1、微信公众号：数学那玩意（ID：SXNWY0618）数 学 参 考 答 案 第 卷 ( 选 择 题 共 4 0 分 ) 一 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 0 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 . 1 . D 2 . B 3 . A 4 . C 5 . B 6 . C 7 . C 8 . A 9 . D 1 0 . C 8 . A 解 析 ： 因 为 1 0 l n x x x ， 所 以 2 2 1 3 3 n n l n ， 故 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 n
2、 n T l n l n l n ， 2 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 1 3 n n ， 即 2 n S ， 综 上 ， 2 m , 即 2 m i n m . 9 . D 解 析 ： 令 2 4 4 5 t x x , ， 即 2 2 1 f x h t t a t a a a ， 2 2 2 2 1 2 2 f x x a a , a ， 故 2 2 2 1 m i n f x m i n a a , a a a ， ( I ) 当 2 0 a a ， 即 0 a 或 1 a 时 ， 因 为 2 m i n f x a a ， 故 2 1 2 a a a ， 得 1
3、 5 1 5 2 2 a ， 故 1 5 0 2 a ， 当 2 t a , a 时 ， 存 在 0 0 4 5 t , ， 使 得 2 0 m i n f t a a f x ，所 以 1 5 0 2 a . ( I I ) 当 2 0 a a ， 即 1 0 a 时 ， 因 为 1 0 f x ， 2 m i n f x a a ， 所 以 2 2 2 1 m i n m i n f x f x a a a ， 即 1 5 2 a ， 综 上 ， 1 5 0 2 a 或 1 5 2 a . 1 0 . C 解 析 ： 由 2 B P B A B C 知 ， 点 P 在 以 B 为 球 心
4、， 半 径 为 2 的 球 面 上( 除 A ， C 外) ， 又 由 P D P A 知 ， 点 P 在 线 段 A D 的 中 垂 面 上 ， 故 对 每 一 确 定 的 点 D ， 点 P 的 轨 迹 是 圆( 除 与 平 面 A B C 的 交 点). 设 球 B 的 半 径 是 2 R ， 圆 的 半 径 为 r ， 因 为 A D 的 中 垂 面 面 A B C ， 所 以 中 垂 面 在 面 A B C 上 的 投 影 是 直 线 M N ， 故 球 心 B 到 平 面 的 距 离 等 价 于 点 B 到 直 线 M N 的 距 离 ， 设 0 3 A N x x ， 则 2 2
5、 3 x B T ， 故 3 2 s i n 2 3 3 2 3 x B M B T x ， 所 以 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 r M P B P B M R x x ， 故 点 P 到 平 面 A B C 距 离 为 c o s r ( 为 M P 与 平 面 A B C 的 法 向 量 间 的 夹 角) ； 又 因 为 1 = 3 s i n 3 2 6 B C D A B C A C D S S S A D A B x ， 所 以 2 1 1 c os 3 4 3 c os 3 3 P B C D B C D V S r x x ，令 3 0 3 t x ， ， 故 2 2
6、 2 1 1 = 4 c os 4 c os 3 3 V t t t t , 故 2 0 3 V ， . 第 卷 ( 非 选 择 题 共 1 1 0 分 ) 二 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 选 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 3 6 分 . 1 1 . 2 2 9 x y ; 3 x 或 3 4 1 5 0 x y 1 2 . 1 ； i 1 3 . 1 2 ； 5 2 1 4 . 1 7 4 ； 8 2 1 5 . 3 0 7 2 1 6 . 6 6 6 1 7 . 3 , 7 1 7 . 3 , 7 解 析 ： 因 为 1 a ， 2 b
7、 ， 1 a b ， 所 以 3 a , b ， 设 O A a ， O B b ， O C c ， 1 2 O D a ， 即 1 0 A ， ， 1 3 B ， ， 1 0 2 D ， ， 点 C 在 单 位 圆 2 2 1 x y 上 ， 因 为 1 1 1 1 2 2 2 2 c a c b O C O D O C O D D C B C ， 设 1 2 D C E C ， C x , y ， E m , n ， 即 2 2 2 2 1 1 2 2 x y x m y n ， 故 2 0 E , ， 所 以 1 1 1 2 2 2 M c a c b E C B C , 如 图 ， (
8、 I ) 当 B ， E ， C 三 点 共 线 ， 即 点 C 在 1 C 处 时 ， 取 最 小 值 . 因 为 1 1 1 1 = 3 2 2 2 2 M c a c b E C B C B E ， 所 以 3 m i n M ，( I I ) 当 C 位 于 2 C 处 时 ， 取 最 大 值 ， 2 2 1 = + = 7 2 M E C C B ， 因 为 2 2 2 2 2 2 1 2 = 2 4 2 3 28 E C B C C C E B ， 即 2 2 1 4 E C B C ， 所 以 2 2 + 7 2 2 E C B C E C B C ， 当 且 仅 当 = E C
9、 B C 取 等 号 ， 综 上 ， 1 1 3 7 2 2 c a c b ， . 三 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 7 4 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 1 8 . ( 本 题 满 分 1 4 分 ) 解 ： ( 1 ) 由 题 意 ， 得 3 A , T , 2 , 故 3 s i n 2 f x x ， 3 分 又 f x 是 偶 函 数 ， 即 0 2 k ， 故 2 ， 所 以 3 c o s 2 f x x 5 分 令 2 2 2 k x k ， 所 以 f x 的 单 调 递 减 区 间 为 2 k
10、 k k Z . 7 分 ( 2 ) 因 为 3 2 3 2 8 8 4 g x f x c os x c os x ， 9 分 令 3 2 4 4 4 t x , ， 1 1 分 则 3 2 3 3 2 2 2 y c os t , ， 1 3 分 所 以 ， 函 数 g x 的 值 域 是 3 2 3 2 2 2 , . 1 4 分 1 9 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 法 一 . ( 1 ) 延 长 1 A A ， 1 B B , 1 C C , 1 D D 交 于 点 P , 连 结 1 B C , 1 B A , 1 B O , 因 为 B C B A , 1 1 B B A
11、B B C , 1 1 B B B B ,故 1 B B C 1 B B A , 即 1 1 B A B C , 所 以 1 B O A C , 3 分 又 因 为 菱 形 A B C D , 即 A O O C , A C B D , 5 分 又 因 为 1 B O B D O , 所 以 A C 平 面 1 1 B D D B . 7 分 ( 2 ) 过 点 D 作 D G A B 于 G ， 即 = 3 D G ， 连 结 P G ， 因 为 1 1 = 2 2 C D C D ， 1 1 C D / / C D ， 即 1 C 是 P C 的 中 点 ， 1 B 是 P B 的 中 点
12、 ， 故 1 D E / / P C , 1 2 = 4 P B B B ， 所 以 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 ， 即 为 P C 与 平 面 P A B 所 成 的 角 ， 9 分 又 因 为 2 3 B D ， 6 P B D , 4 P B 所 以 P D B D , 因 为 A C 平 面 P B D ， 所 以 面 A B C D 平 面 P B D ， 所 以 P D 平 面 A B C D , 1 1 分 故 2 2 2 2 P C P D D C , 2 2 7 P G P D D G , 所 以 1 7 2 A B P S A B
13、 P G , 所 以 1 s i n 3 2 A B C S B A B C A B C , 设 点 C 到 平 面 P A B 的 距 离 是 h ， 故 1 2 2 1 3 1 1 7 7 3 3 A B C P A B C A B P S P D V h S , 1 3 分 即 2 2 1 1 4 2 s i n 7 1 4 2 2 h P C ，所 以 ， 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 2 1 4 . 1 5 分 法 二 . 取 B C 中 点 F ， 连 结 E F ， 1 B F , 作 O H A B 于 H ， 连
14、结 1 B H , ( 酌 情 给 分 ) 因 为 1 1 E F / / B D , 1 1 E F B D , 所 以 四 边 形 1 1 B F E D 是 平 行 四 边 形 ， 即 1 1 B F / / D E ， 所 以 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 ， 即 为 1 B F 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 ， 9 分 因 为 1 2 B B ， 3 B O ， 1 6 B B D ， 所 以 1 B O B O , 又 因 为 A B C D 平 面 1 1 B D D B ， 所 以 1 B O 平 面 A B C
15、D ， 因 为 O H A B ， 所 以 1 B H A B , 1 1 分 因 为 1 1 F B A B B F A B V V , 1 3 2 3 2 F A B S B A B F s i n ， 1 1 1 1 7 7 2 2 2 2 2 B A B S A B B H ， 所 以 ， 点 F 到 平 面 1 A B B 的 距 离 1 1 1 3 1 7 3 B F A B F A B B A B B A B V S d S S ，即 3 7 d ， 1 3 分 又 因 为 2 2 2 2 1 1 1 1 2 B E O F B O , 1 3 3 4 2 1 4 2 7 1 4
16、 d s i n B E , 所 以 ， 直 线 1 B F 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 42 14 . 1 5 分 法 三 . 以 1 , , O B O C O B 分 别 为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z ， 则 ( 3 , 0 , 0) B ， ( 0 , 1 , 0 ) A ， 1 ( 0 , 0 , 1 ) B ， 1 ( 3 , 0 , 1 ) D ， 3 1 ( , , 0 ) 2 2 E . 9 分 设 平 面 1 1 A B B A 的 的 法 向 量 为 ( , , )
17、n x y z ， 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 为 ， 则 1 3 0 0 n A B x y n A B y z ， 令 1 x ， 则 3 y ， 3 z . 1 2 分 又 1 3 1 ( , , 1 ) 2 2 D E ， 因 此 1 3 1 | 1 ( 3 ) 3 ( 1 ) | 42 2 2 s i n | c os , | 14 7 2 D E n . 1 4 分 所 以 ， 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 2 1 4 . 1 5 分 2 0 . ( 本 大 题 1 5 分 ) ( 1 )
18、 证 ： 因 为 2 1 1 3 n n n n b b b b ，即 2 1 1 1 3 n n n n b b b b ， 2 分 又 2 1 2 0 3 b b ， 4 分 故 数 列 1 n n b b 是 以 2 3 为 首 项 ， 1 3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 5 分 ( 2 ) 因 为 1 1 2 1 2 3 3 3 n n n n b b ， 当 2 n 时 ， 1 1 2 2 1 1 n n n n n b b b b b b b b 2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 n 1 1 , 3 n 当 1 n 时 ， 1 1 b 满 足 上 式 所 以 1 1
19、3 n n b ， 8 分 当 2 n 时 ， 1 2 1 n n n a S S n ， 当 1 n 时 ， 1 1 1 a S ， 所 以 ， 2 1 n a n . 1 0 分 ( 3 ) 因 为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 n n n n n n n c b a a n n 1 3 1 1 4 2 1 2 1 3 n n n 1 1 1 1 4 2 1 3 2 1 3 n n n n 1 3 分 所以 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 3 3 3 3 5 3 2 1 3 2 1 3 n n n T n n 1 1 1 1 4 2 1 3 4 n n ， 综
20、 上 ， 1 4 n T . 1 5 分 2 1 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 解 ： ( 1 ) 设 过 点 P 的 直 线 方 程 为 y k x m ，由 2 2 1 2 y k x m x y ， 得 2 2 2 2 1 + 4 2 1 0 k x k m x m ， 所 以 2 2 2 2 2 2 1 6 8 2 1 1 8 2 1 0 k m k m k m ， 即 2 2 2 1 m k ， 3 分 所 以 2 2 2 2 1 k m k x k m ， 即 切 点 坐 标 为 2 1 , k m m ， 故 1 1 1 2 1 , k A m m ， 5 分 即 1 1
21、1 1 1 2 1 k x m y m ， 故 1 1 1 1 1 2 2 x m x k y ， 所 以 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 1 1 2 x y x x y y ， 综 上 ， 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 2 2 0 x x y y . 7 分 ( 2 ) 因 为 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 2 2 0 x x y y ， 同 理 ， 切 线 P B 的 切 线 的 方 程 为 2 2 2 2 0 x x y y ， 因 为 0 0 , P x y 是 直 线 P A 与 P B 的 交 点 ， 即 0 1 0 1 0 2 0 2 2 2 0 2
22、2 0 x x y y x x y y ， 所 以 ， 直 线 A B 的 方 程 为 0 0 2 2 0 x x y y ， 9 分 即 ， 直 线 A B 的 方 程 为 0 0 0 1 2 x y x y y ， 令 0 0 0 2 x k y ， 0 0 1 m y ，所 以 2 2 0 0 2 0 2 0 8 2 1 1 + 2 1 k m A B k k ， 1 0 分 0 0 0 0 2 0 1 k x y m d k ， 1 1 分 又 因 为 2 0 0 2 x y ， 故 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 8 2 1 1 1 + 2 2 1 1 P A
23、 B k m k x y m S A B d k k k 3 2 0 0 2 2 0 0 2 4 2 2 y y y y ， 1 3 分 令 2 0 0 2 2 8 , 3 4 3 4 , t y y ， 所 以 3 2 2 t f t t ， 则 2 3 2 4 0 t t f t t ， 故 f t 单 调 递 增 ， 所 以 3 m i n 6 8 6 4 f t f ， 综 上 ， m i n 3 6 4 P A B S . 1 5 分 2 2 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 解 ： ( 1 ) 因 为 2 + x a x b f x x ， 又 因 为 y a x 是 曲 线 的
24、 切 线 即 2 0 0 0 + x a x b a x ， 故 2 0 b x ， 2 分 因 为 2 0 0 0 0 1 l n 2 y x a b x a x ， 即 2 2 2 0 0 0 0 2 l n 2 l n 1 0 a x b x x x ， 故 0 x e ， 4 分 所 以 2 4 0 0 0 1 2 l n a b x x g x ，即 3 0 0 0 2 1 4 l n 0 g x x x ， 所 以 0 g x 单 调 递 减 ， 6 分 故 0 m a x 0 g x g e ， 综 上 ， 2 a b 的 最 大 值 是 0 . 7 分 ( 2 ) 因 为 2
25、x ax b f x x ， 所 以 1 x ， 2 x 是 2 0 x a x b 的 两 根 ， 即 1 2 1 2 + 1 x x a x x ， 9 分 故 2 2 1 a x x ， 所 以 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x a l n x f x x l n x x x x ， 1 1 分 因 为 2 2 4 1 2 a a x ， 令 2 2 2 2 1 2 g x x l n x x ， 即 2 2 2 1 1 2 g x l n x x 单 调 递 增 ， 且 2 1 0 g x g ， 1 3 分 所 以 2 g x 在 1 , 单 调 递 增 ， 故 2 1 1 2 g x g ， 综 上 ， 2 1 f x x 的 取 值 范 围 是 1 2 , . 1 5 分
