2019届中考数学专题突破训练 :四边形(含答案解析)

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1、2019 届中考初三数学专题突破训练 :四边形1如图,矩形 ABCD 对角线相交于 O 点, DE AC, CE BD,连接 BE(1)求证:四边形 OCED 是菱形;(2)若 AOD120, CD2,求 DE 和 tan DBE 的值来源:学科网 ZXXK解:(1) DE AC, CE BD,四边形 OCED 是平行四边形矩形 ABCD, OC OD, )四边形 OCED 是菱形,(2) AOD120 COD60菱形 OCED OC CE ED DO OCD、 CDE 均为等边 OB OD DE CD2作 EF BD 交 BD 延长线于点 F, ODE60+60120 EDF60 DF1,

2、EF ,tan DBE 2如图,平行四边形 ABCD 中, O 是对角线 BD 的中点,过点 O 的直线 EF 分别交 DA, BC 的延长线于 E, F(1)求证: AE CF;(2)若 AE BC,试探究线段 OC 与线段 DF 之间的关系,并说明理由(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC, AD BC, ADB C BD, O 是对角线 BD 的中点, OB OD,在 BOF 和 DOE 中, , BOF DOE( ASA) , DE BF, DE AD BF BC, AE CF;(2)解: OC DF,且 OC DF,理由如下: AE BC, AE CF, CF BC

3、, OB OD, OC 是 BDF 的中位线, OC DF,且 OC DF3已知:如图,在 ABC 中, AB AC, AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AD 上一点,过点 B作 BF EC,交 AD 的延长线于点 F,连接 BE, CF(1)求证: BDF CDE;(2)当 ED 与 BC 满足什么数量关系时,四边形 BECF 是正方形?请说明理由(1)证明: AD 是 BC 边上的中线, AB AC, BD CD, BF EC, DBF DCE, BDF CDE, BDF CDE( ASA) ;(2)解:当 DE BC 时,四边形 BECF 是正方形,理由: BDF CDE, BF

4、CE, DE DF, BF CE,四边形 BECF 是平行四边形, AB AC, AD 是中线,四边形 BECF 是菱形, DE BC, DE DF EF, EF BC,四边形 BECF 是正方形4在正边形 ABCD 中, E 是对角线 AC 上一点(不与点 A、 C 重合) ,以 AD、 AE 为邻边作平行四边形 AEGD, GE 交 CD 于点 M,连接 CG(1)如图 1,当 AE AC 时,过点 E 作 EF BE 交 CD 于点 F,连接 GF 并延长交 AC 于点 H求证: EB EF;判断 GH 与 AC 的位置关系,并证明(2)过点 A 作 AP直线 CG 于点 P,连接 BP

5、,若 BP10,当点 E 不与 AC 中点重合时,求 PA 与 PC 的数量关系(1)证明:四边形 ABCD 是正方形, ADC BCD90, CA 平分 BCD EF EB, BEF90证法一:如图 1,过点 E 作 EN BC 于点 N, ENB ENC90四边形 AEGD 是平行四边形, AD GE, EMF ADC90, EMC ENC90, EM EN, BEF MEN90, MEF BEN, EFM EBN( ASA) , EB EF证法二:如图 2,过点 E 作 EK AC 交 CD 延长线于点 K, KEC BEF90, BEC KEF,又 ECK BCD45, K45, K

6、ECK, EC EK, K ECB45, EBC EFK( ASA) , EB EF证法三:如图 3,连接 BF,取 BF 中点 O,连接 OE, OC BEF BCF90, OE BF OC,点 B, C, E, F 都在以 O 为圆心, OB 为半径的 O 上 , BFE BCA45, EBF45 BFE, EB EF GH AC证明如下:四边形 ABCD 是正方形,四边形 AEGD 是平行四边形, AE DG, EG AD AB, AE DG, DGE DAC DCA45, GDC ACD45由(1)可知, GEF BEN, EF EB EN AB, ABE BEN GEF, EFG B

7、EA( SAS) , GF AE DG, GFD GDF45, CFH GFD45, FHC90, GF AC(2)解:过点 B 作 BQ BP,交直线 AP 于点 Q,取 AC 中点 O, PBQ ABC90 AP CG, APC90当点 E 在线段 AO 上时,如图 4,即 0 AE AC, PBQ ABP ABC ABP,即 QBA PBC ABC90, BCP+ BAP180 BAP+ BAQ180, BAQ BCP BA BC, BAQ BCP( ASA) , BQ BP10, AQ CP,在 Rt PBQ 中, PQ PA+PC PA+AQ PQ 当点 E 在线段 OC 上时,即

8、AC AE AC, PBQ QBC ABC QBC,即 QBA PBC ABC APC90, AKB CKP, BAQ BCP BA BC, BAQ BCP( ASA) , BQ BP10, AQ CP,在 Rt PBQ 中, PQ PA PC PA AQ PQ 综上所述,当点 E 在线段 AO 上时, PA+PC ;当点 E 在线段 OC 上时, PA PC5如图,在四边形 ABCD 中, AD BC, CD BC, BC12 cm, CD8 cm, AD6 cm点 P 从点A 出发,沿 D A 方向匀速运动,速度为 3cm/s;同时,点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为

9、4cm/s过点 Q 作 QE AB 交 BC 于点 E,连接 PE,交 AB 于点 F设运动时间为 t( s) (0 t2) 解答下列问题:(1)当 t 为何值时, BE2 EC?(2)设五边形 AFEQD 的面积为 y( cm2) ,求 y 与 t 的函数关系式;(3)连接 DE是否存在某一时刻 t,使点 F 在 DE 的垂直平分线上?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由解:(1)如图 1,过 D 作 DG AB,交 BC 于点 G, AD BC,四边形 ABCD 是平行四边形, AD BG6, AB DG, CG BC BG6, QE AB, QE DG, , , EC3 t, BE

10、123 t, BE2 EC,123 t23 t,t ,当 t 为 s 时, BE2 EC;(2)如图 2,过点 F 作 HM BC,交 BC 于点 H,交 AD 为 M, MHB90, C90,来源:学*科*网 MHB C, MH CD, AD BC,四边形 MHCD 是矩形, MH CD8, HM AD, AD BC, PAF B, APF FEB, APF BEF, ,即 ,HF82 t, y S 五边形 AFEQD S 四边形 ABCD S EFB S ECQ, ,9 t2+24t+24, y 与 t 的函数关系式是: y9 t2+24t+24(0 t2) ;(3)存在,如图 3,过 E

11、 作 EN AD,垂足为 N,连接 DF,则 ND EC3 t, EN CD8, PN AD+AP DN6+3 t3 t6, PE 10, HF82 t, FM8(82 t)2 t, C90, AB DG 10, APF BEF, , , PF t, EF10 t, PF t, FM2 t, PM t, MD6+3 t t6+ t, FD2 MD2+FM2(6+ t) 2+(2 t) 2,若点 F 在 DE 的垂直平分线上,则 FE FD 时, FE2 FD2, ,t ,当 t s 时,点 F 在 DE 的垂直平分线上6如图,四边形 ABCD 中, AD BC, AB BC, AD3, AB6

12、, DF DC 交 AB 于点 E,交 CB延长线于点 F(1)当点 E 为边 AB 的中点时(如图 1) ,求 BC 的长;(2)当点 E 在边 AB 上时(如图 2) ,连接 CE,求证: CD2 DE;(3)连接 AF(如图 2) ,当 AEF 的面积为 3 时,求 DCE 的面积解:(1)如图 1 中,来源:学科网 A D BC, AB BC, ABC A90, AE EB3, AD3, AD AE, AED ADE BEF F45, EF DE3 , FB3, DF DC, FDC90, C F45, DF DC6 , CF DC12, BC CF BF1239(2)如图 2 中,连

13、接 BD取 EC 的中点 O,连接 OD, OB EBC EDC90, EO OC, OD OE OC OB, E, B, C, D 四点共圆, DCE ABD,tan ABDtan DCE , CD2 DE;(3)当 E 在边 AB 上时,如图 3,连接 AF设 AE x, FB y, EB m, S AEF AEFB3, xy6, AD FB, , , xy3 m,63 m, m2, EB2, AE4,在 Rt AED 中, DE5,在 Rt DEC 中,tan DCE , DC10, S DEC DEDC 51025当点 E 在 AB 的延长线上时,如图 4,同法可得 AE8, DE ,

14、 CD2 DE2 , S DEC DEDC73综上所述, DEC 的面积为 25 或 737如阁,在 ABC 中, ACB90, AC3, BC4,点 P 从点 A 出发,沿折线 AC BC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动,当点 P 不与点 A、 B 重合时,在边 A B 上取一点 Q,满足 PQA2 B,过点 Q 作 QM PQ,交边 BC 于点 M,以 PQ、 QM 为边作矩形PQMN,设点 P 的运动时间为 t 秒(1)用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长;(2)当矩形 PQMN 为正方形时,求 t 的值;(3)设矩形 PQMN 与 ABC 重叠部分图形的周长为 l,求

15、l 与 t 之间的函数关系式;(4)作点 A 关于直线 PQ 的对称点 A,作点 C 关于直线 PN 的对称点 C,当点A、 C这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部时,直接写出此时的 t 取值范围解:(1)如图 1 中当 0 t3 时,作 QH AC 于 H AHQ C90, AQH B, AQP2 B, AQH PQH, QH QH, QHA QHP90, QHA QHP( ASA) , AH PH t, QA PQ,在 Rt ABC 中, AC3, BC4, AB 5, QH BC, , , AQ t, PQ AQ t如图 2 中,当 3 t7 时,作 QK BC, AQP2 B B

16、+ QPB, QPB B, PQ QB, QK BC, PK BK (7 t) , BKQ C90, QK AC, , , PQ BQ (7 t) (2)如图 1 中,当四边形 PQMN 是正方形时,作 QK BC 于 K PQM HQK90, HQP KQM, QHP QKM90, PQ QM, HQP KQM( AAS) , HQ QK, t3 t, t ,如图 2 中,四边形 PQMN 不可能是正方形,综上所述, t 时,四边形 PQMN 是正方形(3)如图 3 中,当 0 t3 时,重叠部分是四边形 PQMT由(1)可知: PQ t, CH KQ3 t, QH t,由 QHP QKM,

17、可得 , , QM t,由 QHP PCT, , , PT t,由 PCT MNT, , , MT t,四边形 PQMN 的周长 t+ t+ t+ t t+ 如图 4 中,当 3 t7 时,重叠部分是 PQM,由(1)可知: PQ (7 t) , MQ PQ (7 t) , PM (7 t) , PQM 的周长 (7 t)+ (7 t)+ (7 t) (7 t) (4)如图 5 中,当点 C在线段 MQ 上时,作 CK PN 于 K由 PQ CK 可得: t (3 t) ,解得 t ,观察图象可知:当 0 t 时,点 A这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部如图 6 中,当点 A在 MN

18、上时,作 AK PQ 于 K由 AK MQ 可得: t,解得 t ,观察图象可知: t3 时,点 C这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部综上所述,满足条件的 t 的值为 0 t 或 t38如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 交于点 O, OA, OD 满足等式+( OA5) 2 0, AD13(1)求证:平行四边形 ABCD 是菱形;(2)过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E, DF 平分 BDE,请求出 DF 的长度解:(1) +( OA5) 20, OA5, OD12, OA2+OD25 2+122169, AD13, AD2169, OA2+OD

19、2 AD2, AOD90, AC BD,平行四边形 ABCD 是菱形;(2)过 F 作 FG BD 于 G, DE AC, AC BD, BD DE,即 BDE90, DF 平分 BDE, BDF45, FDG 为等腰直角三角形, DG FG,设 FG x,则 BG24 x, OC FG, BOC BGF, , , x , DF FG x 9四边形 ABCD 中, A C90, ABC60(1)如图 1,若 BE 平分 ABC 交 AD 于 E, DF 平分 ADC 交 BC 于 F,则 CFD 30 , BE 与 DF 的位置关系是 BE DF (2)如图 2,若 BE 是 ABC 外角的平

20、分线, DF 是 ADC 的外角平分线,判断 BE 与 DF的位置关系,并说明理由;(3)如图 3,点 P 在射线 CD 上运动, ABC 的角平分线与 APC 的外角平分线所在的直线相交于点 H,则 BHP 与 BAP 之间的数量关系是 BAP+2 BHP270或 BAP+902 BHP 解:(1) A C90, ABC60, ADC360 A C ABC120, BE 平分 ABC, DF 平 分 ADC, EBC ABC30, CDF ADC60 C90, CFD906030, CFD EBC, BE DF;故答案为:30, BE DF;(2) DF BE理由:如图 2,连接 BD, A

21、 C90, ABC+ ADC180, ABG+ ADH180, BE、 DF 分别平分 ABC、 ADC 的外角, ABE , ADF ADH, ABE+ ADF 90, A90, ABD+ ADB90, ABE+ ABD+ ADB+ ADF180,即 DBE+ BDF180, DF BE;(3)分两种情况:当 P 在边 CD 的延长线上时,满足 BAP+2 BHP270,理由是:如图 3,设 BHP x, EBC30, C90, BEC PEH60, PH 平分 APG,12, DAP21 ADP2 EPH602(120 x)601802 x, BAP90+1802 x, BAP+2 BHP

22、270;当 P 在边 CD 上时,如图 4,满足 BAP+902 BHP,理由是:设 BHP x, PH 平分 APE, APH EPH, PEH 中, BHP BEC+ HPE, HPE x60, DAP ADE2 HPE602( x60)1802 x, BAP90(1802 x)2 x90, BAP+902 BHP;故答案为: BAP+2 BHP270或 BAP+902 BHP10如图,矩形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O,过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E(1)求证: BD BE;(2)若 BE10, CE6,连接 OE,求 ODE 的面积(1)证明:

23、四边形 ABCD 是矩形, AC BD, AB CD,又 BE AC,四边形 ABEC 是平行四边形, AC BE, BD BE;(2)解:过点 O 作 OF CD 于点 F,由(1)知:四边形 ABEC 为平行四边形, AC BE, BE BD10, BCD BCE, CD CE6,四边形 ABCD 是矩形, DO OB, BCD90, OF CD, OF BC, CF DF CD3, EF6+39,在 Rt BCE 中,由勾股定理可得 BC8, OB OD, OF 为 BCD 的中位线, OF BC4 ODE 的面积为 DEOF 1242411如图,矩形 ABCD,延长 CD 到点 E,使

24、得 DE CD,连接 AE, BD(1)求证:四边形 ABDE 是平行四边形;(2)若 tan DBC , CD6,求 ABDE 的面积(1)证明:四边形 ABCD 是矩形, AB CD, AB CD,延长 CD 到 E, DE CD, AB DE, AB DE四边形 ABDE 是平行四边形;(2)解:四边形 ABCD 是矩形, ABC90tan DBC , CD6, BC8,四边形 ABCD 是矩形, AD BC, AD BC, ADE90, SABDE S 矩形 ABCD CDBC684812在四边形 ABCD 中, AB DC, AB AD,对角线 AC, BD 交于点 O, AC 平分

25、 BAD,过点 C作 CE DB 交 AB 的延长线于点 E,连接 OE(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;(2)若 DAB60,且 AB4,求 OE 的长证明:(1) AB DC, CAB ACD AC 平分 BAD, CAB CAD CAD ACD, DA DC AB AD, AB DC四边形 ABCD 是平行四边形 AB AD,四边形 ABCD 是菱形;(2)四边形 ABCD 是菱形, DAB60, OAB30, AOB90 AB4, OB2, AO OC2 CE DB,四边形 DBEC 是平行四边形 CE DB4, ACE90 13 (1)方法形成如图,在四边形 ABCD 中, AB

26、 DC,点 H 是 BC 的中点,连结 AH 并延长交 DC 的延长线于 M,则有 CM AB请说明理由;(2)方法迁移如图,在四边形 ABCD 中,点 H 是 BC 的中点, E 是 AD 上的点,且 ABE 和 DEC 都是等腰直角三角形, BAE EDC90请探究 AH 与 DH 之间的关系,并说明理由(3)拓展延伸在(2)的条件下,将 Rt DEC 绕点 E 旋转到图的位置,请判断(2)中的结论是否依然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请举例说明解:(1) AB CD, BAH CMH, B BCM, H 是 BC 的中点, BH HC, ABH MCH( AAS) , AB CM(

27、2)如图,延长 AH 交 DC 的延长线于 F, BAE EDC90, BAE+ EDC180, AB DF, BH HE,由(1)得 ABH FCH( AAS) AB CF, AH HF,由等腰 Rt ABE 和等腰 Rt DEC 得: AB AE CF, CD DE, AD DF, AH DH, AH DH(3)如图过点 C 作 CF AB 交 AH 的延长线于 F,连接 AD 和 DF设旋转角度为 ,则 AED DCF180,由(1) (2)得: AH HF, AB AE CF, CD DE, AED FCD( SSS) , AD DF, ADE FDC, ADF90, AH DH, A

28、H DH14如图,在平面直角坐标系中,四边形 AOBC 是正方形,点 P 为正方形 AOBC 对角线的交点,点 O(0,0) ,点 A(2,0)点 B(0,2)分别延长 PC 到 D, PA 到 F,使PD2 PC, PF2 PA,再以 PD, PF 为邻边作平行四边形 PDEF(1)求点 D 的坐标;(2)如图,将四边形 PDEF 绕点 P 逆时针旋转得四边形 PD E F,点 D, E, F 旋转后的对应点分别为 D, E, F,旋转角为(0360) ;在旋转过程中,当 PBD90时,求点 D的坐标;在旋转过程中,求 BE的取值范围(直接写出结果即可) 解:(1)过点 D 作 DH x 轴

29、于 H,如图所示:点 O(0,0) ,点 A(2,0) ,点 B(0,2) , OA OB2,正方形 AOBC 的边长为 2, AC2, AB OC, PC PA, PD2 PC, PF2 PA, PD PF,平行四边形 PDEF 是正方形,四边形 AOBC 是正方形,点 P 为正方形 AOBC 对角线的交点,来源:学,科,网 Z,X,X,K COA45, OP PC PB PA, OC 2 , OP PC PB PA , PD2 PC, OD OP+PD3 PC3 , COA45, DH x, OHD 是等腰直角三角形, OH DH OD 3 3,点 D 的坐标为(3,3) ;(2)过点 B

30、 作 PB l,则点 D 落在直线 l 上,如图所示:当 30时,在 Rt PBD中, PD2 PB, BD P30,过 D作 D K BC 于 K, PBD90, PBC45, D BK45,来源:学科网 BD K 是等腰直角三角形, BK DK BD,由勾股定理得: BD , BK DK BD ,点 D的坐标为( ,2+ ) ;当 150时,在 Rt PBD中, PD2 PB, BD P30,过 D作 D K BC 于 K, PBD90, PBC45, D BK45, BD K 是等腰直角三角形, BK DK BD,由勾股定理得: BD , BK DK BD ,点 D的坐标为( ,2 )

31、;综上所述,在旋转过程中,当 PBD90时,点 D的坐标为( ,2+ )或(,2 ) ;连接 PE,如图所示:由勾股定理得: PE PD4,当 PE与 PB 重合时, BE为最小值 PE PB4 ,当 PE与 PA 重合时, BE为最大值 PE+BPP4+ , BE的取值范围是 4 BE4+ 15如图 1,正方形 ABCD 中, AB5,点 E 为 BC 边上一动点,连接 AE,以 AE 为边,在线段 AE 右侧作正方形 AEFG,连接 CF、 DF设 BE x(当点 E 与点 B 重合时, x 的值为 0) ,DF y1, CF y2小明根据学习函数的经验,对函数 y1、 y2随自变量 x

32、的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程,请补充完整:(1)通过取点、画图、测量、观察、计算,得到了 x 与 y1、 y2的几组对应值;x 0 1 2 3 4 5y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点( x, y1) ,( x, y2) ,并画出函数 y1, y2的图象;(3)结合函数图象 2,解决问题:当 CDF 为等腰三角形时, BE 的长度约为 2.59 cm解:(1)补全表格如下:x 0 1 2 3 4 5y1 5.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07(2)函数图象如下:

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