1、2018-2019 学年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分）1 （3 分）2019 的相反数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）若分式 有意义，则 a 的取值范围为（ ）Aa4 Ba4 Ca4 Da43 （3 分）截至 2016 年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过 1600亿美元，其中 1600 亿用科学记数法表示为（ ）A1610 10 B1.610 10 C1.610 11 D0.1610 124 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （xy 2） 3x 3y6 B （x
2、 3） 2x 5Cx 2x3x 6 Dx 6x3x 25 （3 分）我市 5 月的某一周每天的最高气温（单位：）统计如下：19，20，24，22，24，26，27，则这组数据的中位数与众数分别是（ ）A23，24 B24，22 C24，24 D22，246 （3 分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（ ）A B C D7 （3 分）直角三角板和直尺如图放置，若120，则2 的度数为（ ）A60 B50 C40 D308 （3 分）若一个多边形的内角和是 900，则这个多边形的边数是（ ）A5 B6 C7 D89 （3 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价
3、后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，则 x 满足（ ）A16（1+2x）25 B25（12x）16C16（1+x） 225 D25（1 x） 21610 （3 分）若将半径为 12cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）A2cm B3cm C4cm D6cm11 （3 分）下列命题中，错误的是（ ）A平行四边形的对角线互相平分B菱形的对角线互相垂直平分C矩形的对角线相等且互相垂直平分D角平分线上的点到角两边的距离相等12 （3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）
4、之间，对称轴是 x1对于下列说法：ab 0；2a+ b0； 3a+c0； a+bm （am +b） （m 为实数） ；当1x3时，y 0，其中正确的是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分）13 （3 分）因式分解：2a 38ab 2 14 （3 分）分式方程 的解是 15 （3 分）点 A（3，2）关于 y 轴的对称点坐标是 16 （3 分）如图，反比例函数 y 的图象经过点 P，则 k 17 （3 分）如图，已知 AB 是 O 的弦，半径 OC 垂直 AB，点 D 是O 上一点，且点 D与点 C 位于弦 AB 两侧，连接 AD、CD、OB，若BO
5、C 70，则ADC 度18 （3 分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图 1） ；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图 2，图 3） ，则图 6 中挖去三角形的个数为 三、解答题（本大题共 9 小题，共计 66 分）19 （5 分）计算：（ ） 1 | |+ +（1+） 020 （5 分）先化简，再求值：（a+3） 22（3a+4） ，其中 a221 （6 分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来22 （6 分）为了丰富同学们的课余生活，我校计划举行“远足雨母山”户外活动，现随机抽取了部分
6、学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A（陆家新屋） ，B（雁雨寺） ，C （赤松观） ，D（百万花海） ”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为 ；（2）在扇形统计图中， “雁雨寺”部分所占圆心角的度数为 ；（3）请将两个统计图补充完整；（4）若该校共有 2000 名学生估计该校最想去赤松观的学生人数为 23 （6 分）如图，小明家在学校 O 的北偏东 60方向，距离学校 80 米的 A 处，小华家在学校 O 的南偏东 45方向的 B 处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校
7、的距离 （结果精确到 1 米，参考数据： 1.41， 1.73， 2.45）24 （8 分）某班组织班团活动，班委会准备用 15 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本 2 元/本，中性笔 1 元/ 支，且每种奖品至少买 1 件（1）若设购买笔记本 x 本，中性笔 y 支，写出 y 与 x 之间的关系式；（2）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（3）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率25 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于D、E 两点，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F（1）求证：DF
8、 是O 的切线；（2）若 AE4，cos A ，求 DF 的长26 （10 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且A（2， 0） ，C（0，4） ，直线 l：y x4 与 x 轴交于点 D，点 P 是抛物线 yax 2+x+c 上的一动点，过点 P 作 PEx 轴，垂足为 E，交直线 l 于点 F（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1） ，当点 P 在第三象限，四边形 PCOF 是平行四边形，求 P 点的坐标；（3）如图（2） ，过点 P 作 PHy 轴，垂足为 H，连接 AC求证： ACD 是直角三角形；试问当 P 点横坐标为何值
9、时，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似？27 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 ABCO 是矩形，点 A，C 的坐标分别是 A（0，2）和 C（2 ，0） ，点 D 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合） ，连结 BD，作 DEDB ，交 x 轴于点 E，以线段 DE，DB 为邻边作矩形 BDEF（1）填空：点 B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点 D，使得 DEC 是等腰三角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3） 求证： ；设 ADx，矩形 BDEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（可利用的结论） ，并求
10、出 y 的最小值2018-2019 学年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验中学九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分）1 【分析】根据相反数的意义，直接可得结论【解答】解：因为 a 的相反数是a，所以2019 的相反数是 2019故选：A【点评】本题考查了相反数的意义理解 a 的相反数是a，是解决本题的关键2 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案【解答】解：若分式 有意义，则 a40，则 a 的取值范围为：a4故选：A【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键3 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的
11、形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1600 亿用科学记数法表示为 1.61011，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 【分析】根据同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可【解答】解：A、结果是 x3y6，故本选项符合题意；B、结果是 x6，故本选项
12、不符合题意；C、结果是 x5，故本选项不符合题意；D、结果是 x4，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键5 【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数，即可得出答案【解答】解：24 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 24；把这组数据从小到大排列 19，20，22，24，24，26，27，最中间的数是 24，则中位数是 24；故选：C【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数
13、最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数6 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看下边是一个较大的矩形，上边是一个较小的矩形，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图7 【分析】过 E 作 EFAB，则 ABEFCD，根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：如图，过 E 作 EFAB，则 ABEFCD，13，24，3+460，1+260，120，240，故选：C【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键8 【分析】根据多边形
14、的内角和公式（n2）180，列式求解即可【解答】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得，（n2）180900，解得 n7故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键9 【分析】等量关系为：原价（1降价的百分率） 2现价，把相关数值代入即可【解答】解：第一次降价后的价格为：25（1x） ；第二次降价后的价格为：25（1x） 2；两次降价后的价格为 16 元，25（1x） 216故选：D【点评】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2b10 【分析】易得圆锥的母线长为 12cm，以及
15、圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以 2即为圆锥的底面半径【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 212212 （cm ） ，圆锥的底面半径为 1226（cm） ，故选：D【点评】本题考查了圆锥的计算用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长11 【分析】根据平行四边形的性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B 进行判断；根据矩形的性质对 C 进行判断；根据角平分线的性质对 D 进行判断【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以 A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以 B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以 C 选项的说法错误；D、角平分线上的
16、点到角两边的距离相等，所以 D 选项的说法正确故选：C【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理12 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴判定 b 与 0 的关系以及 2a+b0；当 x1 时，yab+c；然后由图象确定当 x 取何值时，y0【解答】解：对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，ab0，故正确；对称轴 x 1，2a+b0；故正确；2a +b0，b2a，当 x1 时，y ab+c 0，a（2a）+c3a+c0，故错误；根据图示
17、知，当 m1 时，有最大值；当 m1 时，有 am2+bm+c a+b+c，所以 a+bm（ am+b） （m 为实数） 故正确如图，当 1x3 时，y 不只是大于 0故错误故选：A【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数 a决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，
18、c） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分）13 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 2 项，可采用平方差公式继续分解【解答】解：2a 38ab 22a（a 24b 2）2a（a+2b） （a2b） 故答案为：2a（a+2b） （a2b） 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解14 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3x2x+2，解得
19、：x2，经检验 x2 是分式方程的解故答案为：x2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根15 【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数【解答】解：点 A（3，2）关于 y 轴的对称点坐标是（3，2） 【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数16 【分析】
20、首先根据图象写出 P 点坐标，再利用待定系数法把 P 点坐标代入反比例函数解析式中即可得到 k 的值【解答】解：根据图象可得 P（3，2） ，把 P（3，2）代入反比例函数 y 中得：kxy 6，故答案为：6【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式17 【分析】首先利用垂径定理证明， ，推出AOCCOB70，可得ADC AOC35【解答】解：如图，连接 OAOCAB ， ，AOCCOB70，ADC AOC35，故答案为 35【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题18 【分析】根据题意找出图形的变
21、化规律，根据规律计算即可【解答】解：图 1 挖去中间的 1 个小三角形，图 2 挖去中间的（1+3）个小三角形，图 3 挖去中间的（1+3+3 2）个小三角形，则图 6 挖去中间的（1+3+3 2+33+34+35）个小三角形，即图 6 挖去中间的 364 个小三角形，故答案为：364【点评】本题考查的是图形的变化，正确找出图形的变化规律是解题的关键三、解答题（本大题共 9 小题，共计 66 分）19 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式2 +2 +13+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 【分析】原式利用完全
22、平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式a 2+6a+96a8a 2+1，当 a2 时，原式4+15【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解： ，由得， x1；由得， x0，故此不等式组的解集为：0x1，在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键22 【分析】 （1）由 B 的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解；（2）用 360“雁雨寺”部分所占的百分比即可求解；（
23、3）用调查的学生总人数乘以 C 所占百分比得出 C 的人数，补全条形图；用 1 减去B、C、D 所占的百分比得出 A 所占的百分比，补全扇形图；（4）用样本中最想去大峡谷的学生所占的百分比乘总人数即可【解答】解：（1）本次调查的学生人数为 6655%120故答案为 120 人；（2）在扇形统计图中， “雁雨寺”部分所占圆心角的度数为 36055%198故答案为 198；（3）选择 C 的人数为：120 25%30（人） ，A 所占的百分比为：155%25% 5%15%补全统计图如图：（4）25%2000500（人） 答：若该校共有 2000 名学生，估计该校最想去赤松观的学生人数为 500 人
24、故答案为：500 人【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体23 【分析】作 OCAB 于 C，由已知可得ABO 中A60，B45且 OA80m ，要求 OB 的长，可以先求出 OC 和 BC 的长【解答】解：由题意可知：作 OCAB 于 C，ACOBCO90，AOC30，BOC45在 Rt ACO 中，ACO90，AOC30，AC AO40m，OC AC40 m在 Rt BOC 中，BCO90，BOC45，BCOC40
25、 mOB 40 402.4598（米） 答：小华家到学校的距离大约为 98 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线24 【分析】 （1）首先由题意可得：2x+y15，继而求得 y 与 x 之间的关系式；（2）根据每种奖品至少买 1 件，即可求得所有可能的结果；（3）由买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）根据题意得：2x+y15，y152x；（2）购买方案：x1，y 13；x2，y11，x3，y9；x4，y7；x5，y5；x6，y3，x7，
26、y1；共有 7 种购买方案；（3）买到的中性笔与笔记本数量相等的只有 1 种情况，买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为： 【点评】本题考查了列举法求概率的知识注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比25 【分析】 （1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，推出ODBC；然后根据 DF AC，DFC90，推出ODFDFC90，即可推出 DF 是O 的切线（2）首先判断出：AG AE2，然后判断出四边形 OGFD 为矩形，即可求出 DF 的值是多少【解答】 （1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，OBOD ，ODB B，又ABAC，CB，ODB C，DFAC，DF
27、C90，ODF DFC 90，DF 是 O 的切线（2）解：AG AE2，cosA ，OA 5，OG ，ODF DFGOGF90，四边形 OGFD 为矩形，DFOG 【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握26 【分析】 （1）将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线的解析式可得到关于 a、c 的方程组，然后解方程组求得 a、c 的值即可；（2）设 P（m， m2+ m 4） ，则 F（m， m4） ，则 PF m2 m，当PFOC 时，四边形 PCOF 是平行四边形，然后依据 PFOC 列方程求解即可；（3） 先求得点 D 的坐标，然后再
28、求得 AC、DC、AD 的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；分为ACDCHP、ACDPHC 两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】解：（1）由题意得： ，解得： ，抛物线的表达式为 y x2+ x4（2）设 P（m， m2+ m 4） ，则 F（m， m4） PF（ m4）（ m2+ m4） m2 mPEx 轴，PFOCPFOC 时，四边形 PCOF 是平行四边形 m2 m4，解得：m 或 m8当 m 时， m2+ m4 ，当 m8 时， m2+ m4 4点 P 的坐标为（ ， ）或（8，4） （3） 证明：把 y0 代入 y x4 得： x40，解得：x8D（8，0
29、） OD8A（2，0） ，C（0，4） ，AD2（8）10由两点间的距离公式可知：AC 22 2+4220，DC 28 2+4280，AD 2100，AC 2+CD2AD 2ACD 是直角三角形，且ACD90由得ACD 90当ACDCHP 时， ，即 解得：n0（舍去）或 n5.5 或 n10.5当ACDPHC 时， ，即 ，解得：n0（舍去）或 n2 或 n18综上所述，点 P 的横坐标为5.5 或10.5 或 2 或18 时，使得以点 P、C、H 为顶点的三角形与ACD 相似【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定
30、理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于 m 的方程是解答问题（2）的关键，利用相似三角形的性质列出关于 n 的方程是解答问题（3）的关键27 【分析】 （1）求出 AB、BC 的长即可解决问题；（2）存在先推出ACO30，ACD60由DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有 EDEC，DCEEDC30，推出DBCBCD60，可得DBC是等边三角形，推出 DCBC 2，由此即可解决问题；（3） 先表示出 DN，BM，再判断出BMDDNE，即可得出结论；作 DHAB 于 H想办法用 x 表示 BD、DE 的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）四边形 AOCB 是矩形
31、，BCOA2，OCAB2 ，BCOBAO90，B（2 ，2） 故答案为（2 ，2） （2）存在理由如下：OA2，OC2 ，tanACO ，ACO30，ACB60如图 1 中，当 E 在线段 CO 上时，DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有EDEC，DCEEDC30，DBCBCD60，DBC 是等边三角形，DCBC2，在 Rt AOC 中， ACO 30，OA2，AC2AO4，ADACCD422当 AD2 时，DEC 是等腰三角形如图 2 中，当 E 在 OC 的延长线上时，DCE 是等腰三角形，只有CDCE，DBCDEC CDE15，ABDADB75，ABAD 2 ，综上所述，满足条件的
32、AD 的值为 2 或 2 （3） 如图 1，过点 D 作 MNAB 交 AB 于 M，交 OC 于 N，A（0，2）和 C（2 ，0） ，直线 AC 的解析式为 y x+2，设 D（a， a+2） ，DN a+2，BM2 aBDE90，BDM+NDE90， BDM+DBM90，DBMEDN，BMDDNE90，BMDDNE， 如图 2 中，作 DHAB 于 H在 Rt ADH 中，ADx，DAHACO30，DH AD x，AH x，BH2 x，在 Rt BDH 中，BD ，DE BD ，矩形 BDEF 的面积为 y 2 （x 26x+12） ，即 y x22 x+4 ，y （x3） 2+ ， 0，x3 时，y 有最小值 【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题
