1、2019 年湖南省常德市澧县中考数学四模试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B C2 D22 （3 分）若一个三角形三个内角度数的比为 2：7：4，那么这个三角形是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形3 （3 分）自 2013 年 10 月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度全国脱贫人口数不断增加仅 2017 年我国减少的贫困人口就接近 1100 万人将 1100 万人用科学记数法表示为（ ）A1.110 3 人 B1.110 7 人 C1.110 8 人 D1
2、110 6 人4 （3 分）如图所示的正六棱柱的主视图是（ ）A BC D5 （3 分）下列说法正确的是（ ）A任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上B天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D “a 是实数，|a| 0”是不可能事件6 （3 分）如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD BC，过 AC 中点 E 作EF CD（点 F 位于点 E 右侧） ，且 EF2CD，连接 DF若 AB8，则 DF 的长为（ ）A3 B4 C2 D37 （3 分）已知点 P（a，m） ，点 Q（
3、b，n）都在反比例函数 的图象上，且 a0b，则下列结论定正确的是（ ）Am+ n0 Bm+n0 Cmn Dm n8 （3 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019 个图形共有（ ）个A6055 B6056 C6057 D6058二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）9 （3 分）若 是整数，则正整数 n 的最小值为 10 （3 分）分解因式：2xy 2+4xy+2x 11 （3 分）一组数据 3，2，3，4，x 的平均数是 3，则它的方差是 12 （3 分）分式方程 4 的解是 x 13 （3 分）如图，AB 是O 的弦，O
4、 的半径 OCAB 于点 D，若AB 6cm，OD4cm，则 O 的半径为 cm 14 （3 分）放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s（km）与所用时间 t（min）之间的函数关系如图，则小明的骑车速度是 km/min15 （3 分）如图，ABC 中，ABAC ，ADBC 于 D 点，DEAB 于点 E，BFAC 于点F，DE3cm，则 BF cm 16 （3 分）我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数” 如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个三、 （本大题 2 个小题，
5、每小题 5 分，满分 10 分）17 （5 分）计算：18 （5 分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来四、 （本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）19 （6 分）先化简，再求值：（1+ ） ，其中 x 满足 x22x5020 （6 分）如图，已知一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y （m0）的图象相交于 A、 B 两点，且点 A 的坐标是（1，2） ，点 B 的坐标是（2，w） （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）在 x 轴的正半轴上找一点 C，使AOC 的面积等于ABO 的面积，并求出点 C 的坐标五、 （本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14
6、 分）21 （7 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；（2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ ” ；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝” 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率22 （7 分）我市在创建全国
7、文明城市的过程中，某社区在甲楼的 A 处与 E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部 C 点测得条幅顶端 A 点的仰角为 45，条幅底端 E 点的俯角为 30，若甲、乙两楼之间的水平距离 BD 为 12 米，求条幅 AE 的长度 （结果保留根号）六、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分）23 （8 分）第 36 届全国信息学冬令营在广州落下帷幕，长郡师生闪耀各大赛场，金牌数、奖牌数均稳居湖南省第一学校拟预算 7700 元全部用于购买甲、乙、丙三种图书共 20套奖励获奖师生，其中甲种图书每套 500 元，乙种图书每套 400 元，丙种图书每套 250元，设购买甲种图书 x 套，
8、乙种图书 y 套，请解答下列问题：（1）请求出 y 与 x 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围） ；（2）若学校购买的甲、乙两种图书共 14 套，求甲、乙图书各多少套？（3）若学校购买的甲、乙两种图书均不少于 1 套，则有哪几种购买方案？24 （8 分）如图，在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，点 E 在 OC 的延长线上，EAC BAC（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若 AB8，cos E ，求 CD 的长七、 （本大题共 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分）25 （10 分）已知：如图，将D60的菱形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，将ADC 沿射线
9、DC 方向平移，得到BCE ，点 M 为边 BC 上一点（点 M 不与点 B、点 C 重合） ，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 60，与 EB 的延长线交于点 N，连接 MN（1） 求证： ANBAMC；探究 AMN 的形状；（2）如图 ，若菱形 ABCD 变为正方形 ABCD，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 45，原题其他条件不变， （1）中的、 两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明26 （10 分）已知抛物线 C： yax 22ax+c 经过点 C（1，2） ，与 x 轴交于 A（1，0） 、B 两点（1）求抛物线 C 的解析式；（2）如
10、图 1，直线 y x 交抛物线 C 于 S、T 两点，M 为抛物线 C 上 A、T 之间的动点，过 M 点作 MEx 轴于点 E，MFST 于点 F，求 ME+MF 的最大值；（3）如图 2，平移抛物线 C 的顶点到原点得抛物线 C1，直线 l：ykx 2k4 交抛物线 C1 于 P、Q 两点，在抛物线 C1 上存在一个定点 D，使PDQ90，求点 D 的坐标2019 年湖南省常德市澧县中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B C2 D2【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答【解答】解： 的绝对
11、值为 故选：B【点评】本题主要考查绝对值的性质绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （3 分）若一个三角形三个内角度数的比为 2：7：4，那么这个三角形是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状【解答】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，2x+7x+4x180 ，7x97，x13.857x97这个三角形是钝角三角形故选：C【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理及三角形形状的判断的综合运用3 （3 分）自 2013
12、年 10 月习近平总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度全国脱贫人口数不断增加仅 2017 年我国减少的贫困人口就接近 1100 万人将 1100 万人用科学记数法表示为（ ）A1.110 3 人 B1.110 7 人 C1.110 8 人 D1110 6 人【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1100 万1.110 7，故选：B【点评】此题考查科学
13、记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分）如图所示的正六棱柱的主视图是（ ）A BC D【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可【解答】解：从正面看是左右相邻的 3 个矩形，中间的矩形的面积较大，两边相同故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图5 （3 分）下列说法正确的是（ ）A任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上B天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨C “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”
14、为随机事件D “a 是实数，|a| 0”是不可能事件【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上，错误；B、天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨，错误；C、 “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D、 “a 是实数，|a| 0”是必然事件，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键6 （3 分）如图，在ABC 中，延长 BC 至 D，使得 CD BC，过 AC 中点 E 作EF CD（点 F 位于点
15、 E 右侧） ，且 EF2CD，连接 DF若 AB8，则 DF 的长为（ ）A3 B4 C2 D3【分析】取 BC 的中点 G，连接 EG，根据三角形的中位线定理得：EG 4，设 CDx，则 EFBC2 x，证明四边形 EGDF 是平行四边形，可得 DFEG4【解答】解：取 BC 的中点 G，连接 EG，E 是 AC 的中点，EG 是ABC 的中位线，EG AB 4，设 CDx，则 EFBC2x，BGCGx，EF2xDG，EFCD，四边形 EGDF 是平行四边形，DFEG 4，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键7 （3 分
16、）已知点 P（a，m） ，点 Q（b，n）都在反比例函数 的图象上，且 a0b，则下列结论定正确的是（ ）Am+ n0 Bm+n0 Cmn Dm n【分析】根据反比例函数的性质，可得答案【解答】解：y 的 k20，图象位于一三象限，a0，P（a，m）在第三象限，m0；b0，Q（b，n）在第一象限，n0mn，故选：C【点评】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k0 时，图象位于一三象限是解题关键8 （3 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019 个图形共有（ ）个A6055 B6056 C6057 D6058【分析】设第 n 个图形有 an
17、个（n 为正整数） ，观察图形，根据各图形中的个数的变化可找出“a n1+3n（n 为正整数） ”，再代入 a2019 即可得出结论【解答】解：设第 n 个图形有 an 个（n 为正整数） ，观察图形，可知：a 11+31，a 21+32，a 31+3 3，a 41+34，a n1+3n（n 为正整数） ，a 20191+320196058故选：D【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中的个数的变化找出变化规律“a n1+3n（n 为正整数） ”是解题的关键二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分）9 （3 分）若 是整数，则正整数 n 的最小值为 5 【分
18、析】 是正整数，则 20n 一定是一个完全平方数，首先把 20n 分解因数，确定20n 是完全平方数时，n 的最小值即可【解答】解：20n2 25n整数 n 的最小值为 5故答案是：5【点评】本题考查了二次根式的定义，理解 是正整数的条件是解题的关键10 （3 分）分解因式：2xy 2+4xy+2x 2x（y+1） 2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式2x（y 2+2y+1）2x （y+1） 2，故答案为：2x（y +1） 2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11 （3 分）一组数据 3，2，3，4，x 的平
19、均数是 3，则它的方差是 0.4 【分析】由于数据 2、3、3、4、x 的平均数是 3，由此利用平均数的计算公式可以求出x，然后利用方差的计算公式即可求解【解答】解：数据 2、3、3、4、x 的平均数是 3，2+3+3+4+x35，x3，S 2 （33） 2+（23） 2+（33） 2+（43） 2+（33） 20.4故答案为：0.4【点评】此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式12 （3 分）分式方程 4 的解是 x 9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3x14x+8，
20、解得：x9，经检验 x9 是分式方程的解，故答案为：9【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13 （3 分）如图，AB 是O 的弦，O 的半径 OCAB 于点 D，若AB 6cm，OD4cm，则 O 的半径为 5 cm 【分析】首先连接 OA，由半径 OCAB，AB6cm，根据垂径定理的即可求得 AD 的长，然后利用勾股定理即可求得半径的长【解答】解：连接 OA，半径 OCAB，ADBD AB 6 3（cm） ，OD4cm，OA 5（cm） ，故答案为：5【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识此题比较简单，解题的关键是准确作出辅助线，然后利用垂径定理与勾股定理
21、求解14 （3 分）放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s（km）与所用时间 t（min）之间的函数关系如图，则小明的骑车速度是 0.2 km/min【分析】通过读图可知，小明家距家 2kmm，小明从学校骑车回家的时间是 10min，所以小明骑车回家的速度是 2100.2（km/min） 【解答】解：小明家距家 2kmm，小明从学校骑车回家的时间是 10min，小明骑车回家的速度是 2100.2（km/min） ，故答案为 0.2【点评】本题考查了函数的图象，正确理解函数图象点的意义是解题的关键15 （3 分）如图，ABC 中，ABAC ，ADBC 于 D 点，DEAB 于点 E，BFAC 于
22、点F，DE3cm，则 BF 6 cm【分析】先利用 HL 证明 RtADBRt ADC，得出 SABC 2S ABD 2 ABDEABDE 3AB，又 SABC ACBF，将 ACAB 代入即可求出BF【解答】解：在 RtADB 与 RtADC 中，RtADBRtADC，S ABC 2S ABD 2 ABDEABDE3AB，S ABC ACBF， ACBF3 AB，ACAB， BF3，BF6故答案为 6【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键16 （3 分）我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结
23、绳记数” 如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1838 个【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2、06、366、2666、16666，然后把它们相加即可【解答】解：2+06+3 66+2666+166661838，故答案为：1838【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力三、 （本大题 2 个小题，每小题 5 分，满分 10 分）17 （5
24、分）计算：【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【解答】解：原式1（ 1）3+3【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18 （5 分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：解不等式 得： x1，解不等式 得： x3，则不等式组的解集是：1x3，不等式组的解集在数轴上表示为：【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的
25、个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示四、 （本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分）19 （6 分）先化简，再求值：（1+ ） ，其中 x 满足 x22x50【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值【解答】解：原式 x（x2）x 22x，由 x22x50，得到 x22 x5，则原式5【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （6 分）如图，已知一次函数 ykx+b（k0）与反比
26、例函数 y （m0）的图象相交于 A、 B 两点，且点 A 的坐标是（1，2） ，点 B 的坐标是（2，w） （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）在 x 轴的正半轴上找一点 C，使AOC 的面积等于ABO 的面积，并求出点 C 的坐标【分析】 （1）先根据 A（1，2）是反比例函数 y 图象上的点即可得出 m 的值，进而得出其解析式；把 B（2，w）代入反比例函数的解析式即可得出 w 的值，进而得出B 点坐标，把 A、C 两点的坐标代入一次函数的解析式，根据待定系数法得出一次函数的解析式；（2）根据一次函数的解析式求出 D 点坐标，由 SABO S AOD +SBOD 得出其面积，再设
27、 C（x ，0） ，由三角形的面积公式即可求出 x 的值【解答】解：（1）A（1，2）是反比例函数 图象上的点，m122，反比例函数的解析式为：y ，把 B（2，w）代入反比例函数 y 得，w 1，B（2，1） ，A（1，2） ，B（2，1）是一次函数 ykx+b 图象上的点， ，解得 ，一次函数的解析式为：yx+1；（2）一次函数的解析式为：yx+1，一次函数与 x 轴的交点 D 为（1，0） ，S ABO S AOD +SBOD 12+ 11 ，设 C（x ，0） ，AOC 的面积等于ABO 的面积， 2x ，解得 x ，C（ ，0） 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用
28、待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，求出交点坐标是解答此题的关键五、 （本大题 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分）21 （7 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81 ；（2）将条形统计图补充完整观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ” ；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信” 、 “支付宝”
29、 、 “银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率【分析】 （1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用 360乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）（115%30%）200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360 81，故
30、答案为：200、81；（2）微信人数为 20030% 60 人，银行卡人数为 20015%30 人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信” ，故答案为：微信；（3）将微信记为 A、支付宝记为 B、银行卡记为 C，画树状图如下：画树状图得：共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种，两人恰好选择同一种支付方式的概率为 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22 （7 分）我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的 A 处与 E 处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部 C 点测得条幅顶端 A 点的仰角为 45
31、，条幅底端 E 点的俯角为 30，若甲、乙两楼之间的水平距离 BD 为 12 米，求条幅 AE 的长度 （结果保留根号）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可求得 AE 的长度，本题得以解决【解答】解：过点 C 作 CFAB 于点 F，如右图所示，由题知：四边形 CDBF 为矩形，BD12 米，CFDB12 米，在 RtACF 中，ACF 45， ，AF12 米，在 RtCEF 中，ECF 30， ， ， 米，AEAF+EF（12+4 ）米，即条幅 AE 的长度为 米【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想
32、解答六、 （本大题 2 个小题，每小题 8 分，满分 16 分）23 （8 分）第 36 届全国信息学冬令营在广州落下帷幕，长郡师生闪耀各大赛场，金牌数、奖牌数均稳居湖南省第一学校拟预算 7700 元全部用于购买甲、乙、丙三种图书共 20套奖励获奖师生，其中甲种图书每套 500 元，乙种图书每套 400 元，丙种图书每套 250元，设购买甲种图书 x 套，乙种图书 y 套，请解答下列问题：（1）请求出 y 与 x 的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围） ；（2）若学校购买的甲、乙两种图书共 14 套，求甲、乙图书各多少套？（3）若学校购买的甲、乙两种图书均不少于 1 套，则有哪几种购买方案
33、？【分析】 （1）设购买甲种图书 x 套，乙种图书 y 套，则购买丙种图书（20xy）套，根据总价单价数量可得出关于 x，y 的二元一次方程，变形后可得出 y 与 x 的函数关系式；（2）由（1）的结论结合 x+y14 可得出关于 x，y 的二元一次方程，解之即可得出结论；（3）由（1）的结论结合 x1，y1 可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即可得出 x 的取值范围，再结合 x， x+18，20x（ x+18）为整数可得出 x 的值，进而可得出个购买方案【解答】解：（1）设购买甲种图书 x 套，乙种图书 y 套，则购买丙种图书（20xy）套，依题意，得：500x+400y +250（2
34、0xy ）7700，y x+18（2）依题意，得： ，解得： ，购买甲种图书 6 套，乙种图书 8 套（3）依题意，得： ，解得：1x10 x， x+18，20x （ x+18）为整数，x3，6，9共有三种购买方案：购买甲种图书 3 套，乙种图书 13 套，丙种图书 4 套；购买甲种图书 6 套，乙种图书 8 套，丙种图书 6 套；购买甲种图书 9 套，乙种图书 3 套，丙种图书 8 套【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出 y 与 x 的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间
35、的关系，找出关于 x 的一元一次不等式组24 （8 分）如图，在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，点 E 在 OC 的延长线上，EAC BAC（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若 AB8，cos E ，求 CD 的长【分析】 （1）连接 OA，求出 AOCBAE ，求出OAE90，根据切线的判定得出即可；（2）根据垂径定理求出 AD，证明 ODA OAE ，得到OADE，根据正切的定义计算即可【解答】 （1）证明：连接 OA，ABOC，OC 过 O， ，CAB AOOC，EACBAC，EAB AOC，OCAB ，ODA 90 ，OAB+AOC90，OAB+BAE90，即 O
36、AAE，OA 过 O，AE 是O 的切线；（2）解：ODAB，AB 8，AD AB4，OAEODA90，O O，ODA OAE，OAD E，cosE ，cosOAD ，OA5，OD3，CDOC OD532【点评】本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键七、 （本大题共 2 个小题，每小题 10 分，满分 20 分）25 （10 分）已知：如图，将D60的菱形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，将ADC 沿射线 DC 方向平移，得到BCE ，点 M 为边 BC 上一点（点 M 不与点 B、点 C 重合） ，将射线 AM 绕点 A
37、 逆时针旋转 60，与 EB 的延长线交于点 N，连接 MN（1） 求证： ANBAMC；探究 AMN 的形状；（2）如图 ，若菱形 ABCD 变为正方形 ABCD，将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 45，原题其他条件不变， （1）中的、 两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明【分析】 （1）先由菱形可知四边相等，再由D60得等边ADC 和等边ABC，则对角线 AC 与四边都相等，利用 ASA 证明ANB AMC，得结论；根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形得出：AMN 是等边三角形；（2） 成立，根据正方形得 45角和射线 AM 绕点 A
38、逆时针旋转 45，证明ANBAMC ，得 ANB AMC；不成立， AMN 是等腰直角三角形，利用 中的ANBAMC ，得比例式进行变形后，再证明NAMBAD，则AMN 是等腰直角三角形【解答】证明：（1）如图 1，四边形 ABCD 是菱形，ABBCCDAD，D60，ADC 和ABC 是等边三角形，ABAC， BAC60，NAM60，NABCAM，由ADC 沿射线 DC 方向平移得到BCE ，可知CBE60，ABC60，ABN60，ABNACB60，ANBAMC，ANBAMC；如图 1，AMN 是等边三角形，理由是：由ANBAMC，AMAN，NAM60，AMN 是等边三角形；（2） 如图 2，
39、ANBAMC 成立，理由是：在正方形 ABCD 中，BACDACBCA45，NAM45，NABMAC，由平移得：EBCCAD45，ABC90，ABN180904545，ABNACM45，ANBAMC，ANBAMC；如图 2，不成立，AMN 是等腰直角三角形，理由是：ANBAMC， ， ，NAMBAC45，NAMBAC，ANMABC90，AMN 是等腰直角三角形【点评】本题是四边形的综合题，综合考查了菱形、等边三角形、等腰直角三角形等图形的性质，本题有一处易犯的错误要注意：“将射线 AM 绕点 A 逆时针旋转 60，与EB 的延长线交于点 N， ”AM 与 AN 不一定相等，要注意是射线 AM
40、旋转，而不是线段；在证明相似三角形时，本题巧妙地运用了一对相似三角形的对应边的比来证明另一对三角形相似，从而得出AMN 是等腰直角三角形26 （10 分）已知抛物线 C： yax 22ax+c 经过点 C（1，2） ，与 x 轴交于 A（1，0） 、B 两点（1）求抛物线 C 的解析式；（2）如图 1，直线 y x 交抛物线 C 于 S、T 两点，M 为抛物线 C 上 A、T 之间的动点，过 M 点作 MEx 轴于点 E，MFST 于点 F，求 ME+MF 的最大值；（3）如图 2，平移抛物线 C 的顶点到原点得抛物线 C1，直线 l：ykx 2k4 交抛物线 C1 于 P、Q 两点，在抛物线
41、 C1 上存在一个定点 D，使PDQ90，求点 D 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出 ME，MF 与 t 的关系，最后建立 ME+MF 与 t 的函数关系式，即可得出结论；（3）先求出 x2+2kx4k80，进而得出 x1+x22k，x 1x24k8，而DEDFPE QF，得出（ax 1） （x 2a）（by 1） （by 2） ，借助b ，y 1 ，y 2 ，即可得出（ax 1） （x 2a） （a+x 1）（a+x 2） （ x1a） （x 2a） ，即可得出结论【解答】解：（1）抛物线 C：y ax 22ax+c 经过点 C（1，2） ，与 x 轴交于A（
42、1，0） 、B 两点 ，；（2）如图 1，设直线 OT 交 ME 于 G，设 M（t， ） ，则 ME ，G （t， t） ，OG t，MG ，sinOGEsinMGF ，MF MG ，ME+MF ，a0，当 t 时，ME +MF 的最大值为 ；（3）如图 2，过 D 作 EFx 轴，作 PEEF于 E，QFEF于 F，设 D（a，b） ，P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，联立 ，得 x2+2kx4k80x 1+x22k，x 1x24k8，由PE DDFQ 得， ，DEDFPEQF，（ax 1） （x 2a）（by 1） （by 2） ，b ，y 1 ，y 2（ax 1） （x 2a）（ ） （ ）（ax 1） （x 2a） （a+x 1） （a+ x2） （ x1a） （x 2a） ，4（a+x 1） （a+x 2） ，x 1x2+a（x 1+x2）+a 24，4k8+a（2k ）+ a24a 242ak4k 0，（a+2） （a2）2k（a+2）0，k 为任意实数，a+20，a2，b2，D（2，2） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，得出（ax 1） （x 2a） （a+x 1） （ a+x2） （ x1a） （x 2a）是解本题的关键
