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浙江省宁波“十校”2019年5月高三适应性考试数学试卷含答案(扫描版)

1、微信公众号:数学那玩意(ID:SXNWY0618)数 学 参 考 答 案 第 卷 ( 选 择 题 共 4 0 分 ) 一 选 择 题 : 本 大 题 共 1 0 小 题 , 每 小 题 4 分 , 共 4 0 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 . 1 . D 2 . B 3 . A 4 . C 5 . B 6 . C 7 . C 8 . A 9 . D 1 0 . C 8 . A 解 析 : 因 为 1 0 l n x x x , 所 以 2 2 1 3 3 n n l n , 故 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 n

2、 n T l n l n l n , 2 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 1 3 n n , 即 2 n S , 综 上 , 2 m , 即 2 m i n m . 9 . D 解 析 : 令 2 4 4 5 t x x , , 即 2 2 1 f x h t t a t a a a , 2 2 2 2 1 2 2 f x x a a , a , 故 2 2 2 1 m i n f x m i n a a , a a a , ( I ) 当 2 0 a a , 即 0 a 或 1 a 时 , 因 为 2 m i n f x a a , 故 2 1 2 a a a , 得 1

3、 5 1 5 2 2 a , 故 1 5 0 2 a , 当 2 t a , a 时 , 存 在 0 0 4 5 t , , 使 得 2 0 m i n f t a a f x ,所 以 1 5 0 2 a . ( I I ) 当 2 0 a a , 即 1 0 a 时 , 因 为 1 0 f x , 2 m i n f x a a , 所 以 2 2 2 1 m i n m i n f x f x a a a , 即 1 5 2 a , 综 上 , 1 5 0 2 a 或 1 5 2 a . 1 0 . C 解 析 : 由 2 B P B A B C 知 , 点 P 在 以 B 为 球 心

4、, 半 径 为 2 的 球 面 上( 除 A , C 外) , 又 由 P D P A 知 , 点 P 在 线 段 A D 的 中 垂 面 上 , 故 对 每 一 确 定 的 点 D , 点 P 的 轨 迹 是 圆( 除 与 平 面 A B C 的 交 点). 设 球 B 的 半 径 是 2 R , 圆 的 半 径 为 r , 因 为 A D 的 中 垂 面 面 A B C , 所 以 中 垂 面 在 面 A B C 上 的 投 影 是 直 线 M N , 故 球 心 B 到 平 面 的 距 离 等 价 于 点 B 到 直 线 M N 的 距 离 , 设 0 3 A N x x , 则 2 2

5、 3 x B T , 故 3 2 s i n 2 3 3 2 3 x B M B T x , 所 以 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 r M P B P B M R x x , 故 点 P 到 平 面 A B C 距 离 为 c o s r ( 为 M P 与 平 面 A B C 的 法 向 量 间 的 夹 角) ; 又 因 为 1 = 3 s i n 3 2 6 B C D A B C A C D S S S A D A B x , 所 以 2 1 1 c os 3 4 3 c os 3 3 P B C D B C D V S r x x ,令 3 0 3 t x , , 故 2 2

6、 2 1 1 = 4 c os 4 c os 3 3 V t t t t , 故 2 0 3 V , . 第 卷 ( 非 选 择 题 共 1 1 0 分 ) 二 填 空 题 : 本 大 题 共 7 小 题 , 多 选 题 每 题 6 分 , 单 空 题 每 题 4 分 , 共 3 6 分 . 1 1 . 2 2 9 x y ; 3 x 或 3 4 1 5 0 x y 1 2 . 1 ; i 1 3 . 1 2 ; 5 2 1 4 . 1 7 4 ; 8 2 1 5 . 3 0 7 2 1 6 . 6 6 6 1 7 . 3 , 7 1 7 . 3 , 7 解 析 : 因 为 1 a , 2 b

7、 , 1 a b , 所 以 3 a , b , 设 O A a , O B b , O C c , 1 2 O D a , 即 1 0 A , , 1 3 B , , 1 0 2 D , , 点 C 在 单 位 圆 2 2 1 x y 上 , 因 为 1 1 1 1 2 2 2 2 c a c b O C O D O C O D D C B C , 设 1 2 D C E C , C x , y , E m , n , 即 2 2 2 2 1 1 2 2 x y x m y n , 故 2 0 E , , 所 以 1 1 1 2 2 2 M c a c b E C B C , 如 图 , (

8、 I ) 当 B , E , C 三 点 共 线 , 即 点 C 在 1 C 处 时 , 取 最 小 值 . 因 为 1 1 1 1 = 3 2 2 2 2 M c a c b E C B C B E , 所 以 3 m i n M ,( I I ) 当 C 位 于 2 C 处 时 , 取 最 大 值 , 2 2 1 = + = 7 2 M E C C B , 因 为 2 2 2 2 2 2 1 2 = 2 4 2 3 28 E C B C C C E B , 即 2 2 1 4 E C B C , 所 以 2 2 + 7 2 2 E C B C E C B C , 当 且 仅 当 = E C

9、 B C 取 等 号 , 综 上 , 1 1 3 7 2 2 c a c b , . 三 解 答 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 共 7 4 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 1 8 . ( 本 题 满 分 1 4 分 ) 解 : ( 1 ) 由 题 意 , 得 3 A , T , 2 , 故 3 s i n 2 f x x , 3 分 又 f x 是 偶 函 数 , 即 0 2 k , 故 2 , 所 以 3 c o s 2 f x x 5 分 令 2 2 2 k x k , 所 以 f x 的 单 调 递 减 区 间 为 2 k

10、 k k Z . 7 分 ( 2 ) 因 为 3 2 3 2 8 8 4 g x f x c os x c os x , 9 分 令 3 2 4 4 4 t x , , 1 1 分 则 3 2 3 3 2 2 2 y c os t , , 1 3 分 所 以 , 函 数 g x 的 值 域 是 3 2 3 2 2 2 , . 1 4 分 1 9 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 法 一 . ( 1 ) 延 长 1 A A , 1 B B , 1 C C , 1 D D 交 于 点 P , 连 结 1 B C , 1 B A , 1 B O , 因 为 B C B A , 1 1 B B A

11、B B C , 1 1 B B B B ,故 1 B B C 1 B B A , 即 1 1 B A B C , 所 以 1 B O A C , 3 分 又 因 为 菱 形 A B C D , 即 A O O C , A C B D , 5 分 又 因 为 1 B O B D O , 所 以 A C 平 面 1 1 B D D B . 7 分 ( 2 ) 过 点 D 作 D G A B 于 G , 即 = 3 D G , 连 结 P G , 因 为 1 1 = 2 2 C D C D , 1 1 C D / / C D , 即 1 C 是 P C 的 中 点 , 1 B 是 P B 的 中 点

12、 , 故 1 D E / / P C , 1 2 = 4 P B B B , 所 以 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 , 即 为 P C 与 平 面 P A B 所 成 的 角 , 9 分 又 因 为 2 3 B D , 6 P B D , 4 P B 所 以 P D B D , 因 为 A C 平 面 P B D , 所 以 面 A B C D 平 面 P B D , 所 以 P D 平 面 A B C D , 1 1 分 故 2 2 2 2 P C P D D C , 2 2 7 P G P D D G , 所 以 1 7 2 A B P S A B

13、 P G , 所 以 1 s i n 3 2 A B C S B A B C A B C , 设 点 C 到 平 面 P A B 的 距 离 是 h , 故 1 2 2 1 3 1 1 7 7 3 3 A B C P A B C A B P S P D V h S , 1 3 分 即 2 2 1 1 4 2 s i n 7 1 4 2 2 h P C ,所 以 , 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 2 1 4 . 1 5 分 法 二 . 取 B C 中 点 F , 连 结 E F , 1 B F , 作 O H A B 于 H , 连

14、结 1 B H , ( 酌 情 给 分 ) 因 为 1 1 E F / / B D , 1 1 E F B D , 所 以 四 边 形 1 1 B F E D 是 平 行 四 边 形 , 即 1 1 B F / / D E , 所 以 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 , 即 为 1 B F 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 的 角 , 9 分 因 为 1 2 B B , 3 B O , 1 6 B B D , 所 以 1 B O B O , 又 因 为 A B C D 平 面 1 1 B D D B , 所 以 1 B O 平 面 A B C

15、D , 因 为 O H A B , 所 以 1 B H A B , 1 1 分 因 为 1 1 F B A B B F A B V V , 1 3 2 3 2 F A B S B A B F s i n , 1 1 1 1 7 7 2 2 2 2 2 B A B S A B B H , 所 以 , 点 F 到 平 面 1 A B B 的 距 离 1 1 1 3 1 7 3 B F A B F A B B A B B A B V S d S S ,即 3 7 d , 1 3 分 又 因 为 2 2 2 2 1 1 1 1 2 B E O F B O , 1 3 3 4 2 1 4 2 7 1 4

16、 d s i n B E , 所 以 , 直 线 1 B F 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 42 14 . 1 5 分 法 三 . 以 1 , , O B O C O B 分 别 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z , 则 ( 3 , 0 , 0) B , ( 0 , 1 , 0 ) A , 1 ( 0 , 0 , 1 ) B , 1 ( 3 , 0 , 1 ) D , 3 1 ( , , 0 ) 2 2 E . 9 分 设 平 面 1 1 A B B A 的 的 法 向 量 为 ( , , )

17、n x y z , 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 为 , 则 1 3 0 0 n A B x y n A B y z , 令 1 x , 则 3 y , 3 z . 1 2 分 又 1 3 1 ( , , 1 ) 2 2 D E , 因 此 1 3 1 | 1 ( 3 ) 3 ( 1 ) | 42 2 2 s i n | c os , | 14 7 2 D E n . 1 4 分 所 以 , 直 线 1 D E 与 平 面 1 1 A B B A 所 成 角 的 正 弦 值 为 4 2 1 4 . 1 5 分 2 0 . ( 本 大 题 1 5 分 ) ( 1 )

18、 证 : 因 为 2 1 1 3 n n n n b b b b ,即 2 1 1 1 3 n n n n b b b b , 2 分 又 2 1 2 0 3 b b , 4 分 故 数 列 1 n n b b 是 以 2 3 为 首 项 , 1 3 为 公 比 的 等 比 数 列 . 5 分 ( 2 ) 因 为 1 1 2 1 2 3 3 3 n n n n b b , 当 2 n 时 , 1 1 2 2 1 1 n n n n n b b b b b b b b 2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 n 1 1 , 3 n 当 1 n 时 , 1 1 b 满 足 上 式 所 以 1 1

19、3 n n b , 8 分 当 2 n 时 , 1 2 1 n n n a S S n , 当 1 n 时 , 1 1 1 a S , 所 以 , 2 1 n a n . 1 0 分 ( 3 ) 因 为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 n n n n n n n c b a a n n 1 3 1 1 4 2 1 2 1 3 n n n 1 1 1 1 4 2 1 3 2 1 3 n n n n 1 3 分 所以 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 3 3 3 3 5 3 2 1 3 2 1 3 n n n T n n 1 1 1 1 4 2 1 3 4 n n , 综

20、 上 , 1 4 n T . 1 5 分 2 1 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 解 : ( 1 ) 设 过 点 P 的 直 线 方 程 为 y k x m ,由 2 2 1 2 y k x m x y , 得 2 2 2 2 1 + 4 2 1 0 k x k m x m , 所 以 2 2 2 2 2 2 1 6 8 2 1 1 8 2 1 0 k m k m k m , 即 2 2 2 1 m k , 3 分 所 以 2 2 2 2 1 k m k x k m , 即 切 点 坐 标 为 2 1 , k m m , 故 1 1 1 2 1 , k A m m , 5 分 即 1 1

21、1 1 1 2 1 k x m y m , 故 1 1 1 1 1 2 2 x m x k y , 所 以 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 1 1 2 x y x x y y , 综 上 , 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 2 2 0 x x y y . 7 分 ( 2 ) 因 为 切 线 P A 的 方 程 为 1 1 2 2 0 x x y y , 同 理 , 切 线 P B 的 切 线 的 方 程 为 2 2 2 2 0 x x y y , 因 为 0 0 , P x y 是 直 线 P A 与 P B 的 交 点 , 即 0 1 0 1 0 2 0 2 2 2 0 2

22、2 0 x x y y x x y y , 所 以 , 直 线 A B 的 方 程 为 0 0 2 2 0 x x y y , 9 分 即 , 直 线 A B 的 方 程 为 0 0 0 1 2 x y x y y , 令 0 0 0 2 x k y , 0 0 1 m y ,所 以 2 2 0 0 2 0 2 0 8 2 1 1 + 2 1 k m A B k k , 1 0 分 0 0 0 0 2 0 1 k x y m d k , 1 1 分 又 因 为 2 0 0 2 x y , 故 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 8 2 1 1 1 + 2 2 1 1 P A

23、 B k m k x y m S A B d k k k 3 2 0 0 2 2 0 0 2 4 2 2 y y y y , 1 3 分 令 2 0 0 2 2 8 , 3 4 3 4 , t y y , 所 以 3 2 2 t f t t , 则 2 3 2 4 0 t t f t t , 故 f t 单 调 递 增 , 所 以 3 m i n 6 8 6 4 f t f , 综 上 , m i n 3 6 4 P A B S . 1 5 分 2 2 . ( 本 大 题 1 5 分 ) 解 : ( 1 ) 因 为 2 + x a x b f x x , 又 因 为 y a x 是 曲 线 的

24、 切 线 即 2 0 0 0 + x a x b a x , 故 2 0 b x , 2 分 因 为 2 0 0 0 0 1 l n 2 y x a b x a x , 即 2 2 2 0 0 0 0 2 l n 2 l n 1 0 a x b x x x , 故 0 x e , 4 分 所 以 2 4 0 0 0 1 2 l n a b x x g x ,即 3 0 0 0 2 1 4 l n 0 g x x x , 所 以 0 g x 单 调 递 减 , 6 分 故 0 m a x 0 g x g e , 综 上 , 2 a b 的 最 大 值 是 0 . 7 分 ( 2 ) 因 为 2

25、x ax b f x x , 所 以 1 x , 2 x 是 2 0 x a x b 的 两 根 , 即 1 2 1 2 + 1 x x a x x , 9 分 故 2 2 1 a x x , 所 以 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x a l n x f x x l n x x x x , 1 1 分 因 为 2 2 4 1 2 a a x , 令 2 2 2 2 1 2 g x x l n x x , 即 2 2 2 1 1 2 g x l n x x 单 调 递 增 , 且 2 1 0 g x g , 1 3 分 所 以 2 g x 在 1 , 单 调 递 增 , 故 2 1 1 2 g x g , 综 上 , 2 1 f x x 的 取 值 范 围 是 1 2 , . 1 5 分