1、难点题型拔高练( 一)1过抛物线 y x2 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在直线 y1 上，14若ABC 为正三角形，则其边长为( )A11 B12C13 D14解析：选 B 由题意可知，焦点 F(0,1)，易知过焦点 F 的直线的斜率存在且不为零，设为 k(k0) ，则该直线方程为 ykx1( k0) ，联立方程得Error!x 24(kx 1)，即x24kx 40 ，设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，x 1x 24k，x 1x24，设线段 AB 的中点为M，则 M(2k，2k 21)，| AB| 4(1k 2)，1 k2x1 x22 4x1x2 1 k21
2、6k2 16设 C(m，1)，连接 MC，ABC 为等边三角形，k MC ，m2k 34k，点2k2 22k m 1kC(m，1) 到直线 ykx1 的距离| MC| |AB|， 4(1k 2)，|km 2|1 k2 32 |km 2|1 k2 322 (1k 2)， ，k ，| AB|4(1k 2)12.2k4 4k2 21 k2 3 1 k2 3 22已知函数 f(x)2sin(x )(0,0ln xx 1 ln xx20，g( x)单调递增；当 xe 时， g( x)0，得 1a4.当 0b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，且离心率为 ，M 为x2a2 y2b2 22椭圆上任意一点，
3、当F 1MF290 时，F 1MF2 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点，连接并延长 AF1，AF 2，分别与椭圆交于点 B，D ，设直线 BD 的斜率为 k1，直线 OA 的斜率为 k2(O 为坐标原点)，求证：k 1k2 为定值解：(1)设|MF 1|r 1，|MF 2|r 2，由题意，得Error!a ，c1，则 b2a 2c 21，2椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)证明：易知直线 AF1，AF 2 的斜率均不为 0.设 B(x1，y 1)，D (x2，y 2)，当直线 AF1 的斜率不存在时，不妨令 A ，则 B ，又 F
4、1(1,0)，( 1，22) ( 1， 22)F2(1,0)，直线 AF2 的方程为 y (x1) ，将其代入 y 21，整理可得 5x22x70，24 x22x 2 ，y 2 ，则 D ，75 210 (75， 210)直线 BD 的斜率 k1 ， 210 ( 22)75 1 26直线 OA 的斜率 k2 ，22k 1k2 .26 ( 22) 16当直线 AF2 的斜率不存在时，同理可得 k1k2 .16当直线 AF1，AF 2 的斜率都存在且不为 0 时，设 A(x0，y 0)，则 x0y00，则直线 AF1 的方程为 y (x1) ，y0x0 1联立，得Error!消去 y 可得，(x0
5、1) 22y x24y x2y 2(x 01) 20，20 20 20又 y 1，2y 2x ，x202 20 20 20(32x 0)x2 2(2x )x3x 4x 00，20 20x 1x0 ， 3x20 4x03 2x0x 1 ， 3x0 43 2x0则 y1 ，y0x0 1( 3x0 43 2x0 1) y03 2x0B .( 3x0 42x0 3， y02x0 3)直线 AF2 的方程为 y (x1) ，y0x0 1同理可得 D ， ，3x0 42x0 3 y02x0 3直线 BD 的斜率k1 ，y02x0 3 y02x0 33x0 42x0 3 3x0 42x0 3 4x0y012
6、x20 24 x0y03x20 6直线 OA 的斜率 k2 ，y0x0k 1k2 .x0y03x20 6y0x0 y203x20 6 1 x2023x20 6 16综上，k 1k2 为定值，且定值为 .165.已知函数 f(x)(xb)(e xa)(b0)的图象在点( 1，f (1) 处的切线方程为(e1)xeye10.(1)求 a，b；(2)若方程 f(x) m 有两个实数根 x1，x 2，且 x10 矛盾，故 a1，b1.1e(2)证明：由(1)可知 f(x)(x 1)(ex1)，f(0)0，f (1)0，设曲线 yf(x) 在点( 1,0)处的切线方程为 yh( x)，则 h(x) (x
7、1)，(1e 1)令 F(x)f( x)h(x )，则 F(x)( x1)(e x1) (x1)，(1e 1)F(x) ( x2)e x ，1e当 x2 时，F (x) (x 2)e x 2 时，设 G(x)F(x)( x2)e x ，则 G(x) (x3)e x0，1e故函数 F( x)在(2，) 上单调递增，又 F( 1)0，所以当 x(，1)时，F( x)0，所以函数 F(x)在区间(，1)上单调递减，在区间( 1，)上单调递增，故 F(x)F (1)0，所以 f(x)h( x)，所以 f(x1)h(x 1)设 h(x)m 的根为 x1，则 x11 ，me1 e又函数 h(x)单调递减，
8、且 h(x1)f(x 1)h( x1)，所以 x1x 1，设曲线 yf(x) 在点(0,0)处的切线方程为 yt (x)，易得 t(x)x，令 T(x)f(x) t( x)(x1)(e x1)x，T( x)(x2)e x2，当 x2 时，T(x)(x 2)e x222 时，设 H(x)T(x) (x2)e x2，则 H(x)( x3)e x0，故函数 T(x) 在( 2，)上单调递增，又 T(0)0，所以当 x(，0)时，T(x)0，所以函数 T(x)在区间( ，0) 上单调递减，在区间(0，)上单调递增，所以 T(x)T(0) 0，所以 f(x)t(x)，所以 f(x2)t(x 2)设 t(x)m 的根为 x2，则 x2m，又函数 t(x)单调递增，且 t(x2)f(x 2)t(x 2)，所以 x2x 2.又 x1x 1，所以 x2x 1x 2x 1m 1 .m1 2e1 e
