1、2019 年广东省汕头市潮南区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题上对应题目所选的选项涂黑.1 （3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B C D20192 （3 分）据民政部网站消息截至 2018 年底，我国 60 岁以上老年人口巳经达到 2.56 亿人其中 2.56 亿用科学记数法表示为（ ）A2.5610 7 B2.5610 8 C2.56l0 9 D2.56l0 103 （3 分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，它的左视图是（ ）A BC D4 （3 分）下列变形属于因式分解
2、的是（ ）A4x+x5x B （x+2） 2x 2+4x+4Cx 2+x+1x（ x+1）+1 Dx 23xx（x3）5 （3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A等边三角形 B正六边形 C正方形 D圆6 （3 分）不等式组 的解为（ ）Ax5 Bx1 C1x5 Dx 5 或 x17 （3 分）已知直线 l1l 2，一块含 30角的直角三角板如图所示放置， 135，则2 等于（ ）A25 B35 C40 D458 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+5x+m240 的常数项是 0，则（ ）Am4 Bm2 Cm2 或 m2 Dm 29 （3 分）在ABC 中
3、，DEBC，AE：EC 2：3，则 SADE ：S 四边形 BCED 的值为（ ）A4：9 B4：21 C4：25 D4：510 （3 分）如图，在ABC 中，C90，ACBC3cm，动点 P 从点 A 出发，以cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B，动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 ACCB 方向运动到点 B设APQ 的面积为 y（cm 2） ，运动时间为 x（s） ，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）A BC D二、填空题（本人题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题正确答案填写在答卷对应横线上11 （4 分）若分式 有意义，则
4、 x 的取值范围为 12 （4 分）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是 13 （4 分）如图，O 的弦 AC 与半径 OB 交于点 D，BCOA ，AOAD，则C 的度数为 14 （4 分）已知|x 2y|+（y2） 20，则 xy 15 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC2，在以 AB 的中点 O 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角线坐标系中，将ABC 绕点 B 顺时针旋转，使点 A 旋转至 y 轴正半轴上的 A处，则图中阴影部分面积为 16 （4 分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第 10 个图形有 个五角星三、解答颶（本
5、大题共 3 小题，铄小题 6 分，共 18 分）解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （6 分）计算： +（2019） 0（ ） 2 4cos3018 （6 分）先化简，再求值： （ ） ，其中 a +219 （6 分）如图，ABC 中，ABAC 10，BC 16点 D 在边 BC 上，且点 D 到边 AB和边 AC 的距离相等（1）用直尺和圆规作出点 D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点 D） ；（2）求点 D 到边 AB 的距离四、解答题本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）解答须作出文字说明、证明过程和演算步骤20 （7 分）如图，把长方形纸片 ABCD 沿 EF
6、 折叠后，使得点 D 落在点 H 的位置上，点C 恰好落在边 AD 上的点 G 处，连接 EG（1）GEF 是等腰三角形吗？请说明理由；（2）若 CD4，GD8，求 HF 的长度21 （7 分）某校积极开展“阳光体育”活动，并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） （1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）该校共有 3000 名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？22 （7 分）某文具店购进 A，B 两种钢笔，若购进 A 种钢笔 2 支，B 种
7、钢笔 3 支，共需 90元；购进 A 种钢笔 3 支，B 种钢笔 5 支，共需 145 元（1）求该文具店购进 A、B 两种钢笔每支各多少元？（2）经统计，B 种钢笔售价为 30 元时，每月可卖 64 支；每涨价 3 元，每月将少卖 12支，求该文具店 B 种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？五、解答题（本大题共有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）解答须作出文字说明、证明过程和演算骤23 （9 分）已知二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A（1 ，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、
8、BC、DB，求证：BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由24 （9 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与O 相切于点D，CEAD，交 AD 的延长线于点 E（1）求证：BDCA；（2）若 CE2 ，DE2，求 AD 的长（3）在（2）的条件下，求弧 BD 的长25 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC 3，在 BC 边上取两点 E、F（点 E在点 F 的左边） ，以 EF 为边所作等边PEF，顶点 P 恰好在 AD 上，直线 PE、PF
9、 分别交直线 AC 于点 G、H（1）求PEF 的边长；（2）若PEF 的边 EF 在线段 CB 上移动，试猜想：PH 与 BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论；（3）若PEF 的边 EF 在射线 CB 上移动（分别如图 和图 所示，CF1，P 不与 A重合） ， （2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论2019 年广东省汕头市潮南区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题上对应题目所选的选项涂黑.1 【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C2 【解答】解：将 2.
10、56 亿用科学记数法表示为 2.56108故选：B3 【解答】解：它的左视图是故选：A4 【解答】解：A、是整式的计算，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确故选：D5 【解答】解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A 正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B 错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C 错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D 错误；故选：A6 【解答】解：解不等式 2x3，得：x1，解不等式 x12，得：x 1，则不等式
11、组的解为 x1故选：B7 【解答】解：3 是ADG 的外角，3A+ 130+35 65，l 1l 2，3465，4+EFC90，EFC906525，225故选：A8 【解答】解：根据题意知 ，解得 m2，故选：D9 【解答】解：DEBC，ADEABC， （ ） 2， ， ， ， ，故选：B10 【解答】解：（1）过点 Q 作 QDAB 于点 D，如图 1，当点 Q 在 AC 上运动时，即 0x3，由题意知 AQx、AP x，A45，QD AQ x，则 y x x x2；如图 2，当点 Q 在 CB 上运动时，即 3x6，此时点 P 与点 B 重合，由题意知 BQ6x、APAB3 ，B45，QD
12、 BQ （6x） ，则 y 3 （6x ） x+9；故选：D二、填空题（本人题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请把下列各题正确答案填写在答卷对应横线上11 【解答】解：由题意得：x+10，且 x20，解得：x1 且 x2，故答案为 x1 且 x212 【解答】解：画树状图为：共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1，恰好均为正面向上的概率是 ，故答案为： 13 【解答】解：BCOA，AOAD ，AOD ODA，AODB，BDCODA，BBDC，AOD 2 C，BBDC2C，BDC 的内角和是 180，2C+2C +C180，解得：C36，故答案为：3614
13、 【解答】解：根据题意得，x2y0，y 20，解得 x4，y2，所以，x y4 216故答案为：1615 【解答】解：ACB90，AC BC ，ABC 是等腰直角三角形，AB2OA 2OB AC2 ，ABC 绕点 B 顺时针旋转点 A 在 A处，BAAB，BA2OB ，OAB 30 ，ABA60 ，即旋转角为 60，S 阴影 S 扇形 ABA +SABC S ABC S 扇形 CBCS 扇形 ABA S 扇形 CBC 故答案为 16 【解答】解：第 1 个图形中小五角星的个数为 3；第 2 个图形中小五角星的个数为 8；第 3 个图形中小五角星的个数为 15；第 4 个图形中小五角星的个数为
14、24；则知第 n 个图形中小五角星的个数为 n（n+1）+n故第 10 个图形中小五角星的个数为 1011+10120 个故答案为 120三、解答颶（本大题共 3 小题，铄小题 6 分，共 18 分）解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 【解答】解：原式2 +192 818 【解答】解： （ ） ， ， ， ， 当 a +2 时，原式 1+2 19 【解答】解：（1）作A 的角平分线（或 BC 的垂直平分线）与 BC 的交点即为点 D（2）ABAC ，AD 是A 角平分线ADBC，垂足为 D，BC16，BDCD8，AB10，在 Rt ABD 中，根据勾股定理得 AD6，设点 D 到 AB
15、 的距离为 h，则 10h86 ，解得 h4.8，所以点 D 到边 AB 的距离为 4.8四、解答题本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）解答须作出文字说明、证明过程和演算步骤20 【解答】解：（1）长方形纸片 ABCD，ADBC，GFEFEC，FECGEF，GFEGEF，GEF 是等腰三角形（2）CH90，HFDF ，GD8，设 HF 长为 x，则 GF 长为（ 8x ） ，在 Rt FGH 中，x 2+42（8x） 2，解得 x3，HF 的长为 321 【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有 10 人，占 25%，故总人数有 1025%40 人；（2）喜欢
16、足球的有 4030%12 人，喜欢跑步的有 401015123 人，故条形统计图补充为：（3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多 3000 225 人22 【解答】解：（1）设文具店购进 A 种钢笔每支 m 元，购进 B 种钢笔每支 n 元，根据题意，得： ，解得： ，答：文具店购进 A 种钢笔每支 15 元，购进 B 种钢笔每支 20 元；（2）设 B 种钢笔每支售价为 x 元，每月获取的总利润为 W，则 W（x20） （6412 ）4x 2+264x 36804（x33） 2+676，a40，当 x33 时，W 取得最大值，最大值为 676，答：该文具店 B 种钢笔销售单价定为 33
17、 元时，每月获利最大，最大利润是 676 元五、解答题（本大题共有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）解答须作出文字说明、证明过程和演算骤23 【解答】解：（1）二次函数 yax 2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C（0，3） ，根据题意，得 ，解得 ，抛物线的解析式为 yx 2+2x+3（2）由 yx 2+2x+3（x 1） 2+4 得，D 点坐标为（1，4） ，定义抛物线 yx 2+2x+3令 y0，x 2+2x+30，解得 x1 或 3，A（1，0） ，B（3，0） ，CD ，BC 3 ，BD 2 ，CD 2+BC2（ ） 2+（3 ） 220，BD 2（2 ） 220，CD
18、2+BC2BD 2，BCD 是直角三角形；（3）存在yx 2+2x+3 对称轴为直线 x1若以 CD 为底边，则 P1DP 1C，设 P1 点坐标为（x ，y ） ，根据勾股定理可得 P1C2x 2+（3y） 2，P 1D2（x 1）2+（4y） 2，因此 x2+（3y ） 2（x 1） 2+（4y ） 2，即 y4x又 P1 点（x，y）在抛物线上，4xx 2+2x+3，即 x23x+10 ，解得 x1 ，x 2 1，应舍去，x ，y4x ，即点 P1 坐标为（ ， ） 若以 CD 为一腰，点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x1 对称，此时点
19、P2 坐标为（2，3） 符合条件的点 P 坐标为（ ， ）或（2，3） 24 【解答】 （1）证明：连接 OD，CD 是O 切线，ODC90，即ODB +BDC90，AB 为O 的直径，ADB90，即ODB +ADO90，BDCADO，OAOD ，ADO A，BDCA；（2）CEAE，EADB 90，DBEC，DCEBDC，BDCA，ADCE，EE ，AECCED， ，EC 2DEAE ，（2 ） 22（2+AD） ，AD4（3）直角CDE 中，tanDCE ，DCE30，又AECCED，ADCE30，DOB 2 A60，BD ADtanA4 ，OBD 是等边三角形，则 ODBD ，则弧 BD
20、 的长是 25 【解答】解：（1）过 P 作 PQBC 于 Q（如图 1） ，四边形 ABCD 是矩形，B90，即 ABBC，又ADBC，PQAB ，PEF 是等边三角形，PFQ60，在 Rt PQF 中，FPQ30，设 PF2x，QFx ，PQ ，根据勾股定理得：（2x） 2x 2+（ ） 2，解得：x1，故 PF2，PEF 的边长为 2；（2）PHBE1，理由如下：在 RtABC 中，AB ，BC 3，由勾股定理得 AC2 ，CD AC，CAD30ADBC，PFE60，FPD60，PHA30CAD，PAPH ，APH 是等腰三角形，作 ERAD 于 R（如图 2）RtPER 中，RPE60，PR PE1，PHBEPABEPR 1（3）结论不成立，当 1CF2 时，如图 2， （即点 P 在 AD 上时） ，PH1BE当 CF2 时，如图 3， （即点 P 在 DA 延长线上时） ，PHBE1
