1、2019 年山东省济南市长清区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）1（4 分） 的相反数是（ ）A B C2 D22（4 分）下图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）A BC D3（4 分）将 6900000 用科学记数法表示为（ ）A6.910 5 B6910 5 C6.910 6 D0.6910 74（4 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D5（4 分）如图，ABCD，CB 平分ABD若C40 ，则D 的度数为（ ）A90 B100 C110 D1206（4 分）下列计算正确的是（ ）
2、Aa 4+a5a 9 B（2a 2b3） 24a 4b6C2a（a+3 ）2a 2+6a D（2ab ） 24a 2b 27（4 分）化简 的结果是（ ）A Bx1 Cx+1 Dx8（4 分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分下表是其中一周的统计数据：组 别 1 2 3 4 5 6 7分 值 90 95 90 88 90 92 85这组数据的中位数和众数分别是（ ）A88，90 B90，90 C88，95 D90，959（4 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至
3、 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ）A40 海里 B60 海里 C20 海里 D40 海里10（4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，ADPC 于 D 点，且AC13，CD5，AB12 ，则 O 的直径等于（ ）A B15 C13 D1711（4 分）如图，等边三角形的顶点 A（1，1），B（3，1），规定把等边ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，C 点的对应点记为 C1如果这样连续经过
4、2019 次变换后，则 C2019 的坐标为（ ）A（2017，1 ） B（2017，1+ ）C（2018，1 ） D（2018 ，1+ ）12（4 分）已知二次函数 yx 2+x+6 及一次函数 yx+m ，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 yx+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（ ）A m3 B m 2 C2m3 D6m 2二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13（4 分）因式分解：x 29 14（4 分）在一个不透明的盒子里装有 5 个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋
5、子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数为 15（4 分）不等式组 的非负整数解是 16（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m22m0 有一个根为 0，则 m 17（4 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数y （k 0）在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E若AB 4，CE2 BE，tanAOD ，则 k 的值 18（4 分）如图，在边长为 2 的正方形 BCD 中，动点 F、E 分别以相同的速度从 D、C两点同时出发向 C 和 B 运动（任何一个点到达即停止），过点 P 作 PMCD 交 B
6、C 于M 点， PNBC 交 CD 于 N 点，连接 MN，在运动过程中，下列结论：ABEBCF；AEBF； CF2PEBF；线段 MN 的最小值为 1其中正确的结论有 三、解答题：（本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤）19（6 分）计算：（ ） 2 （） 0+3tan30（1） 201920（6 分）先化简，再求值：（2ab） 2b（b4a），其中 a5，b121（6 分）已知：如图，在ABCD 中，BD 是对角线，AEBD 于 E，CFBD 于 F求证：BF DE22（8 分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约 84 千米
7、，返回时经过跨海大桥，全程约 45 千米小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2倍，所用时间却比返回时多 20 分钟求小丽所乘汽车返回时的平均速度23（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于D、E 两点，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 AE4，cos A ，求 DF 的长24（10 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 A、B、C、 D 四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a ，b ，c ，（2）请将条
8、形统计图补充完整，并计算表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 ，（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率25（10 分）如图，一条直线与反比例函数 y 的图象交于 A（1，4），B（4，n）两点，与 x 轴交于点 D，AC x 轴，垂足为 C（1）求反比例函数的解析式及 D 点的坐标；（2）点 P 是线段 AD 的中点，点 E，F 分别从 C，D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CA，DC 运动，到点 A，C 时停止运动，设运动的时间为 t（s）求证： PEP
9、F若 PEF 的面积为 S，求 S 的最小值26（12 分）问题背景：如图 1，等腰ABC 中，ABAC，BAC 120，作 ADBC于点 D，则 D 为 BC 的中点， BAD BAC 60，于是 迁移应用：如图 2，ABC 和ADE 都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C 三点在同一条直线上，连接 BD（1）求证：ADBAEC；（2）若 AD2，BD3，请计算线段 CD 的长；拓展延伸：如图 3，在菱形 ABCD 中，ABC120，在ABC 内作射线 BM，作点 C关于 BM 的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF（3）证明：CEF 是等边三角形；（4
10、）若 AE4，CE1，求 BF 的长27（12 分）如图，在直角坐标系中，直线 y x+1 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，以 x1 为对称轴的抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于一点 D，连接 PD，交 AB 于 E，求出当以 A、D、E 为顶点的三角形与AOB 相似时点 P 的坐标；（3）若点 Q 在第二象限内，且 tanAQD 2，线段 CQ 是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由2019 年山东省济南市长清区中考数学二模试卷参考答
11、案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）1（4 分） 的相反数是（ ）A B C2 D2【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解： 的相反数是 ，故选：B【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2（4 分）下图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）A BC D【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可【解答】解：从物体左面看，是左边 1 个正方形，中间 2 个正方形，右边 1 个正方形故选：B【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所
12、得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项3（4 分）将 6900000 用科学记数法表示为（ ）A6.910 5 B6910 5 C6.910 6 D0.6910 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：6900000 用科学记数法表示为：6.910 6，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n
13、 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（4 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合5（4 分）如图，ABCD，CB 平分A
14、BD若C40 ，则D 的度数为（ ）A90 B100 C110 D120【分析】先利用平行线的性质易得ABC40，因为 CB 平分ABD，所以ABD80，再利用平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，得出结论【解答】解：ABCD，C40，ABC40，CB 平分ABD ，ABD80，D100故选：B【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键6（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 4+a5a 9 B（2a 2b3） 24a 4b6C2a（a+3 ）2a 2+6a D（2ab ） 24a 2b 2【分析】根据合并同类项、幂的
15、乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算【解答】解：A、a 4 与 a5 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a 2b3） 24a 4b6，故本选项正确；C、2a（a+3 ）2a 26a，故本选项错误；D、（2ab） 24a 24ab+b 2，故本选项错误；故选：B【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键7（4 分）化简 的结果是（ ）A Bx1 Cx+1 Dx【分析】根据除法法则，将除法转化为乘法，再计算即可【解答】解：原式 x+1，故选：C【点评】本题主要考查分式的乘除法，解决此类
16、问题时，先将分式的分子、分母分解因式，再约分计算8（4 分）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分下表是其中一周的统计数据：组 别 1 2 3 4 5 6 7分 值 90 95 90 88 90 92 85这组数据的中位数和众数分别是（ ）A88，90 B90，90 C88，95 D90，95【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可【解答】解：把这组数据按从小到大的顺序排列为：85，88，90，90，90，92，95，故中位数为：90，众数为：90故选：B【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属
17、于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义9（4 分）如图，某海监船以 20 海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处，测得岛屿 P 在其北偏西 30方向，保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处，此时海监船与岛屿 P 之间的距离（即 PC 的长）为（ ）A40 海里 B60 海里 C20 海里 D40 海里【分析】首先证明 PBBC，推出C30，可得 PC 2PA，求出 PA 即可解决问题；【解答】解：在 RtPAB 中，APB30，PB2AB，由题意 BC2AB，PBBC，CCPB，
18、ABP C+CPB60 ，C30，PC2PA，PAABtan60 ，PC220 40 （海里），故选：D【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是证明 PBBC，推出C3010（4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，ADPC 于 D 点，且AC13，CD5，AB12 ，则 O 的直径等于（ ）A B15 C13 D17【分析】作直径 AE，连接 BE，如图，先利用勾股定理计算出 AD12，根据圆周角定理得到ABE 90，AEBACB ，则可判断ABE ADC，然后利用相似比求出 AE 即可【解答】解：作直径 AE，连接 BE，如图，ADBC，ADC90，AD 12，AE 为
19、直径，ABE 90，ABE ADC，而AEB ACB，ABE ADC， ，即 ，AE13 ，即 O 的直径等于 13 故选：C【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质11（4 分）如图，等边三角形的顶点 A（1，1），B（3，1），规定把等边ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，C 点的对应点记为 C1如果这样连续经过 2019 次变换后，则 C2019 的坐标为（ ）A（2017，1 ） B（2017，1+ ）C（2018，1 ） D（2018 ，1+ ）【分析】
20、根据轴对称判断出点 C 变换后在 x 轴下方，然后求出点 C 纵坐标，再根据平移的距离求出点 C 变换后的横坐标，最后写出坐标即可【解答】解：ABC 是等边三角形，BC 312，点 C 到 x 轴的距离为 1+2 +1，其横坐标为 2，C（2， +1），一次变换后顶点 C 的坐标为（ 1，1 ），第 2019 次变换后的三角形在 x 轴下方，点 C 的纵坐标为1 ，其横坐标为 2201912017，经过 2019 次变换后，点 C 的坐标是（2017，1 ），故选：A【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续 2019 次这样的变换得到三角形在 x 轴下方
21、是解题的关键12（4 分）已知二次函数 yx 2+x+6 及一次函数 yx+m ，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线 yx+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（ ）A m3 B m 2 C2m3 D6m 2【分析】如图，解方程x 2+x+60 得 A（2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为 y（x+2）（x 3），即 yx 2x6（2x3），然后求出直线yx+m 经过点 A（2，0）时 m 的值和当直线 yx+m 与抛物线yx 2x6（ 2x3）有唯一公共点时 m 的值，从而得
22、到当直线 yx+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围【解答】解：如图，当 y0 时，x 2+x+60，解得 x12，x 23，则 A（2，0），B（3，0），将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为y（x+2）（x3），即 yx 2x6 （2x3），当直线yx+m 经过点 A（2，0）时，2+m 0，解得 m2；当直线 yx+m 与抛物线 yx 2x 6（2x3）有唯一公共点时，方程x2x6x +m 有相等的实数解，解得 m6，所以当直线 yx +m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围为 6m2故选：D【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交
23、点：把求二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数图象与几何变换二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分）13（4 分）因式分解：x 29 （x+3）（x 3） 【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（x+3）（x3），故答案为：（x+3）（x 3）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键14（4 分）在一个不透明的盒子里装有 5 个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数为 15
24、 【分析】黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数；【解答】解：5（1 ）515白色棋子有 15 个；故答案为：15【点评】本题主要考查了概率的求法，概率所求情况数与总情况数之比15（4 分）不等式组 的非负整数解是 2、1、0 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出解集内的整数值即可【解答】解： ，由得， x3；由得， x1，不等式组的解集为：3x1；不等式组的非负整数解为：2、1、0【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法以及不等式组的整数解，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到16（4 分）已知关于 x
25、 的一元二次方程 mx2+5x+m22m0 有一个根为 0，则 m 2 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的方程，通过解关于 m 的方程求得 m 的值即可【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m22m0 有一个根为 0，m 22m0 且 m0，解得，m2故答案是：2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的解的定义解答该题时需注意二次项系数 a0 这一条件17（4 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数y （k 0）在第一象限内的图象经过点 D，交 BC 于点 E若AB 4，CE2 BE，t
26、anAOD ，则 k 的值 3 【分析】由 tanAOD ，可设 AD3a、OA4a，在表示出点 D、E 的坐标，由反比例函数经过点 D、E 列出关于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案【解答】解：tanAOD ，设 AD3a、OA4a，则 BCAD3a，点 D 坐标为（ 4a，3a），CE2BE，BE BCa，AB4，点 E（4+4 a，a），反比例函数 y 经过点 D、E，k12a 2（4+4a）a，解得：a 或 a0（舍），D（2， ）则 k2 3，故答案为 3【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵
27、坐标乘积都等于反比例系数 k18（4 分）如图，在边长为 2 的正方形 BCD 中，动点 F、E 分别以相同的速度从 D、C两点同时出发向 C 和 B 运动（任何一个点到达即停止），过点 P 作 PMCD 交 BC 于M 点， PNBC 交 CD 于 N 点，连接 MN，在运动过程中，下列结论：ABEBCF；AEBF； CF2PEBF；线段 MN 的最小值为 1其中正确的结论有 【分析】由正方形的性质及条件可判断出ABE BCF ，得到BAE CBF，再根据BAE + BEA90，可得 CBF+BEA90，可得出APB90，即可判断，由 BPEBCF，利用相似三角形的性质，结合 CFBE 可判
28、断；然后根据点 P 在运动中保持APB90，可得点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧，设 AB 的中点为 G，连接 CG 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，最后在 RtBCG 中，根据勾股定理，求出 CG 的长度，再求出 PG 的长度，即可求出线段 CP 的最小值，可判断【解答】解：如图，动点 F，E 的速度相同，DFCE，又CDBC，CFBE，在ABE 和BCF 中，ABE BCF（SAS），故 正确；BAE CBF，BAE +BEA90，CBF+ BEA 90，APB 90，故正确；在BPE 和BCF 中，BPE BCF，PBE CBF，BPE BCF， ，CFBEPEBF，CFB
29、E，CF 2PEBF，故正确；点 P 在运动中保持APB90，点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧，设 AB 的中点为 G，连接 CG 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，在 Rt BCG 中， CG ，PG AB1，CPCGPG 1，即线段 CP 的最小值为 1，故正确；故答案为：【点评】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质等知识点在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，证明ABE BCF 是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大三、解答题：（本大题共 9 个小题，共 78 分，解答应写出文学说明，证明过程或演算步骤）
30、19（6 分）计算：（ ） 2 （） 0+3tan30（1） 2019【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式91+3 +19+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（6 分）先化简，再求值：（2ab） 2b（b4a），其中 a5，b1【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式4a 24ab+b 2b 2+4ab4a 2，当 a5 时，原式100【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（
31、6 分）已知：如图，在ABCD 中，BD 是对角线，AEBD 于 E，CFBD 于 F求证：BF DE【分析】由 AAS 证明ABECDF，得出对应边相等 BEDF，即可得出结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCDAB CD ，ABE CDF又AEBD ，CFBD，AEB CFD90，在ABE 和CDF 中， ，ABE CDF（AAS），BEDF ，BE+EFDF+ EF，BFDE 【点评】本题重点考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，22（8 分）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速
32、公路，全程约 84 千米，返回时经过跨海大桥，全程约 45 千米小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的 1.2倍，所用时间却比返回时多 20 分钟求小丽所乘汽车返回时的平均速度【分析】设小丽所乘汽车返回时的平均速度是 x 千米/ 时，则去时的速度是 1.2x 千米/时，根据题意可得等量关系：去时所用的时间回来时所用的时间20 分钟，根据等量关系可得方程 ，再解方程即可【解答】解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是 x 千米/时，根据题意得：，解这个方程，得 x75，经检验，x75 是原方程的解答：小丽所乘汽车返回时的速度是 75 千米/时【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是首先弄清题意，找
33、出题目中的等量关系，再列出方程，注意解出 x 的值后一定要检验23（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于D、E 两点，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 AE4，cos A ，求 DF 的长【分析】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，推出ODBC；然后根据 DFAC，DFC90，推出ODFDFC90 ，即可推出 DF 是O 的切线（2）首先判断出：AG AE2，然后判断出四边形 OGFD 为矩形，即可求出 DF 的值是多少【解答】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G
34、，OBOD ，ODB B，又ABAC，CB，ODB C，DFAC，DFC90，ODF DFC 90，DF 是 O 的切线（2）解：AG AE2，cosA ，OA 5，OG ，ODF DFGOGF90，四边形 OGFD 为矩形，DFOG 【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握24（10 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 A、B、C、 D 四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a 2 ，b 45 ，c 20 ，（2）请将条形统计图补充完整，并计算
35、表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 ，（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率【分析】（1）用 A 等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出 a和 B 等次的人数，然后计算出 b、c 的值；（2）先补全条形统计图，然后用 360乘以 C 等次所占的百分比得到 C 等次的扇形所对的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）1230%40，a405%2；
36、b% 100%45%，即 b45；c% 100%20%，即 c20；（2）B 等次人数为 40128218，条形统计图补充为：C 等次的扇形所对的圆心角的度数20%36072；故答案为 2，45，20，72；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为 2，所以甲、乙两名男生同时被选中的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率也考查了统计图25（10 分）如图，一条直线与反比例函数 y 的图象交于 A（1，4）
37、，B（4，n）两点，与 x 轴交于点 D，AC x 轴，垂足为 C（1）求反比例函数的解析式及 D 点的坐标；（2）点 P 是线段 AD 的中点，点 E，F 分别从 C，D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CA，DC 运动，到点 A，C 时停止运动，设运动的时间为 t（s）求证： PEPF若 PEF 的面积为 S，求 S 的最小值【分析】（1）把点 A（1，4）代入 y 求出 k 的值，即可得出反比例函数的解析式；求出点 B 的坐标，用待定系数法求出直线 AB 的解析式，容易求出 D 点的坐标；（2） 证明 ACD 为等腰直角三角形，得出ADC45，由等腰直角三角形的性质得出 CPP
38、D，CPAD，ADCACP，由 SAS 证明ECPFDP，即可得出PEPF；由 ECPFDP ，得出 EPCFPD，得出EPF CPD90，证出EPF为等腰直角三角形，得出PEF 的面积 S PE2，当 PEAC 时，PE 最小，求出 PE的最小值，即可得出 S 的最小值【解答】（1）解：把点 A（1，4）代入 y 得：k4，反比例函数的解析式为：y ；把点 B（4，n）代入得：n1，B（4，1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 A（1，4），B（4，1）代入 ykx+b 得： ，解得：k1，b5，直线 AB 的解析式为：y x +5，当 y0 时，x5，D 点坐标为：（5，0）；（2
39、） 证明： A（1，4），C（1，0 ），D（5，0），ACx 轴于 C，ACCD4，ACD 为等腰直角三角形，ADC45，P 为 AD 中点，ACPDCP45，CPPD，CP AD，ADCACP，点 E，F 分别从 C，D 两点同时出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CA，DC 运动，ECDF，在ECP 和FDP 中， ，ECPFDP（SAS），PEPF；解： ECP FDP ，EPCFPD，EPF CPD90，PEF 为等腰直角三角形，PEF 的面积 S PE2，PEF 的面积最小时，EP 最小，当 PEAC 时， PE 最小，此时 EP 最小值 CD2，PEF 的面积 S 的最小值 222
40、【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要证明三角形全等和等腰直角三角形才能得出结论26（12 分）问题背景：如图 1，等腰ABC 中，ABAC，BAC 120，作 ADBC于点 D，则 D 为 BC 的中点， BAD BAC 60，于是 迁移应用：如图 2，ABC 和ADE 都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C 三点在同一条直线上，连接 BD（1）求证：ADBAEC；（2）若 AD2，BD3，请计算线段 CD 的长；拓展延
41、伸：如图 3，在菱形 ABCD 中，ABC120，在ABC 内作射线 BM，作点 C关于 BM 的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF（3）证明：CEF 是等边三角形；（4）若 AE4，CE1，求 BF 的长【分析】（1）如图 2 中，只要证明DABCAE，即可根据 SAS 解决问题；（2）由DABEAC ，可知 BDCE，在 RtADH 中，DH AD cos30 AD，由 ADAE，AHDE ，推出 DHHE，由CDDE+EC2DH+ BD AD+BD，即可解决问题；（3）如图 3 中，作 BGAE 于 G，连接 BE由 BM 垂直平分 CE，可得BNE 90
42、，34，再根据 ABBE ，BGAE，可得12， BGE90，进而得出2+3 ABC60，在四边形 BCEG 中，求得CEG120，即可得到CEF60，依据 FEFC ，即可得到EFC 是等边三角形；（4）由 AE4，ECEF 1，可得 AGGE2，FG3，再根据在 RtBGF 中，BFG30，即可得到 BF2 【解答】解：（1）证明：如图 2，BACDAE120，DABCAE，在DAE 和EAC 中，DABEAC（SAS）；（2）如图 21 中，作 AH CD 于 HDABEAC，BDCE，在 Rt ADH 中，DHADcos30 AD，ADAE，AHDE，DHHE ，CDDE+EC2DH+
43、 BD AD+BD2 +3（3）证明：如图，作 BGAE 于 G，连接 BEE、C 关于 BM 对称，BCBE，FEFC，BM 垂直平分 CE，BNE90，34，在菱形 ABCD 中，AB BC，ABC 120，ABBE，又BGAE，12，BGE90，2+3 ABC60，四边形 BNEG 中，CEG360909060120，CEF60，又FEFC，EFC 是等边三角形；（4）AE4，ECEF 1，AGGE 2，FG 3，在 Rt BGF 中，BFG30， cos30，BF 2 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形
44、等知识的综合运用，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助线解决问题27（12 分）如图，在直角坐标系中，直线 y x+1 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，以 x1 为对称轴的抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于一点 D，连接 PD，交 AB 于 E，求出当以 A、D、E 为顶点的三角形与AOB 相似时点 P 的坐标；（3）若点 Q 在第二象限内，且 tanAQD 2，线段 CQ 是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；（2）分类讨论三角形相似情况即可；（3）由已知，满足条件的 Q 点在以 A、D 、F（1，1）的圆 E 在第二象限的部分，连接 CE 交圆于 Q，则 CQ 最小【解答】解：（1）直线 y x+1 与 x 轴交点为 A，点 A 的坐标为（3，0），抛物线的对称轴为 x1，点 C 的坐标为（1，0），抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C，抛物线为 y（x +3）（x 1）x 2
