1、2019 年广西贵港市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出标号为A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B C D2 （3 分）新中国成立 70 年以来，中国铁路营业里程由 52000 公里增长到 131000 公里，将数据 131000 用科学记数法表示为（ ）A13.110 5 B13.110 4 C1.3110 6 D1.3110 53 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）A B C D4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 3
2、+a34a 6 B （a+b） 2a 2+b2C5a3a2a D （a） 2a3a 65 （3 分）若一组数据 9、6、x、7、5 的平均数是 2x，则这组数据的中位数是（ ）A5 B6 C7 D96 （3 分）某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（ ）A B C D17 （3 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A2x 2+30 Bx 22x Cx 2+4x10 Dx 28x+1608 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ）A任意多边形的外角和为 360B在ABC 和ABC 中，若 ABAB，BCBC，CC 90，则ABC AB C C在一个三角形
3、中，任意两边之差小于第三边D同弧所对的圆周角和圆心角相等9 （3 分）已知点 P（1，a）与 Q（b，2）关于 x 轴成轴对称，则 ab 的值为（ ）A1 B1 C3 D310 （3 分）如图，直线 ab，直线 l 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点，过点 A 作直线 l的垂线交直线 b 于点 C，若240，则1 的度数为（ ）A20 B30 C40 D5011 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以 C（ ， ）为圆心，1 为半径的C 上的一个动点，已知 A（1，0） ，B（1，0） ，连接 PA，PB，则 PA2+PB2 的最小值是（ ）A6 B8 C10 D1212 （3
4、 分）将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在边 CD 上的 B处，折痕为 AE，过 B作BPBC ，交 AE 于点 P，连接 BP已知 BC3，CB 1，下列结论：AB5；sinABP ； 四边形 BEBP 为菱形；S 四边形 BEBPS ECB 1，其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 （3 分）9 的算术平方根是 14 （3 分）将抛物线 yx 2 向下平移，若平移后的抛物线经过点 A（2，1） ，则平移后的抛物线的解析式为 15 （3 分）不等式组 的最大整数解是 16 （3 分）如图，DEF
5、和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别时OA，OB，OC 的中点，若 DEF 的周长是 2，则ABC 的周长是 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2，A60，将ABC 绕 BC的中点 M 顺时针旋转 90得到 DEF，其中点 B 的运动路径为弧 BE，则图中阴影部分的面积为 18 （3 分）若 a 是不为 2 的有理数我们把 称为 a 的“哈利数” 如 3 的“哈利数”是2；2 的“哈利数”是 ，已知 a13，a 2 是 a1 的“哈利数” ，a 3是 a2 的“哈利数” ，a 4 是 a3 的“哈利数” ，以此类推，a 2019 三、解答题（本
6、大题共 8 小题，满分 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （10 分） （1）计算：|1 |+（ ） 1 2tan60 （2）先化简，再求值： ，其中 x 120 （5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知a 和线段 a、b求作：（1）ABC，使A，ABa，AC b（2）在（1）的条件下，作 AB 边上的中线 CD21 （6 分）关于 x 的一次函数 yax +b 与反比例函数 y （x 0）的图象交于点A（m， 4）和点 B（4，1） （1）求 m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式22 （8 分）为了解某市市民上班时常用交通工具的状
7、况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示） ，并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有 人；（2）扇形统计图中，扇形 B 的圆心角度数是 ；（3）请补全条形统计图；（4）若该市“上班族”约有 15 万人，请估计乘公交车上班的人数23 （8 分）为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1 个文具袋和 2 个圆规需 21 元；购买 2 个文具袋和 3 个圆规需 39 元（1）求文具袋和圆规的单价（2）学校准备购买文具袋 20 个，圆规若干文具店给出两种优惠方案：方案一；购买一个文具袋送 1 个
8、圆规方案二：购买圆规 10 个以上时，超出 10 个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折若学校购买圆规 100 个，则选择哪种方案更合算？请说明理由24 （8 分）如图所示，ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且 ADCD，以 CD 为直径的 O交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点（1）求证：AB 与O 相切（2）若 tanB 2，AB6，求 CE 的长度25 （11 分）如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线yx 2+bx+c 经过点 A、B 、 C（1）求点 A 的坐标和抛物线的解析式；（2）当点 P 在抛物
9、线上（不与点 A 重合） ，且PBC 的面积和ABC 的面积相等时，求出点 P 的横坐标26 （10 分）如图 1，在ABC 中，ABAC ，BAC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，ADAE，连接 DC，点 F、P、G 分别为 DE、DC、BC 的中点（1）观察猜想：图 1 中，线段 PF 与 PG 的数量关系是 ，FPG （用含 的代数式表示）（2）探究证明：当ADE 绕点 A 旋转到如图 2 所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小新的猜想（3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD2，AB 6，请直接写出PF 的最大值2019 年广西贵港市中考数学
10、一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出标号为A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的请考生用 2B 铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B C D【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得| | 故选：A【点评】考查了绝对值的性质2 （3 分）新中国成立 70 年以来，中国铁路营业里程由 52000 公里增长到 131000 公里，将数据 131000 用科学记数法表示为（ ）A13.11
11、0 5 B13.110 4 C1.3110 6 D1.3110 5【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 131000 用科学记数法表示为 1.31105故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）A B C D
12、【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案【解答】解：主视图为： ，故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图4 （3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 3+a34a 6 B （a+b） 2a 2+b2C5a3a2a D （a） 2a3a 6【分析】依次运用合并同类型、完全平方公式、幂的乘法运算即可【解答】解：A.3a 3+a34a 3，故 A 错误；B （a+b）2a 2+b2+2ab，故 B 错误；C.5a3a2a，故 C 正确；D （a） 2a3a 5，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查了幂的运算与完全平方公式，熟练掌握幂运算法则与完全平方公式是解
13、题的关键5 （3 分）若一组数据 9、6、x、7、5 的平均数是 2x，则这组数据的中位数是（ ）A5 B6 C7 D9【分析】先根据平均数为 2x 求出 x 的值，然后根据中位数的概念求解【解答】解：数据 9、6、x、7、5 的平均数是 2x， 2x，解得：x3，则将数据重新排列为 3、5、6、7、9，所以这组数据的中位数为 6，故选：B【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6 （3 分）某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机
14、选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是（ ）A B C D1【分析】由从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种，直接利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是 故选：B【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比7 （3 分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A2x 2+30 Bx 22x Cx 2+4x10 Dx 28x+160【分析】求出各方程根的判别式，判断小于 0 即为没有实数根【解答】解：A、024240，即方程没有实数根，符合题意；B、4040，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、1
15、6+4200，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、64640，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A【点评】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键8 （3 分）下列命题中，是假命题的是（ ）A任意多边形的外角和为 360B在ABC 和ABC 中，若 ABAB，BCBC，CC 90，则ABC AB C C在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D同弧所对的圆周角和圆心角相等【分析】利用圆周角定理，多边形的外角和定理，全等三角形的判定，三角形三边关系，分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、任意多边形的外角和为 360，故正确，是真命题，不符合题意；B、在A
16、BC 和 A BC 中，若 ABA B，BC BC ，CC90，由（HL）可得ABCA BC，故正确，是真命题，不符合题意；C、在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，故正确，是真命题，不符合题意；D、同弧所对的圆周角是圆心角的一半，错误，是假命题，符合题意故选：D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理，全等三角形的判定，三角形三边关系，圆周角定理及其推论，难度不大9 （3 分）已知点 P（1，a）与 Q（b，2）关于 x 轴成轴对称，则 ab 的值为（ ）A1 B1 C3 D3【分析】关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得 a、b 的值
17、【解答】解：点 P（1，a）与 Q（b，2）关于 x 轴成轴对称，b1，a2，ab3，故选：C【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律10 （3 分）如图，直线 ab，直线 l 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点，过点 A 作直线 l的垂线交直线 b 于点 C，若240，则1 的度数为（ ）A20 B30 C40 D50【分析】根据平行线的性质得出ACB2，根据三角形内角和定理求出即可【解答】解：直线 ab，ACB2，ACBA，BAC90，2ACB1801BAC 40，150，故选：D【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直
18、线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同旁内角互补11 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以 C（ ， ）为圆心，1 为半径的C 上的一个动点，已知 A（1，0） ，B（1，0） ，连接 PA，PB，则 PA2+PB2 的最小值是（ ）A6 B8 C10 D12【分析】设点 P（x ，y ） ，表示出 PA2+PB2 的值，从而转化为求 OP 的最值，画出图形后可直观得出 OP 的最值，代入求解即可【解答】解：设 P（x ，y ） ，PA 2（x+1 ） 2+y2，PB 2（x 1） 2+y2，PA 2+PB22x 2+2y2+22（x 2+y2）+2 ，OP
19、2x 2+y2，PA 2+PB22OP 2+2，当点 P 处于 OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，OP 的最小值为 COCP312，PA 2+PB2 最小值为 222+210故选：C【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点 P 坐标，将所求代数式的值转化为求解 OP 的最小值，难度较大12 （3 分）将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在边 CD 上的 B处，折痕为 AE，过 B作BPBC ，交 AE 于点 P，连接 BP已知 BC3，CB 1，下列结论：AB5；sinABP ； 四边形 BEBP 为菱形；S 四边形 BEBPS ECB 1，其中正确的个数是（ ）A1 个 B
20、2 个 C3 个 D4 个【分析】 （1）根据翻折的性质和勾股定理列方程求解，正确；（2）根据翻折的性质和 BPBC 证明 BPBE，四边形 BEBP 为平行四边形，再由 BEBE ，四边形 BEBP 为菱形，正确；（3）延长 BP 与 AB 交于点 M，则 PMAB，根据勾股定理得到 BE，进而求出BP、PM，sin ABP ；故 错误；（4）S 四边形 BEBP S ECB BE CB CECB1， 正确【解答】解：（1）设 ABCDx，根据翻折的性质ABABx ，BDx 1， AD3x 2（x1） 2+32，解得：x5，正确；（2）BP BC，BEP BPE，根据翻折的性质BEPBEP，
21、BEP BPE，BEBP，BEBE ，BEBP ，四边形 BEBP 为菱形，正确；（3）延长 BP 与 AB 交于点 M，则 PMAB，设 BEm，则 CE3m，CB1，m 2（3m） 2+12，解得：m ，BEBPBP ，CEPM ，sinABP ，错误；（4）S 四边形 BEBP S ECB BE CB CECB 1 11，正确故选：C【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1
22、3 （3 分）9 的算术平方根是 3 【分析】9 的平方根为3，算术平方根为非负，从而得出结论【解答】解：（3） 29，9 的算术平方根是|3| 3故答案为：3【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负14 （3 分）将抛物线 yx 2 向下平移，若平移后的抛物线经过点 A（2，1） ，则平移后的抛物线的解析式为 y x 23 【分析】可设所求的函数解析式为 yx 2+k，把 A 坐标代入可得平移后的抛物线【解答】解：设所求的函数解析式为 yx 2+k，点 A（2，1）在抛物线上，12 2+k解得：k3，平移后的抛物线的表达式是 yx 23故答案为：yx 23【点评】考
23、查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减15 （3 分）不等式组 的最大整数解是 2 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，确定出解析式的公共部分即可【解答】解：不等式组 ，由得： x2，由得： x1，不等式组的解集为1x2，则不等式组的最大整数解是 2，故答案为：2【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键16 （3 分）如图，DEF 和ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别时OA，OB，OC 的中点，若 DEF 的周长是 2，则ABC 的周长是 4 【分析】根据三角
24、形中位线定理得到 DE AB，根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可【解答】解：点 D，E 分别时 OA，OB 的中点，DE AB，DEF 和ABC 是位似图形，DE AB，DEF 和ABC 的相似比为 1：2，ABC 的周长2DEF 的周长4，故答案为：4【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键17 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2，A60，将ABC 绕 BC的中点 M 顺时针旋转 90得到 DEF，其中点 B 的运动路径为弧 BE，则图中阴影部分的面积为 【分析】由题意可得 BC AC2 ，可得 BM ，由旋转的性质可得 B
25、EME，BME 90，DEM30，由扇形面积公式和三角形面积公式可求解【解答】解：ACB90，AC 2，A60，BC AC2 ，点 M 是 BC 的中点，BM将ABC 绕 BC 的中点 M 顺时针旋转 90得到DEF，BEME ，BME90，DEM30，S 阴影部分 MEMEtanDEM 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，扇形面积计算公式，熟练运用旋转的性质是本题的关键18 （3 分）若 a 是不为 2 的有理数我们把 称为 a 的“哈利数” 如 3 的“哈利数”是2；2 的“哈利数”是 ，已知 a13，a 2 是 a1 的“哈利数” ，a 3是 a2 的“哈利数” ，a 4 是 a3
26、 的“哈利数” ，以此类推，a 2019 【分析】分别求出数列的前 5 个数得出该数列每 4 个数为一周期循环，据此可得答案【解答】解：a 13，a 2 2，a3 ，a4 ，a5 3，该数列每 4 个数为 1 周期循环，201945043，a 2019a 3 故答案为 【点评】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （10 分） （1）计算：|1 |+（ ） 1 2tan60 （2）先化简，再求值： ，其中 x 1【分析】 （1）根据绝对值、负
27、整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（1）|1 |+（ ） 1 2tan60 1+22 1+22 +1；（2） ，当 x 1 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法20 （5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知a 和线段 a、b求作：（1）ABC，使A，ABa，AC b（2）在（1）的条件下，作 AB 边上的中线 CD【分析】 （1）先作BAC，然后分别截取 ABa，AC b，从
28、而得到ABC；（2）作 AB 的中垂线得到 AB 的中点，从而得到中线 CD【解答】解：（1）如图，ABC 为所作；（2）如图，CD 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作21 （6 分）关于 x 的一次函数 yax +b 与反比例函数 y （x 0）的图象交于点A（m， 4）和点 B（4，1） （1）求 m 的值和反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式【分析】 （1）把 B 点坐标代入反比例函数解析式，即可
29、求出 m 的值，从而求出反比例函数的解析式和 m 的值；（2）求得 A 点坐标，进而把 A、B 点的坐标代入一次函数 ykx +b 的解析式，就可求出a、b 的值，从而求得一次函数的解析式【解答】解：（1）点 B（4，1）在反比例函数 y （x0）的图象上，1 ，k4反比例函数的解析式为 y点 A（m，4）在反比例函数 y 的图象上，4 ，m1（2）点 A（1，4）和点 B（4，1）在一次函数 yax +b 的图象上，解得一次函数的解析式为 yx+5【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键22 （8 分）为了解某市市民上班时常用交通工
30、具的状况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示） ，并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有 200 人；（2）扇形统计图中，扇形 B 的圆心角度数是 43.2 ；（3）请补全条形统计图；（4）若该市“上班族”约有 15 万人，请估计乘公交车上班的人数【分析】 （1）根据 D 组人数以及百分比计算即可（2）根据圆心角度数360百分比计算即可（3）求出 A，C 两组人数画出条形图即可（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可【解答】解：（1）本次接受调查的市民共有：5025%200（人） ，故答案为 200（2）扇形统计
31、图中，扇形 B 的圆心角度数360 43.2；故答案为 43.2（3）C 组人数20040%80（人） ，A 组人数2002480501630（人） 条形统计图如图所示：（4）1540%6（万人） 答：估计乘公交车上班的人数为 6 万人【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型23 （8 分）为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1 个文具袋和 2 个圆规需 21 元；购买 2 个文具袋和 3 个圆规需 39 元（1）求文具袋和圆规的单价（2）学校准备购买文具袋 20 个，圆规若干文具店给出两种优惠方
32、案：方案一；购买一个文具袋送 1 个圆规方案二：购买圆规 10 个以上时，超出 10 个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折若学校购买圆规 100 个，则选择哪种方案更合算？请说明理由【分析】 （1）设文具袋的单价为 x 元/ 个，圆规的单价为 y 元/个，根据“购买 1 个文具袋和 2 个圆规需 21 元；购买 2 个文具袋和 3 个圆规需 39 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价单价数量结合两种优惠方案，分别求出选择方案一和选择方案二所需费用，比较后即可得出结论【解答】解：（1）设文具袋的单价为 x 元/ 个，圆规的单价为 y 元/个，依题意，
33、得： ，解得： 答：文具袋的单价为 15 元/个，圆规的单价为 3 元/ 个（2）选择方案一更合算，理由如下：选择方案一所需费用为 1520+3（10020）540（元） ，选择方案二所需费用为 1520+310+30.8（10010）546（元） 540546，选择方案一更合算【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键24 （8 分）如图所示，ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且 ADCD，以 CD 为直径的 O交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点（1）求证：AB 与O 相切（2）若 tanB 2，AB6，求
34、 CE 的长度【分析】 （1）连接 DF，由 CD 为O 的直径，得到CFD90，求得AACD45，于是得到结论；（2）根据已知条件得到 CD2BD，求得 BD2，CD 4，得到 BC2 ，根据切割线定理即可得到结论【解答】解：（1）连接 DF，CD 为O 的直径，CFD90，点 F 是半圆 CD 的中点，CFDF，ACD45，ADCD，AACD45，ADC90，AB 与O 相切；（2）CDAB，tan B2，CD2BD，ADCD，AB3BD ，AB6，BD2，CD4，BC2 ，BD 与 O 相切，BD 2BEBC ，BE ，CEBCBE 【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直
35、角三角形的性质和判定，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键25 （11 分）如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线yx 2+bx+c 经过点 A、B 、 C（1）求点 A 的坐标和抛物线的解析式；（2）当点 P 在抛物线上（不与点 A 重合） ，且PBC 的面积和ABC 的面积相等时，求出点 P 的横坐标【分析】 （1）先把 B 点坐标代入 yx +c 求出 c 得到直线解析式，再利用待定系数法求抛物线解析式；然后求二次函数的函数值为 0 对应的自变量的值确定 A 点坐标；（2）过点 A 作 BC 的平行线 l，易得直线 l 的解析式为 yx
36、+1，通过解方程x24x+3x+1 得此时 P 点的横坐标；由于直线 BC 向下平移 2 个单位得到直线 l 满足PBC 的面积和ABC 的面积相等，所以直线 BC 向上平移 2 个单位得到直线 l满足PBC 的面积和ABC 的面积相等，易得直线 l的解析式为 yx +5，然后解方程x24x+3x+5 得此时 P 点的横坐标【解答】解：（1）把 B（3，0）代入 yx +c 得3+ c0，解得 c3，直线解析式为 yx +3，当 y0 时，yx +33，则 C（0，3） ，把 B（3，0） ，C（0，3）代入 yx 2+bx+c 得 ，解得 ，抛物线解析式为 yx 24x+3，当 y0 时，x
37、 24x +30，解得 x11，x 23，A（1，0） ；（2）过点 A 作 BC 的平行线 l，设直线 l 的解析式为 yx +m，把 A（1，0）代入得1+m0，解得 m1，直线 l 的解析式为 yx+1，解方程 x24x+3x +1 得 x11，x 22，此时 P 点的横坐标为 2；直线 BC 向下平移 2 个单位得到直线 l 满足PBC 的面积和 ABC 的面积相等，直线 BC 向上平移 2 个单位得到直线 l满足PBC 的面积和 ABC 的面积相等，则直线 l的解析式为 yx+5，解方程 x24x+3x +5 得 x1 ，x 2 ，此时 P 点的横坐标为或 ，综上所述，P 点坐标为
38、2 或 或 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数的性质26 （10 分）如图 1，在ABC 中，ABAC ，BAC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，ADAE，连接 DC，点 F、P、G 分别为 DE、DC、BC 的中点（1）观察猜想：图 1 中，线段 PF 与 PG 的数量关系是 PFPG ，FPG 180 （用含 的代数式表示）（2）探究证明：当ADE 绕点 A 旋转到如图 2 所示的位置时，小新猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小新的猜想（3）拓展延伸：
39、把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD2，AB 6，请直接写出PF 的最大值【分析】 （1）根据等腰三角形的性质和三角形的中位线定理解答即可；（2）连接 BD，CE，利用全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答；（3）当 EC 最大时，FP 最大，进而解答即可【解答】解：（1）如图 1，在ABC 中，ABAC ，BAC ，点 D、E 分别在边AB、AC 上，ADAE，ABAD AC AE，即 DBCE，点 F、P 、G 分别为 DE、DC、BC 的中点，PF CE， PG BD，PFPG ，点 F、P 、G 分别为 DE、DC、BC 的中点，PGBD ，PFCE，PGCDBC，D
40、PFDCE，FPGDPF+DPGDCE+PGC+ DCBACD+ACE+ DBC+DCBACD+ABD+DBC+ DCBABC+ ACB，ABC+ ACB180BACFPG180；故答案为：PFPG ，180；（2）如图 2，连接 BD，CE，由题意知 ABAC，BADCAE，ADAE，ABDACE（SAS） ，BDCE，ABD ACE，点 F、P 、G 分别为 DE、DC、BC 的中点，PF，PG 分别是CDE 和CDB 的中位线，PGBD ，PFCE，PGCDBC，DPFDCE，FPGDPF+DPGDCE+PGC+ DCBACD+ACE+ DBC+DCBACD+ABD+DBC+ DCBABC+ ACB，ABC+ ACB180BACFPG180；（3）当 EC 最大时，FP 最大，EC 的最大值为 AE+AC 8，PF EC，即 PF 的最大值为 4 ，【点评】此题属于几何变换综合题，关键是根据三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质进行解答
