1、2019 届中考初三数学专题突破训练 ：四边形1如图，矩形 ABCD 对角线相交于 O 点， DE AC， CE BD，连接 BE（1）求证：四边形 OCED 是菱形；（2）若 AOD120， CD2，求 DE 和 tan DBE 的值来源:学科网 ZXXK解：（1） DE AC， CE BD，四边形 OCED 是平行四边形矩形 ABCD， OC OD， ）四边形 OCED 是菱形，（2） AOD120 COD60菱形 OCED OC CE ED DO OCD、 CDE 均为等边 OB OD DE CD2作 EF BD 交 BD 延长线于点 F， ODE60+60120 EDF60 DF1，
2、EF ，tan DBE 2如图，平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 DA， BC 的延长线于 E， F（1）求证： AE CF；（2）若 AE BC，试探究线段 OC 与线段 DF 之间的关系，并说明理由（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD BC， ADB C BD， O 是对角线 BD 的中点， OB OD，在 BOF 和 DOE 中， ， BOF DOE（ ASA） ， DE BF， DE AD BF BC， AE CF；（2）解： OC DF，且 OC DF，理由如下： AE BC， AE CF， CF BC
3、， OB OD， OC 是 BDF 的中位线， OC DF，且 OC DF3已知：如图，在 ABC 中， AB AC， AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，过点 B作 BF EC，交 AD 的延长线于点 F，连接 BE， CF（1）求证： BDF CDE；（2）当 ED 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 BECF 是正方形？请说明理由（1）证明： AD 是 BC 边上的中线， AB AC， BD CD， BF EC， DBF DCE， BDF CDE， BDF CDE（ ASA） ；（2）解：当 DE BC 时，四边形 BECF 是正方形，理由： BDF CDE， BF
4、CE， DE DF， BF CE，四边形 BECF 是平行四边形， AB AC， AD 是中线，四边形 BECF 是菱形， DE BC， DE DF EF， EF BC，四边形 BECF 是正方形4在正边形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点（不与点 A、 C 重合） ，以 AD、 AE 为邻边作平行四边形 AEGD， GE 交 CD 于点 M，连接 CG（1）如图 1，当 AE AC 时，过点 E 作 EF BE 交 CD 于点 F，连接 GF 并延长交 AC 于点 H求证： EB EF；判断 GH 与 AC 的位置关系，并证明（2）过点 A 作 AP直线 CG 于点 P，连接 BP
5、，若 BP10，当点 E 不与 AC 中点重合时，求 PA 与 PC 的数量关系（1）证明：四边形 ABCD 是正方形， ADC BCD90， CA 平分 BCD EF EB， BEF90证法一：如图 1，过点 E 作 EN BC 于点 N， ENB ENC90四边形 AEGD 是平行四边形， AD GE， EMF ADC90， EMC ENC90， EM EN， BEF MEN90， MEF BEN， EFM EBN（ ASA） ， EB EF证法二：如图 2，过点 E 作 EK AC 交 CD 延长线于点 K， KEC BEF90， BEC KEF，又 ECK BCD45， K45， K
6、ECK， EC EK， K ECB45， EBC EFK（ ASA） ， EB EF证法三：如图 3，连接 BF，取 BF 中点 O，连接 OE， OC BEF BCF90， OE BF OC，点 B， C， E， F 都在以 O 为圆心， OB 为半径的 O 上 ， BFE BCA45， EBF45 BFE， EB EF GH AC证明如下：四边形 ABCD 是正方形，四边形 AEGD 是平行四边形， AE DG， EG AD AB， AE DG， DGE DAC DCA45， GDC ACD45由（1）可知， GEF BEN， EF EB EN AB， ABE BEN GEF， EFG B
7、EA（ SAS） ， GF AE DG， GFD GDF45， CFH GFD45， FHC90， GF AC（2）解：过点 B 作 BQ BP，交直线 AP 于点 Q，取 AC 中点 O， PBQ ABC90 AP CG， APC90当点 E 在线段 AO 上时，如图 4，即 0 AE AC， PBQ ABP ABC ABP，即 QBA PBC ABC90， BCP+ BAP180 BAP+ BAQ180， BAQ BCP BA BC， BAQ BCP（ ASA） ， BQ BP10， AQ CP，在 Rt PBQ 中， PQ PA+PC PA+AQ PQ 当点 E 在线段 OC 上时，即
8、AC AE AC， PBQ QBC ABC QBC，即 QBA PBC ABC APC90， AKB CKP， BAQ BCP BA BC， BAQ BCP（ ASA） ， BQ BP10， AQ CP，在 Rt PBQ 中， PQ PA PC PA AQ PQ 综上所述，当点 E 在线段 AO 上时， PA+PC ；当点 E 在线段 OC 上时， PA PC5如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， CD BC， BC12 cm， CD8 cm， AD6 cm点 P 从点A 出发，沿 D A 方向匀速运动，速度为 3cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为
9、4cm/s过点 Q 作 QE AB 交 BC 于点 E，连接 PE，交 AB 于点 F设运动时间为 t（ s） （0 t2） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时， BE2 EC？（2）设五边形 AFEQD 的面积为 y（ cm2） ，求 y 与 t 的函数关系式；（3）连接 DE是否存在某一时刻 t，使点 F 在 DE 的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由解：（1）如图 1，过 D 作 DG AB，交 BC 于点 G， AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形， AD BG6， AB DG， CG BC BG6， QE AB， QE DG， ， ， EC3 t， BE
10、123 t， BE2 EC，123 t23 t，t ，当 t 为 s 时， BE2 EC；（2）如图 2，过点 F 作 HM BC，交 BC 于点 H，交 AD 为 M， MHB90， C90，来源:学*科*网 MHB C， MH CD， AD BC，四边形 MHCD 是矩形， MH CD8， HM AD， AD BC， PAF B， APF FEB， APF BEF， ，即 ，HF82 t， y S 五边形 AFEQD S 四边形 ABCD S EFB S ECQ， ，9 t2+24t+24， y 与 t 的函数关系式是： y9 t2+24t+24（0 t2） ；（3）存在，如图 3，过 E
11、 作 EN AD，垂足为 N，连接 DF，则 ND EC3 t， EN CD8， PN AD+AP DN6+3 t3 t6， PE 10， HF82 t， FM8（82 t）2 t， C90， AB DG 10， APF BEF， ， ， PF t， EF10 t， PF t， FM2 t， PM t， MD6+3 t t6+ t， FD2 MD2+FM2（6+ t） 2+（2 t） 2，若点 F 在 DE 的垂直平分线上，则 FE FD 时， FE2 FD2， ，t ，当 t s 时，点 F 在 DE 的垂直平分线上6如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AB BC， AD3， AB6
12、， DF DC 交 AB 于点 E，交 CB延长线于点 F（1）当点 E 为边 AB 的中点时（如图 1） ，求 BC 的长；（2）当点 E 在边 AB 上时（如图 2） ，连接 CE，求证： CD2 DE；（3）连接 AF（如图 2） ，当 AEF 的面积为 3 时，求 DCE 的面积解：（1）如图 1 中，来源:学科网 A D BC， AB BC， ABC A90， AE EB3， AD3， AD AE， AED ADE BEF F45， EF DE3 ， FB3， DF DC， FDC90， C F45， DF DC6 ， CF DC12， BC CF BF1239（2）如图 2 中，连
13、接 BD取 EC 的中点 O，连接 OD， OB EBC EDC90， EO OC， OD OE OC OB， E， B， C， D 四点共圆， DCE ABD，tan ABDtan DCE ， CD2 DE；（3）当 E 在边 AB 上时，如图 3，连接 AF设 AE x， FB y， EB m， S AEF AEFB3， xy6， AD FB， ， ， xy3 m，63 m， m2， EB2， AE4，在 Rt AED 中， DE5，在 Rt DEC 中，tan DCE ， DC10， S DEC DEDC 51025当点 E 在 AB 的延长线上时，如图 4，同法可得 AE8， DE ，
14、 CD2 DE2 ， S DEC DEDC73综上所述， DEC 的面积为 25 或 737如阁，在 ABC 中， ACB90， AC3， BC4，点 P 从点 A 出发，沿折线 AC BC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动，当点 P 不与点 A、 B 重合时，在边 A B 上取一点 Q，满足 PQA2 B，过点 Q 作 QM PQ，交边 BC 于点 M，以 PQ、 QM 为边作矩形PQMN，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长；（2）当矩形 PQMN 为正方形时，求 t 的值；（3）设矩形 PQMN 与 ABC 重叠部分图形的周长为 l，求
15、l 与 t 之间的函数关系式；（4）作点 A 关于直线 PQ 的对称点 A，作点 C 关于直线 PN 的对称点 C，当点A、 C这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部时，直接写出此时的 t 取值范围解：（1）如图 1 中当 0 t3 时，作 QH AC 于 H AHQ C90， AQH B， AQP2 B， AQH PQH， QH QH， QHA QHP90， QHA QHP（ ASA） ， AH PH t， QA PQ，在 Rt ABC 中， AC3， BC4， AB 5， QH BC， ， ， AQ t， PQ AQ t如图 2 中，当 3 t7 时，作 QK BC， AQP2 B B
16、+ QPB， QPB B， PQ QB， QK BC， PK BK （7 t） ， BKQ C90， QK AC， ， ， PQ BQ （7 t） （2）如图 1 中，当四边形 PQMN 是正方形时，作 QK BC 于 K PQM HQK90， HQP KQM， QHP QKM90， PQ QM， HQP KQM（ AAS） ， HQ QK， t3 t， t ，如图 2 中，四边形 PQMN 不可能是正方形，综上所述， t 时，四边形 PQMN 是正方形（3）如图 3 中，当 0 t3 时，重叠部分是四边形 PQMT由（1）可知： PQ t， CH KQ3 t， QH t，由 QHP QKM，
17、可得 ， ， QM t，由 QHP PCT， ， ， PT t，由 PCT MNT， ， ， MT t，四边形 PQMN 的周长 t+ t+ t+ t t+ 如图 4 中，当 3 t7 时，重叠部分是 PQM，由（1）可知： PQ （7 t） ， MQ PQ （7 t） ， PM （7 t） ， PQM 的周长 （7 t）+ （7 t）+ （7 t） （7 t） （4）如图 5 中，当点 C在线段 MQ 上时，作 CK PN 于 K由 PQ CK 可得： t （3 t） ，解得 t ，观察图象可知：当 0 t 时，点 A这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部如图 6 中，当点 A在 MN
18、上时，作 AK PQ 于 K由 AK MQ 可得： t，解得 t ，观察图象可知： t3 时，点 C这两个点中只有一个点在矩形 PQMN 内部综上所述，满足条件的 t 的值为 0 t 或 t38如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O， OA， OD 满足等式+（ OA5） 2 0， AD13（1）求证：平行四边形 ABCD 是菱形；（2）过点 D 作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E， DF 平分 BDE，请求出 DF 的长度解：（1） +（ OA5） 20， OA5， OD12， OA2+OD25 2+122169， AD13， AD2169， OA2+OD
19、2 AD2， AOD90， AC BD，平行四边形 ABCD 是菱形；（2）过 F 作 FG BD 于 G， DE AC， AC BD， BD DE，即 BDE90， DF 平分 BDE， BDF45， FDG 为等腰直角三角形， DG FG，设 FG x，则 BG24 x， OC FG， BOC BGF， ， ， x ， DF FG x 9四边形 ABCD 中， A C90， ABC60（1）如图 1，若 BE 平分 ABC 交 AD 于 E， DF 平分 ADC 交 BC 于 F，则 CFD 30 ， BE 与 DF 的位置关系是 BE DF （2）如图 2，若 BE 是 ABC 外角的平
20、分线， DF 是 ADC 的外角平分线，判断 BE 与 DF的位置关系，并说明理由；（3）如图 3，点 P 在射线 CD 上运动， ABC 的角平分线与 APC 的外角平分线所在的直线相交于点 H，则 BHP 与 BAP 之间的数量关系是 BAP+2 BHP270或 BAP+902 BHP 解：（1） A C90， ABC60， ADC360 A C ABC120， BE 平分 ABC， DF 平 分 ADC， EBC ABC30， CDF ADC60 C90， CFD906030， CFD EBC， BE DF；故答案为：30， BE DF；（2） DF BE理由：如图 2，连接 BD， A
21、 C90， ABC+ ADC180， ABG+ ADH180， BE、 DF 分别平分 ABC、 ADC 的外角， ABE ， ADF ADH， ABE+ ADF 90， A90， ABD+ ADB90， ABE+ ABD+ ADB+ ADF180，即 DBE+ BDF180， DF BE；（3）分两种情况：当 P 在边 CD 的延长线上时，满足 BAP+2 BHP270，理由是：如图 3，设 BHP x， EBC30， C90， BEC PEH60， PH 平分 APG，12， DAP21 ADP2 EPH602（120 x）601802 x， BAP90+1802 x， BAP+2 BHP
22、270；当 P 在边 CD 上时，如图 4，满足 BAP+902 BHP，理由是：设 BHP x， PH 平分 APE， APH EPH， PEH 中， BHP BEC+ HPE， HPE x60， DAP ADE2 HPE602（ x60）1802 x， BAP90（1802 x）2 x90， BAP+902 BHP；故答案为： BAP+2 BHP270或 BAP+902 BHP10如图，矩形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E（1）求证： BD BE；（2）若 BE10， CE6，连接 OE，求 ODE 的面积（1）证明：
23、四边形 ABCD 是矩形， AC BD， AB CD，又 BE AC，四边形 ABEC 是平行四边形， AC BE， BD BE；（2）解：过点 O 作 OF CD 于点 F，由（1）知：四边形 ABEC 为平行四边形， AC BE， BE BD10， BCD BCE， CD CE6，四边形 ABCD 是矩形， DO OB， BCD90， OF CD， OF BC， CF DF CD3， EF6+39，在 Rt BCE 中，由勾股定理可得 BC8， OB OD， OF 为 BCD 的中位线， OF BC4 ODE 的面积为 DEOF 1242411如图，矩形 ABCD，延长 CD 到点 E，使
24、得 DE CD，连接 AE， BD（1）求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）若 tan DBC ， CD6，求 ABDE 的面积（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， AB CD， AB CD，延长 CD 到 E， DE CD， AB DE， AB DE四边形 ABDE 是平行四边形；（2）解：四边形 ABCD 是矩形， ABC90tan DBC ， CD6， BC8，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， AD BC， ADE90， SABDE S 矩形 ABCD CDBC684812在四边形 ABCD 中， AB DC， AB AD，对角线 AC， BD 交于点 O， AC 平分
25、 BAD，过点 C作 CE DB 交 AB 的延长线于点 E，连接 OE（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；（2）若 DAB60，且 AB4，求 OE 的长证明：（1） AB DC， CAB ACD AC 平分 BAD， CAB CAD CAD ACD， DA DC AB AD， AB DC四边形 ABCD 是平行四边形 AB AD，四边形 ABCD 是菱形；（2）四边形 ABCD 是菱形， DAB60， OAB30， AOB90 AB4， OB2， AO OC2 CE DB，四边形 DBEC 是平行四边形 CE DB4， ACE90 13 （1）方法形成如图，在四边形 ABCD 中， AB
26、 DC，点 H 是 BC 的中点，连结 AH 并延长交 DC 的延长线于 M，则有 CM AB请说明理由；（2）方法迁移如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点， E 是 AD 上的点，且 ABE 和 DEC 都是等腰直角三角形， BAE EDC90请探究 AH 与 DH 之间的关系，并说明理由（3）拓展延伸在（2）的条件下，将 Rt DEC 绕点 E 旋转到图的位置，请判断（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明解：（1） AB CD， BAH CMH， B BCM， H 是 BC 的中点， BH HC， ABH MCH（ AAS） ， AB CM（
27、2）如图，延长 AH 交 DC 的延长线于 F， BAE EDC90， BAE+ EDC180， AB DF， BH HE，由（1）得 ABH FCH（ AAS） AB CF， AH HF，由等腰 Rt ABE 和等腰 Rt DEC 得： AB AE CF， CD DE， AD DF， AH DH， AH DH（3）如图过点 C 作 CF AB 交 AH 的延长线于 F，连接 AD 和 DF设旋转角度为 ，则 AED DCF180，由（1） （2）得： AH HF， AB AE CF， CD DE， AED FCD（ SSS） ， AD DF， ADE FDC， ADF90， AH DH， A
28、H DH14如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是正方形，点 P 为正方形 AOBC 对角线的交点，点 O（0，0） ，点 A（2，0）点 B（0，2）分别延长 PC 到 D， PA 到 F，使PD2 PC， PF2 PA，再以 PD， PF 为邻边作平行四边形 PDEF（1）求点 D 的坐标；（2）如图，将四边形 PDEF 绕点 P 逆时针旋转得四边形 PD E F，点 D， E， F 旋转后的对应点分别为 D， E， F，旋转角为（0360） ；在旋转过程中，当 PBD90时，求点 D的坐标；在旋转过程中，求 BE的取值范围（直接写出结果即可） 解：（1）过点 D 作 DH x 轴
29、于 H，如图所示：点 O（0，0） ，点 A（2，0） ，点 B（0，2） ， OA OB2，正方形 AOBC 的边长为 2， AC2， AB OC， PC PA， PD2 PC， PF2 PA， PD PF，平行四边形 PDEF 是正方形，四边形 AOBC 是正方形，点 P 为正方形 AOBC 对角线的交点，来源:学,科,网 Z,X,X,K COA45， OP PC PB PA， OC 2 ， OP PC PB PA ， PD2 PC， OD OP+PD3 PC3 ， COA45， DH x， OHD 是等腰直角三角形， OH DH OD 3 3，点 D 的坐标为（3，3） ；（2）过点 B
30、 作 PB l，则点 D 落在直线 l 上，如图所示：当 30时，在 Rt PBD中， PD2 PB， BD P30，过 D作 D K BC 于 K， PBD90， PBC45， D BK45，来源:学科网 BD K 是等腰直角三角形， BK DK BD，由勾股定理得： BD ， BK DK BD ，点 D的坐标为（ ，2+ ） ；当 150时，在 Rt PBD中， PD2 PB， BD P30，过 D作 D K BC 于 K， PBD90， PBC45， D BK45， BD K 是等腰直角三角形， BK DK BD，由勾股定理得： BD ， BK DK BD ，点 D的坐标为（ ，2 ）
31、；综上所述，在旋转过程中，当 PBD90时，点 D的坐标为（ ，2+ ）或（，2 ） ；连接 PE，如图所示：由勾股定理得： PE PD4，当 PE与 PB 重合时， BE为最小值 PE PB4 ，当 PE与 PA 重合时， BE为最大值 PE+BPP4+ ， BE的取值范围是 4 BE4+ 15如图 1，正方形 ABCD 中， AB5，点 E 为 BC 边上一动点，连接 AE，以 AE 为边，在线段 AE 右侧作正方形 AEFG，连接 CF、 DF设 BE x（当点 E 与点 B 重合时， x 的值为 0） ，DF y1， CF y2小明根据学习函数的经验，对函数 y1、 y2随自变量 x
32、的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了 x 与 y1、 y2的几组对应值；x 0 1 2 3 4 5y1 5.00 4.12 3.61 4.12 5.00y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ x， y1） ，（ x， y2） ，并画出函数 y1， y2的图象；（3）结合函数图象 2，解决问题：当 CDF 为等腰三角形时， BE 的长度约为 2.59 cm解：（1）补全表格如下：x 0 1 2 3 4 5y1 5.0 4.12 3.61 3.61 4.12 5.00y2 0 1.41 2.83 4.24 5.65 7.07（2）函数图象如下：