1、2018-2019 学年山东省济南市莱芜区牛泉镇九年级（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题 3 分，满分 36 分）1（3 分）二次根式： ； ； ； ；中最简二次根式是（ ）A B C D只有2（3 分）若关于 x 的方程 3x22x +m0 的一个根是1，则 m 的值为（ ）A5 B1 C1 D53（3 分）式子 （a0）化简的结果是（ ）Ax Bx Cx Dx4（3 分）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）A平行四边形和菱形 B菱形和矩形C矩形和正方形 D菱形和正方形5（3 分）已知一个矩形的两条对角线夹角为 60，一条对角线的长为
2、10cm，则该矩形的周长为（ ）A20cm B cm C cm D cm6（3 分）如果 1a ，则 的值是（ ）A6+ a B6a Ca D17（3 分）在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、CD的中点，（如图）则EAF 等于（ ）A75 B45 C60 D308（3 分）如果关于 x 的方程 2x27x +m0 的两实数根互为倒数，那么 m 的值为（ ）A B C2 D29（3 分）如果 x1，x 2 是两个不相等的实数，且满足 x122x 11，x 222x 21，那么x1x2 等于（ ）A2 B2 C1 D110（3 分）已知 a ，b
3、 2，则 a，b 的关系是（ ）Aab Bab Ca Dab111（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+x10 有实数根，则 a 的取值范围是（ ）Aa 且 a0 Ba Ca Da 且 a012（3 分）如图，延长正方形 ABCD 的 AB 边至点 E，使 BEAC，则BED（ ）度A20 B30 C22.5 D32.5二、填空题：（将正确答案填在横线上，每小题 4 分，满分 20 分）13（4 分）关于 x 的方程 x25x +p22p+5 0 的一个根为 1，则实数 p 的值是 ，另一根为 14（4 分）制造某种产品，计划经过两年使成本降低 36%，则平均每年降低 15（4 分）已
4、知 x1，x 2 是方程 x2+6x+30 的两实数根，则 + 的值为 16（4 分）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a ，b 17（4 分）如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则FAC 度，FCA 度三、解答题：18（6 分）计算：（ ） 0 |+ （ ） 119（10 分）解一元二次方程（1）（x1） 24（2）x 24x+1020（6 分）若 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值21（8 分）某校 2005 年捐款 1 万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到 2007 年共捐款 4.75 万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？22（10 分）如图，在矩形 AB
5、CD 中，AB4，AD3，折叠纸片，使 AD 边与对角线 BD重合，得折痕 DG，求 DG 的长23（12 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件降价1 元，则每天可多售 2 件（1）商场若想每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）问在这次活动中，平均每天能否获得 1300 元的利润，若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由24（12 分）如图，正方形 ABCD 中对角线 AC，BD 相交于 O，E 为 AC 上一点，AG丄 EB 交 EB 于 G，AG 交 B
6、D 于 F（1）证明：OEOF；（2）如图 ，若 E 为 AC 延长线上一点，AG 丄 EB 交 EB 的延长线于 G，AG 的延长线与 DB 的延长线交于 F，其他条件不变，则结论 “OEOF”还成立吗？请说明理由2018-2019 学年山东省济南市莱芜区牛泉镇九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 3 分，满分 36 分）1（3 分）二次根式： ； ； ； ；中最简二次根式是（ ）A B C D只有【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是【解答】解： | a1|，被开方数
7、含有开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有 符合最简二次根式的条件故选：A【点评】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断2（3 分）若关于 x 的方程 3x22x +m0 的一个根是1，则 m 的值为（ ）A5 B1 C1 D5【分析】根据一元二次方程解的定义，将 x1 代入原方程，然后解关于 m 的一元一次方程即可【解答】解：关于 x 的方程 3x22x +m0
8、 的一个根是1，当 x1 时，由原方程，得3+2+m 0，解得 m5；故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义本题逆用一元二次方程解的定义易得出 m 的值3（3 分）式子 （a0）化简的结果是（ ）Ax Bx Cx Dx【分析】由已知得ax 30，a0，可知 x0，再根据二次根式的性质解答【解答】解：a0， 中 x0，故 | x| x 故选：A【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时， a；a0 时，a；a0 时， 04（3 分）在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）A平行四边形和菱形 B菱形和矩形C矩形和正方
9、形 D菱形和正方形【分析】点到各顶点距离相等，则平行四边形的对角线的交点到各个顶点的距离相等，则对角线相等，再根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质即可判断【解答】解：点到各顶点距离相等，则平行四边形的对角线的交点到各个顶点的距离相等，则对角线相等，在平行四边形、菱形、矩形、正方形中对角线相等的只有：矩形和正方形故选：C【点评】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，正确理解：点到各顶点距离相等，则平行四边形的对角线的交点到各个顶点的距离相等，则对角线相等是解题的关键5（3 分）已知一个矩形的两条对角线夹角为 60，一条对角线的长为 10cm，则该矩形的周长为（ ）A20cm B
10、 cm C cm D cm【分析】根据矩形的两条对角线的夹角为 60，可以判定AOB 为等边三角形，即可求得 ABAO ，在直角ABC 中，已知 AC，AB，根据勾股定理即可计算 BC 的长，进而计算矩形的周长即可解题【解答】解：矩形的两条对角线的夹角为160，且矩形对角线相等且互相平分，AOB 为等边三角形，ABAO AC5，在直角ABC 中，AC10，AB5，BC 5 ，故矩形的周长为 2BC+2AB 10 +1010（1+ ）cm 故选：D【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算 BC 的长是解题的关键6（3
11、 分）如果 1a ，则 的值是（ ）A6+ a B6a Ca D1【分析】由已知判断 a1，a2 的符号，根据二次根式的性质解答【解答】解：1a ，a10，a20故 +|a2|a1+2a1故选：D【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a0 时， a；a0 时，a；a0 时， 0解决此类题目的关键是掌握二次根式及绝对值的运算7（3 分）在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且 E、F 分别为 BC、CD的中点，（如图）则EAF 等于（ ）A75 B45 C60 D30【分析】首先连接 AC，由四边形 ABCD 是菱形，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，且E、
12、F 分别为 BC、CD 的中点，易得ABC 与ACD 是等边三角形，即可求得BD60，继而求得 BAD，BAE，DAF 的度数，则可求得 EAF 的度数【解答】解：连接 AC，AEBC，AFCD，且 E、F 分别为 BC、CD 的中点，ABAC，ADAC，四边形 ABCD 是菱形，ABBCCDAD，ABBCAC，ACCD AD，BD60，BAE DAF30，BAD180B120，EAF BADBAEDAF60故选：C【点评】此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用8（3 分）如果关于 x 的方程 2x27x
13、+m0 的两实数根互为倒数，那么 m 的值为（ ）A B C2 D2【分析】由题意“两实数根互为倒数”得，则方程的两根之积就为 1利用根与系数的关系列方程，解方程即可求出 m 的结果【解答】解：设方程 2x27x+m 0 的两根分别为 、根据两根之积公式可得： ，又方程 2x27x +m0 的两实数根互为倒数， 1，解得 m2故选：C【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式9（3 分）如果 x1，x 2 是两个不相等的实数，且满足 x122x 11，x 222x 21，那么x1x2 等于（ ）A2 B2 C1 D1【分析】由题意得到 x1，
14、x 2 是方程 x22x10 的两根，利用根与系数的关系求出两根之积即可【解答】解：根据题意得：x 1，x 2 是方程 x22x10 的两根，x 1x21故选：D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键10（3 分）已知 a ，b 2，则 a，b 的关系是（ ）Aab Bab Ca Dab1【分析】将 a 分母有理化得到结果，比较 a 与 b 即可【解答】解：a 2 ，b 2，ab，故选：B【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化时，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键11（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+x10 有实数根，则
15、 a 的取值范围是（ ）Aa 且 a0 Ba Ca Da 且 a0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a0 且1 24a（1）0，然后求出两不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 a0 且1 24a（1）0，解得 a 且 a0故选：A【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根12（3 分）如图，延长正方形 ABCD 的 AB 边至点 E，使 BEAC，则BED（ ）度A20 B30 C22.5 D32.5【分析】连接
16、DB 得DBE 为等腰三角形，即BED BDE，而DBC45，CBE90，根据三角形的内角和即可求【解答】解：连接 DB，四边形 ABCD 为正方形，BEACDBBE，DB 平分ABCDBEDBC+9045+90135在等腰三角形DBE 中BED 22.5故选：C【点评】此题主要考查正方形的性质和等腰三角形的性，正方形中对角线平分一组对角，等腰三角形的腰相等，两底角相等二、填空题：（将正确答案填在横线上，每小题 4 分，满分 20 分）13（4 分）关于 x 的方程 x25x +p22p+5 0 的一个根为 1，则实数 p 的值是 1 ，另一根为 4 【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二
17、次方程的定义求解【解答】解：x1 是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得15+p 22p+50，解此方程得到 p1设方程的另一根为 ，1+5，4，另一根为 4，故答案为：1，4【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是得出关于 p 的一元二次方程14（4 分）制造某种产品，计划经过两年使成本降低 36%，则平均每年降低 20% 【分析】设平均每年降低 x，根据经过两年使成本降低 36%，可列方程求解【解答】解：设平均每年降低 x，（1x） 2136%解得 x20% 或 x180%（舍去）故平均每年降低 20%故答案为：20%【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然
18、后根据现在的成本，可列方程求解15（4 分）已知 x1，x 2 是方程 x2+6x+30 的两实数根，则 + 的值为 10 【分析】先根据根与匇的关系得到 x1+x26，x 1x23，再运用通分和完全平方公式变形得到 + ，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得 x1+x26，x 1x23，所以 + 10故答案为 10【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 16（4 分）最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 1 ，b 1 【分析】根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程组求解【解答】
19、解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ，解得： 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式17（4 分）如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则FAC 90 度，FCA 45 度【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的AFGCAB，所以AFAC，FAC90， FCA45 度【解答】解：由已知AFGCAB，AFGCAB，AFACAFG+FAG 90，CAB+ FAG 90，FAC90又AFAC，FCA（18090） 45故答案为：90；45【点评】根据矩形的性质得到全等三角形，进而求得AFC 是等腰直角三角
20、形三、解答题：18（6 分）计算：（ ） 0 |+ （ ） 1【分析】将原式中每一项分别化为 1+ 1+3 再进行化简【解答】解：原式1+ 1+3 3 ；【点评】本题考查实数的运算；熟练掌握运算性质，绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键19（10 分）解一元二次方程（1）（x1） 24（2）x 24x+10【分析】（1）运用直接开平方法解方程即可；（2）先利用配方法得到（x1） 29，然后利用直接开平方法解方程；【解答】解：（1）x12，x12 或 x12，解得：x 13 或 x21；（2）x 24x1，x24x+43，（x2） 23，x2 ，所以 x12+ ，x 22 【点评】本
21、题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键20（6 分）若 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值【分析】根据 ，可得整数，小数，根据 x、y 的值，可得答案【解答】解：4 5，x4，y 4，x2+ 42+16+4+20+ 【点评】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根据平方估算无理数是解题关键21（8 分）某校 2005 年捐款 1 万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到 2007 年共捐款 4.75 万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？【分析】设该校捐款的平均年增长的百分率为 x，根据增长后的面积增长前的面积（1+增长率），即可得到 2006 年的捐款是（1+x
22、）万元，2007 年的捐款数是（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年共捐款 4.75 万元，列出方程，解出即可【解答】解：设该校捐款的平均年增长率为 x则：1+（1+x）+ （1+x ） 24.75，解得：x 13.5（应舍去），x 20.5，故该校捐款的平均年增长率为 50%【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程原来的数量为 a，平均每次增长或降低的百分率为 x 的话，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是 a（1x）（1x）a（1x） 2增长用“+”，下降用“”22（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，折叠纸片
23、，使 AD 边与对角线 BD重合，得折痕 DG，求 DG 的长【分析】设 AGx，由勾股定理可求得 BD 的长，又由折叠的性质，可求得 AB 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22（4x） 2，解此方程即可求得 AG 的长，继而求得答案【解答】解：设 AGx，四边形 ABCD 是矩形，A90，AB4，AD 3，BD 5，由折叠的性质可得：AD AD3，AGAG x ，DAGA90，BAG90 ，BG ABAG 4x，AB BD AD532，在 RtA BG 中，AG 2+AB 2BG 2，x 2+22（4x ） 2，解得：x ，AG ，在 RtADG 中，DG 【点评】本题主要考查了矩形的
24、性质、翻折变换的性质以及勾股定理；解答的关键是利用勾股定理得到 x2+22（4x） 223（12 分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件降价1 元，则每天可多售 2 件（1）商场若想每天盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）问在这次活动中，平均每天能否获得 1300 元的利润，若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理由【分析】（1）设每件衬衫应降价 x 元，则每件盈利（40x）元，每天可以售出（20+2x），所以此时商场平均每天要盈利（40x）（20+2x）元，根据
25、商场平均每天要盈利1200 元，为等量关系列出方程求解即可（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利1300 元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x 元，则每件盈利（40x）元，每天可以售出（20+2x），由题意，得（40x）（20+2x）1200，即：（x10）（x 20）0，解得 x110，x 220，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以 x 的值应为 20，所以，若商场平均每天要盈利 12O0 元，每件衬衫应降价 20 元；（2）假设能达到，由题意，得（40x）（20+2x）1300，整理，得 x230x +250
26、0，30 2212504000，x ，x 125，x 25，增加盈利减少库存，每件衬衫应降 25 元【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用24（12 分）如图，正方形 ABCD 中对角线 AC，BD 相交于 O，E 为 AC 上一点，AG丄 EB 交 EB 于 G，AG 交 BD 于 F（1）证明：OEOF；（2）如图 ，若 E 为 AC 延长线上一点，AG 丄 EB 交 EB 的延长线于 G，AG 的延长线与 DB 的延长线交于 F，其他条件不变，则结论 “OEOF”还成立吗？请说明理由【分析】（1）根据
27、正方形的性质利用 ASA 判定AOFBOE，根据全等三角形的对应边相等得到 OEOF；（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立【解答】证明：（1）如图（1），在正方形 ABCD 中，AOBO ，AOF BOE90，OBE+BEO 90，AGEB，AGE90，GAE+AEG 90，OBEOAF，在AOF 和BOE 中，AOFBOE（ASA ），OEOF （2）OEOF 仍然成立理由：如图（2）正方形 ABCD 中，AOBO，AOF BOE90，FAO+F90，AGEB，AGE90，GAE+E90，EF ，在AOF 和BOE 中，AOFBOE（AAS ），OEOF 所以结论仍然成立【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定与性质的理解及运用
