1、难点题型拔高练( 四)1已知函数 f(x) 1nln x(m0,0ne)在区间1 ，e内有唯一零点，则 的取mx n 2m 1值范围为( )A. B. C. D 解析：选 A f(x) ，当 n0 时，f (x) 0，当 0nemx2 nx m nxx2 mx2时，令 f( x)0，则 x 0，所以函数 f(x)在1，e上单调递减，由函数 f(x)在区间mn1，e内有唯一零点，得Error!即Error!即Error!或Error!即Error!又 m0,0n e，所以Error!(1)或Error!(2)所以 m，n 满足的可行域如图 (1)或图(2)中的阴影部分所示，则 表示点n 2m 1
2、 n 2m 1(m，n)与点( 1，2)所在直线的斜率，当 m，n 满足不等式组(1) 时， 的最大值在点(1 ，e)处取得，为 1，n 2m 1 e 21 1 e2当 m，n 满足不等式组(2) 时， 的最小值在 A 点处取得，根据Error!得Error!所以最n 2m 1小值为 ，故选 A.e 2e2 e 12已知 P 为双曲线 C： 1(a0，b0)右支上的任意一点，经过点 P 的直线x2a2 y2b2与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 A，B 两点若点 A，B 分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当 时，AOB 的面积为 2b，则双曲线 C 的实轴长为( )AP 12PB A. B
3、.329 169C. D.89 49解析：选 A 设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，P(x，y)，由 ，AP 12PB 得(xx 1，yy 1) (x2x ，y 2y) ，12则 x x1 x2，y y1 y2，23 13 23 13所以 1.(23x1 13x2)2a2(23y1 13y2)2b2易知点 A 在直线 y x 上，点 B 在直线 y x 上，ba ba则 y1 x1，y 2 x2，ba ba所以 1，(23x1 13x2)2a2(2b3ax1 b3ax2)2b2即 b2 2a 2 2a 2b2，(23x1 13x2) (2b3ax1 b3ax2)化简可得 a2 x1
4、x2.89由渐近线的对称性可得 sinAOBsin 2AOx 2sinAOxcosAOxsin2AOx cos2AOx 2tanAOxtan2AOx 1 ，2ba(ba)2 1 2abb2 a2所以AOB 的面积为 |OA|OB|sinAOB sinAOB12 12x21 y21 x2 y2 12 x21 (bax1)2 x2 ( bax2)2 2abb2 a2x 1x2 1 (ba)2 1 (ba)2 abb2 a2 a2 98 abb2 a2 1 (ba)2 a2 ab2b，98 abb2 a2 b2 a2a2 98得 a ，所以双曲线 C 的实轴长为 .169 3293已知数列a n共
5、16 项，且 a11，a 84.记关于 x 的函数 fn(x) x3a nx2( a 1)13 2nx，nN *.若 xa n1 (1n15)是函数 fn(x)的极值点，且曲线 yf 8(x)在点(a 16，f 8(a16)处的切线的斜率为 15，则满足条件的数列a n的个数为_ 解析：f n(x) x 22a nxa 1x(a n1)x(a n1)，令 fn(x)0，得2nxa n1 或 xa n1，所以 an1a n1 或 an1a n1 (1n15)，所以|an 1a n|1(1n15)，又 f8(x)x 28x15，所以 a 8a 161515，解得 a160216或 a168，当 a
6、160 时，a 8a 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a 8a 7)3，得 ai1 a i(1i7，iN *)的值有 2 个为1,5 个为 1；由 a16a 8(a 9a 8)( a10a 9)(a 16a 15)4，得 ai1 a i(8i15，iN *)的值有 6 个为1,2 个为 1.所以此时数列a n的个数为 C C 588，27 28同理可得当 a168 时，数列a n的个数为 C C 588.27 28综上，数列a n的个数为 2C C 1 176.27 28答案： 1 1764已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，左顶点为 A，离心x2a2 y2b2率
7、为 ，点 B 是椭圆上的动点， ABF 1 面积的最大值为 .22 2 12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中垂线为 l.若直线 l与直线 l 相交于点 P，与直线 x2 相交于点 Q，求 的最小值|PQ|MN|解：(1)由已知得 e ，即 a22c 2.ca 22a2 b2c 2，bc .设 B 点的纵坐标为 y0(y00) ，则 SABF1 (ac )|y0| (ac) b ，12 12 2 12即( bb) b 1，b1，a .2 2 2椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)由(1)可知 F1(1,0)
8、，由题意知直线 l 的斜率不为 0，故设直线 l：xmy1，设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，P(x P，y P)，Q(2 ，y Q)联立，得Error!消去 x，得(m 22) y22my 10，此时 8(m 21)0，y1 y2 ，y 1y2 .2mm2 2 1m2 2由弦长公式，得|MN| |y1y 2|1 m2 2 .1 m24m2 4m2 8m2 2 2m2 1m2 2又 yP ， xP myP1 ，y1 y22 mm2 2 2m2 2|PQ| |xP2| ，1 m2 1 m22m2 6m2 2 （ ）2，|PQ|MN| 2m2 622m2 1 22 m2 3m2 1 2
9、2 m2 1 2m2 1当且仅当 ，即 m1 时等号成立，m2 12m2 1当 m1，即直线 l 的斜率为 1 时， 取得最小值 2.|PQ|MN|5已知函数 f(x)xln xax1，aR.(1)当 x0 时，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围；(2)当 nN *时，证明： (ln 2) 2 2 2 .n2n 4 (ln 32) (ln n 1n ) nn 1解：(1)由 f(x) 0，得 xln xax10(x0) ，即aln x 恒成立，即a min.1x (ln x 1x)令 F(x)ln x (x0)，则 F( x) ，1x 1x 1x2 x 1x2函数 F
10、(x)在(0,1) 上单调递减，在(1 ，)上单调递增，函数 F(x)ln x 的最小值为 F(1)1，1x a1，即 a1，a 的取值范围是1，)(2)证明： 为数列 的前 n 项和， 为数列 的前 n 项和，n2n 4 1n 1n 2 nn 1 1nn 1只需证明 2 即可1n 1n 2 (ln n 1n ) 1nn 1由(1)知，当 a1 时，xln xx10，即 ln x1 ，1x令 x 1，得 ln 1 ，n 1n n 1n nn 1 1n 1 2 2 .(ln n 1n ) ( 1n 1) 1n 1n 2现证明 2 ，(ln n 1n ) 1nn 1即 2ln .(*)n 1n 1nn 1 n 1 nnn 1 n 1n nn 1现证明 2ln x x (x1)，1x构造函数 G(x)x 2ln x(x1) ，1x则 G(x) 1 0，1x2 2x x2 2x 1x2函数 G(x)在(1，)上是增函数，即 G(x)G(1)0，即 2ln xx 成立1x令 x ，则 (*)式成立n 1n综上，得 2 .1n 1n 2 (ln n 1n ) 1nn 1对数列 ， ， 分别求前 n 项和，得 (ln 2)21n 1n 2(ln n 1n )2 1nn 1 n2n 42 2 .(ln 32) (ln n 1n ) nn 1
