1、 第 1 页（共 23 页） 平行四边形和特殊平行四边形培优题平行四边形和特殊平行四边形培优题 一解答题（共一解答题（共 12 小题）小题） 1如图，在矩形 ABCD 中，AB3cm，BC6cm点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都 是 1cm/s连接 PQ、AQ、CP设点 P、Q 运动的时间为 ts （1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形，请说明理由； （2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形，请说明理由； （3） 直接写出 （2） 中菱形 AQCP 的周长和面积，
2、周长是 cm， 面积是 cm2 2 （1）尝试探究： 如图 1，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于 F 求证：CDECBF； 过点 C 作ECF 的平分线交 AB 于 P，连接 PE，请探究 PE 与 PF 的数量关系，并证 明你的结论 （2）拓展应用： 如图 2，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于 F， 连接 EF 交 DB 于 M， 连接 CM 并延长 CM 交 AB 于 P， 已知 AB6， DE2， 求 PB 的长 第 2 页（共 23 页） 3在矩形 ABCD 中，AD16
3、cm，AB6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每 秒 3cm 的速度向 D 点移动， 一直达到 D 点为止， 点 Q 以每秒 2cm 的速度向 B 点移动 当 其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动 （1）P、Q 两点出发 2 秒时，求线段 PQ 的长度； （2）P、Q 两点出发几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2？ 4如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合） ，将射线 AE 绕点 A 按逆时针方向旋转 45后交 CD 边于点 F，AE、AF 分别交 BD 于 G、H 两点 （1）当BEA55时，求HAD 的度数；
4、 （2）设BEA，试用含 的代数式表示DFA 的大小； （3）点 E 运动的过程中，试探究BEA 与FEA 有怎样的数量关系，并说明理由 第 3 页（共 23 页） 5 （1）如图 1，已知正方形 ABCD，点 E 在 BC 上，点 F 在 DC 上，且EAF45，则有 BE+DF 若 AB4，则CEF 的周长为 （2）如图 2，四边形 ABCD 中，BADC90，ABAD，点 E，F 分别在 BC， CD 上，且EAF45，试判断 BE，EF，DF 之间的数量关系，并说明理由 6如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（与 C，D 不重合） ，以 CG 为一边在正方
5、形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE （1）猜想图 1 中线段 BG，DE 的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明） ； （2）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度 ；得到 图 2，图 3请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选 取图 2 证明你的判断 第 4 页（共 23 页） 7如图，在 RtABC 中，B90，AC60cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方 向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动， 同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向 点 B 匀速运动，当其中一个点
6、到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动 的时间是 t 秒（0t15） 过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 8已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分DBC 交 DC 于点 E， 延长 BC 到点 F，使 CFCE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G （1）求证：BCEDCF； （2）求 CF 的长； （3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BHCF，若
7、以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐 标系，问在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由 第 5 页（共 23 页） 9如图，把EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD，AC 上， 已知 EPFP6，EF6，BAD60，且 AB6 （1）求EPF 的大小； （2）若 AP8，求 AE+AF 的值 10（1） 如图 1， 在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点， 且 DFBE 求 证：CECF； （2）如图
8、2，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点， 如果GCE45， 请你利用（1）的结论证明：GEBE+GD （3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B90，ABBC，E 是 AB 上 一点，且DCE45，BE4，DE10，求直角梯形 ABCD 的面积 第 6 页（共 23 页） 11如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、DC 上的点，且 AFBE （1）求证：AFBE； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的
9、点， 且 MPNQMP 与 NQ 是否相等？并说明理由 12如图，ABD、BCE、ACF 均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明） （1）四边形 ADEF 是什么四边形？ （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？ （3）当ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？ 第 7 页（共 23 页） 平行四边形和特殊平行四边形平行四边形和特殊平行四边形培优题培优题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 12 小题）小题） 1如图，在矩形 ABCD 中，AB3cm，BC6cm点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 即停止
10、；同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都 是 1cm/s连接 PQ、AQ、CP设点 P、Q 运动的时间为 ts （1）当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形，请说明理由； （2）当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形，请说明理由； （3）直接写出（2）中菱形 AQCP 的周长和面积，周长是 15 cm，面积是 cm2 【解答】解： （1）由题意得，BQDPt，则 APCQ6t， 四边形 ABCD 是矩形， B90，ADBC， 当 BQAP 时，四边形 ABQP 为矩形， t6t， 解得，t3， 故当 t3 时，四边形 ABQP 为矩形；
11、（2）由（1）可知，四边形 AQCP 为平行四边形， 当 AQCQ 时，四边形 AQCP 为菱形， 即6t 时，四边形 AQCP 为菱形， 解得，t， 故当 t时，四边形 AQCP 为菱形； （3）当 t时，CQ6t， 菱形 AQCP 的周长为：4CQ415， 第 8 页（共 23 页） 菱形 AQCP 的面积为：CQAB3， 故答案为：15； 2 （1）尝试探究： 如图 1，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于 F 求证：CDECBF； 过点 C 作ECF 的平分线交 AB 于 P，连接 PE，请探究 PE 与 PF 的数量关系，并证 明
12、你的结论 （2）拓展应用： 如图 2，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的一点，过点 C 作 CFCE，交 AB 的延长线于 F， 连接 EF 交 DB 于 M， 连接 CM 并延长 CM 交 AB 于 P， 已知 AB6， DE2， 求 PB 的长 【解答】 解： （1） 如图 1 中， 在正方形 ABCD 中， DCBC， DABCDCB90， CBF180ABC90， CFCE， ECF90， DCBECF90 DCEBCF， CDECBF（ASA） （2）结论：PEPF 理由：如图 1 中，CDECBF， CECF， PCPC，PCEPCF， PCEPCF（SAS） ， PEPF
13、第 9 页（共 23 页） （3）如图 2 中，作 EHAD 交 BD 于 H，连接 PE 四边形 ABCD 是正方形， ABAD6，A90，EDH45， EHAD， DEHA90， EHAF，DEEH2， CDECBF， DEBF2， EHBF， EHMMBF，EMHFMB， EMHFMB（AAS） ， EMFM， CECF， PC 垂直平分线段 EF， PEPF，设 PBx，则 PEPFx+2，PA6x， 在 RtAPE 中，则有（x+2）242+（6x）2， x3， PB3 3在矩形 ABCD 中，AD16cm，AB6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每 秒 3cm
14、 的速度向 D 点移动， 一直达到 D 点为止， 点 Q 以每秒 2cm 的速度向 B 点移动 当 其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动 （1）P、Q 两点出发 2 秒时，求线段 PQ 的长度； （2）P、Q 两点出发几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2？ 第 10 页（共 23 页） 【解答】解： （1）如图，过点 P 作 PMBC 于 M， 根据题意知，PMAB6cm，APBM6cm，CQ4cm， 所以 MQ16646（cm） 在直角PMQ 中，由勾股定理知：PQ6（cm） ， 答：线段 PQ 的长度是 6cm； （2）设 P、Q 两点出发后 x 秒时，四边形 PBCQ 的面
15、积为 36cm2，由题意得： （163x）+2x636， 解得：x4 答：P、Q 两点出发后 4 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 36cm2 4如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合） ，将射线 AE 绕点 A 按逆时针方向旋转 45后交 CD 边于点 F，AE、AF 分别交 BD 于 G、H 两点 （1）当BEA55时，求HAD 的度数； （2）设BEA，试用含 的代数式表示DFA 的大小； （3）点 E 运动的过程中，试探究BEA 与FEA 有怎样的数量关系，并说明理由 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， EBABAD90， 第
16、 11 页（共 23 页） EAB90BAE905535， HADBADEAFEAB90453510； （2）四边形 ABCD 是正方形， EBABADADF90， EAB90BAE90， DAFBADEAFEAB9045（90）45， DFA90DAF90（45）135； （3）BEAFEA，理由如下： 延长 CB 至 I，使 BIDF，连接 AI 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，ADFABC90， ABI90， 又BIDF， DAFBAI（SAS） ， AFAI，DAFBAI， EAIBAI+BAEDAF+BAE45EAF， 又AE 是EAI 与EAF 的公共边， EAIEAF（S
17、AS） ， BEAFEA 5 （1）如图 1，已知正方形 ABCD，点 E 在 BC 上，点 F 在 DC 上，且EAF45，则有 BE+DF EF 若 AB4，则CEF 的周长为 8 （2）如图 2，四边形 ABCD 中，BADC90，ABAD，点 E，F 分别在 BC， CD 上，且EAF45，试判断 BE，EF，DF 之间的数量关系，并说明理由 第 12 页（共 23 页） 【解答】解： （1）延长 EB 至 H，使 BHDF，连接 AH，如图 1， 在正方形 ABCD 中， ADFABH，ADAB， 在ADF 和ABH 中， ADFABH（SAS） ， BAHDAF，AFAH， FAH
18、90， EAFEAH45， 在FAE 和HAE 中， FAEHAE（SAS） ， EFHEBE+HB， EFBE+DF， CEF 的周长EF+CE+CFBE+CE+DF+CFBC+CD2AB8 故答案为：EF；8 （2）EFBE+DF，理由如下： 延长 CB 至 M，使 BMDF，连接 AM，如图 2， ABC+D180，ABC+ABM180， DABM， 在ABM 和ADF 中， ABMADF（SAS） ， AFAM，DAFBAM， 第 13 页（共 23 页） BADC90，EAF45， 即BAD2EAF， DAF+BAEEAF， EAB+BAMEAMEAF， 在FAE 和MAE 中， F
19、AEMAE（SAS） ， EFEMBE+BMBE+DF， 即 EFBE+DF 6如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点（与 C，D 不重合） ，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接 BG，DE （1）猜想图 1 中线段 BG，DE 的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明） ； （2）将图 1 中的正方形 CEFG 绕点 C 按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度 ；得到 图 2，图 3请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选 第 14 页（共 23 页） 取图 2 证明你的判断 【解答】 （1）解：BGDE，BGD
20、E； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形，四边形 CEFG 是正方形， BCCD，CECG，BCDECG90， BCD+DCGECG+DCG， 即BCGDCE， 在BCG 和DCE 中， ， BCGDCE（SAS） ， BGDE，CBGCDE， CBG+BHC90，BHCDHO（对顶角相等） ， CDE+DHO90， 在DHO 中，DOH180（CDE+DHO）1809090， BGDE 7如图，在 RtABC 中，B90，AC60cm，A60，点 D 从点 C 出发沿 CA 方 向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动， 同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向 点
21、 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动 的时间是 t 秒（0t15） 过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF （1）求证：AEDF； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值，如果不能，说明理由； （3）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由 【解答】 （1）证明：直角ABC 中，C90A30 CD4t，AE2t， 第 15 页（共 23 页） 又在直角CDF 中，C30， DFCD2t， DFAE； 解： （2）DFAB，DFAE， 四边形 AEFD 是平行四边形， 当 ADAE 时，四边形 AEFD
22、 是菱形， 即 604t2t， 解得：t10， 即当 t10 时，AEFD 是菱形； （3）当 t时DEF 是直角三角形（EDF90） ； 当 t12 时，DEF 是直角三角形（DEF90） 理由如下： 当EDF90时，DEBC ADEC30 AD2AE CD4t， DF2tAE， AD4t， 4t+4t60， t时，EDF90 当DEF90时，DEEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， ADEF， DEAD， ADE 是直角三角形，ADE90， A60， DEA30， 第 16 页（共 23 页） ADAE， ADACCD604t，AEDFCD2t， 604tt， 解得 t12 综上所述，
23、当 t时DEF 是直角三角形（EDF90） ；当 t12 时，DEF 是直 角三角形（DEF90） 8已知，如图 1，BD 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线，BE 平分DBC 交 DC 于点 E， 延长 BC 到点 F，使 CFCE，连接 DF，交 BE 的延长线于点 G （1）求证：BCEDCF； （2）求 CF 的长； （3）如图 2，在 AB 上取一点 H，且 BHCF，若以 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建立直角坐 标系，问在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由 【解
24、答】 （1）证明：如图 1， 在BCE 和DCF 中， ， BCEDCF（SAS） ； （2）证明：如图 1， BE 平分DBC，OD 是正方形 ABCD 的对角线， EBCDBC22.5， 由（1）知BCEDCF， 第 17 页（共 23 页） EBCFDC22.5（全等三角形的对应角相等） ； BGD90（三角形内角和定理） ， BGF90； 在DBG 和FBG 中， ， DBGFBG（ASA） ， BDBF，DGFG（全等三角形的对应边相等） ， BD， BF， CFBFBC1； （3）解：如图 2，CF1，BHCF BH1， 当 BHBP 时，则 BP1， PBC45， 设 P（x，x
25、） ， 2x2（1）2， 解得 x1或1+， P（1，1）或（1+，1+） ； 当 BHHP 时，则 HPPB1， ABD45， PBH 是等腰直角三角形， P（1，1） ； 当 PHPB 时，ABD45， PBH 是等腰直角三角形， P（，） ， 综上，在直线 BD 上是否存在点 P，使得以 B、H、P 为顶点的三角形为等腰三角形，所 有符合条件的 P 点坐标为 （1， 1） 、 （1+， 1+） 、 （1，1） 、 第 18 页（共 23 页） （，） 9如图，把EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，F，P 分别在线段 AB，AD，AC 上， 已知 EPFP6，EF6，BAD60
26、，且 AB6 （1）求EPF 的大小； （2）若 AP8，求 AE+AF 的值 【解答】解： （1）作 PGAB 于 G，PHAD 于 H，如图所示： 则PGEPHF90， 四边形 ABCD 是菱形， AC 平分BAD， PGPH， 在 RtPGE 和 RtPHF 中， RtPGERtPHF（HL） ， HPFGPE，GEHF， BAD60， GPH120， EPF120； （2）BAD60，AC 平分BAD， PAG30， PGAP4， AGPG4， AE+AFAG+GE+AHHF2AG8 第 19 页（共 23 页） 10（1） 如图 1， 在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点，
27、 F 是 AD 延长线上一点， 且 DFBE 求 证：CECF； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点， 如果GCE45， 请你利用（1）的结论证明：GEBE+GD （3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ADBC（BCAD） ，B90，ABBC，E 是 AB 上 一点，且DCE45，BE4，DE10，求直角梯形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BCCD，BCDF90， ADC90， FDC90 BFDC， BEDF， CBECDF（SAS） CEC
28、F （2）证明：如图 2，延长 AD 至 F，使 DFBE，连接 CF 由（1）知CBECDF， BCEDCF 第 20 页（共 23 页） BCE+ECDDCF+ECD， 即ECFBCD90， 又GCE45， GCFGCE45 CECF，GCGC， ECGFCG GEGF， GEGFDF+GDBE+GD （3）解：如图 3，过 C 作 CGAD，交 AD 延长线于 G 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， AB90， 又CGA90，ABBC， 四边形 ABCG 为正方形 AGBC（7 分） DCE45， 根据（1） （2）可知，EDBE+DG， 104+DG， 即 DG6 设 ABx，则
29、AEx4，ADx6， 在 RtAED 中， DE2AD2+AE2，即 102（x6）2+（x4）2 解这个方程，得：x12 或 x2（舍去） ， AB12 S梯形ABCD（AD+BC） AB（6+12）12108 即梯形 ABCD 的面积为 108 第 21 页（共 23 页） 11如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、DC 上的点，且 AFBE （1）求证：AFBE； （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点， 且 MPNQMP 与 NQ 是否相等？并说明理由 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABAD，
30、BAED90， DAF+BAF90， AFBE， ABE+BAF90， ABEDAF， 在ABE 和DAF 中， ， ABEDAF（ASA） ， AFBE； （2）解：MP 与 NQ 相等 理由如下：如图，过点 A 作 AFMP 交 CD 于 F，过点 B 作 BENQ 交 AD 于 E， ABCD，ADBC， 第 22 页（共 23 页） 四边形 AMPF 与四边形 BNQE 是平行四边形， AFPM，BENQ， 在正方形 ABCD 中，ABAD，BAED90， DAF+BAF90， AFBE， ABE+BAF90， ABEDAF， 在ABE 和DAF 中， ， ABEDAF（ASA） ，
31、AFBE； MPNQ 12如图，ABD、BCE、ACF 均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明） （1）四边形 ADEF 是什么四边形？ （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？ （3）当ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？ 【解答】解： （1）四边形 ADEF 是平行四边形， 第 23 页（共 23 页） 理由如下： ABD，BCE 都是等边三角形， DBEABC60ABE，ABBD，BCBE 在ABC 与DBE 中， ， ABCDBE（SAS） DEAC 又ACAF， DEAF 同理可得 EFAD 四边形 ADEF 是平行四边形 （2）四边形 ADEF 是平行四边形， 当DAF90时，四边形 ADEF 是矩形， FAD90 BAC360DAFDABFAC360906060150 则当BAC150时，四边形 ADEF 是矩形； （3）当ABC 满足角 A60时，四边形 ADEF 不存在 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2021/5/24 18:20:46； 用户：152681 02978；邮箱 ：15268102978 ；学号：2455 9962
