1、2019 年江苏省南京市溧水区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）计算 31 的结果是（ ）A3 B C D32（2 分）下列运算正确的是（ ）A2m 2+m23 m4 B（mn 2） 2mn 4 C2m4m 28m 2 Dm 5m3m 23（2 分）0.00035 用科学记数法表示为（ ）A3.510 4 B3.510 4 C3510 5 D3.510 34（2 分）估计 的值在（ ）A4 和 5 之间 B3 和 4 之间 C2 和 3
2、之间 D1 和 2 之间5（2 分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A棱柱 B圆柱 C棱锥 D圆锥6（2 分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，如果点 A 的坐标为（1，0），那么点 B2019 的坐标为（ ）A（1，1） B C D（1，1）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7（2 分）计算：3 0 ； 8（2 分）因式分解：3a 26a 9（
3、2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10（2 分）计算 11（2 分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为 S 甲2、S 乙 2，则 S 甲 2 S 乙 2（填“”、“”、“”）12（2 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+x20 的两个实数根，则 x1+x2+x1x2 13（2 分）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+2+3+4220，则5 14（2 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到DEC，连接 AD，若BAC25，则BAD 15（2 分）如图，AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交 O 于点 D，
4、连接BD， BDO15，则ACB 16（2 分）已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，1），B（1，0），动点 P 在反比例函数 y 的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点 P 的坐标为 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）先化简，再求值：（a+2 ） ，其中 a 18（6 分）解不等式组 并写出它的整数解19（6 分）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共 120 台，购买笔记本电脑用了 7.2
5、 万元，购买台式电脑用了 24 万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的 1.5 倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？20（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作CQDB，且 CQDP，连接 AP、BQ、PQ （1）求证：APDBQC；（2）若ABP+ BQC180，求证：四边形 ABQP 为菱形21（8 分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表 学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以
6、上人数 7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a ，b （2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 （3）请计算扇形统计图中“3 次”所对应扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有 2000 名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数22（8 分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的 3 个红球和 2 个白球，把它们充分搅匀（1）“从中任意抽取 1 个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取 1 个球是黑球”是 事件；（2）从中任意抽取 1 个球恰好是红球的概率是 ；（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下
7、规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明23（8 分）已知二次函数 yx 2（m +2）x+（2m 1）（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴一定有两个交点；（2）点 A（2，y 1）、B（1，y 2）、C （4，y 3）是该函数图象上的三个点，当该函数图象经过原点时，判断 y1、y 2、y 3 的大小关系24（8 分）如图为某景区五个景点 A，B，C ，D，E 的平面示意图，B，A 在 C 的正东方向，D 在 C 的正北方向，D，E 在 B 的北偏西 30方向上， E 在 A 的西北方向上，
8、C，D 相距 1000 m，E 在 BD 的中点处（1）求景点 B，E 之间的距离；（2）求景点 B，A 之间的距离（结果保留根号）25（10 分）甲、乙两人周末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发 0.2 小时后乙开汽车前往设甲行驶的时间为 x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为 y1（km ）与 y2（km ）如图是 y1 与 y2 关于 x 的函数图象（1）分别求线段 OA 与线段 BC 所表示的 y1 与 y2 关于 x 的函数表达式；（2）当 x 为多少时，两人相距 6km？（3）设两人相距 S 千米，在图所给的直角坐标系中画出 S 关于 x 的函数图象26（8
9、 分）如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦过 BC 延长线上一点 G，作 GDAO于点 D，交 AC 于点 E，交O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM（1）判断 CM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF2A，CM6，CF 4，求 MF 的长27（12 分）（1）发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb填空：当点 A 位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）（2）应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC4，AB1，如图 2 所示，分别以AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，
10、连接 CD，BE请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； 直接写出线段 BE 长的最大值（3）拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（6，0），点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PM PB ，BPM 90，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标2019 年江苏省南京市溧水区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）计算 31 的结果是（ ）A3 B C D3【
11、分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案【解答】解：a n （ ） n，所以 31 故选：B【点评】考查负整数指数幂的运算，解题的关键是正确理解负整数指数幂的意义，本题属于基础题型2（2 分）下列运算正确的是（ ）A2m 2+m23 m4 B（mn 2） 2mn 4 C2m4m 28m 2 Dm 5m3m 2【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案【解答】解：A、2m 2+m23m 2，故此选项错误；B、（mn 2） 2m 2n4，故此选项错误；C、2m4m 28m 3，故此选项错误；D、m 5m3m 2，正确故选：D【点评】此题主要考查了合并同类项以
12、及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3（2 分）0.00035 用科学记数法表示为（ ）A3.510 4 B3.510 4 C3510 5 D3.510 3【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000353.510 4 ，故选：A【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4（2 分）估计 的值在（ ）A
13、4 和 5 之间 B3 和 4 之间 C2 和 3 之间 D1 和 2 之间【分析】11 介于 9 与 16 之间，即 91116，则利用不等式的性质可以求 介于 3与 4 之间【解答】解：91116，3 4，即 的值在 3 与 4 之间故选：B【点评】此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用“夹比法”是估算的一般方法，也是常用方法5（2 分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A棱柱 B圆柱 C棱锥 D圆锥【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心
14、，符合题意的只有圆锥故选：D【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识6（2 分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，如果点 A 的坐标为（1，0），那么点 B2019 的坐标为（ ）A（1，1） B C D（1，1）【分析】根据图形可知：点 B 在以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB
15、绕点 O 逆时针旋转 45，可得对应点 B 的坐标，根据规律发现是 8 次一循环，可得结论【解答】解：四边形 OABC 是正方形，且 OA1，B（1，1），连接 OB，由勾股定理得：OB ，由旋转得：OBOB 1OB 2OB 3 ，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45，依次得到AOBBOB 1B 1OB245，B 1（0， ），B 2（1，1），B 3（ ，0），发现是 8 次一循环，所以 20198252余 3，点 B2019 的坐标为（ ，0）故选：C【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相
16、等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7（2 分）计算：3 0 1 ； 【分析】利用零次幂及二次根式的化简进行计算即可得出【解答】解：3 01；故答案为：1； 【点评】本题考查零次幂与二次根式的化简，要明确任何非零数字的零次幂为 1 及最简二次根式的条件（被开方数不含分母、被开方数中不能有能开得尽方的因数）8（2 分）因式分解：3a 26a 3a（a2） 【分析
17、】直接提取公因式 3a，进而分解因式即可【解答】解：3a 26a3a（a2）故答案为：3a（a2）【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键9（2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据分式有意义的条件可得 x+10，再解即可【解答】解：由题意得：x+10，解得：x1，故答案为：x1【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零10（2 分）计算 【分析】首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解【解答】解：原式2 ，故答案是：【点评】本题考查了二次根式的混合运算
18、，正确运用二次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的特点是关键11（2 分）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为 S 甲2、S 乙 2，则 S 甲 2 S 乙 2（填“”、“”、“”）【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即 S 甲 2S 乙 2故答案为：【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定12（2 分）若 x1，x 2 是一
19、元二次方程 x2+x20 的两个实数根，则 x1+x2+x1x2 3 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：由根与系数的关系可知：x 1+x21，x 1x22x 1+x2+x1x23故答案为：3【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型13（2 分）将两张三角形纸片如图摆放，量得1+2+3+4220，则5 40 【分析】直接利用三角形内角和定理得出6+7 的度数，进而得出答案【解答】解：如图所示：1+2+6180，3+ 4+ 7180，1+2+3+4220 ，1+2+6+3+ 4+7360，6+7140，5180（6+7）40故答案为：40
20、【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键14（2 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到DEC，连接 AD，若BAC25，则BAD 70 【分析】根据旋转的性质可得 ACCD，再判断出ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CAD45，由BADBAC+CAD 可得答案【解答】解：RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC，ACCD，ACD 是等腰直角三角形，CAD45，则BADBAC+ CAD25+45 70，故答案为：70【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性
21、质并准确识图是解题的关键15（2 分）如图，AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交 O 于点 D，连接BD， BDO15，则ACB 60 【分析】连接 DC，得出BDC 的度数，进而得出A 的度数，利用互余解答即可【解答】解：连接 DC，AC 为O 的直径， ODAC，DOC90，ABC90，ODOC，ODC45，BDO 15 ，BDC30，A30，ACB60，故答案为：60【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据直径和垂直得出BDC 的度数16（2 分）已知在平面直角坐标系中有两点 A（0，1），B（1，0），动点 P 在反比例函数 y 的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差
22、的绝对值最大时，点 P 的坐标为 （1，2）或（2，1） 【分析】由三角形三边关系知|PA PB|AB 知直线 AB 与双曲线 y 的交点即为所求点 P，据此先求出直线 AB 解析式，继而联立反比例函数解析式求得点 P 的坐标【解答】解：如图，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将 A（0，1）、B（1，0）代入，得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 yx +1，直线 AB 与双曲线 y 的交点即为所求点 P，此时| PA PB|AB，即线段 PA 与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由 可得 或 ，点 P 的坐标为（1，2）或（2，1），故答案为：（1，2）或（2，1）【点评】本题主要考
23、查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据三角形三边关系得出点 P 的位置三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）先化简，再求值：（a+2 ） ，其中 a 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 ，当 a 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（6 分）解不等式组 并写出它的整数解【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组
24、的解集，进而求出整数解即可【解答】解： ，由得： x1，由得： x2，不等式组的解集为1x2，则不等式组的整数解为1，0，1【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（6 分）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共 120 台，购买笔记本电脑用了 7.2 万元，购买台式电脑用了 24 万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的 1.5 倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？【分析】设台式电脑的单价是 x 元，则笔记本电脑的单价为 1.5x 元，利用购买
25、笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程 + 120 ，然后解分式方程即可【解答】解：设台式电脑的单价是 x 元，则笔记本电脑的单价为 1.5x 元，根据题意得 + 120，解得 x2400，经检验 x2400 是原方程的解，当 x2400 时，1.5x 3600答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为 3600 元和 2400 元【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答20（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，过点 C 作CQDB，且 CQDP，连接 AP、BQ、PQ （1）求证：APDBQC；（2）若ABP+ BQC1
26、80，求证：四边形 ABQP 为菱形【分析】（1）只要证明 AD BC，ADPBCQ，DPCQ 即可解决问题；（2）首先证明四边形 ABQP 是平行四边形，再证明 AB AP 即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，ADBDBC，CQDB，BCQDBC，ADBBCQDPCQ，ADPBCQ（2）证明：CQDB，且 CQDP，四边形 CQPD 是平行四边形，CDPQ，CDPQ，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AB CD ，ABPQ ，ABPQ，四边形 ABQP 是平行四边形，ADPBCQ，APDBQC，APD+APB180，ABP+BQC18
27、0，ABP APB，ABAP，四边形 ABQP 是菱形【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21（8 分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表 学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上人数 7 13 a 10 3请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a 17 ，b 20 （2）该调查统计数据的中位数是 2 次 ，众数是 2 次 （3）
28、请计算扇形统计图中“3 次”所对应扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有 2000 名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数【分析】（1）先由 1 次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得 a 的值，用 3 次的人数除以总人数求得 b 的值；（2）根据中位数和众数的定义求解；（3）用 360乘以“3 次”对应的百分比即可得；（4）用总人数乘以样本中“4 次及以上”的人数所占比例即可得【解答】解：（1）被调查的总人数为 1326%50 人，a50（7+13+10+3）17，b% 100%20%，即 b20，故答案为：17、20；（2）由于共有
29、50 个数据，其中位数为第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据均为 2 次，所以中位数为 2 次，出现次数最多的是 2 次，所以众数为 2 次，故答案为：2 次、2 次；（3）扇形统计图中“3 次”所对应扇形的圆心角的度数为 36020%72；（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数为 2000 120 人【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（8 分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的 3 个红球和 2 个白球，把它们充分搅匀（1）“从中任意抽取 1 个
30、球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取 1个球是黑球”是 不可能 事件；（2）从中任意抽取 1 个球恰好是红球的概率是 ；（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；（2）直接利用概率公式求出答案；（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）“从中任意抽取 1 个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取 1 个球是黑球”是不可能事件；故答案为：必然，不
31、可能；（2）从中任意抽取 1 个球恰好是红球的概率是： ；故答案为： ；（3）如图所示：，由树状图可得：一共有 20 种可能，两球同色的有 8 种情况，故选择甲的概率为： ；则选择乙的概率为： ，故此游戏不公平【点评】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键23（8 分）已知二次函数 yx 2（m +2）x+（2m 1）（m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该函数图象与 x 轴一定有两个交点；（2）点 A（2，y 1）、B（1，y 2）、C （4，y 3）是该函数图象上的三个点，当该函数图象经过原点时，判断 y1、y 2、y 3 的大小关系【分析】（1）令 y0 得到关于 x
32、的二元一次方程，然后证明b 24ac0 即可；（2）由抛物线经过原点可求得 m ，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y1、y 2、y 3 的值，然后再比较大小即可【解答】（1）证明：令 y0 得：x 2（m +2）x+2m 10，b 24ac（m +2） 2 4（2m 1）m 24m+8（m2） 2+40，不论 m 取何值，方程 x2（m +2）x+2m10 有两个不相等的实数根，不论 m 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点（2）解：抛物线 yx 2（m +2）x+（2m 1）经过原点，2m10解得：m ，抛物线的解析式为 yx 2 x当 x2 时，y 19；当 x1 时，y 23.5
33、；当 x4 时，y 36y 2y 3y 1【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，掌握二次函数的性质是解答问题（2）的关键24（8 分）如图为某景区五个景点 A，B，C ，D，E 的平面示意图，B，A 在 C 的正东方向，D 在 C 的正北方向，D，E 在 B 的北偏西 30方向上， E 在 A 的西北方向上，C，D 相距 1000 m，E 在 BD 的中点处（1）求景点 B，E 之间的距离；（2）求景点 B，A 之间的距离（结果保留根号）【分析】（1）根据已知条件得到C90，CBD60，CAE 45，解直角三角形即可得到
34、结论；（2）过 E 作 EFAB 与 F，在 RtAEF 中，求得 EF，在 RtBEF 中，求得 BF，于是得到结论【解答】解：（1）由题意得，C90，CBD60，CAE 45，CD1000 ，BC 1000，BD2BC2000，E 在 BD 的中点处，BE BD1000（米）；（2）过 E 作 EFAB 与 F，在 Rt AEF 中，EF AFBEsin601000 500 ，在 Rt BEF 中，BF BEcos60500，ABAFBF500（ 1）（米）【点评】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路25（10 分）甲、乙两人周
35、末从同一地点出发去某景点，因乙临时有事，甲坐地铁先出发，甲出发 0.2 小时后乙开汽车前往设甲行驶的时间为 x（h），甲、乙两人行驶的路程分别为 y1（km ）与 y2（km ）如图是 y1 与 y2 关于 x 的函数图象（1）分别求线段 OA 与线段 BC 所表示的 y1 与 y2 关于 x 的函数表达式；（2）当 x 为多少时，两人相距 6km？（3）设两人相距 S 千米，在图所给的直角坐标系中画出 S 关于 x 的函数图象【分析】（1）观察图找出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法即可求出 y1 与 y2关于 x 的函数表达式；（2）当 0x0.2 时，利用 y16 可得出关于 x 的一
36、元一次方程，解之即可得出 x 的值；当 x0.2 时，由两人相距 6km，可得出关于 x 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）令 y1y 2 求出 x 值，分 0x0.2、0.2x0.8、0.8x1.1 及 1.1x1.2 四种情况考虑，根据图的两线段上下位置关系结合两线段的函数表达式，即可找出 S 关于x 的函数关系式，取其各段端点，描点、连线即可画出 S 关于 x 的函数图象【解答】解：（1）设 y1kx+b（k0），y 2mx+n（m 0）将点 O（0，0）、A（1.2，72 ）代入 y1kx+b，解得： ，线段 OA 的函数表达式为 y160x（0x1.2）将点 B（
37、0.2，0）、C（1.1， 72）代入 y2mx +n，解得： ，线段 BC 的函数表达式为 y280x16（0.2x1.1）（2）当 0x0.2 时，60x 6，解得：x0.1；当 x0.2 时，|60x（80x16）|6，解得：x 10.5，x 21.1，当 x 为 0.1 或 0.5 或 1.1 时，两人相距 6km（3）令 y1y 2，即 60x80x16，解得：x0.8当 0x0.2 时，S60x ；当 0.2x0.8 时，S60x （80x 16）20x+16；当 0.8x1.1 时，S80x 1660x 20x16；当 1.1x1.2 时，S7260x将 S 关于 x 的函数画在
38、图中，如图所示【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程以及函数图象，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出 y1 与 y2 关于 x的函数表达式；（2）根据二者间的距离找出关于 x 的方程；（3）分0x0.2、0.2x 0.8、0.8x 1.1 及 1.1x1.2 四种情况找出 S 关于 x 的函数关系式26（8 分）如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦过 BC 延长线上一点 G，作 GDAO于点 D，交 AC 于点 E，交O 于点 F，M 是 GE 的中点，连接 CF，CM（1）判断 CM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF2A，
39、CM6，CF 4，求 MF 的长【分析】（1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到ACB90，再根据斜边上的中线性质得 MCMGME，所以G 1，接着证明1+ 290，从而得到OCM90，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断 CM 为O 的切线；（2）先证明GA，再证明 EMC4，则可判定EFCECM，利用相似比先计算出 CE，再计算出 EF，然后计算 MEEF 即可【解答】解：（1）CM 与O 相切理由如下：连接 OC，如图，GDAO 于点 D，G+GBD90，AB 为直径，ACB90，M 点为 GE 的中点，MCMG ME，G1，OBOC，B2，1+290，OCM90，OCCM，CM
40、 为O 的切线；（2）1+3+ 490，5+ 3+490，15，而1G，5A，GA，42A，42G，而EMCG+12G，EMC4，而FECCEM，EFCECM， ，即 ，CE4，EF ，MFMEEF6 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d：直线 l 和O 相交dr ；直线 l 和O 相切dr ；直线 l 和O 相离dr也考查了圆周角定理27（12 分）（1）发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb填空：当点 A 位于 CB 的延长线上 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 a+ b （用含 a，b 的式子表
41、示）（2）应用：点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC4，AB1，如图 2 所示，分别以AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； 直接写出线段 BE 长的最大值（3）拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（6，0），点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PM PB ，BPM 90，请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标【分析】（1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2） 根据等边三角形的性质得到 ADA
42、B，ACAE，BADCAE60，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到 CDBE；由于线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接 BM，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，得到APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PNPA2，BNAM，根据当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，即可得到最大值为 2 +4；如图 2，过 P 作PEx 轴于 E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb，当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 A
43、C 的长取得最大值，且最大值为BC+ABa+b，故答案为：CB 的延长线上， a+b；（2） CDBE，理由：ABD 与ACE 是等边三角形，ADAB，AC AE，BADCAE 60，BAD+BACCAE+BAC，即CADEAB，在CAD 与EAB 中， ，CADEAB（SAS），CDBE ；线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值，由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，最大值为 BD+BCAB+BC 5；（3）如图 1，将APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到PBN，连接 AN，则APN 是等腰直角三角形，PNPA2， BNAM ，A 的坐标为（2，0
44、），点 B 的坐标为（6，0），OA2，OB6，AB4，线段 AM 长的最大值线段 BN 长的最大值，当 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值，最大值AB+AN，AN AP2 ，最大值为 2 +4；如图 2，过 P 作 PEx 轴于 E，APN 是等腰直角三角形，PEAE ，OEBO ABAE64 2 ，P（2 ， ）如图 3 中，根据对称性可知当点 P 在第四象限时，P（2 ， ）时，也满足条件综上所述，满足条件的点 P 坐标（2 ， ）或（2 ， ），AM 的最大值为 2 +4【点评】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键
