1、2018-2019 学年河南省洛阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）当 a 为实数时，下列各式 是二次根式的有多少个（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个2（3 分）函数 y 有意义，则自变量 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 坐标为（2，3），以点 O 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 A，则点 A 的横坐标介于（ ）A4 和3 之间 B3 和 4 之间 C5 和4 之间 D4 和 5 之间4（3 分）下列定理中有逆定理的是（ ）A直角
2、都相等B全等三角形对应角相等C对顶角相等D内错角相等，两直线平行5（3 分）与 不是同类二次根式的是（ ）A B C D6（3 分）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm7（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 5，BC 6，点 M 为 BC 边中点，MNAC 于点 N，那么 MN 等于（ ）A B C D8（3 分）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东
3、60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A3 km B3 km C4 km D（3 3）km9（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按照此规律继续下去，则 S2015 的值为（ ）A（ ） 2012 B（ ） 2013 C（ ） 2012 D（ ） 201310（3 分）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 3，直角三角形的两直角边分别为 a 和 b，那么
4、（a+b） 2 的值为（ ）A256 B169 C29 D48二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则 的值为 12（3 分）若 a，b 为有理数，且 ，则 ba 13（3 分）直角三角形有两边长为 3 和 4，则斜边长为 14（3 分）设 a ，且 b 是 a 的小数部分，则 a 的值为 15（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为 三、解答题16（7 分）先化简，再求值： ，其中实数 x、y 满足 17（12
5、分）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）a 18（7 分）如图，AD8， CD6，ADC90，AB 26，BC24，求该图形的面积19（8 分）已知 x ，求下列各式的值：（1）x 2xy+y 2；（2） 20（10 分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点 A 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部 C 处，已知 AB4 米，BC 13 米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为 12 米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度21（10 分）观察下列各式，发现规律：2 ； 3 ； 4 ；（1）填空： ， ；（2）计算（写出计算过程）： ；（3）请用含自然数 n（n1）的代数式把你所
6、发现的规律表示出来22（10 分）在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 FC DC试说明：AEEF 23（11 分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c，显然DABB90，ACDE（1）请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、EBC 的面积，再通过探究这三个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 a2+b2c 2；（2）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两
7、点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），ADAB ，BCAB ，垂足分别为 A、B，AD 24 千米，BC 16 千米，在 AB 上有一个供应站 P，且 PCPD，求出 AP 的距离；（3）借助（2）的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值为 2018-2019 学年河南省洛阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）当 a 为实数时，下列各式 是二次根式的有多少个（ ）A3 个 B4 个 C5 个 D6 个【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案【解答】解： 是二次根式的有：、 、 、 共 4 个
8、故选：B【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键2（3 分）函数 y 有意义，则自变量 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx1 Cx1 Dx 1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出x 的范围【解答】解：根据题意得： ，解得：x1故选：C【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负3（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 坐标为（2，3），以点 O 为圆心，以 OP
9、的长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 A，则点 A 的横坐标介于（ ）A4 和3 之间 B3 和 4 之间 C5 和4 之间 D4 和 5 之间【分析】先根据勾股定理求出 OP 的长，由于 OPOA，故估算出 OP 的长，再根据点 A 在 x 轴的负半轴上即可得出结论【解答】解：点 P 坐标为（2，3），OP ，点 A、P 均在以点 O 为圆心，以 OP 为半径的圆上，OAOP ，91316，3 4点 A 在 x 轴的负半轴上，点 A 的横坐标介于4 和3 之间故选：A【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出 OP 的长是解答此题的关键4（3 分）下列定理中有
10、逆定理的是（ ）A直角都相等B全等三角形对应角相等C对顶角相等D内错角相等，两直线平行【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可得出答案【解答】解；A、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，错误；B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；D、逆命题为两直线平行，内错角相等，正确；故选：D【点评】本题考查的是命题与定理的区别，正确的命题叫定理，错误的命题叫做假命题，关键是对逆命题的真假进行判断5（3 分）与 不是同类二次根式的是（ ）A B C D【分析】根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者
11、即可【解答】解： A、 与 被开方数不同，不是同类二次根式；B、 与 被开方数相同，是同类二次根式；C、 与 被开方数相同，是同类二次根式；D、 与 被开方数相同，是同类二次根式故选：A【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式6（3 分）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A6 cm B8 cm C10 cm D12 cm【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：在侧面展开图中，AC 的长等于底面圆周长的一半，即
12、2 6（cm ），BC8cm，AC 6cm ，根据勾股定理得：AB 10（cm），要爬行的最短路程是 10cm故选：C【点评】此题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解7（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 5，BC 6，点 M 为 BC 边中点，MNAC 于点 N，那么 MN 等于（ ）A B C D【分析】连接 AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到 AMBC，根据勾股定理求得 AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 MN 的长【解答】解：连接 AM，ABAC，点 M 为 BC 中点，AMCM（三线合一），BMCM，
13、ABAC5， BC6，BMCM3，在 Rt ABM 中， AB5，BM3，根据勾股定理得：AM 4，又S AMC MNAC AMMC，MN 故选：C【点评】考查了勾股定理，综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边8（3 分）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA 6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A3 km B3 km C4 km D（3 3）km【分析】根据题意，可以作辅助线 ACOB 于点
14、 C，然后根据题目中的条件，可以求得 AC 和BC 的长度，然后根据勾股定理即可求得 AB 的长【解答】解：作 ACOB 于点 C，如右图所示，由已知可得，COA30，OA6km ，ACOB，OCABCA90，OA2AC，OAC60，AC3km，CAD30，DAB15，CAB45，CABB45，BCAC，AB ，故选：A【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解答此类问题的关键是明确题意，利用在直角三角形中 30所对的边与斜边的关系和勾股定理解答9（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作
15、正方形，其面积标记为 S2，按照此规律继续下去，则 S2015 的值为（ ）A（ ） 2012 B（ ） 2013 C（ ） 2012 D（ ） 2013【分析】根据题意可知第 2 个正方形的边长是 ，则第 3 个正方形的边长是 ，进而可找出规律，第 n 个正方形的边长是 ，那么易求 S2015 的值【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为 2；第二个正方形的边长为： ；第三个正方形的边长为： ，第 n 个正方形的边长是 ，所以 S2015 的值是（ ） 2012，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出第n 个正方形的边长10（3 分）如图，由
16、四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 3，直角三角形的两直角边分别为 a 和 b，那么（a+b） 2 的值为（ ）A256 B169 C29 D48【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到 a2+b2 的值，由已知条件得到 ab 的值，从而求得【解答】解：大正方形的面积为 16，得到它的边长为 4，即得 a2+b24 216，由题意 ，2ab13，所以（a+b） 2a 2+2ab+b2 16+1329故选：C【点评】本题巧妙地利用直角三角形的勾股定理，来求得未知问题二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1
17、1（3 分）有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则 的值为 a+b+2 c 【分析】根据数轴得出 ca0b，| c|b| |a|，求出 ab0，b+c0，bc0，再根据二次根式的性质进行化简，最后求出答案即可【解答】解：从数轴可知：ca0b，| c|b| |a|，ab0，b+c0，bc 0，|a b |b+c| bc|（ab）+（b+ c）（bc）a+b+b+ c b+ca+b+2c，故答案为：a+b+2 c【点评】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴等知识点，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键12（3 分）若 a，b 为有理数，且 ，则 ba 1 【分析】先把等式左边化
18、简得到 a+ b ，由 a，b 为有理数，则得到 a0，b ，然后根据 a01（a0）计算得到 ba（ ） 01【解答】解： ，2 +3 + a+ b ， a+ b ，又a，b 为有理数，a0，b ，b a（ ） 01故答案为 1【点评】本题考查了二次根式的加减法：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式也考查了有理数与无理数以及 a01（a0）13（3 分）直角三角形有两边长为 3 和 4，则斜边长为 4 或 5 【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为 4 的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为 4 的边为斜边；（2）边长为 4 的边为直角边【解答】解：（1）当边长为 4
19、 的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为 4；（2）当边长为 4 的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为 5，故该直角三角形斜边长为 4cm 或 5cm，故答案为 4 或 5【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为 4 的边是直角边还是斜边是解题的关键14（3 分）设 a ，且 b 是 a 的小数部分，则 a 的值为 5 【分析】直接利用 的取值范围得出 b 的值，再利用二次根式的性质化简得出答案【解答】解：a ，且 b 是 a 的小数部分，b 2，a （ +2） 525 故答案为：5 【点评】此题主要考查了二次根式的化简以及估算无理
20、数的大小，正确化简二次根式是解题关键15（3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为 6 【分析】先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出 CF 的长，再在 ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD8，BC8，AEF 是AEB 翻折而成，BEEF3，ABAF ，CEF 是直角三角形，CE835，在 Rt CEF 中，CF 4，设 ABx，在 Rt ABC 中，AC 2AB 2+B
21、C2，即（x+4） 2x 2+82，解得 x6，则 AB6故答案为：6【点评】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键三、解答题16（7 分）先化简，再求值： ，其中实数 x、y 满足 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出 x 与 y 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，y +1，x20，2x 0，即 x 20，解得：x2，y1，则原式2【点评】此题考查了分式的化简求值，以及二次根式有意义的条件，熟练掌
22、握运算法则是解本题的关键17（12 分）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4）a 【分析】（1）根据零指数幂的意义和绝对值的意义计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；（4）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可【解答】解：（1）原式1+3 433；（2）原式112（124 +1）1113+424+4 ；（3）原式3 4 +3 23 2；（4）原式 +2 + +3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择
23、恰当的解题途径，往往能事半功倍18（7 分）如图，AD8， CD6，ADC90，AB 26，BC24，求该图形的面积【分析】连接 AC，在 RtACD 中，AD 8，CD6，根据勾股定理可求 AC；在ABC 中，由勾股定理的逆定理可证ABC 为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积【解答】解：连接 AC，在 RtACD 中，AD 8，CD6 ，AC 10，在ABC 中，AC 2+BC210 2+24226 2 AB2，ABC 为直角三角形；图形面积为：SABC S ACD 1024 6896【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法，关键是得到ABC 为直角三角形
24、19（8 分）已知 x ，求下列各式的值：（1）x 2xy+y 2；（2） 【分析】（1）先将 x、y 的值分母有理化，再计算出 x+y、xy 的值，继而代入x2xy +y2（x +y） 23xy 计算可得；（2）将 x+y、 xy 的值代入 计算可得【解答】解：（1）x ，y ，x+y ，xy ，则 x2xy+y 2（x +y） 23xy5 ；（2）8【点评】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则20（10 分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点 A 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部 C 处，已知 AB4 米，BC 13 米，
25、两棵树的株距（两棵树的水平距离）为 12 米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度【分析】首先构造直角三角形，进而求出 BD 的长，进而求出 AC 的长，即可得出答案【解答】解：如图所示：延长 AB，过点 C 作 CDAB 延长线于点 D，由题意可得：BC13m，DC12m，故 BD 5（m），即 AD9m，则 AC 15（m），故 AC+AB15+4 19（m），答：树原来的高度 19 米【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出 BD 的长是解题关键21（10 分）观察下列各式，发现规律：2 ； 3 ； 4 ；（1）填空： 5 ， 6 ；（2）计算（写出计算过程）： ；（3）请用含自然数
26、n（n1）的代数式把你所发现的规律表示出来【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可【解答】解：（1）根据题意得： 5 ； 6 ；故答案为：5 ；6 ；（2） 2015；（3）归纳总结得： （n+1） （自然数 n1）【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键22（10 分）在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 FC DC试说明：AEEF 【分析】连接 AF，设 FCa，分别计算 AF，EF，AE 的值，根据三角形三边长和勾股定理的逆定理可以判
27、定AEF 为直角三角形，即可证明 AEEF【解答】证明：连接 AF，设 FCa，则 DCDAABBC4a所以 DF3a，CEEB 2a由勾股定理得 AF5a，EF a，AE 从而由（ a） 2+（ ） 2（5 a） 2即 EF2+AE2AF 2AEF 为直角三角形，斜边为 AF，故AEF 90，即 AEEF【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本题中判定AEF 为直角三角形是解题的关键23（11 分）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学
28、爱好者，向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c，显然DABB90，ACDE（1）请用 a、b、c 分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、EBC 的面积，再通过探究这三个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 a2+b2c 2；（2）如图 2，铁路上 A、B 两点（看作直线上的两点）相距 40 千米，C、D 为两个村庄（看作两个点），ADAB ，BCAB ，垂足分别为 A、B，AD 24 千米，BC 16 千米，在 AB 上有一个供应站 P，且 PCPD，求出 AP 的距离；（3）借助（2）的思考过程与几何模型，直接写出代
29、数式的最小值为 20 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证 a2+b2c 2（2）以（1）中关于直角三角形的结论和 K 型模型建立方程关系，解方程可得 AP 的值（3）将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，在三点共线时有最小值【解答】解：（1）梯形 ABCD 的面积 四边形 AECD 的面积S AEC +SACD EBC 的面积 梯形 ABCD 的面积四边形 AECD 的面积+EBC 的面积 +a 2+b2c 2（2）如图，当 DPPC 时设 APa，BP40aDP 2CP 2AP 2+AD2BP 2+CB2a 2+242（40a） 2+162解得 a16APBC16 千米（3）如图，AB ，BCAB+BC 的最小值即为 H、B、C 三点共线时HC 20 + 的最小值为 20故答案为 20【点评】本题考查了勾股定理的证明以应用，（3）问是本题的难点，需要数形结合求出线段极值，是一道非常好的综合问题
