在，现测得 P 点处的重力加速度大小为 kg(k23器在轨道 1、2、3 运行时的周期大小关系为 。故 B 项错误。123C：据牛顿第二定律可得， ；所以探测器在轨道 2 上运行和在圆轨道 1 上运行加速度大小2=相等的位置只有
7、一个。故 C 项错误。D：据几何关系可得， ；据开普勒第三定律 ，解得： 。故 D 项正确。31= 3121=3323 3=316 、 为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星 、 做匀速圆周运动，1 2 1 2图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度 a，横坐标表示物体到行星中心的距离 r 的平方，两条曲线分别表示 、 周围的 a 与 的反比关系，它们左端点横坐标相同，则 ( )1 2 2A 、 的平均密度相等1 2B 的第一宇宙速度比 的小1 2C 的公转周期比 的大1 2D 的向心加速度比 的大1 2【答案】 D【解析】【详解】根据牛顿第二定律，行星对周围空间
8、各处物体的引力产生的加速度为： ，它们左端点横坐标=2相同，所以 P1、P 2的半径相等，结合 a 与 r2的反比关系函数图象得出 P1的质量大于 P2的质量，根据 ，所以 P1的平均密度比 P2的大，故 A 错误；第一宇宙速度 ，所以 P1的“第一宇=433 =宙速度”比 P2的大，故 B 错误；根据根据万有引力提供向心力得出周期表达式 T=2 ，所以 s13的公转周期比 s2的小，故 C 错误；s 1、s 2的轨道半径相等，根据 a= ，所以 s1的向心加速度比 s22的大，故 D 正确；故选 D。【点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道线速度、角速度、周期、加速度与轨道
9、半径的关系，并会用这些关系式进行正确的分析和计算该题还要求要有一定的读图能力和数学分析能力，会从图中读出一些信息就像该题，能知道两个行星的半径是相等的7我国继嫦娥三号之后将于 2018 年发射嫦娥四号,它将首次探秘月球背面，实现人类航天器在月球背面的首次着陆。为“照亮”嫦娥四号”驾临“月球背面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在嫦娥四号发射前半年进入到地月拉格朗日 点。在该点，地球、月球和中继卫星位于同2一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期相同，则（）A中继卫星的周期为一年B中继卫星做圆周运动的向心力仅由地球提供C中继卫星的线速度小于月球运动的线速度D
10、中继卫星的加速度大于月球运动的加速度【答案】 D【解析】A、中继卫星的周期与月球绕地球运动的周期相等都为一个月，故 A 错B、卫星的向心力由月球和地球引力的合力提供,则 B 错误.C、卫星与地球同步绕地球运动,角速度相等,根据 ,知卫星的线速度大于月球的线速度.故 C=错误D、根据 知,卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故 D 正确；=2故选 D点睛：卫星与月球同步绕地球运动,角速度相等,卫星靠地球和月球引力的合力提供向心力,根据, 比较线速度和向心加速度的大小=28科技日报北京 2017 年 9 月 6 日电，英国自然天文学杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中
11、发现了一个黑洞。科学研究表明，当天体的逃逸速度(即第二宇宙速度，为第一宇宙速度的 倍)超过光速时，该天体就是黑洞。己知某天体与地球的质量之2比为 k。地球的半径为 R，地球卫星的环绕速度(即第一宇宙速度)为 v1，光速为 c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于A B C D212 2212 212 2221【答案】 B【解析】地球的第一宇宙速度： ；2=12该天体成为黑洞时其半径为 r，第一宇宙速度为 v2， ；2=22=22联立解得： ，故 B 正确；=2212故选 B9我国于 2017 年 11 月发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。 “嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简
12、单分成四步，如图所示第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道，第二步在环月轨道的 A 处进行变轨进入月地转移轨道，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从 B 点进入绕地圆轨道，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是（）A将“嫦娥五号”发射至轨道时所需的发射速度为 7.9km/sB “嫦娥五号”从环月轨道进入月地转移轨道时需要加速C “嫦娥五号”从 A 沿月地转移轨到达 B 点的过程中其动能一直增加D “嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速【答案】 B【解析】A、月球的第一宇宙速度比地球的要小,故 A 错误;B、 “嫦娥五号”从轨道进入月地转移轨道是离心运动,所以需要加速,所以
13、 B 选项是正确的;B、刚开始的时候月球对“嫦娥五号”的引力大于地球对“嫦娥五号”的引力,所以动能要减小,之后当地球的引力大于月球的引力时,卫星的动能就开始增加,故 C 错误;D、 “嫦娥五号”降落至地面的运动为向心运动,需要减速,故 D 错误.综上所述本题答案是：B点睛：第一宇宙速度是在星球表面发射飞行器的最小发射速度;圆周运动的卫星加速后做离心运动,减速后做向心运动.10宇宙中有两颗相距无限远的恒星 s1、s 2，半径均为 R0.下图分别是两颗恒星周围行星的公转周期 T2与公转半径 r3的图像，则A恒星 s1的质量大于恒星 s2的质量B恒星 s1的密度小于恒星 s2的密度C恒星 s1的第一
14、宇宙速度大于恒星 s2的第一宇宙速度D距两恒星表面高度相同的行星，s 1的行星向心加速度较大【答案】 B【解析】A、由题图可知，当绕恒星运动的行星的环绕半径相等时，S 1运动的周期比较大，根据公式： ，所以： ，周期越大则质量越小所以恒星 S1的质量小于恒星224MmGrrT234rMGTS2的质量故 A 错误；B、两颗恒星的半径相等，则根据 M=V ，半径 R0相等则它们的体积相等，所以质量大 S2的密度大故 B 正确C、根据万有引力提供向心力，则： ，所以：22mvGr，由于恒星 S1的质量小于恒星 S2的质量，所以恒星 S1的第一宇宙速度小于恒星 S2的Gvr第一宇宙速度故 C 错误D、
15、距两恒星表面高度相同的行星，如图当它们的轨道半径相等时， S1的周期大于恒星 S2的周期，它们的向心加速度 a： ，所以 S1的行星向心加速度较24rT小故 D 错误故选 B.【点睛】该题考查万有引力定律的应用，由于两个恒星的半径均为 R0，又可以根据图象，结合万有引力定律比较半径和周期之间的关系当然也可以结合开普勒第三定律分析半径与周期之间的关系二、多选题112018 年 5 月 4 日中国成功发射“亚太 6C”通讯卫星。如图所示为发射时的简易轨道示意图，先将卫星送入近地圆轨道，当卫星进入赤道上空 P 点时 ，控制火箭点火，进入椭圆轨道，卫星到达远地点 Q 时，再次点火，卫星进入相对地球静止
16、的轨道，已知 P 点到地心的距离为 h， Q点到地心的距离为 H，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，规定无穷远处引力势能为零，质量为 m 的物体在距地心 r 处的引力势能 Ep=I （ r R） ，下列说法正确的是（ ）2A轨道上卫星在 P 点的速度 与卫星在 Q 点的速度 之比为 =B卫星在轨道上的速度 与在轨道上速度 之比为1 313=C卫星在轨道上的机械能为 =22D卫星在轨道上的运动周期为【答案】 ABC【解析】【详解】根据开普勒第二定律可知卫星在轨道在相同的时间内卫星与地球的连线扫过的面积相等，设时间间隔为t，则在 P 点与 Q 点附近有： ，可得 ，故 A 正确；卫星在
17、轨道12=12 =上与在轨道上运行时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律有 ，得线速度为2=2，故可得卫星在轨道上的速度 v1与在轨道上速度 v3之比为 ，故 B 正确；卫星在= 13=轨道上的引力势能为 ，卫星在轨道上的动能为 ，=-=2 =122=12=22故卫星在轨道上的机械能为 ，故 C 正确；由 可得周期为 ，故=+=22 =2 =4232D 错误。故选 ABC。12如图所示， A、 B 两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中 A 是地球同步卫星，轨道半径为 r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为 R，自转周期为 T.若经过时间t 后， A、 B 第一次相距最远
18、，下列说法正确的有A在地球两极，地表重力加速度是42322B卫星 B 的运行周期是2+C卫星 B 的轨道半径为是 3( 22+)2D若卫星 B 通过变轨与 A 对接之后，B 的机械能可能不变【答案】 AC【解析】【详解】A、对于卫星 A，根据万有引力提供向心力，可得： G m r，可得地球的质量： M ，在地2=422 =4232球两极，据万有引力等于重力，可得： mg G ， 联立解得： g ，故 A 正确；2 =42322B、卫星 A 的运行周期等于地球自转周期 T设卫星 B 的周期为 T 当卫星卫星 B 比 A 多转半周时，A、B 第一次相距最远，则有： t t ，解得： T ，故 B
19、错误；22 =2+2C、根据开普勒第三定律得： ，解得： rB= ，故 C 正确；33=22 3( 22+)2D 、卫星 B 通过变轨与 A 对接，则需要在原轨道上对卫星 B 加速，使万有引力不足以提供向心力，做离心运动，最后与 A 对接，则卫星 B 的机械能要增大，故 D 错误。13A、B 两个半径相同的天体各有一个卫星 a、b 环绕它们做匀速圆周运动，两个卫星的环绕周期之比为 4；1，A、B 各自表面重力加速度之比为 4:1（忽略天体的自转） ，则Aa、b 轨迹半径之比为 4:1BA、B 密度之比为 4:1Ca、b 扫过相同面积所需时间之比为 1:16Da、b 所受向心力之比为 1:16【
20、答案】 AB【解析】【分析】根据 以及 导出轨道半径与周期和表面重力加速度的关系，然后求解 a、b2=(2)2 2=轨迹半径之比；找到星球密度的表达式，求解密度之比；根据圆周运动的知识求解扫过某一面积所用的时间表达式，求解 a、b 扫过相同面积所需时间之比.【详解】根据 以及 可得 ；可得 a、b 轨迹半径之比为2=(2)2 2= 3=242=22422，选项 A 正确；由 ，则 A、B 密度之比为 4:1，选项 B 正=341(41)2=41 = 433=2433=34确；根据 ， ，即 ，当扫过相同面积 S 时，则 ，= 122= =2= 22=2 =22=41(14)2=14选项 C 错
21、误；两卫星 ab 的质量不确定，无法比较向心力的大小关系，选项 D 错误；故选 AB.142013 年 12 月 10 日晚上九点二十分，在太空飞行了九天的“嫦娥三号”飞船再次成功变轨，从 100km100km 的环月圆轨道 I 降低到椭圆轨道(近月点 15km、远月点 100km)，两轨道相交于点 P，如图所示关于“嫦娥三号”飞船，以下说法正确的是（）A飞船在轨道 I 上运动到 P 点的速度比在轨道上运动到 P 点的速度大B飞船在轨道 I 上运动到 p 点的向心加速度比在轨道上运动到 P 点的向心加速度小C飞船在轨道 I 上的引力势能与动能之和比在轨道上的引力势能与动能之和大D飞船在轨道上运
22、动的周期大于在轨道 I 上运动的周期【答案】 AC【解析】【详解】A、沿轨道运动至 P 时，制动减速，万有引力大于向心力做向心运动，才能进入轨道，故在轨道上运动到 P 点的速度比在轨道上运动到 P 点的速度大;故 A 正确.B、 “嫦娥三号”卫星变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，同一地点万有引力相同，所以加速度相等;故 B 错误.C、变轨的时候点火，发动机做功，从轨道进入轨道，发动机要做功使卫星减速，故在轨道上的势能与动能之和比在轨道上的势能与动能之和大;故 C 正确.D、根据开普勒第三定律 为常数，可得半长轴 a 越大，运动周
23、期越大，显然轨道的半长轴（半32径）大于轨道的半长轴，故沿轨道运动的周期小于沿轨道 运动的周期;故 D 错误.故选 AC.【点睛】通过该题要记住：由高轨道变轨到低轨道需要减速，而由低轨道变轨到高轨道需要加速，这一点在解决变轨问题时要经常用到，一定要注意掌握152018 年 7 月 25 日，科学家们在火星上发现了一个液态水湖，这表明火星上很可能存 在生命。若一质量为 m 的火星探测器在距火星表面高度为 h 的轨道上做匀速圆周运动，运行周期为 T，已知火星半径为 R，引力常量为 G，则（）A探测器的线速度 v=2(+)BB火星表面重力加速度 g=42(+)322C探测器的向心加速度 a=(+)2
24、D火星的密度 =3GT2【答案】 AB【解析】【详解】探测器的线速度 ,选项 A 正确；对探测器： ，解得火星的质=2(+) (+)2=422(+)量： ；由 可得火星表面的重力加速度： ，选项 B 正确；根据=42(+)32 2= =42(+)322可知，测器的向心加速度： ，选项 C 错误；火星的密度 ，(+)2= = (+)2 =433=3(+)323选项 D 错误；故选 AB.16质量为 m 的人造地球卫星在地球表面上时重力为 G（下列选项中的 G 均指重力） ，它在离地面的距离等于地球半径 R 的圆形轨道上运行时的A周期为 T 4 B速度为 v C加速度为 a D动能为 Ek2 2G
25、 4 4【答案】 ACD【解析】【详解】卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力： ，解得 ，02=2=422= =0， ，在地球表面的卫星受到的重力等于万有引力，可得 ，由题，卫星=230=02 =02的轨道半径 r=2R，代入解答：A、卫星运动的周期为： ；故 A 正确.=230=2(2)32=42B、卫星运动的速率为： ；故 B 错误.=0=22=2C、卫星的加速度 ；故 C 正确.=022(2)2=4D、动能为 ；故 D 正确.=122=4故选 ACD.【点睛】本题关键根据人造卫星的万有引力等于向心力，以及地球表面重力等于万有引力列两个方程，通过数学变形研究17(多选)地球赤道
26、表面上的一物体质量为 ，它相对地心的速度为 ，地球同步卫星离地面的1 1高度为 h，它相对地心的速度为 ，其质量为 。已知地球的质量为 M，半径为 R，自转角速度为2 2，表面的重力加速度为 g，地球的第一宇宙速度为 v，万有引力常量为 G。下列各式成立的是( )A 小于 v B C D11=2+ 1=121 2=+【答案】 ABD【解析】【详解】第一宇宙速度 v 是近地卫星的环绕速度，大于同步卫星的速度 v2，而根据 v=r 可知，因同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度，可知 v2v1，则 vv1， ，即 ，选项12= (+)= + 1=2+AB 正确；考虑地球自转，则对地球赤道表面上的一
27、物体： ，则 ，选项121=121 1121C 错误；对卫星，万有引力提供向心力，故 ，解得 ，则 ，故 D 正确；故2=2 = 2=+选 ABD。【点睛】本题关键是明确卫星与地面物体的区别，对卫星是万有引力提供向心力，而地面物体是万有引力和支持力的合力提供向心力，考虑地球自传，重力是万有引力的一个分力182018 年 7 月 27 日出现了“火星冲日”的天文奇观，火星离地球最近最亮。当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“火星冲日” 。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数
28、据见下表。则根据提供的数据可知质量 半径 与太阳间距离地球 m R r火星 约 0.1m 约 0.5R 约 1.5rA在火星表面附近发射飞行器的速度至少为 7.9km/sB理论上计算可知下一次“火星冲日”的时间大约在 2020 年 9 月份C火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为 2:5D火星运行的加速度比地球运行的加速度大【答案】 BC【解析】【详解】根据 ，解得 ，则 ，则 v 火 v 地 =7.9km/s，则在火2=2 = 火地 =火火 地地 = 0.10.5= 510星表面附近发射飞行器的速度小于为 7.9km/s，选项 A 错误；据开普勒第三定律， ，则 T(1.5)32
29、火 32地火 1.84T 地 =1.84 年；设从火星冲日到下次火星冲日的时间间隔为 t，则 ，解得：地 火 1t2.2 年，所以下一次“火星冲日”的时间大约在 2020 年 9 月份，故 B 正确。行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时受到的重力，则 ，可得： ；则物2 物 =2，选项 C 正确；太阳对行星的引力充当行星做圆周运动的向心力，则火地 =火2火 2地地 =0.110.52=25解得 ，可知火星运行的加速度比地球运行的加速度小，选项 D 错误；故选 BC.2= =2【点睛】本题主要是考查了万有引力定律及其应用；解答此类题目一般要把握两条线：一是在星球表面，忽略星球自转的情况下，万
30、有引力近似等于重力；二是根据万有引力提供向心力列方程进行解答。19已知引力常量 G，利用下列数据不能计算地球半径的是A月球绕地球运动的周期、线速度及地球表面的重力加速度B人造卫星绕地球运行的周期、及地球的平均密度C地球同步卫星离地的高度、周期及地球的平均密度D近地卫星绕地球运行的周期和线速度【答案】 ACD【解析】【详解】已知月球绕地球运行的周期和线速度，根据 求解月地距离 r；根据万有引力等于向心力，有：=2求解地球的质量 M；地球表面加速度为 g，则 GM=gR2，联立可求解地球的半径 R，故 A2 422正确；人造卫星绕地球的周期及地球的平均密度 ，因为不知道轨道半径，无法求解地球质量，
31、知道密度也无法求得地球半径，故 B 错误；知道同步卫星的周期 T 和高度 h，由 ，2 422r=R+h 和 M= R 3，联立解得 R，故 C 正确；根据近地卫星的周期和线速度 v= ，可求出轨道半43 2径，近地卫星轨道半径近似等于地球半径，故 D 正确；此题选择不能求解地球半径的，故选 B。20关于黑洞和暗物质(暗物质被称为“世纪之谜” 它“霸占”了宇宙 95%的地盘，却摸不到看不着)的问题，以下说法正确的是(黑洞临界半径公式取为 c ， c 为光速， G 为万有引力常量，2M 为黑洞质量A如果地球成为黑洞的话，那么它的临界半径为 r R(R 为地球的半径， v 为第二宇宙速度)22B如
32、果太阳成为黑洞，那么灿烂的阳光依然存在，只是太阳光到地球的时间变得更长C有两颗星球(质量分别为 M1 和 M2)的距离为 L，不考虑周围其他星球的影响，由牛顿运动定律计算所得的周期为 T，由于宇宙充满均匀的暗物质，所以观察测量所得的周期比 T 大D有两颗星球甲和乙(质量分别为 M1 和 M2)的距离为 L，不考虑周围其他星球的影响，它们运动的周期为 T，如果其中甲的质量减小 m 而乙的质量增大 m，距离 L 不变，那么它们的周期依然为 T【答案】 AD【解析】【详解】因为 c ，而地球的第二宇宙速度为 v ，两式相比得 r R，所以 A 正确如果太阳成2 2 22为黑洞，光不能跑出，所以我们将
33、看不到阳光，选项 B 错误设甲乙质量变化前，甲的运动半径为 r1，甲乙质量变化后运动周期为 T2，甲的运动半径为 r1，则 ，122=1(2)21，又因为 r1 L， ，所(1)(2+)2 =(1)(22)21 21+2 1= 2+(1)+(2+)=2+1+2以 ， ，故 T T2.=42122= 423(1+2) 2= 4212(2+)= 423(1+2)选项 C 错误，D 正确；故选 AD.【点睛】此题关键是理解宇宙速度的含义；对双星问题，知道它们做圆周运动的向心力由两者间的万有引力提供，且角速度和周期都相等.三、解答题21探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，
34、我国航天事业向更深更远的太空迈进。（1）2018 年 12 月 27 日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共 35颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为 Me，地球半径为 R，引力常量为 G。a.求该同步卫星绕地球运动的速度 v 的大小；b.如图所示， O 点为地球的球心， P 点处有一颗地球同步卫星， P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知 h= 5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全
35、球，至少需要几颗地球同步卫星？（ , ）81=0.1581=0.99（2）今年年初上映的中国首部科幻电影流浪地球引发全球热议。根据量子理论，每个光子动量大小 （ h 为普朗克常数， 为光子的波长） 。当光照射到物体表面时将产生持续的压力。设=有一质量为 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为G，光速为 c，太阳质量为 Ms，太阳单位时间辐射的总能量为 E。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器” 。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最小面积 s0。 （忽略其他星体对飞行器的引力）【答
36、案】 （1）a. b至少需要 3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行器与太阳=e+的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0【解析】【详解】（1）a设卫星的质量为 m。由牛顿第二定律 ，e(+)2=2+得 =e+b如答图所示，设 P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为 2 ，至少需要 N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。由直角三角形函数关系 ， h= 5.6 R，得 = 81。=+所以 1 颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为 2 = 1623602=2.2所以， N = 3，即至少需要 3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的
37、方向运动，当飞行器与太阳距离为 时，光帆受到太阳光的压力 与太阳对飞行器的引力大小关系，有 s2设光帆对太阳光子的力为 F，根据牛顿第三定律 F =设 时间内太阳光照射到光帆的光子数为 ，根据动量定理： =2设 时间内太阳辐射的光子数为 N，则=设光帆面积为 s，=42当 时，得最小面积=s2 0=2s由上式可知， s0和飞行器与太阳距离 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0。222019 年 1 月 3 日，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，并通过“鹊桥”中继卫星传回了世界上第一张近距离拍摄月球背面的图片。此次任务实现了人类探测器首次在月球背面软着陆、首次
38、在月球背面通过中继卫星与地球通讯，因而开启了人类探索月球的新篇章。(1)为了尽可能减小着陆过程中月球对飞船的冲击力，探测器在距月面非常近的距离 h 处才关闭发动机，此时速度相对月球表面竖直向下，大小为 v，然后仅在月球重力作用下竖直下落，接触月面时通过其上的“四条腿”缓冲，平稳地停在月面，缓冲时间为 t，如图 1 所示。已知月球表面附近的重力加速度为 g0，探测器质量为 m0求：探测器与月面接触前瞬间相对月球表面的速度 的大小。月球对探测器的平均冲击力 F 的大小。(2)探测器在月球背面着陆的难度要比在月球正面着陆大很多，其主要的原因在于：由于月球的遮挡，着陆前探测器将无法和地球之间实现通讯。
39、2018 年 5 月，我国发射了一颗名为“鹊桥”的中继卫星，在地球和月球背面的探测器之间搭了一个“桥” ，从而有效地解决了通讯的问题。为了实现通讯和节约能量， “鹊桥”的理想位置就是围绕“地一月”系统的一个拉格朗日点运动，如图 2所示。所谓“地一月”系统的拉格朗日点是指空间中的某个点，在该点放置一个质量很小的天体，该天体仅在地球和月球的万有引力作用下保持与地球和月球的相对位置不变。设地球质量为 M，月球质量为 m，地球中心和月球中心间的距离为 L，月球绕地心运动，图 2 中所示的拉格朗日点到月球球心的距离为 r。推导并写出 r 与 M、m 和 L 之间的关系式。地球和太阳组成的“日一地”系统同
40、样存在拉格朗日点，图 3 为“日-地”系统示意图，请在图中太阳和地球所在直线上用符号“*”标记出几个可能拉格朗日点的大概位置。【答案】 （1） ， ；（2） ，=2+20 =0 2+20+00 2+ (+2)=3(+)见解析【解析】【详解】(1)由运动学公式 22=20可得探测器着陆前瞬间相对月球表面的速度大小 =2+20设月球対嫦娥四号探测器的平均冲击大小为 F，以竖直向上为正，根据动量定理得 。(00)=0(0)解得： =0 2+20+00（2）设在图中的拉格朗日点有一质量为 的物体（ ） 则月球对其的万有引力 1=2地球对其的万有引力 为2 2=(+)2质量为 的物体以地球为中心做圆周运
41、动，向心力由 和 的合力提供，设圆周运动的角速度为 ， 1 2 则 1+2=2(+)根据以上三式可得 2+ (+)2=2(+)月球绕地球做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力有： 2=2联立以上两式得：2+ (+)2=3(+)对于“日-地”系统，在太阳和地球连线上共有 3 个可能的拉格朗日点，其大概位置如图所示：23为了检验使苹果落地的力与维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力，牛顿做了著名的月一地检验已知地球半径 R6.4010 6 m，月球绕地球运行的轨道半径 r3.8410 5 km 月球绕地球运行的周期 T27.3 天，地球附近的重力加速度 g 取 9.80 ms 2请你根据以上
42、数据，通过计算推理说明使苹果落地的力和维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力【答案】理论分析得出的 与天文观测得出的 近似相等，1=0.0027222/2 2=0.0027221/2可见，使苹果落地的力和维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力【解析】【详解】（1）理论分析：若使苹果落地的力和维持月球绕地球运动的力是同一种性质的力，则同样遵从平方反比律，即 F ；12已知地球半径 R=6.40106m，月球绕地球运行的轨道半径 r=3.84105 km=3.84108 m，所以 r=60R；月球在其轨道上所受的力将只有它在地球表面所受重力的 ，则月球在绕地球轨道运行时因1602=13600地球吸引而具有的加速度 a1= 0.002722m/s 2。3600（2）天文观测：T=27.3 天=27.3243600s月
